IPhO 2001

KLYSTRON I klystron sono dispositivi usati per amplificare segnali a frequenza molto alta. Essenzialmente un klystron consiste in due coppie identiche (cavità) di lastre parallele a distanza $b$ fra loro, come mostrato in figura.

Un fascio di elettroni con velocità iniziale $v_0$ attraversa l’intero sistema passando attraverso piccoli fori nelle lastre.

La tensione ad alta frequenza da amplificare è applicata ad entrambe le coppie di lastre con una certa differenza di fase tra loro (il periodo $T$ corrisponde alla fase $2\pi$). Essa produce campi elettrici alternati orizzontali nelle cavità.

Gli elettroni che entrano nella cavità di ingresso quando in essa il campo è diretto verso destra sono frenati, contrariamente a quando il campo è diretto verso sinistra. Di conseguenza gli elettroni uscenti si raggruppano ad una certa distanza.

Se la cavità di uscita è disposta in corrispondenza della posizione in cui avviene il raggruppamento, il campo elettrico in questa cavità potrà assorbire potenza dal fascio se la sua fase è scelta in maniera adeguata.

Il segnale è costituito da una tensione ad onda quadra con periodo $T=1,0\times 10^{-9}\text{s}$, che oscilla tra i valori estremi $\pm V=\pm 0,5\text{V}$. La velocità iniziale degli elettroni è $v_0=2,0\times 10^6\text{m/s}$ e il rapporto carica/massa è $e/m=1,76\times 10^{11}\text{C/kg}$. La distanza $\ell$ (spessore di ciascuna cavità) è così piccola che il tempo di transito nelle cavità può essere trascurato.

Calcola, con quattro cifre significative:

a) La distanza $b$ alla quale gli elettroni si raggruppano.

b) La differenza di fase necessaria, prodotta dal regolatore di fase.

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p.2 — Schema del klystron con cavita e regolatore

Topic: Newtonian Mechanics, Electromagnetism Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Electron, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.2

The following table shows the results of the tests: Klystrons are devices used to amplify very high frequency signals. Essentially a klystron consists of two identical pairs (cavities) of parallel plates at a distance $b$ from each other, as shown in Figure 1.

An electron beam with initial speed $v_0$ passes through the entire system through small holes in the plates.

The high frequency voltage to be amplified shall be applied to both pairs of plates with a certain phase difference between them (the period $T$ corresponds to the $2\pi$ phase). It produces horizontal alternating electric fields in the cavities.

Electrons entering the entrance cavity when the field is directed to the right are brake, as opposed to when the field is directed to the left. As a result, the outgoing electrons cluster at a certain distance.

If the output cavity is arranged in the position where the grouping takes place, the electric field in this cavity can absorb power from the beam if its phase is chosen appropriately.

The signal consists of a square wave voltage with period $T=1,0\times 10^{-9}\text{s}$, which oscillates between the extreme values $\pm V=\pm 0,5\text{V}$. The initial velocity of the electrons is $v_0=2,0\times 10^6\text{m/s}$ and the charge-to-mass ratio is $e/m=1,76\times 10^{11}\text{C/kg}$. The distance $\ell$ (thickness of each cavity) is so small that the transit time in the cavities can be neglected.

Calculate, with four significant digits:

**a) ** The distance $b$ at which electrons cluster.

**b) ** The required phase difference produced by the phase regulator.

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**p.2 ** Scheme of the clystron with cavity and regulator

Topic: Newtonian Mechanics, Electromagnetism Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Electron, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.2

DISTANZA INTERMOLECOLARE Le quantità $d_L$ e $d_V$ rappresentano le distanze medie fra le molecole di acqua, rispettivamente in fase liquida e in fase di vapore. Entrambe queste fasi sono alla temperatura di $100°\text{C}$ e alla pressione atmosferica; il vapore può essere trattato come un gas perfetto. Usando i dati seguenti calcola il rapporto $d_V/d_L$.

Dati:

• Densità dell’acqua in fase liquida: ${\rho }_L=1,0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$
• Massa molare dell’acqua: $M=1,8\times 10^{-2}\text{kg/mol}$
• Pressione atmosferica: $P_a=1,0\times 10^5{\text{N/m}}^2$
• Costante dei gas: $R=8,3\text{J/(mol⋅K)}$
• Numero di Avogadro: $N_A=6,0\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$

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Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Order-of-Magnitude Estimation, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

The following table shows the number of units of measurement used: The quantities $d_L$ and $d_V$ represent the mean distances between water molecules in the liquid phase and vapor phase respectively. Both of these phases are at $100°\text{C}$ temperature and at atmospheric pressure; the steam can be treated as a perfect gas. Using the following data, the $d_V/d_L$ ratio is calculated.

The following information is provided for in the Annex to Implementing Regulation (EU) No 1303/2013.

• Density of water in liquid phase: ${\rho }_L=1,0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$
• Molar mass of water: $M=1,8\times 10^{-2}\text{kg/mol}$
• Air pressure: $P_a=1,0\times 10^5{\text{N/m}}^2$
• Gas constant: $R=8,3\text{J/(mol⋅K)}$
• Avogadro number: $N_A=6,0\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$

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Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Order-of-Magnitude Estimation, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

SEMPLICE GENERATORE DI SEGNALI A DENTE DI SEGA Si può ottenere una tensione a dente di sega $V_0$ ai capi del condensatore $C$ nel circuito in figura. $R$ è una resistenza variabile, $V_i$ è una batteria ideale, SG (spark gap) è una coppia di elettrodi a distanza regolabile fra i quali può scoccare una scintilla. Quando la differenza di potenziale tra gli elettrodi raggiunge la tensione di scarica $V_f$, nell’aria si produce una scarica che cortocircuita gli elettrodi. La scarica permane finché la differenza di potenziale tra gli stessi elettrodi non diventa molto piccola.

a) Disegna la forma d’onda di $V_0$ come funzione del tempo $t$, dopo la chiusura dell’interruttore.

b) Quale condizione deve essere soddisfatta per ottenere un’onda $V_0$ a dente di sega che cresce in maniera praticamente lineare?

c) Deriva un’espressione semplificata per il periodo $T$ della forma d’onda, valida quando questa condizione è soddisfatta.

d) Cosa dovresti variare ($R$ e/o SG) per cambiare soltanto il periodo?

e) Cosa dovresti variare ($R$ e/o SG) per cambiare soltanto l’ampiezza?

f) Ti viene fornita un’ulteriore sorgente variabile di tensione continua. Progetta e disegna un nuovo circuito indicando i terminali dove ottenere una tensione che abbia la forma d’onda a dente di sega traslata verticalmente (come indicato in figura 2).

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p.3 — Circuito generatore a dente di sega

p.3 — Figura 2: tensione a dente di sega

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Resistor, Battery, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.3

SEMPLICE GENERATORE DI SEGNALI A DENTE DI SEGA A welding tooth voltage $V_0$ can be obtained at the capacitor heads $C$ in the circuit shown below. $R$ is a variable resistance, $V_i$ is an ideal battery, SG (spark gap) is a pair of adjustable distance electrodes between which a spark can be triggered. When the potential difference between the electrodes reaches the discharge voltage $V_f$, a discharge in the air is produced that shortens the electrodes. The discharge remains until the potential difference between the same electrodes becomes very small.

**a) ** Draw the waveform of $V_0$ as a function of the time $t$ after the switch is closed.

**b) ** What condition must be met to obtain a wave $V_0$ with sawdust that grows in a practically linear manner?

**c) ** Derives a simplified expression for the period $T$ of the waveform, valid when this condition is met.

d) Cosa dovresti variare ($R$ e/o SG) per cambiare soltanto il periodo?

e) Cosa dovresti variare ($R$ e/o SG) per cambiare soltanto l’ampiezza?

**f) ** You are provided with an additional variable continuous voltage source. Design and draw a new circuit indicating the terminals where to obtain a voltage that is shaped like a wave of sawdust transferred vertically (as shown in Figure 2).

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p.3 — Circuito generatore a dente di sega

p.3 — Figura 2: tensione a dente di sega

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Resistor, Battery, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.3

FASCIO DI ATOMI Viene preparato un fascio di atomi vaporizzando un campione a temperatura $T$ in un forno. Gli atomi vengono lasciati uscire orizzontalmente attraverso un piccolo foro laterale (di dimensioni atomiche) di diametro $D$.

Stima il diametro del fascio dopo che ha percorso orizzontalmente una lunghezza $L$. La massa di un atomo è $M$.

p.4 — Forno con fascio di atomi

Topic: Kinetic Theory, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kinetic Theory of Gases, Order-of-Magnitude Estimation, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.4

The following table shows the number of atoms in the sample: A beam of atoms is prepared by vaporizing a sample at $T$ temperature in an oven. The atoms are allowed out horizontally through a small lateral hole (atomic size) of $D$ diameter.

Estimate the beam diameter after it has traveled horizontally a length $L$. The mass of an atom is $M$.

The following table shows the methodology used for calculating the value of the product:

Topic: Kinetic Theory, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Kinetic Theory of Gases, Order-of-Magnitude Estimation, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.4