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GENERATORE MAGNETOIDRODINAMICO

Una conduttura rettangolare orizzontale di plastica, di larghezza $w$ e altezza $h$, che si chiude su sé stessa, è riempita con mercurio di resistività $\rho$. Una turbina produce una sovrapressione $P$ mantenendo in moto il fluido ad una velocità $v_0$. Le due pareti opposte verticali di un tratto di lunghezza $L$ della conduttura sono di rame.

Il moto del fluido è molto complesso. Per semplificare la situazione assumiamo le seguenti condizioni:

• Sebbene il fluido sia viscoso, la sua velocità è uniforme su tutta la sezione del condotto.
• La velocità del fluido è sempre proporzionale alla forza totale esterna che agisce su di esso.
• Il fluido è incomprimibile.

Le due pareti di rame sono cortocircuitate esternamente e un campo magnetico uniforme $\vec{B}$ diretto verso l’alto viene applicato, solo in questa sezione, ad un certo istante.

La disposizione è illustrata nella figura precedente con i versori $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$, che devono essere usati nella soluzione.

a) Trova la forza che agisce sul fluido, dovuta al campo magnetico (in funzione di $L$, $B$, $h$, $w$, $\rho$ e della nuova velocità $v$). Riporta il risultato sul foglio risposte.

b) Deriva un’espressione per la nuova velocità $v$ del fluido dopo l’applicazione del campo magnetico (in funzione di $v_0$, $P$, $L$, $B$, $\rho$). Riporta il risultato sul foglio risposte.

c) Deriva un’espressione per la potenza aggiuntiva che deve essere fornita dalla turbina per riportare la velocità al suo valore originale $v_0$. Riporta il risultato sul foglio risposte.

d) Adesso il campo magnetico viene tolto e il mercurio sostituito con acqua che scorre a velocità $v_0$. Un’onda elettromagnetica monocromatica viene inviata in direzione del flusso verso la sezione di lunghezza $L$. L’indice di rifrazione dell’acqua è $n$ e $v_0\ll c$. Trova un’espressione per il contributo del moto del fluido alla differenza di fase delle onde fra l’entrata e l’uscita della sezione $L$. Riporta il risultato sul foglio risposte.

p.1 — Condotto rettangolare con campo B e velocità

Topic: Electromagnetism, Fluid Mechanics, Wave Optics Metodi: Lorentz Force Analysis, Faraday’s Law of Induction, Energy Conservation Method, Wave Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1

The manufacturer shall provide the manufacturer with the following information:

A rectangular plastic pipe, of a width $w$ and a height $h$, which closes on itself, is filled with resistivity mercury $\rho$. A turbine produces $P$ overpressure by keeping the fluid moving at a speed $v_0$. The two opposite vertical walls of a length $L$ of the pipe shall be of copper.

The motion of the fluid is very complex. To simplify the situation, we assume the following conditions:

• Although the fluid is viscous, its velocity is uniform across the entire section of the pipe.
• The speed of the fluid is always proportional to the total external force acting on it.
• The fluid is incompressible.

The two copper walls are short-circuited externally and a uniform upward magnetic field $\vec{B}$ is applied, only in this section, at a certain moment.

The arrangement is shown in the previous figure with the lines $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$, which shall be used in the solution.

Find the force acting on the fluid due to the magnetic field (depending on the $L$, $B$, $h$, $w$, $\rho$ and the new speed $v$). Report the result on the reply sheet.

**b) ** Derives an expression for the new speed $v$ of the fluid after the application of the magnetic field (in the function of $v_0$, $P$, $L$, $B$, $\rho$). Report the result on the reply sheet.

**c) ** Derives an expression for the additional power to be provided by the turbine to bring the speed back to its original value $v_0$. Report the result on the reply sheet.

Now the magnetic field is removed and the mercury replaced with water flowing at a speed of $v_0$. A monochrome electromagnetic wave is sent in the direction of flow to the length $L$ section. The refractive index of water is $n$ and $v_0\ll c$. Find an expression for the contribution of fluid motion to the wave phase difference between the input and output of the $L$ section. Report the result on the reply sheet.

p.1 Rectangular conduit with field B and speed

Topic: Electromagnetism, Fluid Mechanics, Wave Optics Metodi: Lorentz Force Analysis, Faraday’s Law of Induction, Energy Conservation Method, Wave Equation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Tube Fonte: Testo (PDF) — p.1