OII 2004 'IPhO sperimentale'

La Scatola Nera Meccanica

Scopo della prova: Trovare la massa di una pallina e la costante elastica di due molle che si trovano nella Scatola Nera meccanica.

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Informazioni generali sulla Scatola Nera

La Scatola Nera meccanica (MBB) è formata da un tubo cilindrico di colore nero che contiene una pallina rigida attaccata a due molle, come mostrato in Fig. 1. Le due molle sono identiche in tutto tranne che nel numero di spire. La massa delle molle può essere trascurata, e lo stesso vale per la loro lunghezza nel caso in cui sono completamente compresse. Il tubo è omogeneo e chiuso alle estremità con due tappi identici. Ogni tappo è infilato all’interno del tubo per un tratto di $5\text{mm}$. Il raggio della pallina è $r=11\text{mm}$ e il diametro interno del tubo è $23\text{mm}$. L’accelerazione di gravità vale $g=9,8{\text{m/s}}^2$. C’è un attrito tra la pallina e la superficie interna del tubo.

Lo scopo di questo esperimento è determinare, senza aprire lo MBB, la massa $m$ della pallina e le costanti elastiche $k_1$ e $k_2$ delle due molle. L’aspetto difficile di questo problema è che ognuno degli esperimenti che verranno suggeriti non è in grado di determinare separatamente la massa $m$ o la posizione $l$ della pallina, dove $l$ è la distanza tra i centri geometrici del cilindro e della pallina quando lo MBB è posto in quiete in un piano orizzontale e la pallina è ferma in una posizione che non dipende dall’attrito.

Simboli fisici assegnati:

Grandezza	Simbolo
Massa della pallina	$m$
Raggio della pallina	$r=11\text{mm}$
Massa dello MBB, esclusa la pallina	$M$
Lunghezza del cilindro nero	$L$
Lunghezza della parte infilata nel cilindro di ciascun tappo	$\delta$
Accelerazione di gravità	$g=9,8{\text{m/s}}^2$
Massa attaccata alla cordicella	$m_0$
Velocità della massa	$v$
Spostamento verticale in basso della massa	$h$
Raggio del blocco rotante (zona di avvolgimento della cordicella)	$R$
Momenti di inerzia	$I,I_0,I_1,I_2,\dots$
Velocità angolare e frequenze angolari	$\omega ,{\omega }_1,{\omega }_2,\dots$

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PARTE A — Misura del prodotto della massa per la posizione della pallina ($m\cdot l$)    (4,0 punti)

Quando lo MBB si trova in equilibrio su un piano orizzontale (Fig. 1), $l$ è la posizione del centro della pallina rispetto al centro geometrico del cilindro. Determina sperimentalmente il valore del prodotto $m\cdot l$. Il risultato ti servirà per determinare il valore di $m$ nella PARTE B.

A1. (2,0 punti) Indica e giustifica, usando equazioni, un’espressione per $m\cdot l$.

A2. (2,0 punti) Determina sperimentalmente il valore di $m\cdot l$.

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PARTE B — Misura della massa $m$ della pallina    (10,0 punti)

La Fig. 2 mostra lo MBB fissato orizzontalmente sul blocco rotante e una massa $m_0$ appesa a una cordicella la cui altra estremità è avvolta intorno al blocco rotante. Quando la massa cade, la cordicella si srotola e lo MBB ruota. Combinando le equazioni relative a questo esperimento con quella ottenuta nella PARTE A, puoi trovare un’espressione per $m$. Tra la pallina e le pareti interne del tubo cilindrico agisce una forza di attrito; per semplificare l’analisi del sistema puoi trascurare la dissipazione dell’energia dovuta all’attrito dinamico.

Misura la velocità $v$ della massa in funzione di diversi valori dello spostamento verticale verso il basso $h$ della massa. È raccomandabile prendere misure sull’intero intervallo di variabilità, da $h=1,0\times 10^{-2}\text{m}$ a $h=4,0\times 10^{-1}\text{m}$. Misura $v$ solamente una volta per ciascun valore di $h$ preso ogni $1,0\times 10^{-2}\sim 2,0\times 10^{-2}\text{m}$. Riporta i dati sulla carta millimetrata in una forma adatta per trovare il valore di $m$.

Quando lo MBB ruota lentamente la pallina non scivola dalla sua posizione di equilibrio statico a causa dell’attrito fra essa e la superficie interna del cilindro. Quando invece lo MBB ruota con velocità sufficientemente alta, la pallina colpisce il tappo che sta all’estremità del tubo e rimane sicuramente in quella posizione perché le molle hanno una piccola costante elastica.

B1. (4,0 punti) Identifica sul grafico la zona che corrisponde alla rotazione lenta e quella che corrisponde alla rotazione veloce.

B2. (1,0 punto) Dimostra che nella zona di rotazione lenta le tue misure sono consistenti con $h\propto v^2$, cioè $h=C{v}^2$. Dimostra anche che nella zona di rotazione veloce le tue misure sono consistenti con la relazione $h=A{v}^2+B$.

B3. (1,0 punto) Il momento di inerzia di una pallina di raggio $r$ e massa $m$ calcolato rispetto a un asse passante per il suo centro vale $\frac{2}{5}m{r}^2$; se l’asse è parallelo al precedente e distante $a$ da esso, occorre aggiungere il termine $m{a}^2$. Usa il simbolo $I$ per il momento di inerzia totale del sistema in rotazione esclusa la pallina. Ricava un’espressione per il coefficiente $C$ in funzione dei parametri dello MBB ($m$, $l$, ecc.).

B4. (1,0 punto) Ricava un’espressione per i coefficienti $A$ e $B$ in funzione dei parametri dello MBB ($m$, $l$, ecc.).

B5. (3,0 punti) Ricava il valore della massa $m$ dalle tue misure e dai risultati ottenuti nella PARTE A.

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PARTE C — La misura delle costanti elastiche $k_1$ e $k_2$    (6,0 punti)

In questa parte devi eseguire esperimenti di piccole oscillazioni usando lo MBB come un pendolo rigido. Ci sono due piccoli fori in ciascuna estremità dello MBB: due spilli sottili, inseriti nei fori, possono essere usati come perno per le piccole oscillazioni. Il supporto a forma di U deve essere fissato su una superficie stabile. La forza e il momento di inerzia sono calcolati rispetto al perno. In maniera analoga a quanto fatto nella PARTE B, considera le due situazioni sperimentali mostrate in Fig. 3 per eliminare il momento di inerzia incognito $I_0$ riferito allo MBB esclusa la pallina.

C1. (1,0 punto) Misura i periodi $T_1$ e $T_2$ delle piccole oscillazioni delle due configurazioni mostrate in Fig. 3(1) e Fig. 3(2) e riporta i valori per ciascuna grandezza.

C2. (2,0 punti) Spiega (usando equazioni) perché le frequenze angolari ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ delle piccole oscillazioni delle due configurazioni sono diverse. Analogamente a quanto fatto nella PARTE B, ricava un’espressione per la costante elastica complessiva del sistema delle due molle, $k$, e scrivi il suo valore.

C3. (1,0 punto) Ricava un’espressione per $k_1$ e $k_2$. Scrivi i loro valori.

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Topic: Fluid Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Hydrostatic Equilibrium, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Ball, Spring, Pulley, String Fonte: Testo (PDF) — p.1

♪ The Mechanical Black Box ♪

** Purpose of the test:** Find the mass of a ball and the elastic constant of two springs in the Mechanical Black Box.

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General information about the Black Box

The Mechanical Black Box (MBB) consists of a cylindrical tube of black color containing a rigid ball attached to two springs, as shown in Fig. 1. The two springs are identical in everything except the number of spires. The mass of the springs can be neglected, and the same is true of their length if they are completely compressed. The tube is homogeneous and closed at the ends with two identical lids. Each cap is inserted into the tube for a stretch of $5\text{mm}$. The radius of the ball is $r=11\text{mm}$ and the inner diameter of the tube is $23\text{mm}$. The acceleration by gravity is $g=9,8{\text{m/s}}^2$. There’s a friction between the ball and the inner surface of the tube.

The purpose of this experiment is to determine, without opening the MBB, the mass $m$ of the ball and the elastic constants $k_1$ and $k_2$ of the two springs. The difficult aspect of this problem is that each of the experiments that will be suggested is not able to determine separately the mass $m$ or the position $l$ of the ball, where $l$ is the distance between the geometric centers of the cylinder and the ball when the MBB is placed still in a horizontal plane and the ball is stationary in a position that does not depend on friction.

Simboli fisici assegnati:

♪ The size of the symbol ♪ |-----------|---------| | Massa della pallina | $m$ | | Raggio della pallina | $r=11\text{mm}$ | | Massa dello MBB, esclusa la pallina | $M$ | | Lunghezza del cilindro nero | $L$ | | Lunghezza della parte infilata nel cilindro di ciascun tappo | $\delta$ | | Accelerazione di gravità | $g=9,8{\text{m/s}}^2$ | | Massa attaccata alla cordicella | $m_0$ | | Velocità della massa | $v$ | | Spostamento verticale in basso della massa | $h$ | | Raggio del blocco rotante (zona di avvolgimento della cordicella) | $R$ | | Momenti di inerzia | $I,I_0,I_1,I_2,\dots$ | | Velocità angolare e frequenze angolari | $\omega ,{\omega }_1,{\omega }_2,\dots$ |

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The weight of the ball is measured by the ball position ($m\cdot l$)    *(4,0 points) *

When the MBB is in equilibrium on a horizontal plane (Fig. 1), $l$ is the position of the centre of the ball relative to the geometric centre of the cylinder. Determine the value of the product $m\cdot l$ experimentally. The result will be used to determine the value of $m$ in Part B.

A1. *(2,0 points) * Indicates and justifies, using equations, an expression for $m\cdot l$.

A2. (2,0 points) Determine the value of $m\cdot l$ experimentally.

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The ball is measured in the ball mass $m$ and the ball mass *(10,0 points) *

The Fig. 2 shows the MBB fixed horizontally on the rotating block and a mass $m_0$ hanging from a rope whose other end is wrapped around the rotating block. When the mass falls, the rope twists and the MBB turns. By combining the equations for this experiment with the one in Part A, you can find an expression for $m$. A friction force acts between the ball and the inner walls of the cylindrical tube; to simplify the analysis of the system, you can overlook the dissipation of energy due to dynamic friction.

Measures the mass $v$ speed according to different values of the vertical downward shift $h$ of the mass. Measurements should be made on the entire range of variability from $h=1,0\times 10^{-2}\text{m}$ to $h=4,0\times 10^{-1}\text{m}$. Measure $v$ only once for each $h$ value taken for each $1,0\times 10^{-2}\sim 2,0\times 10^{-2}\text{m}$. Returns the data on the millimeter paper in a suitable form to find the value of $m$.

When the MBB rotates slowly the ball does not slide from its static equilibrium position due to friction between it and the inner surface of the cylinder. When the MBB rotates at a high enough speed, the ball hits the cap at the end of the tube and is definitely in that position because the springs have a small elastic constant.

B1. (4,0 points) Identify on the graph the area corresponding to the slow rotation and the area corresponding to the fast rotation.

B2. *(1,0 point) * Demonstrate that in the slow-rotating zone your measurements are consistent with $h\propto v^2$, i.e. $h=C{v}^2$. It also shows that in the fast-rotating zone your measurements are consistent with the $h=A{v}^2+B$ ratio.

B3. *(1,0 point) * The moment of inertia of a ball of radius $r$ and mass $m$ calculated with respect to a passing axis for its centre is $\frac{2}{5}m{r}^2$; if the axis is parallel to the previous one and distant from it $a$, the term $m{a}^2$ shall be added. Use the $I$ symbol for the total moment of inertia of the rotating system excluding the ball. It is expressed as the coefficient $C$ according to the parameters of the MBB ($m$, $l$, etc.).

B4. *(1,0 points) * It is expressed for the coefficients $A$ and $B$ according to the parameters of the MBB ($m$, $l$, etc.).

B5. *(3,0 points) * Gives the mass value $m$ from your measurements and results obtained in Part A.

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The measurement of the elastic constants $k_1$ and $k_2$    *(6,0 points) *

In this part you have to run small oscillation experiments using the MBB as a rigid pendulum. There are two small holes at each end of the MBB: two thin spikes, inserted into the holes, can be used as a pin for small oscillations. The U-shaped support shall be fixed to a stable surface. The force and moment of inertia are calculated with respect to the spine. In a similar way to what was done in Part B, consider the two experimental situations shown in Fig. 3 to eliminate the unknown moment of inertia $I_0$ of the MBB excluding the ball.

C1. (1,0 point) Measures the $T_1$ and $T_2$ periods of small oscillations of the two configurations shown in Fig. 3(1) and Fig. 3(2) and returns the values for each size.

C2. (2,0 points) Explain (using equations) why the angular frequencies ${\omega }_1$ and ${\omega }_2$ of the small oscillations of the two configurations are different. Like in Part B, take an expression for the overall elastic constant of the two-spring system, $k$, and write its value.

C3. *(1,0 points) * It is an expression for $k_1$ and $k_2$. Write down their values.

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Topic: Fluid Mechanics Metodi: Bernoulli’s Equation, Hydrostatic Equilibrium, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Ball, Spring, Pulley, String Fonte: Testo (PDF) — p.1