IPhO 2001 — Teorica — Problema 1

KLYSTRON

I klystron sono dispositivi usati per amplificare segnali a frequenza molto alta. Essenzialmente un klystron consiste in due coppie identiche (cavità) di lastre parallele a distanza $b$ fra loro, come mostrato in figura.

Un fascio di elettroni con velocità iniziale $v_0$ attraversa l’intero sistema passando attraverso piccoli fori nelle lastre.

La tensione ad alta frequenza da amplificare è applicata ad entrambe le coppie di lastre con una certa differenza di fase tra loro (il periodo $T$ corrisponde alla fase $2\pi$). Essa produce campi elettrici alternati orizzontali nelle cavità.

Gli elettroni che entrano nella cavità di ingresso quando in essa il campo è diretto verso destra sono frenati, contrariamente a quando il campo è diretto verso sinistra. Di conseguenza gli elettroni uscenti si raggruppano ad una certa distanza.

Se la cavità di uscita è disposta in corrispondenza della posizione in cui avviene il raggruppamento, il campo elettrico in questa cavità potrà assorbire potenza dal fascio se la sua fase è scelta in maniera adeguata.

Il segnale è costituito da una tensione ad onda quadra con periodo $T=1,0\times 10^{-9}\text{s}$, che oscilla tra i valori estremi $V=\pm 0,5\text{V}$. La velocità iniziale degli elettroni è $v_0=2,0\times 10^6\text{m/s}$ e il rapporto carica/massa è $e/m=1,76\times 10^{11}\text{C/kg}$. La distanza $\alpha$ è così piccola che il tempo di transito nelle cavità può essere trascurato.

Calcola, con quattro cifre significative:

a) la distanza $b$ alla quale gli elettroni si raggruppano.

b) la differenza di fase necessaria, prodotta dal regolatore di fase.

p.2 — Schema klystron con cavità e fascio elettroni

Topic: Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Particle Beam, Electron, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.2

The following table shows the results of the tests:

Klystrons are devices used to amplify very high frequency signals. Essentially a klystron consists of two identical pairs (cavities) of parallel plates at a distance $b$ from each other, as shown in Figure 1.

An electron beam with initial speed $v_0$ passes through the entire system through small holes in the plates.

The high frequency voltage to be amplified shall be applied to both pairs of plates with a phase difference between them (the period $T$ corresponds to the $2\pi$ phase). It produces horizontal alternating electric fields in the cavities.

Electrons entering the entrance cavity when the field is directed to the right are brake, as opposed to when the field is directed to the left. As a result, the outgoing electrons cluster at a certain distance.

If the output cavity is arranged in the position where the grouping takes place, the electric field in this cavity can absorb power from the beam if its phase is chosen appropriately.

The signal consists of a square wave voltage with period $T=1,0\times 10^{-9}\text{s}$, which oscillates between the extreme values $V=\pm 0,5\text{V}$. The initial velocity of the electrons is $v_0=2,0\times 10^6\text{m/s}$ and the charge-to-mass ratio is $e/m=1,76\times 10^{11}\text{C/kg}$. The $\alpha$ distance is so small that the transit time in the cavities can be neglected.

Calculate, with four significant digits:

(a) the distance $b$ at which the electrons cluster.

(b) the necessary phase difference produced by the phase regulator.

p.2 Characteristic of klystron with cavity and electron beam

Topic: Newtonian Mechanics, Electrostatics Metodi: Kinematic Equations, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Particle Beam, Electron, Capacitor Fonte: Testo (PDF) — p.2

DISTANZA INTERMOLECOLARE

Le quantità $d_L$ e $d_V$ rappresentano le distanze medie fra le molecole di acqua, rispettivamente in fase liquida e in fase di vapore. Entrambe queste fasi sono alla temperatura di $100{}^{\circ }\text{C}$ e alla pressione atmosferica; il vapore può essere trattato come un gas perfetto.

Usando i dati seguenti calcola il rapporto $d_V/d_L$ e riporta i tuoi risultati nel foglio risposte. [2.5 pts]

• Densità dell’acqua in fase liquida: ${\rho }_L=1,0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$
• Massa molare dell’acqua: $M=1,8\times 10^{-2}\text{kg/mol}$
• Pressione atmosferica: $P_a=1,0\times 10^5{\text{N/m}}^2$
• Costante dei gas: $R=8,3\text{J/(mol⋅K)}$
• Numero di Avogadro: $N_A=6,0\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

INTERMOLECULAR DISTANCE

The quantities $d_L$ and $d_V$ represent the average distances between water molecules, respectively in the liquid phase and in the vapor phase. Both phases are at a temperature of $100{}^{\circ }\text{C}$ and atmospheric pressure; the vapor may be treated as an ideal gas.

Using the following data, calculate the ratio $d_V/d_L$ and record your results in the answer sheet. [2.5 pts]

• Density of water in the liquid phase: ${\rho }_L=1,0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$
• Molar mass of water: $M=1,8\times 10^{-2}\text{kg/mol}$
• Atmospheric pressure: $P_a=1,0\times 10^5{\text{N/m}}^2$
• Gas constant: $R=8,3\text{J/(mol⋅K)}$
• Avogadro’s number: $N_A=6,0\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$

SEMPLICE GENERATORE DI SEGNALI A DENTE DI SEGA

Si può ottenere una tensione a dente di sega $V_0$ ai capi del condensatore $C$ (Fig. 1). $R$ è una resistenza variabile, $V_i$ è una batteria ideale, SG (spark gap) è una coppia di elettrodi, di distanza regolabile, fra i quali può scoccare una scintilla. Quando la differenza di potenziale tra gli elettrodi raggiunge la tensione di scarica $V_f$, nell’aria si produce una scarica che cortocircuita gli elettrodi. La scarica permane finché la differenza di potenziale tra gli stessi elettrodi non diventa molto piccola.

a) Disegna la forma d’onda di $V_0$ come funzione del tempo $t$, dopo la chiusura dell’interruttore. [0.5 pts]

b) Quale condizione deve essere soddisfatta per ottenere un’onda $V_0$ a dente di sega che cresce in maniera praticamente lineare? Riporta il tuo risultato nel foglio risposte. [0.2 pts]

c) Deriva un’espressione semplificata per il periodo $T$ della forma d’onda, valida quando questa condizione è soddisfatta. Riporta il tuo risultato nel foglio risposte. [0.4 pts]

d) Cosa dovresti variare ($R$ e/o SG) per cambiare soltanto il periodo? Riporta il tuo risultato nel foglio risposte. [0.2 pts]

e) Cosa dovresti variare ($R$ e/o SG) per cambiare soltanto l’ampiezza? Riporta il tuo risultato nel foglio risposte. [0.2 pts]

f) Ti viene fornita una ulteriore sorgente, variabile, di tensione continua. Progetta e disegna un nuovo circuito indicando i terminali dove ottenere una tensione che abbia la forma d’onda indicata in Fig. 2 (dente di sega con offset di tensione variabile). [1.0 pts]

p.3 — Circuito generatore dente di sega (Fig. 1)

p.3 — Forma d’onda dente di sega (Fig. 2)

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Resistor, Battery, Switch Fonte: Testo (PDF) — p.3

SIMPLE SAWTOOTH SIGNAL GENERATOR

A sawtooth voltage $V_0$ can be obtained across the capacitor $C$ (Fig. 1). $R$ is a variable resistor, $V_i$ is an ideal battery, SG (spark gap) is a pair of electrodes with adjustable separation, between which a spark can occur. When the potential difference across the electrodes reaches the breakdown voltage $V_f$, a discharge occurs in the air that shorts the electrodes. The discharge persists until the potential difference between the electrodes becomes very small.

a) Draw the waveform of $V_0$ as a function of time $t$, after closing the switch. [0.5 pts]

b) What condition must be satisfied to obtain a practically linearly increasing sawtooth waveform $V_0$? Write your result on the answer sheet. [0.2 pts]

c) Derive a simplified expression for the period $T$ of the waveform, valid when this condition is satisfied. Write your result on the answer sheet. [0.4 pts]

d) What should you vary ($R$ and/or SG) to change only the period? Write your result on the answer sheet. [0.2 pts]

e) What should you vary ($R$ and/or SG) to change only the amplitude? Write your result on the answer sheet. [0.2 pts]

f) You are given an additional variable source of continuous voltage. Design and draw a new circuit, indicating the terminals where you can obtain a voltage with the waveform shown in Figure 2 (a sawtooth wave with variable offset). [1.0 pts]

p.3 — Sawtooth wave generator circuit (Figure 1)

p.3 — Sawtooth waveform (Figure 2)

FASCIO DI ATOMI

Viene preparato un fascio di atomi vaporizzando un campione a temperatura $T$ in un forno. Gli atomi vengono lasciati uscire orizzontalmente attraverso un piccolo foro laterale (di dimensioni atomiche) di diametro $D$.

Stima il diametro del fascio dopo che ha percorso orizzontalmente una lunghezza $L$. La massa di un atomo è $M$. [2.5 pts]

p.4 — Forno con foro e fascio di atomi

Topic: Kinetic Theory, Newtonian Mechanics Metodi: Kinetic Theory of Gases, Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.4

ATOMIC BEAM

A beam of atoms is produced by vaporizing a sample at temperature $T$ in an oven. The atoms are allowed to exit horizontally through a small lateral hole (with atomic-scale dimensions) of diameter $D$.

Estimate the beam’s diameter after it has traveled a horizontal distance $L$. The mass of one atom is $M$. [2.5 pts]

p.4 — Oven with hole and atomic beam