Conduzione a “Ping-Pong”
Theoretical Question 1 Page 1/2 Problema teorico n. 1 Conduzione a “Ping-Pong” Un condensatore piano ha armature circolari, di raggio R e separate da una distanza d, con , come mostrato in Fig. 1.1(a). La piastra superiore è mantenuta ad un potenziale elettrico V, costante, mentre la piastra inferiore è messa a terra. Successivamente un disco sottile e piccolo, di massa , raggio r ( ) e spessore ( ), è appoggiato al centro della piastra inferiore, come mostrato in Fig. 1.1(b). Tra le piastre viene fatto il vuoto, che ha una costante dielettrica ; sia le piastre sia il disco sono dei conduttori perfetti; tutti gli effetti ai bordi di natura elettrostatica possono essere trascurati. L’induttanza dell’intero circuito e gli effetti relativistici possono essere sicuramente ignorati. Anche gli effetti di distorsione sul campo elettrico prodotti dalla carica sul disco possono essere trascurati. Figura 1.1 Disegni schematici (a) del condensatore a facce piane e parallele collegato ad una sorgente di potenziale elettrico costante e (b) una vista laterale delle piastre parallele con un piccolo disco inserito nel condensatore. (Leggi il testo per i dettagli.) (a) [1.2 punti] Prima di aver inserito il disco all’interno del condensatore, calcolare la forza elettrostatica tra le piastre, che distano tra loro , come mostrato in Fig. 1.1(a) . (b) [0.8 punti] Dopo che il disco è stato appoggiato sopra la piastra inferiore, la carica elettrica che va sul disco di Fig. 1.1(b) dipende dal potenziale elettrico secondo la relazione . Esprimere in funzione di , ed . (c) [0.5 punti] Le piastre parallele del condensatore giacciono perpendicolarmente ad un (a) d V R mg t r d q +V side viewvista laterale (b)
Theoretical Question 1 Page 2/2 campo gravitazionale uniforme di intensità . Per sollevare il disco, inizialmente fermo, è necessario aumentare il potenziale elettrico applicato alla piastra superiore oltre un valore di soglia . Ricavare in funzione di , , e . (d) [2.3 punti] Nel caso in cui , il disco esegue un movimento su-e-giù tra le due piastre. (Assumere che il disco si muova solamente in verticale senza alcun dondolamento laterale.) Gli urti tra il disco e le piastre sono anelastici e sono caratterizzati da un coefficiente di restituzione , dove e sono rispettivamente le velocità del disco subito prima e subito dopo il singolo urto. Le piastre sono stabilmente fissate nelle loro posizioni. La velocità del disco subito dopo l’urto con la piastra inferiore raggiunge un valore caratteristico di uno “stato stazionario” e che dipende da come segue: . (1.1) Esprimere i coefficienti e in funzione di , , , ed . Assumere che l’intera superficie del disco tocchi la piastra uniformemente e simultaneamente così che in ogni collisione il completo scambio di carica avvenga istantaneamente. (e) [2.2 punti] Dopo che il sistema ha raggiunto lo stato stazionario, la corrente elettrica mediata nel tempo, I, che fluisce attraverso le piastre del condensatore può essere approssimata dalla relazione , nel caso in cui . Esprimere il coefficiente in funzione di , , ed . (f) [3 punti] Quando il potenziale elettrico applicato viene diminuito (in maniera estremamente lenta), esiste un valore critico del potenziale, , al di sotto del quale la carica elettrica cesserà di fluire attraverso le piastre. Esprimere e la corrispondente corrente elettrica in funzione di , , , ed . Attraverso una comparazione di con il valore discusso in (c) del potenziale elettrico di soglia per la salita del disco, , disegnare un grafico approssimato della funzione caratteristica , nel caso in cui è prima aumentato e successivamente diminuito nell’intervallo compreso tra e V = 3 .
p.1 — Condensatore piano con disco e vista laterale
Topic: Electrostatics, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Electric Potential Method, Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Kinematic Equations, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Disk Fonte: Testo (PDF) — p.1
Ping-Pong Conduction
Theoretical Question 1 Page 1/2 Theoretical Problem No. 1 Ping-Pong Conduction
A parallel-plate capacitor has circular plates of radius R, separated by a distance d, with , as shown in Fig. 1.1(a). The upper plate is maintained at a constant electric potential V, while the lower plate is grounded. Subsequently, a thin and small disk of mass , radius r ( ), and thickness ( ), is placed on the center of the lower plate, as shown in Fig. 1.1(b). A vacuum is created between the plates, which has a dielectric constant ; both the plates and the disk are perfect conductors; all edge effects of electrostatic nature may be neglected. The inductance of the entire circuit and relativistic effects can certainly be ignored. Also, distortions of the electric field caused by charge on the disk may be neglected.
Figure 1.1 Schematic drawings (a) of a parallel-plate capacitor connected to a constant-voltage source and (b) a side view of the parallel plates with a small disk inserted into the capacitor. (Read the text for details.)
(a) [1.2 points] Before inserting the disk into the capacitor, calculate the electrostatic force between the plates, separated by a distance , as shown in Fig. 1.1(a). (b) [0.8 points] After the disk has been placed on the lower plate, the electric charge that accumulates on the disk in Fig. 1.1(b) depends on the electric potential according to the relation . Express in terms of , and .
(c) [0.5 points] The parallel plates of the capacitor lie perpendicular to a (a) d V R mg t r d q +V side view vista laterale (b)
Theoretical Question 1 Page 2/2 uniform gravitational field of intensity . To lift the disk, initially at rest, it is necessary to increase the electric potential applied to the upper plate beyond a threshold value . Derive in terms of , , and .
(d) [2.3 points] In the case where , the disk performs an up-and-down motion between the two plates. (Assume that the disk moves only vertically, without any lateral wobbling.) The collisions between the disk and the plates are inelastic and characterized by a coefficient of restitution , where and denote respectively the velocity of the disk just before and just after a single collision. The plates are firmly fixed in their positions. The velocity of the disk immediately after colliding with the lower plate reaches a characteristic value in a “steady state” that depends as follows: . (1.1) Express the coefficients and in terms of , , , and . Assume that the entire surface of the disk contacts the plate uniformly and simultaneously so that in each collision, complete charge transfer occurs instantaneously. (e) [2.2 points] After the system has reached the steady state, the time-averaged electric current, I, flowing through the capacitor plates can be approximated by the relation , in the case where . Express the coefficient in terms of , , and .
(f) [3 points] When the applied electric potential is decreased (in a very slow manner), there exists a critical value of the potential, , below which electric charge will cease to flow through the plates. Express and the corresponding current in terms of , , , and . By comparing with the value discussed in (c) for the threshold electric potential for disk lifting, , draw an approximate graph of the characteristic function , in the case where it is first increased and then subsequently decreased over the interval between and V = 3.
p.1 — Parallel-plate capacitor with disk and side view