IPhO 2026

Problem 1 Coastal mapping (MC problem) (5.0 pts.) With the help of lasers mounted on aircraft, coastal waters can be mapped. To do this, short laser pulses are emitted in various directions, which are diffusely reflected partly at the water surface and partly at the sea bed. As a result, part of the emitted light returns to the aircraft, where it is detected and analyzed. Consider an aircraft flying at a constant altitude along a stretch of coast. The following graph shows the signal strength of the reflected signal of a laser pulse as a function of time. The time origin is chosen so that the entire reflected signal is displayed. Assume that the laser pulse strikes the water surface at an angle of incidence of $40^{\circ }$ and that the refractive index of the water is 1.33. Fig. 1. Illustration of the mapping with a laser (image source GEUS). Time in ns Signal strength in arbitrary units Fig. 2. Signal strength as a function of time (the point $t=0$ is arbitrary). How deep is the water at the location under investigation? A 2.7 m B 3.1 m C 4.1 m D 6.1 m Answer section Calculations and explanations 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Calculations and explanations (continued) Correct answer: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 1 Mapping costiero (problema MC) (5,0 p. d.) Con l’aiuto di laser montati su aerei, le acque costiere possono essere

• Mappa. Per fare questo, vengono emessi brevi impulsi laser Le direzioni di questo tipo sono diffuse, in parte sulla superficie dell’acqua e in parte sul fondo del mare. Di conseguenza, parte della luce emessa ritorna all’aeromobile, dove viene rilevata e analizzata. Considerate un aereo che vola ad altitudine costante lungo un tratto di costa. Il grafico seguente mostra la forza del segnale del segnale riflesso di un impulso laser come funzione
• Non è tempo. Il tempo di origine è scelto in modo che il è visualizzato un segnale intero riflesso. Supponiamo che il laser pulse colpisca la superficie dell’acqua ad un angolo di incidenza di $40^{\circ }$ e che l’indice di rifrazione dell’acqua è di 1,33. Fig. 1. Illocalizzazione del mapping with a laser (Image source GEUS) Tempo in ns Signal strength in unità arbitrarie Fig. 2. Signal strength as a function of time (il punto $t=0$ è arbitrario). Quanto profondo è l’acqua al luogo in esame? A 2.7 m B 3.1 m C 4.1 m D 6.1 m Answer section Calcoli e spiegazioni

56. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice Calcoli e spiegazioni (continuato) Corretta risposta:
57. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Physical Modeling, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problem 2 Atwood machine (MC problem) (5.0 pts.) Professor Atwood has just returned from a conference, and he is already tinkering with his next experiment: He places a string over a pulley and attaches to each end of the string a body of mass $m$. Assume that the string and the pulley are massless and that the pulley can rotate freely about its central axis. He now holds the axis of the pulley fixed and measures the force $F$ with which he must pull it upward in order to hold the pulley with the bodies in place. Now he hangs, as shown in the figure, an additional body of mass $4m$ on the right-hand mass piece. Again he holds the axis fixed. What is the magnitude of the force $F^{\prime }$ with which, in the situation shown, he must pull on the axis in order to hold it in place? A $\frac{5}{3}F$ B $2F$ C $\frac{5}{2}F$ D $3F$ String Pulley $F^{\prime }$ $m$ $m$ $4m$ Answer section Calculations and explanations Correct answer: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problema 2 Macchina di Atwood (problema a scelta multipla) (5,0 punti)

Il professor Atwood è appena tornato da una conferenza e già si sta dedicando al suo prossimo esperimento: pone una corda sopra una carrucola e attacca a ciascun capo della corda un corpo di massa $m$.

Si assuma che la corda e la carrucola siano prive di massa e che la carrucola possa ruotare liberamente attorno al suo asse centrale. Egli fissa ora l’asse della carrucola e misura la forza $F$ con cui deve tirare verso l’alto per mantenere fissa la carrucola insieme ai corpi.

Ora appende, come mostrato in figura, un ulteriore corpo di massa $4m$ al pezzo di massa sulla destra. Di nuovo fissa l’asse della carrucola.

Qual è il modulo della forza $F^{\prime }$ con cui, nella situazione mostrata, deve tirare sull’asse per mantenerlo fermo?

A $\frac{5}{3}F$ B $2F$ C $\frac{5}{2}F$ D $3F$

Stringa Carrucola $F^{\prime }$ $m$ $m$ $4m$

Sezione risposta Calcoli e spiegazioni Risposta corretta: 56. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

Problem 3 Submerging cup (MC problem) (5.0 pts.) A cup of mass $m=200\text{g}$ with a filling volume $V_0=250\text{mL}$ and a height $H$ is turned upside down and submerged in a large water tank at constant water temperature. As a result, a layer of air is trapped and pushes the cup upward. The density of water is $\rho =1,0\cdot 10^3{\text{kg m}}^{-3}$. Assume that the cup has a cylindrical cross-section and that the thickness of the cup wall and base can be neglected. Assume furthermore that the cup always remains upside down and does not tip to the side. At which depths can the cup float in equilibrium? Here, depth means the difference in the heights of the water levels in the cup and in the tank. A $\frac{1}{5}H$ and 2.6 m B $\frac{1}{5}H$ and 12.9 m C $\frac{4}{5}H$ and 2.6 m D $\frac{4}{5}H$ and 12.9 m Answer section Calculations and explanations Correct answer: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problema 3 Coppa di immersione (problema MC) (5,0 p. d.) Una coppa di massa $m=200\text{g}$ con un volume di riempimento $V_0=250\text{mL}$ e una altezza $H$ è si è trasformata di testa in giù e submersa in un grande serbatoio di acqua a temperatura di acqua costante. Come risultato, Un livello di aria è intrappolato e spinge la tazza verso l’alto. La densità dell’acqua è $\rho =1,0\cdot 10^3{\text{kg m}}^{-3}$. Supponiamo che la coppa abbia una sezione incrociata cilindrica e che lo spessore sia di di coppa, il muro e la base possono essere trascurati. Supponiamo inoltre che La coppa rimane sempre al contrario e non punta al lato. A quali profondità può fluttuare la coppa in equilibrio? Qui, profondità significa la differenza tra le altezze dei livelli di acqua nella tazza e nel serbatoio. A $\frac{1}{5}H$ e 2,6 m B $\frac{1}{5}H$ e 12,9 m C $\frac{4}{5}H$ e 2,6 m D $\frac{4}{5}H$ e 12,9 m Answer section Calcoli e spiegazioni Corretta risposta: 56. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5

Problem 4 Rotated capacitor (MC problem) (5.0 pts.) Two capacitors with capacitances $C_1=2,0\text{nF}$ and $C_2=8,0\text{nF}$ are connected in series, as shown in the following figure, to a voltage source with voltage $U_0=10,0\text{V}$: $U_0$ $C_2$ $C_1$ The capacitors are then disconnected from the voltage source, and one of the capacitors is rotated by $180^{\circ }$. The capacitors are now short-circuited: $C_2$ $C_1$ $C_2$ $C_1$ What voltage appears across the rotated capacitor? A 0 V B 1.6 V C 3.2 V D 5.0 V Answer section Calculations and explanations 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Calculations and explanations (continued) Correct answer: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problema 4 Capacitatore rotato (problema MC) (5,0 p. d.) Due condensatori con capacità $C_1=2,0\text{nF}$ e $C_2=8,0\text{nF}$ sono collegati in serie, come mostrato nel seguente: figure, to a voltage source with voltage $U_0=10,0\text{V}$: $U_0$ $C_2$ $C_1$ I condensatori sono quindi disconnessi dalla fonte di voltage, e uno dei condensatori è rotato da $180^{\circ }$. I condensatori sono ora short-circuited: $C_2$ $C_1$ $C_2$ $C_1$ Che voltage appare attraverso il condensatore rotato? A 0 V B 1.6 V C 3.2 V D 5.0 V Answer section Calcoli e spiegazioni 56. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice Calcoli e spiegazioni (continuato) Corretta risposta: 56. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Electric Potential Method Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problem 5 Lissajous pendulum (MC problem) (5.0 pts.) A simple pendulum is suspended, as sketched alongside, from two strings that converge in a V-shape. The height of the V is equal to the length $\ell$ of the simple pendulum below it. The size of the pendulum bob and the masses of the strings are negligible. The pendulum bob is now slightly displaced from its rest position and released. If one records the motion of the pendulum bob in the horizontal plane, beautiful pictures result. Which of the following pictures could have been produced with the pendulum above? $\ell$ $\ell$ Fig. 3. Sketch of the pendulum setup. A B C D Fig. 4. Candidates for traces of the pendulum bob in the horizontal plane. Answer section Calculations and explanations 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Calculations and explanations (continued) Correct answer: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Pendulum, String Fonte: Testo (PDF) — p.8

Il problema 5 del pendolo di Lissajous (problema MC) (5,0 p. d.) Un semplice pendolo è sospeso, come disegnato insieme, da due stringhe che convergono in forma di V. La altezza di V è pari alla lunghezza $\ell$ del semplice pendolo sotto di esso. Bob e le masse delle corde Le condizioni di lavoro sono trascurabili. Il pendolo Bob è ora leggermente spostato dalla sua posizione di riposo e rilasciato. Se si registra il movimento del pendolo bob in piano orizzontale, belle immagini

• il risultato. Quale delle seguenti immagini potrebbe essere stato prodotto con il pendolo sopra? $\ell$ $\ell$ Fig. 3. Sketch del pendolo di impostazione. A B C D Fig. 4. Candidati per tracce del pendolo bob in piano orizzontale. Answer section Calcoli e spiegazioni

56. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice Calcoli e spiegazioni (continuato) Corretta risposta:
57. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Pendulum, String Fonte: Testo (PDF) — p.8

Problem 6 Freezing water (MC problem) (5.0 pts.) Using a heat pump with an electrical power of 50 W, 2.0 kg of water at a temperature of $0{}^{\circ }\text{C}$ is to be frozen in a thermally perfectly insulated vessel. The outside temperature is $25{}^{\circ }\text{C}$. The enthalpy of fusion of water is $334{\text{kJ kg}}^{-1}$. What minimum time is in any case required for the freezing? A about 6 min B about 11 min C about 15 min D about 20 min Answer section Calculations and explanations Correct answer: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Heat Engine, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 6 Acqua di congelatore (problema MC) (5,0 p. d.) Usare una pompa di calore con una potenza elettrica di 50 W, 2,0 kg di acqua a temperatura di $0{}^{\circ }\text{C}$ è da congelare in un recipiente termicamente perfettamente isolato. La temperatura esterna è $25{}^{\circ }\text{C}$. L’enthalpy of fusion of water è $334{\text{kJ kg}}^{-1}$. Qual è il minimo di tempo necessario per il congelamento? A circa 6 minuti B circa 11 minuti C circa 15 minuti D circa 20 minuti Answer section Calcoli e spiegazioni Corretta risposta: 56. IPhO 2026 - 2° round Codice: Codice

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Heat Engine, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problem 7 Kaon decay (MC problem) (5 pts.) A kaon moving with a speed of 0.80 c, that is, 80 % of the speed of light, in the laboratory frame decays into two pions, which afterward move along and opposite to the original direction of motion of the kaon, respectively. No further particles are produced by the decay. For the rest energies $E_{0,K}$ and $E_{0,\pi }$ of the kaon and the pion, respectively, the relation holds $\kappa =\frac{E_{0,K}}{E_{0,\pi }}=3,68.$ With what speeds do the two pions move after the decay in the laboratory frame? A $-0,039$ c and 0.99 c B $-0,12$ c and 0.98 c C $-0,19$ c and 0.92 c D $-0,21$ c and 0.89 c Answer section Calculations and explanations Correct answer: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Long-answer problems Work on the following two problems also in the boxes provided for them. Unlike the multiple-choice problems, no answer options are given. Describe your solution path so that it is easy to follow but not unnecessarily long. So if, for example, you use the law of conservation of energy, write this down briefly.

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.11

Problema 7 Decadimento del kaone (problema a scelta multipla) (5 punti)

Un kaone in movimento con una velocità di 0,80 c, ossia l’80 % della velocità della luce, nel sistema di laboratorio decade in due pioni, che successivamente si muovono rispettivamente lungo e in senso opposto alla direzione originale del moto del kaone. Nessun altro particella viene prodotta nel decadimento. Per le energie a riposo $E_{0,K}$ e $E_{0,\pi }$ del kaone e del pione, rispettivamente, vale la relazione $\kappa =\frac{E_{0,K}}{E_{0,\pi }}=3,68.$

Con quale velocità si muovono i due pioni dopo il decadimento nel sistema di laboratorio? A $-0,039$ c e 0,99 c B $-0,12$ c e 0,98 c C $-0,19$ c e 0,92 c D $-0,21$ c e 0,89 c

Sezione delle risposte Calcoli ed spiegazioni Risposta corretta: 56. IPhO 2026 - Secondo turno della prova scritta Codice: Codice Problemi a risposta lunga Lavora sui due problemi seguenti anche negli spazi appositi. A differenza dei problemi a scelta multipla, non sono fornite opzioni di risposta. Descrivi il tuo percorso risolutivo in modo chiaro ma non eccessivamente lungo. Quindi, se ad esempio utilizzi la conservazione dell’energia, scrivilo brevemente.

Problem 8 Pencil lead (17.0 pts.) A pencil lead slides, in a vertical homogeneous magnetic field of magnetic flux density $B$, frictionlessly down two parallel, ideally conducting metal rails inclined at an angle $\alpha =30^{\circ }$ to the horizontal. The spacing of the rails is $L=10\text{cm}$ and the overhang of the lead beyond the metal rails can be neglected. An ideal voltage source of voltage $U_0=10\text{mV}$ with a switch is connected to the rails. The lead, rails, switch, and voltage source together form a circuit. The setup is sketched in Figure 5. Fig. 5. Sketch of the sliding pencil lead When the switch is closed, the pencil lead remains at rest. When the switch is opened, the lead continues to slide. Use for the resistivity of the lead the value ${\rho }_{el}=5,0\cdot 10^{-6}\Omega \text{m}$ and for the density $\rho =2,3\cdot 10^3{\text{kg m}}^{-3}$. 8.a) State whether the front or the rear rail in the figure is connected to the positive pole of the DC voltage source and justify this physically. (2.0 pts.) 8.b) Determine the magnitude $B$ of the magnetic flux density and check the correctness of the units of your result with a unit check. (8.0 pts.) 8.c) Determine the steady-state speed $v_H$ with which the pencil lead slides down the incline when the flux density of the magnetic field is halved. Carry out a unit check for the result. (7.0 pts.) 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Answer section 8.a) Calculations and explanations 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code 8.b) Calculations and explanations Expression and value for the magnetic flux density with unit check: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code 8.c) Calculations and explanations Expression and value for the steady-state speed with unit check: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code

Topic: Electromagnetic Induction, Newtonian Mechanics Metodi: Faraday’s Law of Induction, Lorentz Force Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod, Wire, Battery, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.12

Problema 8 Penna di grafite (17,0 punti) Una punta di grafite scivola, in un campo magnetico omogeneo verticale di densità del flusso magnetico $B$, senza attrito lungo due binari metallici paralleli, ideali conduttori, inclinati di un angolo $\alpha =30^{\circ }$ rispetto all’orizzontale. La distanza tra i binari è $L=10\text{cm}$ e il tratto di punta che sporge oltre i binari può essere trascurato. Un generatore ideale di tensione con tensione $U_0=10\text{mV}$, dotato di interruttore, è collegato ai binari. La punta, i binari, l’interruttore e il generatore formano un circuito. L’impianto è rappresentato nella Figura 5.

Fig. 5. Rappresentazione schematica della punta di grafite che scivola

Quando l’interruttore è chiuso, la punta di grafite rimane ferma. Quando l’interruttore è aperto, la punta continua a scivolare. Utilizzare per la resistività della punta il valore ${\rho }_{el}=5,0\cdot 10^{-6}\Omega \text{m}$ e per la densità $\rho =2,3\cdot 10^3{\text{kg m}}^{-3}$.

8.a) Indicare se il binario anteriore o posteriore nella figura è collegato al polo positivo della sorgente di tensione continua e giustificare fisicamente questa scelta. (2,0 punti) 8.b) Determinare il modulo $B$ della densità del flusso magnetico e verificare la correttezza delle unità di misura del risultato mediante un controllo dimensionale. (8,0 punti) 8.c) Determinare la velocità di regime $v_H$ con cui la punta di grafite scivola lungo il piano inclinato quando la densità del flusso magnetico viene dimezzata. Effettuare un controllo dimensionale del risultato. (7,0 punti)

56. IPhO 2026 - Esame secondo turno Codice: Codice Sezione delle risposte 8.a) Calcoli e spiegazioni
57. IPhO 2026 - Esame secondo turno Codice: Codice 8.b) Calcoli e spiegazioni Espressione e valore per la densità del flusso magnetico con controllo delle unità di misura:
58. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice 8.c) Calcoli e spiegazioni Espressione e valore per la velocità a regime con controllo delle unità di misura:
59. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

Problem 9 Swing-by maneuver and Pioneer anomaly (18.0 pts.) The space probe Pioneer 10 was launched in 1972 to explore the outer solar system and was intended to be one of the first spacecraft to leave the solar system for good. By now it is located about 140 astronomical units from the Sun. After launch, Pioneer 10 left the gravitational field of the Earth with a speed of $v_0=9,4{\text{km s}}^{-1}$ relative to the Earth and tangential to its orbit. From there the probe flew toward Jupiter in order to perform a swing-by maneuver that was to enable it to leave the solar system. In the following, consider all processes within the ecliptic and assume that the planets orbit the Sun on circular orbits in the same sense of rotation. In addition, the following values can be used for the work: Radius of the Earth’s orbit (astronomical unit) $1\text{AE}=149,6\cdot 10^6\text{km}$ Radius of Jupiter’s orbit $r_J=5,2\text{AE}$ Mass of the Sun $M_S=1,99\cdot 10^{30}\text{kg}$ Solar constant (power of the solar radiation at the Earth’s orbit) $E_0=1367{\text{W m}}^{-2}$ 9.a) Determine the orbital speed $v_2$ with which the probe arrived at the orbit of the planet Jupiter. Assume that only the gravitational force of the Sun acts on the probe. Determine the velocity components $v_{2,\varphi }$ tangential and $v_{2,r}$ perpendicular to Jupiter’s orbit. (6.0 pts.) With the help of a flight maneuver through Jupiter’s gravitational field, the space probe was able to increase its speed relative to the Sun considerably. Assume that this swing-by maneuver was carried out in such a way that the probe can leave the solar system with the highest possible speed. You may also assume that the time during which Pioneer 10 interacts gravitationally with Jupiter is small compared with the orbital period and that during the maneuver the gravitational force between the probe and Jupiter is dominant. 9.b) Determine the radial speed $v_r(r)$ and in particular the limiting speed $v_r(\infty )$ of the probe after the swing-by maneuver as a function of the distance $r$ to the Sun. (6.0 pts.) After the probe in 1980, at 20 AE, had moved far enough away from the Sun to be able to predict the influence of various forces accurately enough, an inexplicable, tiny component was discovered in its acceleration. This so-called Pioneer anomaly has given rise to numerous speculations about possible modifications of the laws of nature. The strongest force on the probe, whose mass can be assumed to be 241 kg, is, after gravitation, caused by the radiation pressure from the solar radiation. The parabolic antenna, which has a diameter of $d=2,77\text{m}$ and at larger distances points approximately toward the Sun, absorbs 20 % of the sunlight and reflects the rest back toward the Sun. 9.c) Determine approximately what acceleration results from the radiation pressure of the Sun on the probe at a distance $r\gg 1\text{AE}$ from the Sun. State how large the contribution was in 1990 for $r=50\text{AE}$ and compare it with the acceleration due to gravitation in the gravitational field of the Sun. (6.0 pts.) 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code The observed, unexplained acceleration was indeed of a similar order of magnitude, but pointed toward the Sun. Therefore further effects such as the solar wind, the influence of other celestial bodies, the recoil from the radio module, and above all non-isotropic thermal emission were also investigated, which in the end, apart from deviations within the uncertainties, were able to provide an explanation for the Pioneer anomaly. Answer section 9.a) Calculations and explanations Result for the orbital speed and its components: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code 9.b) Calculations and explanations Expression for the radial speed and result for the limiting speed: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code 9.c) Calculations and explanations Result for the acceleration due to radiation pressure and comparison with the gravitational acceleration: 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Additional worksheet 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Additional worksheet 56. IPhO 2026 - 2nd Round exam Code: Code Additional worksheet Graph paper

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Conservation Laws, Kepler’s Laws, Newton’s Law of Gravitation, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Satellite, Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.16

Problema 9 Manovra di swing-by e anomalia Pioneer (18,0 punti) La sonda spaziale Pioneer 10 è stata lanciata nel 1972 per esplorare la fascia esterna del sistema solare ed era destinata a diventare uno dei primi veicoli spaziali a lasciare definitivamente il sistema solare. Al giorno d’oggi si trova a circa 140 unità astronomiche dal Sole. Dopo il lancio, Pioneer 10 ha abbandonato il campo gravitazionale della Terra con una velocità $v_0=9,4{\text{km s}}^{-1}$ rispetto alla Terra e tangenziale all’orbita terrestre. Da lì la sonda ha volato verso Giove al fine di effettuare una manovra di swing-by che avrebbe dovuto consentirle di lasciare il sistema solare. Nel seguito si considerino tutti i processi nel piano dell’eclittica e si assuma che i pianeti orbitino intorno al Sole su orbite circolari nello stesso senso di rotazione. Inoltre, per i calcoli si possono utilizzare i seguenti valori: Raggio dell’orbita terrestre (unità astronomica) $1\text{AE}=149,6\cdot 10^6\text{km}$ Raggio dell’orbita di Giove $r_J=5,2\text{AE}$ Massa del Sole $M_S=1,99\cdot 10^{30}\text{kg}$ Costante solare (potenza della radiazione solare all’orbita terrestre) $E_0=1367{\text{W m}}^{-2}$

9.a) Determinare la velocità orbitale $v_2$ con cui la sonda è giunta all’orbita del pianeta Giove. Si assuma che sulla sonda agisca soltanto la forza gravitazionale del Sole. Determinare i componenti della velocità $v_{2,\varphi }$ tangenziale e $v_{2,r}$ perpendicolare all’orbita di Giove. (6,0 punti) Con l’aiuto di un manovra di volo attraverso il campo gravitazionale di Giove, la sonda spaziale è riuscita ad aumentare notevolmente la sua velocità rispetto al Sole. Si assuma che questa manovra di slingshot sia stata eseguita in modo tale da consentire alla sonda di uscire dal sistema solare con la massima velocità possibile. Si può inoltre assumere che il tempo durante il quale Pioneer 10 interagisce gravitazionalmente con Giove sia trascurabile rispetto al periodo orbitale e che durante la manovra la forza gravitazionale tra sonda e Giove sia dominante.

9.b) Determinare la velocità radiale $v_r(r)$ e in particolare la velocità limite $v_r(\infty )$ della sonda dopo la manovra di slingshot in funzione della distanza $r$ dal Sole. (6,0 punti)

Dopo che la sonda, nel 1980, si trovava a 20 UA, si era allontanata abbastanza dal Sole da poter prevedere con sufficiente precisione l’influenza di varie forze, fu scoperta un’inspiegabile componente molto piccola nella sua accelerazione. Questo fenomeno, noto come anomalia Pioneer, ha generato numerose speculazioni su possibili modifiche delle leggi della natura.

La forza più intensa sulla sonda, la cui massa può essere assunta pari a 241 kg, dopo quella gravitazionale è dovuta alla pressione della radiazione solare. L’antenna parabolica, che ha un diametro di $d=2,77\text{m}$ e a grandi distanze punta approssimativamente verso il Sole, assorbe il 20 % della luce solare e riflette il resto verso il Sole. 9.c) Determinare approssimativamente quale accelerazione si ottiene dalla pressione della radiazione solare sulla sonda a una distanza $r\gg 1\text{AE}$ dal Sole. Indicare quanto era grande tale contributo nel 1990 per $r=50\text{AE}$ e confrontarlo con l’accelerazione dovuta alla gravità nel campo gravitazionale solare. (6,0 punti)

56. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

L’accelerazione osservata, non spiegata, era effettivamente dell’ordine di grandezza corrispondente, ma puntava verso il Sole. Sono state quindi esaminate ulteriori cause come il vento solare, l’influenza di altri corpi celesti, il rinculo dovuto al modulo radio e soprattutto l’emissione termica non isotropa, che alla fine, esclusi gli scostamenti entro le incertezze, sono riuscite a spiegare l’anomalia Pioneer.

Sezione delle risposte 9.a) Calcoli e spiegazioni Risultato per la velocità orbitale e le sue componenti: 56. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

9.b) Calcoli e spiegazioni Espressione per la velocità radiale e risultato per la velocità limite: 56. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

9.c) Calcoli e spiegazioni Risultato per l’accelerazione dovuta alla pressione della radiazione e confronto con l’accelerazione gravitazionale: 56. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

Foglio aggiuntivo 56. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

Foglio aggiuntivo 56. IPhO 2026 - Prova del secondo turno Codice: Codice

Foglio aggiuntivo Carta millimetrata