IPhO 2012 — Sperimentale

1. dove è la permeabilità magnetica relativa.

Scrivi sul Foglio Risposte la lettera corrispondente alla forma osservata, ed anche la disuguaglianza corretta: < 1 o > 1. In questa parte non è richiesto di giustificare la risposta. PROBLEM

Problem E1

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Parte B. Forma esatta della superficie dell’acqua. (7 punti) La curvatura della superficie dell’acqua può essere osservata con grande precisione misurando la deviazione del fascio laser riflesso dalla superficie. Si utilizza questo effetto per determinare come varia lo spessore dello strato d’acqua al di sopra della calamita in funzione della posizione orizzontale. i. (1.6 punti) Misura come varia l’altezza y della macchia del laser sullo schermo in funzione della posizione x del calibro (vedi figura). Utilizza il più ampio spostamento possibile x del calibro. Compila le prime due colonne della tabella dei risultati nel Foglio Risposte. ii. (0.7 punti) Traccia il relativo grafico. iii. (0.7 punti) Utilizzando il grafico, determina l’angolo tra il fascio e la superficie orizzontale dell’acqua. Tieni presente che, conoscendo l’altezza y della macchia del laser sullo schermo e la rispettiva posizione del calibro x, si può conoscere l’inclinazioneta tan $\beta$ della superficie dell’acqua, nel punto di riflessione, rispetto all’orizzontale, mediante la formula

dove y0 e x0 sono, rispettivamente, l’altezza della macchia del laser sullo schermo e la posizione del calibro quando la riflessione avviene sull’asse della calamita. iv. (1.4 punti) Calcola i valori di tale pendenza e riportali nella tabella del Foglio Risposte. Nota che si possono semplificare i calcoli sostituendo certe espressioni dei calcoli precedenti con i valori letti sul grafico già fatto. v. (1.6 punti) Calcola l’altezza della superficie dell’acqua (rispetto alla superficie lontano dalla calamita) in funzione di x e riporta i risultati nella tabella del Foglio Risposte. vi. (1 punto) Traccia il corrispondente grafico. Indica nel grafico la regione in cui il fascio laser colpisce la superficie al di sopra della calamita.

Parte C. Permeabilità magnetica (2 punti) Utilizzando i risultati della parte B, calcola il valore di -1 (detta suscettività magnetica), dove è la permeabilità magnetica relativa dell’acqua. Riporta nel Foglio Risposte la formula finale e il valore numerico. PROBLEM

Problem E2

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Problema E2. Scatola nera non lineare (10 punti) Nei problemi semplici, i circuiti elettrici si considerano come composti di elementi lineari, in cui c’è una relazione di proporzionalità diretta fra le grandezze in gioco (tensione, corrente e carica). Ad esempio, per la resistenza V = RI, per la capacità Q = CV e per l’induttanza V = LI ̇ dove R, C e L sono costanti. In questo problema invece si considera un circuito che contiene elementi non lineari, chiusi in una scatola nera, per cui l’ipotesi di proporzionalità non è più valida. Il materiale si compone di un multimetro (con l’etichetta “IPhO-measure”), di un generatore di corrente, di una scatola nera che contiene elementi non lineari, e di quattro cavi di collegamento. Stai attento a non rompere l’etichetta sulla scatola nera che funge da sigillo. Il multimetro può misurare sia tensione che corrente nello stesso tempo. Ti permette di registrare fino a 2000 misure, e ciascuna comprende: la tensione V, la corrente I, la potenza P=VI, il valore locale della resistenza R=V/I, la derivata temporale della tensione V ̇, quella della corrente I ̇ e il tempo t. Guarda il manuale per maggiori spiegazioni. Se oltrepassi i 2000 punti i dati più vecchi verranno sovrascritti.

Il generatore di corrente fornisce una corrente costante finché la tensione ai suoi capi è compresa fra -0.6125 V e 0.6125 V. Quando è spento, il generatore si comporta come una resistenza molto grande (quasi infinita).

La scatola nera contiene un condensatore a doppio strato di grande capacità, leggermente non lineare, un elemento nonlineare incognito e un’induttanza L = 10 mH di resistenza trascurabile. Questa può essere cortocircuitata come indicato nello schema. L’elemento non-lineare può essere modellizzato come una resistenza in cui la relazione fra tensione e corrente è non-lineare [I è una funzione continua di V, con I(0)=0]. Del pari, la capacità differenziale del condensatore C(V)=dQ/dV non è del tutto costante. La tensione ai capi della scatola nera si considera positiva quando il potenziale del connettore rosso è maggiore di quello del connettore nero. Quando il generatore e la scatola nera sono collegati rispettando i colori si ottiene una tensione positiva (se vuoi puoi usare tensioni negative). Si può scaricare il condensatore della scatola nera senza alcun pericolo sia collegando i suoi capi fra loro direttamente, sia attraverso i collegamenti IN e OUT del multimetro: la resistenza interna del condensatore è abbastanza elevata perché la corrente non danneggi nulla. In questo problema non è richiesto alcun calcolo sulle incertezze. PROBLEM

Problem E2

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Parte A. Circuito senza induttanza (7 punti) In questa parte l’interruttore della scatola nera è lasciato in posizione “I” in modo che l’induttanza sia cortocircuitata. Certe misure possono richiedere un tempo notevole: quindi leggi subito per intero la parte A per evitare un lavoro inutile. i. (1 punto) Verifica che la corrente di uscita del generatore di corrente è approssimativamente 6 mA e determina entro quali limiti la corrente varia nell’intervallo di tensioni comprese fra 0 e +480 mV. Disegna lo schema dei collegamenti e indica l’intervallo di tensione studiato. ii. (1.2 punti) Mostra che il valore della capacità differenziale C(V) utilizzata nella scatola nera è pari a circa 2 F, misurando il suo valore C(V0) = C0 per una tensione V0 di tua scelta. Disegna lo schema del circuito. iii. (2.2 punti) Senza considerare la non–linearità del condensatore [C(V) $\approx$ C0], calcola la caratteristica corrente-tensione dell’elemento non-lineare presente nella scatola nera. Traccia sul Foglio Risposte la curva I(V) che si ottiene per tensioni positive. Disegna lo schema del circuito. iv. (2.6 punti) Utilizzando le misure prese in tutto l’intervallo di valori di tensioni positive accessibili, calcola C(V) e tracciane la curva sul Foglio Risposte. Prendi nota del valore minimo e massimo della capacità differenziale, Cmin e Cmax. Disegna lo schema del circuito. Parte B. Circuito con induttanza (3 punti) Inserisci l’induttanza aprendo l’interruttore sulla scatola nera (passando alla posizione “0”). Utilizzando lo stesso metodo del punto A-iii, misura e traccia il grafico della caratteristica corrente-tensione dell’elemento non-lineare. Illustra tutte le differenze significative fra le curve delle parti A e B. Danne una ragione usando argomenti qualitativi. Qui, devi sapere che l’elemento non lineare ha anche una capacità (circa 1 nF) in parallelo alla resistenza non-lineare. PROBLEM

Problem E2

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IPhO-measure: piccolo manuale d’uso IPhO-measure è un multimetro in grado di misurare simultaneamente la tensione V e la corrente I. Registra anche le loro derivate temporali V ̇ e I ̇, il loro prodotto P=VI, il loro rapporto R=V/I, e l’istante di tempo t della misura. Le misure sono immagazzinate in serie separate: ogni misura è catalogata con il suo numero di serie s e la sua posizione n nell’ambito della serie. Tutte le misure sono registrate in una memoria flash interna e possono essere recuperate in seguito.

Comportamento elettrico L’apparecchio si comporta come un amperometro e un voltmetro collegati nel modo seguente.

Intervallo di misura Resistenza interna Voltmetro 0…2 V 1 $M\Omega$ Voltmetro 2…10 V 57 $k\Omega$ Amperometro 0…1 A 1 $\Omega$

Guida rapida Premi il pulsante “POWER” per accendere l’apparecchio. L’apparecchi

Topic: Magnetism, Geometric Optics, Circuits Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Calculus-Integration Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Magnet, Capacitor, Inductor, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

1. where is the relative magnetic permeability.

On the Answer Sheet, write the letter corresponding to the observed shape, and also the correct inequality: < 1 o > 1. In this section, justification of the answer is not required.

PROBLEM

Problem E1

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Part B. Exact shape of the water surface. (7 points) The curvature of the water surface can be observed with high precision by measuring the deflection of the laser beam reflected from the surface. This effect is used to determine how the thickness of the water layer above the magnet varies as a function of horizontal position.

i. (1.6 points) Measure how the height y of the laser spot on the screen varies as a function of the horizontal position x of the caliper (see figure). Use the largest possible displacement x of the caliper. Fill in the first two columns of the results table on the Answer Sheet.

ii. (0.7 points) Plot the corresponding graph.

iii. (0.7 points) Using the graph, determine the angle between the beam and the horizontal surface of the water. Keep in mind that, knowing the height y of the laser spot on the screen and the corresponding position x of the caliper, one can determine the slope tan $\beta$ of the water surface at the point of reflection, relative to the horizontal, using the formula

where y₀ and x₀ are, respectively, the height of the laser spot on the screen and the position of the caliper when reflection occurs along the magnet’s axis.

iv. (1.4 points) Calculate the value of this slope and record it in the table on the Answer Sheet. Note that calculations can be simplified by substituting certain expressions from previous steps with values read directly from the already plotted graph.

v. (1.6 points) Calculate the height of the water surface (with respect to the surface far from the magnet) as a function of x, and record the results in the table on the Answer Sheet.

vi. (1 point) Draw the corresponding graph. Indicate in the graph the region where the laser beam strikes the surface above the magnet.

Part C. Magnetic Permeability (2 points) Using the results from Part B, calculate the value of -1 (called magnetic susceptibility), where is the relative magnetic permeability of water. Record in the Answer Sheet the final formula and the numerical value.

PROBLEM

Problem E2

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Problem E2. Nonlinear Black Box (10 points)

In simple problems, electrical circuits are considered to consist of linear elements, in which there is a direct proportional relationship between the quantities involved (voltage, current, and charge). For example, for a resistor V = RI, for a capacitor Q = CV, and for an inductor V = Lİ, where R, C, and L are constants. In this problem, however, a circuit containing nonlinear elements enclosed in a black box is considered, for which the assumption of proportionality no longer holds.

The setup consists of a multimeter (labeled “IPhO-measure”), a current source, a black box containing nonlinear elements, and four connecting cables. Be careful not to break the label on the black box, which serves as a seal.

The multimeter can measure both voltage and current simultaneously. It allows you to record up to 2000 measurements, each including: the voltage V, the current I, the power P = VI, the local resistance R = V/I, the time derivative of voltage V̇, the time derivative of current İ, and the time t. Refer to the manual for further details. If you exceed 2000 data points, the oldest data will be overwritten.

The current source provides a constant current as long as the voltage across its terminals lies between -0.6125 V and 0.6125 V. When turned off, the current source behaves like a very large resistance (almost infinite).

The black box contains a large-capacity, slightly nonlinear double-layer capacitor, an unknown nonlinear element, and an inductance L = 10 mH with negligible resistance. This inductance can be short-circuited as indicated in the diagram. The nonlinear element may be modeled as a resistor where the relationship between voltage and current is nonlinear [I is a continuous function of V, with I(0) = 0]. Similarly, the differential capacitance of the capacitor C(V) = dQ/dV is not perfectly constant. The voltage across the black box terminals is considered positive when the potential at the red connector is higher than that at the black connector. When the generator and the black box are connected respecting the colors, a positive voltage is obtained (you may use negative voltages if desired).

It is safe to discharge the capacitor inside the black box either by directly connecting its terminals together, or via the IN and OUT connections of the multimeter: the internal resistance of the capacitor is sufficiently high that no damage occurs due to current.

No uncertainty calculations are required in this problem.

PROBLEM

Problem E2

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Part A. Circuit without inductance (7 points)

In this part, the switch inside the black box is left in position “I” so that the inductance is short-circuited.

Some measurements may require considerable time; therefore, read the entire Part A immediately to avoid unnecessary work. i. (1 point) Verify that the output current of the current generator is approximately 6 mA and determine within what limits the current varies over the voltage range from 0 to +480 mV. Draw the circuit connection diagram and indicate the voltage interval studied.

ii. (1.2 points) Show that the value of the differential capacitance C(V) used in the black box is approximately 2 F, by measuring its value C(V₀) = C₀ at a voltage V₀ of your choice. Draw the circuit diagram.

iii. (2.2 points) Neglecting the non-linearity of the capacitor [C(V) $\approx$ C₀], calculate the current-voltage characteristic of the non-linear element present in the black box. On the Answer Sheet, plot the I(V) curve obtained for positive voltages. Draw the circuit diagram.

iv. (2.6 points) Using measurements taken across the entire accessible range of positive voltages, calculate C(V) and plot its curve on the Answer Sheet. Record the minimum and maximum values of the differential capacitance, Cmin and Cmax. Draw the circuit diagram.

Part B. Circuit with Inductance (3 points) Insert the inductance by opening the switch on the black box (switching to position “0”). Using the same method as in point A-iii, measure and plot the current-voltage characteristic of the non-linear element. Highlight all significant differences between the curves from parts A and B. Give a reason using qualitative arguments. Here, you must know that the nonlinear element also has a capacitance (approximately 1 nF) in parallel with the nonlinear resistance.

PROBLEM

Problem E2

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IPhO-measure: small user manual IPhO-measure is a multimeter capable of simultaneously measuring voltage V and current I. It also records their time derivatives ẋ and ġ, the product P = VI, the ratio R = V/I, and the time instant t at which the measurement is taken. The measurements are stored in separate series: each measurement is cataloged by its serial number s and its position n within the series. All measurements are stored in an internal flash memory and can be retrieved later.

Electrical behavior The device behaves like an ammeter and a voltmeter connected in the following way.

Measurement range Internal resistance Voltmeter 0…2 V 1 $M\Omega$ Voltmeter 2…10 V 57 $k\Omega$ Ammeter 0…1 A 1 $\Omega$

Quick guide Press the “POWER” button to turn on the device. The instrument

Solution: Soluzioni (PDF)

2. il numero della serie s;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

2. the serial number s;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

3. il tempo t trascorso dall’inizio della serie di misure;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

3. the time t has elapsed since the start of the series of measures;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

4. la tensione V misurata dal voltmetro;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

4. the voltage V measured by the voltmeter;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

5. la velocità di variazione di V (la sua derivata temporale V ̇); se V varia troppo rapidamente per poterla derivare, l’apparecchio indica “+nan/s”;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

5. The rate of change of V (its time derivative) V ̇); if V varies too quickly to be derived, the device indicates +nan/s;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

6. la corrente I misurata dall’amperometro;

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

6. the current I measured by the amperometer;

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

7. la velocità di variazione di I (la sua derivata temporale I ̇); se I varia troppo rapidamente per poterla derivare, l’apparecchio indica “+nan/s”;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

7. the rate of change of I (its time derivative I ̇); if I changes too quickly to be derived, the device indicates +nan/s;

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

8. il prodotto P=VI

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

8. the product P=VI

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

9. il rapporto R=V/I Se una grandezza risulta fuori dell’intervallo di lavoro, viene indicato “+inf” o “-inf”.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

9. the ratio R=V/I If a size is outside the working range, it is indicated +inf or -inf.

Topic: Circuits Metodi: Physical Modeling Competenze: Measurement & Instrumentation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)