IPhO 2016 Internazionale Teorica — IPhO16 - Theory Q1

Due problemi di Meccanica (10 punti)

Parte A. Il disco nascosto (3.5 punti)

Si consideri un disco solido di legno di raggio $r_1$ e spessore $h_1$. Da qualche parte al suo interno il legno è stato sostituito da un disco di metallo di raggio $r_2$ e spessore $h_2$. Il disco di metallo è posizionato in maniera tale che il suo asse di simmetria $B$ è parallelo all’asse di simmetria $S$ del disco di legno, e si trova alla stessa distanza dalle due facce del disco di legno. Sia $d$ la distanza tra $S$ e $B$. La densità del legno è ${\rho }_1$, la densità del metallo è ${\rho }_2>{\rho }_1$. La massa complessiva del disco di legno e del disco di metallo al suo interno è $M$.

In questo problema, il disco si trova su un piano in modo che può liberamente ruotare a destra e a sinistra. In Fig. 1 sono mostrate una vista laterale e una vista dall’alto del dispositivo.

L’obiettivo di questo problema è di determinare la dimensione e la posizione del disco di metallo.

Nel seguito, quando viene richiesto di esprimere il risultato in termini di quantità note, devi sempre assumere che le seguenti grandezze siano note:

$r_1,h_1,{\rho }_1,{\rho }_2,M.(1)$

L’obiettivo è di determinare $r_2$, $h_2$ e $d$, attraverso misure indirette.

Sia $b$ la distanza tra il centro di massa $C$ dell’intero sistema e l’asse di simmetria $S$ del disco di legno. Allo scopo di determinare questa distanza, progettiamo il seguente esperimento: si collochi il disco di legno su una base orizzontale in modo tale che si trovi in equilibrio stabile. Ora si inclini leggermente la base di un angolo $\Theta$ (vedasi Fig. 2). A causa della presenza dell’attrito statico il cilindro di legno può rotolare liberamente senza slittare. Esso rotolerà di poco verso il basso lungo il piano inclinato e poi si fermerà in una situazione di equilibrio stabile dopo essere ruotato di un angolo $\varphi$ che è possibile misurare.

A.1 (0.8 pt) Scrivere un’espressione di $b$ in funzione delle grandezze indicate in (1), dell’angolo $\varphi$ e dell’angolo di inclinazione $\Theta$ del piano inclinato.

Da ora in avanti si può assumere che il valore di $b$ sia noto.

Ora si vuole determinare il momento di inerzia $I_S$ del sistema rispetto all’asse di simmetria $S$. Per questo scopo il disco di legno viene sospeso al suo asse di simmetria mediante un’asta rigida. Quindi il disco viene ruotato dalla sua posizione di equilibrio di un piccolo angolo $\varphi$, e lasciato andare (Fig. 3). Si trova che $\varphi$ descrive un moto periodico di periodo $T$.

A.2 (0.5 pt) Trovare l’equazione del moto dell’angolo $\varphi$. Esprimere il momento di inerzia $I_S$ del sistema rispetto all’asse di simmetria $S$ in funzione di $T$, $b$ e delle grandezze note indicate in (1). Si può assumere che ci si sposta dalla posizione di equilibrio solamente di piccole quantità cosicché $\varphi$ è sempre molto piccolo.

Dai risultati ricavati nelle domande A.1 e A.2, si vuole determinare la geometria e la posizione del disco di metallo interno al disco di legno.

A.3 (0.4 pt) Ricavare un’espressione della distanza $d$ in funzione di $b$ e delle grandezze indicate in (1). Nella tua espressione puoi anche includere le grandezze $r_2$ e $h_2$ come variabili, poiché esse saranno successivamente determinate nella domanda A.5.

A.4 (0.7 pt) Ricavare un’espressione per il momento di inerzia $I_S$ in funzione di $b$ e delle grandezze note indicate in (1). Nella tua espressione puoi anche includere le grandezze $r_2$ e $h_2$ come variabili, poiché esse saranno successivamente determinate nella domanda A.5.

A.5 (1.1 pt) Usando tutti i risultati precedenti, scrivere un’espressione per $h_2$ e $r_2$ in funzione di $b$, $T$ e delle grandezze note indicate in (1). Puoi esprimere $h_2$ come una funzione di $r_2$.

Vista laterale e dall’alto disco legno-metallo

Disco su piano inclinato angolo Theta

Disco sospeso oscillazione angolo phi

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**Two problems of Mechanics (10 points) **

**Parte A. The hidden disk (3.5 points) **

A solid disc of wood of $r_1$ radius and $h_1$ thickness shall be considered. Somewhere inside the wood was replaced by a metal disc of $r_2$ radius and $h_2$ thickness. The metal disc is positioned in such a way that its axis of symmetry $B$ is parallel to the axis of symmetry $S$ of the wood disc, and is at the same distance from the two faces of the wood disc. Sia $d$ la distanza tra $S$ e $B$. The wood density is ${\rho }_1$, the metal density is ${\rho }_2>{\rho }_1$. The total mass of the wood disc and the metal disc within it is $M$.

In this problem, the disk is on a plane so that it can freely rotate to the right and left. In Fig. 1 side view and a view from the top of the device are shown.

The objective of this problem is to determine the size and position of the metal disk.

In the following, when you are asked to express the result in terms of known quantities, you must always assume that the following quantities are known:

$r_1,h_1,{\rho }_1,{\rho }_2,M.(1)$

The objective is to determine $r_2$, $h_2$ and $d$, by indirect measurements.

The distance between the centre of mass of the entire system $C$ and the axis of symmetry of the wood disc $S$ shall be $b$. To determine this distance, we design the following experiment: place the wood disk on a horizontal base so that it is in stable equilibrium. Now lean the base of an angle $\Theta$ slightly (see Fig. 2). Due to the presence of static friction the wooden cylinder can roll freely without slipping. It will roll slightly downward along the slope and then stop in a stable equilibrium position after being rotated at an angle $\varphi$ that can be measured.

A.1 (0.8 pt) Write an expression of $b$ according to the dimensions indicated in (1), the angle $\varphi$ and the angle of inclination $\Theta$ of the slope plane.

From now on it can be assumed that the value of $b$ is known.

Now you want to determine the moment of inertia $I_S$ of the system with respect to the axis of symmetry $S$. For this purpose, the wood disc is suspended to its axis of symmetry by means of a rigid axis. So the disk is rotated from its equilibrium position of a small angle $\varphi$, and let go (Fig. 3). It is found that $\varphi$ describes a periodic motion of $T$ period.

A.2 (0.5 pt) Find the equation of the angle motion $\varphi$. Express the system moment of inertia $I_S$ with respect to the axis of symmetry $S$ in terms of $T$, $b$ and the known quantities indicated in (1). It can be assumed that we move from the equilibrium position only by small amounts so $\varphi$ is always very small.

Dai risultati ricavati nelle domande A.1 e A.2, si vuole determinare la geometria e la posizione del disco di metallo interno al disco di legno.

A.3 (0.4 pt) Find an expression of the distance $d$ in relation to $b$ and the quantities indicated in (1). In your expression you can also include the values $r_2$ and $h_2$ as variables, as they will be determined later in question A.5.

A.4 (0.7 pt) Find an expression for the moment of inertia $I_S$ in relation to $b$ and the known quantities indicated in (1). In your expression you can also include the values $r_2$ and $h_2$ as variables, as they will be determined later in question A.5.

A.5 (1.1 pt) Using all the previous results, write an expression for $h_2$ and $r_2$ in relation to $b$, $T$ and the known quantities indicated in (1). You can express $h_2$ as a function of $r_2$.

Side view and from the wood-metal upper disc

Disco su piano inclinato angolo Theta

Disco sospeso oscillazione angolo phi

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Parte B. Stazione Spaziale Rotante (6.5 punti)

Alice è un’astronauta che vive in una stazione spaziale. La stazione spaziale è una gigantesca ruota di raggio $R$ che gira intorno al proprio asse, generando in questo modo una gravità artificiale per gli astronauti. Gli astronauti vivono nella parte interna del cerchione della ruota. Possono essere trascurati l’attrazione gravitazionale della stazione spaziale e localmente la curvatura della pavimentazione.

B.1 (0.5 pt) Con quale velocità angolare ${\omega }_{ss}$ la stazione spaziale deve ruotare in modo tale che gli astronauti percepiscano la stessa gravità $g_E$ che percepirebbero sulla superficie terrestre?

Alice e il suo amico astronauta Bob hanno una disputa. Bob non crede che si trovino effettivamente dentro una stazione spaziale e ritiene di essere sulla Terra. Alice, usando argomenti di fisica, vuole dimostrare a Bob che si trovano dentro ad una stazione spaziale rotante. A tal fine, appende una massa $m$ ad una molla di costante elastica $k$ e la mette in oscillazione. La massa può oscillare solamente in direzione verticale e non può muoversi in direzione orizzontale.

B.2 (0.2 pt) Assumendo che sulla Terra la gravità sia costante e valga $g_E$, quale sarebbe la frequenza di oscillazione ${\omega }_E$ del sistema misurata da una persona che si trova sulla Terra?

B.3 (0.6 pt) Qual è la frequenza di oscillazione $\omega$ misurata da Alice sulla stazione spaziale?

Alice è convinta che il suo esperimento dimostri che si trovano dentro una stazione spaziale rotante. Bob rimane scettico. Egli controbatte che se si prendesse in considerazione la variazione della gravità sulla superficie terrestre si otterrebbero risultati analoghi. Nel successivo passaggio studieremo se Bob ha ragione.

B.4 (0.8 pt) Ricava un’espressione per la gravità $g_E(h)$ per piccole altezze $h$ sopra la superficie terrestre e calcola la frequenza di oscillazione ${\tilde{\omega }}_E$ della massa oscillante (un’approssimazione lineare è più che sufficiente). Indica con $R_E$ il raggio della Terra. Trascura la rotazione della Terra.

Effettivamente, per questa stazione spaziale Alice trova che il pendolo a molla oscilla con la frequenza prevista da Bob.

B.5 (0.3 pt) Per quale raggio $R$ della stazione spaziale la frequenza di oscillazione $\omega$ è uguale alla frequenza di oscillazione ${\tilde{\omega }}_E$ sulla Terra? Esprimi la tua risposta in funzione di $R_E$.

Esasperata dalla testardaggine di Bob, Alice suggerisce un ulteriore esperimento per provare il suo punto di vista. A tal fine sale sulla cima di una torre di altezza $H$ rispetto al pavimento della stazione spaziale e lascia cadere una massa. Questo esperimento può essere spiegato sia nel sistema di riferimento rotante così come in un sistema di riferimento inerziale.

In un sistema di riferimento rotante in modo uniforme, gli astronauti percepiscono una forza fittizia ${\vec{F}}_C$ detta forza di Coriolis. La forza ${\vec{F}}_C$ che agisce su un oggetto di massa $m$ che si muove con velocità $\vec{v}$ in un riferimento rotante con velocità angolare costante ${\vec{\omega }}_{ss}$ è data da

${\vec{F}}_C=2m\vec{v}\times {\vec{\omega }}_{ss}.(2)$

In termini di grandezze scalari si ha

$F_C=2mv{\omega }_{ss}\sin \varphi ,(3)$

dove $\varphi$ è l’angolo tra la velocità e l’asse di rotazione. La forza è perpendicolare sia alla velocità $v$ che all’asse di rotazione. Il verso della forza può essere determinato con la regola della mano destra, ma in quello che segue lo puoi scegliere a tuo piacimento.

B.6 (1.1 pt) Calcola la velocità orizzontale $v_x$ e lo spostamento orizzontale $d_x$ (relativo alla base della torre, in direzione perpendicolare alla torre stessa) della massa nell’istante in cui tocca la pavimentazione. Puoi assumere che l’altezza $H$ della torre sia piccola, così che l’accelerazione misurata dagli astronauti sia costante durante la caduta. Inoltre puoi assumere che sia $d_x\ll H$.

Per ottenere un buon risultato, Alice decide di condurre questo esperimento da una torre molto più alta della precedente. Con sua sorpresa, la massa tocca la pavimentazione alla base della torre, così che $d_x=0$.

B.7 (1.3 pt) Trova la minima altezza della torre per la quale accade che $d_x=0$.

Alice è desiderosa di fare un ultimo tentativo per convincere Bob. Vuole usare il suo precedente oscillatore a molla per mostrare gli effetti della forza di Coriolis. A tal fine modifica il montaggio precedente: attacca la molla a un anello che può scivolare liberamente lungo un’asta orizzontale in direzione $x$ senza attrito. La molla oscilla in direzione $y$. L’asta è parallela alla pavimentazione e perpendicolare all’asse di rotazione della stazione spaziale. Il piano $xy$ è così perpendicolare all’asse di rotazione, con la direzione $y$ che punta diritta verso il centro di rotazione della stazione.

B.8 (1.7 pt) Alice spinge la massa a distanza $d$ verso il basso rispetto al punto di equilibrio $x=0$, $y=0$, e poi la lascia andare (vedi Fig. 5).

• Fornisci un’espressione algebrica per $x(t)$ e $y(t)$. Puoi assumere che la quantità ${\omega }_{ss}d$ sia piccola, e trascurare la forza di Coriolis per il moto lungo l’asse $y$.
• Disegna la traiettoria $(x(t),y(t))$, evidenziando tutte le caratteristiche importanti come per esempio l’ampiezza.

Alice e Bob continuano a litigare.

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**Parte B. Rotating Space Station (6.5 points) **

Alice is an astronaut who lives on a space station. La stazione spaziale è una gigantesca ruota di raggio $R$ che gira intorno al proprio asse, generando in questo modo una gravità artificiale per gli astronauti. Astronauts live in the inner circle of the wheel. The gravitational pull of the space station and the curvature of the floor can be overlooked locally.

B.1 (0.5 pt) Con quale velocità angolare ${\omega }_{ss}$ la stazione spaziale deve ruotare in modo tale che gli astronauti percepiscano la stessa gravità $g_E$ che percepirebbero sulla superficie terrestre?

Alice and her astronaut friend Bob have a fight. Bob doesn’t believe they’re actually inside a space station and believes they’re on Earth. Alice, using physics arguments, wants to prove to Bob that they’re inside a rotating space station. To this end, it applies a mass $m$ to a spring of an elastic constant $k$ and sets it in oscillation. The mass can only oscillate vertically and cannot move horizontally.

B.2 (0.2 pt) Assumendo che sulla Terra la gravità sia costante e valga $g_E$, quale sarebbe la frequenza di oscillazione ${\omega }_E$ del sistema misurata da una persona che si trova sulla Terra?

B.3 (0.6 pt) Qual è la frequenza di oscillazione $\omega$ misurata da Alice sulla stazione spaziale?

Alice is convinced that her experiment shows that they are inside a rotating space station. Bob remains skeptical. He countered that if the gravity change on the earth’s surface were taken into account, similar results would be obtained. In the next step, we’ll see if Bob’s right.

B.4 (0.8 pt) Takes an expression for the gravity $g_E(h)$ for small heights $h$ above the earth’s surface and calculates the oscillating frequency ${\tilde{\omega }}_E$ of the oscillating mass (a linear approximation is more than sufficient). Indicates the radius of the Earth with $R_E$. It traces the rotation of the Earth.

Indeed, for this space station Alice finds that the spring pendulum oscillates at the frequency predicted by Bob.

B.5 (0.3 pt) Per quale raggio $R$ della stazione spaziale la frequenza di oscillazione $\omega$ è uguale alla frequenza di oscillazione ${\tilde{\omega }}_E$ sulla Terra? Express your answer in terms of $R_E$.

Angered by Bob’s stubbornness, Alice suggests another experiment to prove her point. To do so, he climbs to the top of a tower $H$ above the space station floor and drops a mass. This experiment can be explained in both a rotating reference system and an inertial reference system.

In un sistema di riferimento rotante in modo uniforme, gli astronauti percepiscono una forza fittizia ${\vec{F}}_C$ detta forza di Coriolis. The force ${\vec{F}}_C$ acting on an object of mass $m$ moving at a speed $\vec{v}$ in a rotating reference with a constant angular speed ${\vec{\omega }}_{ss}$ is given by

${\vec{F}}_C=2m\vec{v}\times {\vec{\omega }}_{ss}.(2)$

In terms of scalar magnitudes,

$F_C=2mv{\omega }_{ss}\sin \varphi ,(3)$

where $\varphi$ is the angle between the speed and the axis of rotation. The force is perpendicular to both the speed $v$ and the axis of rotation. The direction of force can be determined by the right-hand rule, but in the following you can choose it as you please.

B.6 (1.1 pt) Calculates the horizontal speed $v_x$ and the horizontal displacement $d_x$ (relative to the base of the tower, perpendicular to the tower itself) of the mass at the moment the floor is touched. Puoi assumere che l’altezza $H$ della torre sia piccola, così che l’accelerazione misurata dagli astronauti sia costante durante la caduta. You can also assume that it’s $d_x\ll H$.

To get a good result, Alice decides to conduct this experiment from a much higher tower than the previous one. To his surprise, the mass touches the floor at the base of the tower, so that $d_x=0$.

B.7 (1.3 pt) Find the minimum height of the tower for which $d_x=0$ occurs.

Alice is eager to make one last attempt to convince Bob. He wants to use his previous spring oscillator to show the effects of Coriolis’ force. To this end, modify the previous assembly: attach the spring to a ring that can slide freely along a horizontal axis in the direction $x$ without friction. The spring shall oscillate in the direction $y$. The axis is parallel to the floor and perpendicular to the rotation axis of the space station. The $xy$ plane is thus perpendicular to the axis of rotation, with the direction $y$ pointing straight towards the centre of rotation of the station.

B.8 (1.7 pt) Alice pushes the mass at a distance $d$ downwards from the equilibrium point $x=0$, $y=0$, and then lets it go (see Fig. 5).

• Provide an algebraic expression for $x(t)$ and $y(t)$. You can assume that the amount ${\omega }_{ss}d$ is small, and ignore the Coriolis force for the motion along the $y$ axis.
• Draw the trajectory $(x(t),y(t))$, highlighting all the important features such as width.

Alice e Bob continuano a litigare.

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Gravitation Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Simple Harmonic Motion Analysis, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Wheel Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)