OII na Teorica

Problema teorico n. 1 — Conduzione a “Ping-Pong”

Un condensatore piano ha armature circolari, di raggio $R$ e separate da una distanza $d$, con $d\ll R$, come mostrato in Fig. 1.1(a). La piastra superiore è mantenuta ad un potenziale elettrico $V$, costante, mentre la piastra inferiore è messa a terra. Successivamente un disco sottile e piccolo, di massa $m$, raggio $r$ ($\ll R,d$) e spessore $t$ ($\ll r$), è appoggiato al centro della piastra inferiore, come mostrato in Fig. 1.1(b).

Tra le piastre viene fatto il vuoto, che ha una costante dielettrica ${\epsilon }_0$; sia le piastre sia il disco sono dei conduttori perfetti; tutti gli effetti ai bordi di natura elettrostatica possono essere trascurati. L’induttanza dell’intero circuito e gli effetti relativistici possono essere sicuramente ignorati. Anche gli effetti di distorsione sul campo elettrico prodotti dalla carica sul disco possono essere trascurati.

(a) [1.2 punti] Prima di aver inserito il disco all’interno del condensatore, calcolare la forza elettrostatica $F_p$ tra le piastre, che distano tra loro $d$, come mostrato in Fig. 1.1(a).

(b) [0.8 punti] Dopo che il disco è stato appoggiato sopra la piastra inferiore, la carica elettrica $q$ che va sul disco di Fig. 1.1(b) dipende dal potenziale elettrico $V$ secondo la relazione $q=\chi V$. Esprimere $\chi$ in funzione di $r$, $d$ ed ${\epsilon }_0$.

(c) [0.5 punti] Le piastre parallele del condensatore giacciono perpendicolarmente ad un campo gravitazionale uniforme di intensità $g$. Per sollevare il disco, inizialmente fermo, è necessario aumentare il potenziale elettrico applicato alla piastra superiore oltre un valore di soglia $V_{\text{th}}$. Ricavare $V_{\text{th}}$ in funzione di $m$, $g$, $d$ e $\chi$.

(d) [2.3 punti] Nel caso in cui $V>V_{\text{th}}$, il disco esegue un movimento su-e-giù tra le due piastre. (Assumere che il disco si muova solamente in verticale senza alcun dondolamento laterale.) Gli urti tra il disco e le piastre sono anelastici e sono caratterizzati da un coefficiente di restituzione $\eta \equiv (v_{\text{dopo}}/v_{\text{prima}})$, dove $v_{\text{prima}}$ e $v_{\text{dopo}}$ sono rispettivamente le velocità del disco subito prima e subito dopo il singolo urto. Le piastre sono stabilmente fissate nelle loro posizioni. La velocità del disco subito dopo l’urto con la piastra inferiore raggiunge un valore $v_s$ caratteristico di uno “stato stazionario” e che dipende da $V$ come segue: $v_s=\sqrt{\alpha V^2+\beta }.(1.1)$ Esprimere i coefficienti $\alpha$ e $\beta$ in funzione di $m$, $g$, $\chi$, $d$ ed $\eta$. Assumere che l’intera superficie del disco tocchi la piastra uniformemente e simultaneamente così che in ogni collisione il completo scambio di carica avvenga istantaneamente.

(e) [2.2 punti] Dopo che il sistema ha raggiunto lo stato stazionario, la corrente elettrica mediata nel tempo, $I$, che fluisce attraverso le piastre del condensatore può essere approssimata dalla relazione $I=\mathcal{Y}{V}^2$, nel caso in cui $qV\gg mgd$. Esprimere il coefficiente $\mathcal{Y}$ in funzione di $m$, $\chi$, $d$ ed $\eta$.

(f) [3 punti] Quando il potenziale elettrico applicato $V$ viene diminuito (in maniera estremamente lenta), esiste un valore critico del potenziale, $V_c$, al di sotto del quale la carica elettrica cesserà di fluire attraverso le piastre. Esprimere $V_c$ e la corrispondente corrente elettrica $I_c$ in funzione di $m$, $g$, $\chi$, $d$ ed $\eta$. Attraverso una comparazione di $V_c$ con il valore discusso in (c) del potenziale elettrico di soglia per la salita del disco, $V_{\text{th}}$, disegnare un grafico approssimato della funzione caratteristica $I$-$V$, nel caso in cui $V$ è prima aumentato e successivamente diminuito nell’intervallo compreso tra $V=0$ e $V=3V_{\text{th}}$.

Condensatore piano con disco conduttore inserito

Topic: Electrostatics, Circuits, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Disk Fonte: Testo (PDF) — p.1

Problema teorico n. 1 Driving at “Ping-Pong”

A flat capacitor has circular frames, with a radius $R$ and separated by a distance $d$, with $d\ll R$, as shown in Figure 1. 1.1(a). The upper plate is kept at an electrical potential $V$, constant, while the lower plate is grounded. Next a thin, small disk, with a mass of $m$, radius $r$ ($\ll R,d$) and thickness $t$ ($\ll r$), is supported in the centre of the lower plate, as shown in Fig. 1.1(b).

The vacuum between the plates is made, which has a dielectric constant ${\epsilon }_0$; both the plates and the disc are perfect conductors; all effects at the edges of an electrostatic nature can be neglected. The inductance of the entire circuit and the relativistic effects can certainly be ignored. The distortion effects on the electric field produced by the charge on the disc can also be neglected.

**(a) ** [1.2 points] Before inserting the disc into the capacitor, calculate the electrostatic force $F_p$ between the plate, which are spaced between them $d$, as shown in Fig. 1.1(a).

**(b) ** [0.8 points] After the disc has been rested above the bottom plate, the electrical charge $q$ that goes on the disc in Fig. 1.1(b) depends on the electrical potential $V$ according to the $q=\chi V$ ratio. Esprimere $\chi$ in funzione di $r$, $d$ ed ${\epsilon }_0$.

**(c) ** [0.5 points] The parallel plates of the capacitor lie perpendicular to a uniform gravitational field of $g$ intensity. To lift the disc, initially stationary, the electric potential applied to the upper plate must be increased beyond a threshold value $V_{\text{th}}$. Ricavare $V_{\text{th}}$ in funzione di $m$, $g$, $d$ e $\chi$.

*(d) ** [2.3 points] In the case of $V>V_{\text{th}}$, the disc shall make an up-and-down motion between the two plates. (Assuming that the disc moves only vertically * without any lateral oscillation.) The impacts between the disc and the plates are anelastic and are characterized by a return coefficient $\eta \equiv (v_{\text{dopo}}/v_{\text{prima}})$, where $v_{\text{prima}}$ and $v_{\text{dopo}}$ are the disc speeds immediately before and immediately after the single impact respectively. The plates shall be fixed in their positions. The speed of the disc * immediately after * the lower plate impact reaches a value $v_s$ characteristic of a ‘stationary state’ and depends on $V$ as follows: $v_s=\sqrt{\alpha V^2+\beta }.(1.1)$ The coefficients $\alpha$ and $\beta$ are expressed as a function of $m$, $g$, $\chi$, $d$ and $\eta$. Assume that the entire surface of the disc touches the plate uniformly and simultaneously so that in each collision the full charge exchange occurs instantaneously.

**(e) ** [2.2 points] After the system has reached the stationary state, the time-mediated electric current, $I$, flowing through the capacitor plates can be approximated by the ratio $I=\mathcal{Y}{V}^2$, in which case $qV\gg mgd$. The coefficient $\mathcal{Y}$ is expressed as a function of $m$, $\chi$, $d$ and $\eta$.

**(f) ** [3 points] When the applied electrical potential $V$ is decreased (extremely slowly), there is a critical value of the potential, $V_c$, below which the electrical charge will stop flowing through the plates. Express $V_c$ and the corresponding electric current $I_c$ as a function of $m$, $g$, $\chi$, $d$ and $\eta$. By comparing $V_c$ with the value discussed in (c) of the electric potential threshold for the disc’s rise, $V_{\text{th}}$, draw an approximate graph of the characteristic function $I$-$V$, where $V$ was first increased and then decreased in the range between $V=0$ and $V=3V_{\text{th}}$.

Flat capacitor with inserted conductor disc

Topic: Electrostatics, Circuits, Newtonian Mechanics Metodi: Electric Potential Method, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Capacitor, Disk Fonte: Testo (PDF) — p.1