IPhO 2012 — Teorica

Problema T1. Grafici assortiti (13 punti) Parte A. Balistica (4.5 punti) Una palla lanciata con velocità iniziale $v_0$ si muove in un campo gravitazionale uniforme nel piano $x-z$, dove l’asse $x$ è orizzontale, e l’asse $z$ è verticale e antiparallelo all’accelerazione di gravità $g$; trascurare l’attrito dell’aria. i. (0.8 punti) Lanciando una palla dall’origine con velocità iniziale $v_0$ si possono colpire bersagli all’interno della regione data da

$z\le z_0-k{x}^2$

aggiustando l’angolo di lancio. Puoi usare questo fatto senza provarlo. Trova le costanti $z_0$ e $k$. ii. (1.2 punti) Si vuole colpire il punto più alto di un edificio sferico di raggio $R$ (vedi figura) imprimendo alla palla una velocità iniziale $v_0$ la più piccola possibile. Prima di colpire il bersaglio, la palla non può rimbalzare sull’edificio in altri punti. Il punto di lancio può essere scelto liberamente al livello del terreno $z=0$ e l’angolo di lancio può essere aggiustato nel modo che si desidera. Disegna qualitativamente la forma della traiettoria ottimale per la palla (usa l’apposito spazio nel foglio risposta). NOTA: Il punteggio viene assegnato solamente per il disegno. iii. (2.5 punti) Qual’è la minima velocità di lancio $v_{\text{min}}$ necessaria per poter colpire il punto più alto dell’edificio sferico di raggio $R$?

La Géode, Parc de la Villette, Paris. Foto: katchooo/flickr.com Parte B. Flusso d’aria attorno ad un’ala (4 punti) Per questa Parte del Problema può essere utile la seguente informazione: nel caso di un liquido o di un gas che fluisce, si ha che la quantità $p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^2$ è costante lungo una linea di campo, nel caso in cui la velocità $v$ sia molto minore della velocità del suono. Qui $\rho$ è la densità, $h$ l’altezza, $g$ l’accelerazione di gravità e $p$ la pressione idrostatica. Le linee di campo sono definite come le traiettorie delle particelle di fluido (ammettendo che la distribuzione del flusso sia stazionaria). Il termine $\frac{1}{2}\rho v^2$ è chiamato pressione dinamica. Nella figura seguente, è disegnata la sezione dell’ala di un aereoplano assieme alle linee di campo del flusso d’aria attorno all’ala, così come appare nel sistema di riferimento dell’ala. Assumi che (a) il flusso d’aria sia puramente bidimensionale (ovvero che i vettori velocità dell’aria giacciono tutti nel piano della figura); (b) la configurazione delle linee di campo non dipende dalla velocità dell’aereoplano; (c) non c’è vento; (d) la pressione dinamica è molto più piccola della pressione atmosferica $p_0=1.0\times 10^5\text{Pa}$. Puoi usare un righello per effettuare misure sulla figura nel foglio risposte.

i. (0.8 punti) Se la velocità dell’aereoplano riferita a terra è $v_0=100\text{m/s}$, qual’è la velocità dell’aria $v_P$ nel punto $P$ (segnato nella figura) rispetto a terra? ii. (1.2 punti) Nel caso ci sia una grande umidità relativa, non appena la velocità rispetto a terra supera un valore critico $v_{\text{crit}}$, si forma una scia di gocce d’acqua dietro all’ala. Le gocce si formano a partire da un certo punto $Q$. Segna il punto $Q$ nella figura sul foglio risposte. Spiega (usando formule e la minor quantità di testo possibile) come ne hai determinato qualitativamente la posizione. iii. (2.0 punti) Stima la velocità critica $v_{\text{crit}}$ usando i seguenti dati: umidità relativa dell’aria $r=90\%$, calore specifico dell’aria a pressione costante $c_p=1.00\times 10^3\text{J/(kg}\cdot \text{K)}$, pressione del vapor d’acqua saturo: $p_{sa}=2.31\text{kPa}$ alla temperatura dell’aria non perturbata $T_a=293\text{K}$ e $p_{sb}=2.46\text{kPa}$ a $T_b=294\text{K}$. A seconda delle tue approssimazioni potresti aver bisogno anche del calore specifico dell’aria a volume costante $c_V=0.717\times 10^3\text{J/(kg}\cdot \text{K)}$. NOTA: l’umidità relativa è definita come il rapporto fra la pressione di vapore e la pressione di vapor saturo alla stessa temperatura. La pressione di vapor saturo è definita come quella a cui il vapore è in equilibrio con il liquido.

Parte C. Cannucce magnetiche (4.5 punti) Considera un tubo cilindrico fatto di materiale superconduttore. La lunghezza del tubo è $l$ e il suo raggio interno è $r$; inoltre $l\gg r$. Il centro del tubo coincide con l’origine, e il suo asse coincide con l’asse $z$. Nel tubo c’è un flusso magnetico $\Phi$ attraverso la sezione centrale del tubo, ovvero la regione $z=0$, $x^2+y^2<r^2$. Un materiale superconduttore ha la proprietà di espellere qualsiasi campo magnetico dal suo interno (il campo al suo interno è zero).

i. (0.8 punti) Disegna cinque linee di flusso del campo magnetico nell’apposito spazio del foglio risposte. Fai in modo che passino per i cinque punti rossi disegnati nella figura che rappresenta una sezione del tubo passante per il suo asse. ii. (1.2 punti) Trova la tensione $T$ lungo $z$ nel mezzo del tubo (ovvero la forza con la quale le due metà del tubo, $z>0$ e $z<0$, interagiscono fra di loro). iii. (2.5 punti) Aggiungiamo ora un secondo tubo, identico e parallelo al primo. Il secondo tubo ha il campo magnetico in verso opposto e il suo centro è posizionato in $y=l$, $x=z=0$ (cosicché i tubi formano i lati opposti di un enorme quadrato). Determina la forza di interazione magnetica $F$ fra i due tubi.

p.2 — Linee di flusso d’aria attorno all’ala

p.2 — Edificio sferico La Géode

p.3 — Sezione verticale del tubo, assi z-y

p.3 — Tubo con magnete S-N interno

Topic: Newtonian Mechanics, Fluid Mechanics, Magnetism Metodi: Kinematic Equations, Bernoulli’s Equation, Gauss’s Law, Vector Decomposition, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Ball, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Problem T1. Miscellaneous Graphs (13 points) Part A. Ballistics (4.5 points)

A pith ball launched with initial velocity $v_0$ moves in a uniform gravitational field in the plane $x-z$, where the axis $x$ is horizontal and the axis $z$ is vertical and antiparallel to the gravitational acceleration $g$; air resistance may be neglected.

i. (0.8 points) Launching a ball from the origin with initial velocity $v_0$, targets within the region given by

$z\le z_0-k{x}^2$

can be hit by adjusting the launch angle. You may use this fact without proving it. Find the constants $z_0$ and $k$.

ii. (1.2 points) The goal is to hit the highest point of a spherical building of radius $R$ (see figure), by giving the ball the smallest possible initial velocity $v_0$. Prior to hitting the target, the ball must not bounce on the building at any other point. The launch point may be freely chosen at ground level $z=0$, and the launch angle may be adjusted as desired.

Qualitatively draw the shape of the optimal trajectory for the ball (use the designated space on the answer sheet). NOTE: Only the drawing will be graded.

iii. (2.5 points) What is the minimum launch velocity $v_{\text{min}}$ required to hit the highest point of a spherical building of radius $R$?

The Géode, Parc de la Villette, Paris. Photo: katchooo/flickr.com Section B. Airflow around a wing (4 points)

For this part of the problem, the following information may be helpful: in the case of a liquid or gas flowing, the quantity $p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^2$ is constant along a field line, provided that the velocity $v$ is much smaller than the speed of sound. Here, $\rho$ denotes density, $h$ height, $g$ gravitational acceleration, and $p$ hydrostatic pressure. Field lines are defined as the trajectories of fluid particles (assuming a steady flow distribution). The term $\frac{1}{2}\rho v^2$ is called dynamic pressure.

In the figure below, a cross-section of an airplane wing is shown together with the field lines of the airflow around the wing, as seen in the reference frame attached to the wing. Assume that (a) the airflow is purely two-dimensional (i.e., all air velocity vectors lie in the plane of the figure); (b) the field line configuration does not depend on the airplane’s speed; (c) there is no wind; and (d) the dynamic pressure is much smaller than atmospheric pressure $p_0=1.0\times 10^5\text{Pa}$. You may use a ruler to make measurements on the figure in the answer sheet.

i. (0.8 points) If the airplane’s velocity relative to the ground is $v_0=100\text{m/s}$, what is the air velocity $v_P$ at point $P$ (marked in the figure) relative to the ground?

ii. (1.2 points) In the case of high relative humidity, as soon as the velocity relative to the ground exceeds a critical value $v_{\text{crit}}$, a trail of water droplets forms behind the wing. The droplets begin to form at a certain point $Q$. Mark the point $Q$ on the figure in the answer sheet. Explain (using formulas and as little text as possible) how you qualitatively determined its position.

iii. (2.0 points) Estimate the critical velocity $v_{\text{crit}}$ using the following data: relative humidity of air $r=90\%$, specific heat capacity of air at constant pressure $c_p=1.00\times 10^3\text{J/(kg}\cdot \text{K)}$, saturation vapor pressure: $p_{sa}=2.31\text{kPa}$ at the undisturbed air temperature $T_a=293\text{K}$ and $p_{sb}=2.46\text{kPa}$ at $T_b=294\text{K}$. Depending on your approximations, you may also need the specific heat capacity of air at constant volume $c_V=0.717\times 10^3\text{J/(kg}\cdot \text{K)}$. NOTE: Relative humidity is defined as the ratio of vapor pressure to saturation vapor pressure at the same temperature. Saturation vapor pressure is defined as the pressure at which vapor is in equilibrium with liquid.

Part C. Magnetic Straws (4.5 points) Consider a cylindrical tube made of superconducting material. The length of the tube is $l$ and its internal radius is $r$; furthermore, $l\gg r$. The center of the tube coincides with the origin, and its axis coincides with the $z$ axis. Inside the tube there is a magnetic flux $\Phi$ through the central cross-section of the tube, i.e., the region $z=0$, $x^2+y^2<r^2$.

A superconducting material has the property of expelling any magnetic field from its interior (the field inside it is zero).

i. (0.8 points) Draw five magnetic field lines in the designated space on the answer sheet. Make sure they pass through the five red points drawn in the figure representing a cross-section of the tube passing through its axis.

ii. (1.2 points) Find the voltage $T$ along $z$ at the center of the tube (i.e., the force with which the two halves of the tube, $z>0$ and $z<0$, interact with each other).

iii. (2.5 points) Now we add a second tube, identical and parallel to the first one. The second tube carries magnetic field in the opposite direction, and its center is located at $y=l$, $x=z=0$ (so that the tubes form opposite sides of a huge square). Determine the magnetic interaction force $F$ between the two tubes.

p.2 — Airflow streamlines around the wing

p.2 — Spherical building La Géode

p.3 — Vertical cross-section of the tube, z-y axes

p.3 — Tube with internal N-S magnet

Solution: Soluzioni (PDF)

Problema T2. Gocciolatore di Kelvin (8 punti) Per la soluzione di questo problema possono essere utili le seguenti informazioni sulla tensione superficiale. Per le molecole di un liquido, le posizioni all’interfaccia liquido-aria sono meno favorevoli rispetto alle posizioni all’interno del liquido. Perciò a questa interfaccia è associata la cosiddetta energia superficiale $U=\sigma S$ dove $S$ è l’area della superficie dell’interfaccia e $\sigma$ è la tensione superficiale del liquido. Inoltre due parti adiacenti della superficie del liquido si attirano reciprocamente con una forza $F=\sigma l$ dove $l$ è la lunghezza del bordo che separa le due parti.

Un lungo capillare metallico con diametro interno $d$ è disposto verticalmente; l’acqua sgocciola lentamente dal forellino della sua estremità inferiore, come puoi vedere in figura. Si può considerare l’acqua come un conduttore elettrico; la sua tensione superficiale è $\sigma$ e la sua densità è $\rho$. Assumi sempre che $d\ll r$. Con $r$ si indica il raggio di una goccia che pende dal forellino e che cresce lentamente nel tempo fino a quando si separa dal capillare a causa dell’accelerazione di gravità $g$. Parte A. Capillare singolo (4 punti) i. (1.2 punti) Trova il raggio $r_{\text{max}}$ di una goccia subito prima che si stacchi dal capillare. ii. (1.2 punti) Sia $\phi$ il potenziale elettrostatico del capillare, avendo posto a zero il potenziale elettrico a grande distanza. Trova la carica $Q$ quando il raggio della goccia è $r$. iii. (1.6 punti) In questa domanda, assumi che $r$ sia mantenuto costante e che $\phi$ venga aumentato lentamente. Se la pressione idrostatica al suo interno diventa più piccola della pressione atmosferica allora la goccia diventa instabile e si rompe in più parti. Trova il potenziale critico ${\phi }_{\text{max}}$ a cui accadrà ciò.

Parte B. Due capillari (4 punti) Un apparato chiamato “Gocciolatore di Kelvin” consiste di due capillari (identici a quello descritto nella Parte A), collegati attraverso una giunzione a T, come in figura. Le estremità di entrambi i capillari sono al centro di due elettrodi cilindrici (con altezza $L$ e diametro $D$, $L\gg D\gg r$); da entrambi i capillari cadono $n$ gocce per unità di tempo. Le gocce cadono da una altezza $H$ all’interno di recipienti conduttori posti sotto i forellini, e collegati agli elettrodi come mostrato in figura; gli elettrodi sono connessi attraverso una capacità $C$. Non c’è alcuna carica netta sul sistema dei recipienti e degli elettrodi. Si noti che il contenitore superiore dell’acqua è posto a terra. La prima goccia a cadere avrà una carica molto piccola che provocherà uno sbilanciamento tra le due parti del sistema e di conseguenza una piccola separazione di carica attraverso il condensatore. i. (1.2 punti) Esprimi il modulo della carica $Q_0$ delle gocce che si staccano dai capillari nell’istante in cui la carica nel condensatore è $q$ in funzione di $r_{\text{max}}$ (della Parte A-i). Trascura gli effetti descritti nella Parte A-iii. ii. (1.5 punti) Trova la dipendenza di $q$ dal tempo $t$ approssimandola con una funzione continua $q(t)$ e assumendo che $q(0)=q_0$. iii. (1.3 punti) Il funzionamento del gocciolatore può essere ostacolato dall’effetto mostrato nella Parte A-iii. Inoltre, la repulsione elettrostatica fra una goccia e il recipente sottostante fa sì che la differenza di potenziale fra i due elettrodi abbia un limite superiore $U_{\text{max}}$; trova $U_{\text{max}}$.

p.4 — Apparato gocciolatore di Kelvin con elettrodi

Topic: Electrostatics, Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Electric Potential Method, Hydrostatic Equilibrium, Differential Equations, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Tube, Droplet, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Problem T2. Kelvin Water Dropper (8 points)

For the solution of this problem, the following information about surface tension may be useful. For molecules of a liquid, positions at the liquid-air interface are less favorable than those within the bulk of the liquid. Therefore, a quantity known as surface energy $U=\sigma S$ is associated with this interface, where $S$ is the area of the interface surface and $\sigma$ is the surface tension of the liquid.

Moreover, two adjacent parts of the liquid surface mutually attract each other with a force $F=\sigma l$, where $l$ is the length of the boundary separating the two parts.

A long metallic capillary with internal diameter $d$ is placed vertically; water drips slowly from the small hole at its lower end, as shown in the figure. Water may be considered an electrical conductor; its surface tension is $\sigma$ and its density is $\rho$. Always assume that $d\ll r$. Here, $r$ denotes the radius of a drop hanging from the hole and growing slowly over time until it detaches due to gravitational acceleration $g$.

Part A. Single Capillary (4 points) i. (1.2 points) Find the radius $r_{\text{max}}$ of a drop just before it detaches from the capillary. ii. (1.2 points) Let $\phi$ be the electrostatic potential of the capillary, with zero electric potential set at large distance. Find the charge $Q$ when the drop’s radius is $r$. iii. (1.6 points) In this question, assume that $r$ is kept constant and that $\phi$ is increased slowly. If the internal hydrostatic pressure becomes smaller than atmospheric pressure, then the drop becomes unstable and breaks into multiple parts. Find the critical potential ${\phi }_{\text{max}}$ at which this occurs.

Part B. Two Capillaries (4 points) An apparatus known as a “Kelvin dropper” consists of two capillaries (identical to the one described in Part A), connected via a T-junction, as shown in the figure. The ends of both capillaries are located at the center of two cylindrical electrodes (height $L$ and diameter $D$, $L\gg D\gg r$); from both capillaries, $n$ drops fall per unit time. The drops fall from a height $H$ into conducting containers located beneath the orifices, connected to electrodes as shown in the figure; the electrodes are connected through a capacitance $C$. There is no net charge on the system of containers and electrodes.

Note that the upper container of water is grounded. The first drop to fall will carry a very small charge, causing an imbalance between the two parts of the system and thus inducing a small separation of charge across the capacitor.

i. (1.2 points) Express the magnitude of the charge $Q_0$ carried by the drops detaching from the capillaries at the instant when the charge on the capacitor is $q$, in terms of $r_{\text{max}}$ (from Part A-i). Neglect the effects described in Part A-iii.

ii. (1.5 points) Find the dependence of $q$ on time $t$, approximating it with a continuous function $q(t)$ and assuming that $q(0)=q_0$.

iii. (1.3 points) The operation of the dropper may be hindered by the effect shown in Part A-iii. Moreover, the electrostatic repulsion between a drop and the underlying container causes the potential difference across the two electrodes to have an upper limit $U_{\text{max}}$; find $U_{\text{max}}$.

p.4 — Kelvin dropper apparatus with electrodes

Solution: Soluzioni (PDF)

Problema T3. Formazione di una protostella (9 punti) Modellizziamo la formazione di una stella come segue. Una nube sferica di gas interstellare rarefatto, inizialmente a riposo, comincia a collassare a causa della sua stessa gravità. Il raggio iniziale della sfera è $r_0$ e la sua massa è $m$. La temperatura al di fuori della nube (dove il gas è molto più rarefatto del gas della nube) e la temperatura iniziale del gas della nube è uniformemente $T_0$. Il gas può essere trattato come un gas perfetto. La massa molare media del gas è $\mu$ e il rapporto tra i calori molari è $\gamma >\frac{4}{3}$. Assumi che $GM\mu /r_0\gg R{T}_0$, dove $R$ è la costante dei gas e $G$ è la costante di gravitazione universale. i. (0.8 punti) Durante la maggior parte del processo di collasso, il gas è così trasparente che qualsiasi calore generato è immediatamente irradiato verso l’esterno, ovvero la sfera è in equilibrio termodinamico con l’esterno. Di quante volte ($n$) aumenta la pressione se si dimezza il raggio ($r_1=0.5r_0$)? Assumi che la densità del gas rimanga uniforme. ii. (1 punto) Stima il tempo $t_2$ necessario perché il raggio della nube diminuisca da $r_0$ ad $r_2=0.95r_0$. Trascura la variazione del campo gravitazionale nel tratto percorso da una particella di gas durante questa fase della caduta. iii. (2.5 punti) Facendo l’ipotesi che la pressione rimanga trascurabile, trova il tempo $t_{r\to 0}$ necessario affinché la sfera collassi da un raggio $r_0$ ad un raggio molto più piccolo, usando le Leggi di Keplero per le orbite ellittiche. iv. (1.7 punti) Per un certo valore del raggio $r_3\ll r_0$, il gas diventa sufficientemente denso da diventare opaco alla radiazione termica. Calcola la quantità di calore $Q$ irraggiato verso l’esterno durante il collasso dal raggio $r_0$ fino al raggio $r_3$. v. (1 punto) Per raggi più piccoli di $r_3$ puoi trascurare l’irraggiamento. Determina in che modo la temperatura $T$ della sfera dipende dal suo raggio $r<r_3$. vi. (2 punti) Alla fine del processo non possiamo più trascurare l’effetto della pressione sulla dinamica del gas, infatti il collasso si ferma ad un raggio $r=r_4$ (dove $r_4\ll r_3$). Tuttavia, l’irraggiamento può essere ancora trascurato e la temperatura non è ancora sufficientemente alta da innescare la fusione nucleare. La pressione di tale protostella non è più uniforme, ma una stima grossolana, a meno di fattori numerici moltiplicativi, può essere fatta ugualmente. Stima il raggio finale $r_4$ e la rispettiva temperatura $T_4$.

Topic: Astrophysics, Gravitation, Thermodynamics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Ideal Gas Law, Kepler’s Laws, First Law of Thermodynamics, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Gas, Star Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Problem T3. Formation of a Protostar (9 points) We model the formation of a star as follows. A spherical cloud of rarefied interstellar gas, initially at rest, begins to collapse under its own gravity. The initial radius of the sphere is $r_0$ and its mass is $m$. The temperature outside the cloud (where the gas is much more rarefied than in the cloud) and the initial temperature of the cloud’s gas are uniformly $T_0$. The gas may be treated as an ideal gas. The average molar mass of the gas is $\mu$ and the ratio of heat capacities is $\gamma >\frac{4}{3}$. Assume that $GM\mu /r_0\gg R{T}_0$, where $R$ is the gas constant and $G$ is the gravitational constant.

i. (0.8 points) During most of the collapse process, the gas is so transparent that any heat generated is immediately radiated outward, meaning the sphere is in thermodynamic equilibrium with the outside. By what factor ($n$) does the pressure increase if the radius is halved ($r_1=0.5r_0$)? Assume that the gas density remains uniform.

ii. (1 point) Estimate the time $t_2$ required for the cloud’s radius to decrease from $r_0$ to $r_2=0.95r_0$. Neglect the variation of the gravitational field over the distance traveled by a gas particle during this phase of fall. iii. (2.5 points) Assuming that pressure remains negligible, find the time $t_{r\to 0}$ required for the sphere to collapse from radius $r_0$ to a much smaller radius, using Kepler’s laws for elliptical orbits.

iv. (1.7 points) For a certain value of the radius $r_3\ll r_0$, the gas becomes dense enough to become opaque to thermal radiation. Calculate the amount of heat $Q$ radiated outward during the collapse from radius $r_0$ to radius $r_3$.

v. (1 point) For radii smaller than $r_3$, radiation can be neglected. Determine how the temperature $T$ of the sphere depends on its radius $r<r_3$.

vi. (2 points) At the end of the process, we can no longer neglect the effect of pressure on the gas dynamics; indeed, the collapse halts at a radius $r=r_4$ (where $r_4\ll r_3$). However, radiation can still be neglected and the temperature is not yet high enough to trigger nuclear fusion. The pressure in this protostar is no longer uniform, but a crude estimate—up to multiplicative numerical factors—can still be made. Estimate the final radius $r_4$ and the corresponding temperature $T_4$.

Solution: Soluzioni (PDF)