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Parte A — Massa del neutrino e decadimento del neutrone

Un neutrone libero di massa $m_n$, in quiete nel riferimento del laboratorio, decade in tre particelle praticamente non interagenti: da un lato un protone e un antineutrino, e dall’altro un elettrone. La massa di riposo del protone è $m_p$, quella dell’antineutrino $m_{\nu }$ è supposta non-nulla ma molto minore di quella dell’elettrone $m_e$. Si indichi con $c$ la velocità della luce nel vuoto. I valori misurati delle masse di riposo sono:

$m_n=939.56563\text{MeV}/c^2,m_p=938.27231\text{MeV}/c^2,m_e=0.5109907\text{MeV}/c^2$

Nel seguito tutte le energie e velocità di cui si parla sono riferite al riferimento del laboratorio. Sia $E$ l’energia totale dell’elettrone che emerge dal decadimento.

(a) Trova il massimo valore possibile $E_{\max }$ di $E$ e la velocità $v_m$ dell’antineutrino quando $E=E_{\max }$. Entrambe le risposte devono essere date in termini delle masse a riposo delle particelle e della velocità della luce. Sapendo che $m_{\nu }<7.3\text{eV}/c^2$, trova $E_{\max }$ e il rapporto $v_m/c$ con 3 cifre significative.

$[4.0\text{punti}]$

Parte B — Levitazione con la luce

Una semisfera di vetro trasparente di raggio $R$ e massa $m$ ha un indice di rifrazione $n$. Al di fuori di essa l’indice di rifrazione è $1$. Un fascio parallelo di luce laser monocromatica incide uniformemente e in incidenza normale sulla porzione centrale della superficie piana della semisfera (vedi Figura 3a). L’accelerazione di gravità $g$ è diretta verticalmente verso il basso. Il raggio $\rho$ della sezione circolare del fascio laser è molto minore di $R$. Sia la semisfera di vetro che il fascio laser hanno simmetria assiale intorno all’asse $z$.

La semisfera di vetro non assorbe affatto la luce del laser. La sua superficie è ricoperta con uno strato sottile di materiale trasparente in modo che siano trascurabili le riflessioni quando la luce entra nella semisfera o ne esce. Anche il cammino ottico percorso dalla luce del laser attraverso lo strato antiriflettente può essere trascurato.

(b) Trascurando i termini dell’ordine di $(\rho /R{)}^3$ o superiori, si trovi la potenza $P$ del laser occorrente per generare una forza che eguagli il peso della semisfera di vetro.

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Suggerimento: $\sin \theta \approx \theta$ se $\theta$ è molto minore di $1$.

p.2 — Semisfera di vetro con fascio laser, asse z

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics, Geometric Optics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Conservation Laws, Ray Tracing, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1

Part A. Neutrin mass and neutron decay

Un neutrone libero di massa $m_n$, in quiete nel riferimento del laboratorio, decade in tre particelle praticamente non interagenti: da un lato un protone e un antineutrino, e dall’altro un elettrone. The resting mass of the proton is $m_p$, that of the antineutrine $m_{\nu }$ is assumed to be non-zero but much smaller than that of the electron $m_e$. The speed of light in vacuum shall be indicated by $c$. The measured values of resting masses are:

$m_n=939.56563\text{MeV}/c^2,m_p=938.27231\text{MeV}/c^2,m_e=0.5109907\text{MeV}/c^2$

The following all the energies and speeds mentioned are referred to in the laboratory reference. Whether $E$ the total electron energy that emerges from decay.

(a) Trova il massimo valore possibile $E_{\max }$ di $E$ e la velocità $v_m$ dell’antineutrino quando $E=E_{\max }$. Both answers must be given in terms of the particle rest masses and the speed of light. Knowing that $m_{\nu }<7.3\text{eV}/c^2$, you find $E_{\max }$ and the ratio $v_m/c$ with 3 significant digits.

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Part B Lifting with light

A transparent glass hemisphere of $R$ radius and mass $m$ has a refractive index $n$. Outside it the refractive index is $1$. A parallel monochrome laser beam of light affects uniformly and normally the central portion of the half-sphere flat surface (see Figure 3a). The acceleration of gravity $g$ is directed vertically downwards. The radius $\rho$ of the circular section of the laser beam is much less than $R$. Both the glass hemisphere and the laser beam have axial symmetry around the $z$ axis.

The glass hemisphere does not absorb laser light at all. Its surface is covered with a thin layer of transparent material so that reflections are negligible when light enters or exits the hemisphere. The optical path taken by laser light through the anti-reflective layer can also be overlooked.

**(b) ** By omitting terms of the order of $(\rho /R{)}^3$ or higher, the $P$ laser power required to generate a force equal to the weight of the glass hemisphere is found.

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**Suggest: ** $\sin \theta \approx \theta$ if $\theta$ is much smaller than $1$.

**p.2 ** Laser beam glass half-sphere, z axis

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics, Geometric Optics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Conservation Laws, Ray Tracing, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1