IPhO 2003 — Teorica — Problema 2

Parte A: proprietà meccaniche

Considera una sbarra uniforme di lunghezza a riposo $\ell$ e sezione trasversale di area $A$ (Figura 2a). La sua lunghezza cambia di $\Delta \ell$ quando forze uguali in intensità, $F$, e in direzione, ma di verso opposto sono applicate ortogonalmente alle facce opposte della sbarra. Lo stress $T$ sulla superficie di ognuna estremità della sbarra è definito come $T=F/A$. La variazione relativa della sua lunghezza, ossia $\Delta \ell /\ell$, viene chiamata strain $S$ della sbarra. In termini di stress e strain, la legge di Hooke può essere espressa come

$S=T/Y\text{o}T=YS(1)$

dove $Y$ è detto modulo di Young del materiale della sbarra. Notare che uno stress $T$ in compressione corrisponde a $F<0$ e ad un decremento in lunghezza (cioè $\Delta \ell <0$). Un tale stress è pertanto negativo in valore ed è collegato alla pressione $p$ dalla relazione $T=-p$.

Per una sbarra uniforme di densità $\rho$, il modulo della velocità di propagazione di onde longitudinali (per esempio, il modulo della velocità del suono) lungo la sbarra è dato da

$u=\sqrt{Y/\rho }(2)$

Gli effetti prodotti da smorzamenti e dissipazioni possono essere trascurati nel rispondere alle sottostanti domande.

Una sbarra uniforme di lunghezza semi-infinita, cioè che si estende da $x=0$ a $\infty$ (vedi Figura 2b), ha una densità $\rho$. Inizialmente è ferma e non sottoposta a stress. Successivamente sulla sua estremità sinistra, nel punto $x=0$, un pistone esercita per un tempo brevissimo $\Delta t$ una piccola pressione di valore mediamente pari a $p$, generando un’onda di pressione che si propaga verso destra con velocità in modulo pari a $u$.

(a) Se il pistone induce l’estremità sinistra della sbarra a muoversi ad una velocità costante $v$ (Figura 2b), quali sono lo strain $S$ e la pressione $p$ all’estremità sinistra della sbarra durante il tempo $\Delta t$? (Le risposte devono essere date solamente in termini di $\rho$, $u$, e $v$.)

[1.6 punti]

Bar under force F, stress T = F/A

Semi-infinite bar, piston at x=0

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Wave Equation, Hooke’s Law, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Rod, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.1

Part A: Mechanical Properties

Consider a uniform rod of rest length $\ell$ and cross-sectional area $A$ (Figure 2a). Its length changes by $\Delta \ell$ when equal in magnitude forces, $F$, but opposite in direction, are applied perpendicularly to the opposite faces of the rod. The stress $T$ on the surface of each end of the rod is defined as $T=F/A$. The relative change in its length, that is $\Delta \ell /\ell$, is called the strain $S$ of the rod. In terms of stress and strain, Hooke’s law can be expressed as

$S=T/Y\text{o}T=YS(1)$

where $Y$ is called the Young’s modulus of the material of the rod. Note that a compressive stress $T$ corresponds to $F<0$ and to a decrease in length (i.e., $\Delta \ell <0$). Such a stress is therefore negative in value and related to the pressure $p$ by the relation $T=-p$.

For a uniform rod of density $\rho$, the magnitude of the propagation velocity of longitudinal waves (for example, the magnitude of the speed of sound) along the rod is given by

$u=\sqrt{Y/\rho }(2)$

Effects due to damping and dissipation may be neglected in answering the following questions.

A uniform rod of semi-infinite length, extending from $x=0$ to $\infty$ (see Figure 2b), has a density $\rho$. Initially, it is at rest and unstressed. Subsequently, at its left end, at point $x=0$, a piston applies, for a very brief time $\Delta t$, a small pressure with an average value of $p$, generating a pressure wave that propagates to the right with a speed of magnitude $u$.

(a) If the piston causes the left end of the rod to move with a constant velocity $v$ (Figure 2b), what are the strain $S$ and pressure $p$ at the left end of the rod during the time interval $\Delta t$? (Answers must be given solely in terms of $\rho$, $u$, and $v$.)

[1.6 points]

Bar under force F, stress T = F/A

Semi-infinite bar, piston at x=0

(b) Considera un’onda longitudinale che si sta propagando nella sbarra lungo la direzione $x$. Assumendo in $x$ la sezione trasversale della sbarra non deformata (Figura 2c), sia $\xi (x,t)$ lo spostamento dell’onda al tempo $t$ ed assumi

$\xi (x,t)={\xi }_0\cos (\omega t-kx)(3)$

dove ${\xi }_0$ e $k$ sono delle costanti. Determina la corrispondente velocità $v(x,t)$, lo strain $S(x,t)$, e la pressione $p(x,t)$ in funzione di $x$ e $t$.

[2.4 punti]

Traveling wave cross-section, displacement ξ(x,t)

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Wave Equation, Hooke’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.2

(b) Consider a longitudinal wave propagating along the bar in the direction $x$. Assuming at $x$ the cross-sectional area of the bar is undeformed (Figure 2c), let $\xi (x,t)$ be the displacement of the wave at time $t$, and assume

$\xi (x,t)={\xi }_0\cos (\omega t-kx)(3)$

where ${\xi }_0$ and $k$ are constants. Determine the corresponding velocity $v(x,t)$, strain $S(x,t)$, and pressure $p(x,t)$ as functions of $x$ and $t$.

[2.4 points]

Traveling wave cross-section, displacement ξ(x,t)

Parte B: proprietà elettromeccaniche (compreso l’effetto piezoelettrico)

Considera una lastra di cristallo di quarzo di lunghezza $b$, spessore $h$ e larghezza $w$ (Figura 2d). La sua lunghezza ed il suo spessore sono diretti rispettivamente lungo gli assi $x$ e $z$. Nelle superfici superiore ed inferiore della lastra (vedi Figura 2d) due sottili rivestimenti metallici formano degli elettrodi. Connessioni elettriche, che svolgono anche la funzione di sostegno della lastra (Figura 2e), sono saldate nel centro degli elettrodi, i quali possono essere supposti fermi per oscillazioni longitudinali lungo la direzione $x$.

Il cristallo di quarzo in esame ha una densità $\rho =2.65\times 10^3$ kg/m³ ed un modulo di Young $Y=7.87\times 10^{10}$ N/m². La lunghezza $b$ della lastra è 1.00 cm e l’ampiezza $w$ e l’altezza $h$ della lastra sono tali che $h\ll w$ e $w\ll b$.

Con l’interruttore $K$ lasciato aperto, assumiamo che nella lastra di quarzo sono eccitati solamente i modi longitudinali dell’oscillazione di onde stazionarie nella direzione $x$. Per un’onda stazionaria di frequenza $f=\omega /2\pi$, lo spostamento $\xi (x,t)$ al tempo $t$ di una sezione trasversale della lastra intorno alla posizione di equilibrio $x$, può essere scritta come

$\xi (x,t)={\xi }_{0}g(x)\cos (\omega t),\omega =2\pi f(4a)$

dove ${\xi }_0$ è una costante positiva e la funzione spaziale $g(x)$ è esprimibile in generale nella forma

$g(x)=B_1\sin (kx)+B_2\cos (kx)(4b)$

$g(x)$ ha valore massimo pari a 1 e $k=\omega /u$. Ricorda che i centri degli elettrodi non si muovono e che le estremità sinistra e destra della lastra sono libere e devono avere stress (o pressione) nullo.

(c) Determina i valori di $B_1$ e $B_2$ nell’Eq. (4b) per un’onda stazionaria longitudinale presente nella lastra di quarzo.

[1.2 punti]

Quartz crystal slab with electrodes, switch K

Electrode connection detail, Figura 2e

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Switch Fonte: Testo (PDF) — p.2

Part B: electromechanical properties (including piezoelectric effect)

Consider a quartz crystal plate of length $b$, thickness $h$ and width $w$ (Figure 2d). Its length and thickness are directed along the $x$ and $z$ axes respectively. On the upper and lower surfaces of the plate (see Figure 2d) two thin metal coatings form electrodes. Electrical connections, which also serve as the supporting function of the plate (Figure 2e), are welded in the centre of the electrodes, which can be assumed to be stationary for longitudinal oscillations along the direction $x$.

The quartz crystal under examination has a density $\rho =2.65\times 10^3$ kg/m3 and a Young $Y=7.87\times 10^{10}$ N/m2 modulus. The length $b$ of the sheet shall be 1,00 cm and the width $w$ and height $h$ of the sheet shall be such as $h\ll w$ and $w\ll b$.

With the $K$ switch left open, we assume that in the quartz plate only the longitudinal modes of stationary wave oscillation in the direction $x$ are excited. For a stationary wave of $f=\omega /2\pi$ frequency, the $\xi (x,t)$ shift of a cross section of the plate around the equilibrium position $x$ to $t$ time can be written as

$\xi (x,t)={\xi }_{0}g(x)\cos (\omega t),\omega =2\pi f(4a)$

where ${\xi }_0$ is a positive constant and the spatial function $g(x)$ is generally expressed in the form

$g(x)=B_1\sin (kx)+B_2\cos (kx)(4b)$

$g(x)$ has a maximum value of 1 and $k=\omega /u$. Remember that the electrode centers do not move and that the left and right ends of the plate are free and must have zero stress (or pressure).

(c) Determina i valori di $B_1$ e $B_2$ nell’Eq. (4b) for a longitudinal stationary wave present in the quartz plate.

The following points shall be added:

Quartz crystal slab with electrodes, switch K

Electrode connection detail, Figura 2e

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Switch Fonte: Testo (PDF) — p.2

(d) Quali sono le prime due frequenze più basse alle quali nella lastra di quarzo possono essere eccitate onde stazionarie longitudinali?

[1.2 punti]

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

(d) What are the first two lowest frequencies at which longitudinal stationary waves can be excited in the quartz plate?

The following points shall be added:

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

L’effetto piezoelettrico costituisce una speciale proprietà di un cristallo di quarzo. La compressione o la dilatazione del cristallo generano un potenziale elettrico attraverso il cristallo, e di converso, un potenziale elettrico esterno applicato attraverso il cristallo induce il cristallo ad espandersi o a contrarsi a seconda della polarità del potenziale elettrico. Di conseguenza, oscillazioni meccaniche ed elettriche possono essere accoppiate e fatte risonare per mezzo di un cristallo di quarzo.

Per considerare l’effetto piezoelettrico, siano rispettivamente ${\sigma }^{-}$ e ${\sigma }^{+}$ la densità superficiale di carica elettrica sugli elettrodi superiore ed inferiore, quando la lastra di quarzo è sottoposta ad un campo elettrico $E$ nella direzione $z$. Indica con $S$ e $T$ rispettivamente lo strain e lo stress della lastra nella direzione $x$. Quindi l’effetto piezoelettrico del cristallo di quarzo può essere descritto dal seguente insieme di equazioni

$S=T/Y+d_{p}E(5a)$

${\sigma }^{+}=d_{p}T+{\epsilon }_{T}E(5b)$

dove $1/Y=1.27\times 10^{-11}$ m²/N, con $Y$ modulo di Young a campo elettrico costante e ${\epsilon }_T=4.06\times 10^{-11}$ F/m è la permeabilità elettrica a stress costante, ed infine $d_p=2.25\times 10^{-12}$ m/V è il coefficiente piezoelettrico.

Chiudiamo ora l’interruttore $K$ in Fig. 2d. Il potenziale elettrico alternato $V(t)=V_m\cos (\omega t)$ adesso agisce attraverso gli elettrodi e nella lastra di quarzo viene generato un campo elettrico uniforme $E(t)=V(t)/h$ nella direzione $z$. Nella lastra, quando si raggiunge uno stato stazionario, appare lungo la direzione $x$ un’oscillazione di un’onda stazionaria longitudinale di frequenza angolare $\omega$. Con $E$ uniforme, la lunghezza d’onda $\lambda$ e la frequenza $f$ di un’onda stazionaria longitudinale nella lastra sono ancora collegate dall’espressione $\lambda =u/f$ con $u$ dato dall’Eq. (2). Ma, come mostrato dall’Eq (5a), ora la relazione $T=YS$ non è più valida, sebbene le definizioni di strain e di stress rimangono le stesse e le superfici finali della lastra rimangono libere con stress nullo.

(e) Prendendo in considerazione le equazioni (5a) e (5b), l’espressione in funzione di $x$ e $t$ della densità superficiale di carica elettrica ${\sigma }^{+}$ nell’elettrodo inferiore è della forma

${\sigma }^{+}(x,t)=[D_1\sin (kx)+D_2\cos (kx)]\cos (\omega t)$

dove $k=\omega /u$. Trova le espressioni di $D_1$ e $D_2$.

[2.2 punti]

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Switch Fonte: Testo (PDF) — p.3

The piezoelectric effect constitutes a special property of quartz crystal. Compression or expansion of the crystal generates an electric potential across the crystal, and conversely, an external electric potential applied across the crystal induces it to expand or contract depending on the polarity of the electric potential. Consequently, mechanical and electrical oscillations can be coupled and made to resonate via a quartz crystal.

To consider the piezoelectric effect, let ${\sigma }^{-}$ and ${\sigma }^{+}$ denote respectively the surface charge densities on the upper and lower electrodes when the quartz plate is subjected to an electric field $E$ in the direction $z$. Let $S$ and $T$ denote respectively the strain and stress of the plate in the direction $x$. Then, the piezoelectric effect of the quartz crystal can be described by the following set of equations:

$S=T/Y+d_{p}E(5a)$

${\sigma }^{+}=d_{p}T+{\epsilon }_{T}E(5b)$

where $1/Y=1.27\times 10^{-11}$ m²/N, with $Y$ being the Young’s modulus at constant electric field and ${\epsilon }_T=4.06\times 10^{-11}$ F/m denoting the permittivity at constant stress, and finally $d_p=2.25\times 10^{-12}$ m/V being the piezoelectric coefficient.

We now close the switch $K$ in Fig. 2d. The alternating electric potential $V(t)=V_m\cos (\omega t)$ now acts through the electrodes, and a uniform electric field $E(t)=V(t)/h$ is generated in the quartz plate along direction $z$. In the plate, once a stationary state is reached, a longitudinal standing wave oscillation with angular frequency $\omega$ appears along direction $x$. With $E$ uniform, the wavelength $\lambda$ and frequency $f$ of a longitudinal standing wave in the plate are still related by expression $\lambda =u/f$, where $u$ is given by Eq. (2). However, as shown in Eq. (5a), the relation $T=YS$ is no longer valid, although the definitions of strain and stress remain unchanged and the final surfaces of the plate remain free with zero stress.

(e) Considering equations (5a) and (5b), the expression for the surface charge density ${\sigma }^{+}$ on the lower electrode, as a function of $x$ and $t$, takes the form

${\sigma }^{+}(x,t)=[D_1\sin (kx)+D_2\cos (kx)]\cos (\omega t)$

where $k=\omega /u$. Find expressions for $D_1$ and $D_2$.

[2.2 points]

(f) La carica elettrica superficiale totale $Q(t)$ sull’elettrodo inferiore è collegata a $V(t)$ dalla relazione

$Q(t)=-C_{0}V(t)+\frac{{\alpha }_2{V}_m\sin (\omega t)}{\omega }(6)$

Trova l’espressione per $C_0$ e l’espressione ed il valore numerico di ${\alpha }_2$.

[1.4 punti]

Topic: Oscillations & Waves, Electromagnetism, Electrostatics Metodi: Wave Equation, Simple Harmonic Motion Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

(f) The total surface electric charge $Q(t)$ on the lower electrode is related to $V(t)$ by the equation

$Q(t)=-C_{0}V(t)+\frac{{\alpha }_2{V}_m\sin (\omega t)}{\omega }(6)$

Find the expression for $C_0$ and the expression and numerical value of ${\alpha }_2$.

[1.4 points]