OII na Teorica

Per dimostrare questo fatto, considerare una particella che si muove a velocità costante $v > \frac{c}{n}$ lungo una linea retta. Essa si trova nel punto A all’istante zero e nel punto B all’istante $t_{1}$ . Poiché la situazione fisica è simmetrica rispetto alle rotazioni intorno ad AB, è sufficiente considerare i raggi di luce in un piano contenente AB. In un punto qualsiasi C compreso tra A e B, la particelle emette un’onda luminosa sferica, che si propaga con velocità $\frac{c}{n}$ . Definiamo il fronte d’onda ad un dato istante $t$ come l’inviluppo di tutte queste sfere a questo istante. 1.1 Determinare il fronte d’onda all’istante $t_{1}$ e tracciare la sua intersezione con il piano del foglio.

1.2 Esprimere l’angolo $ϕ$ tra questa intersezione e la traiettoria della particella in funzione di $n$ e $β$ .

Topic: Oscillations & Waves, Special Relativity Metodi: Wave Equation, Small-Angle Approximation, Physical Modeling Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

To demonstrate this fact, consider a particle moving at constant speed $v > \frac{c}{n}$ along a straight line. It is located in point A at zero and point B at $t_{1}$ . Since the physical situation is symmetrical to the rotations around AB, it is sufficient to consider the light rays in a plane containing AB. At any point C between A and B, the particle emits a spherical light wave, which propagates at $\frac{c}{n}$ speed. We define the rounded front at a given moment $t$ as the development of all these spheres at that moment. 1.1 Determine the nearby wave front $t_{1}$ and map its intersection with the sheet plane.

1.2 Express the angle $ϕ$ between this intersection and the particle trajectory as a function of $n$ and $β$ .

Si consideri un fascio di particelle che si muovono con velocità $v > \frac{c}{n}$ , in modo tale che l’angolo $θ$ sia piccolo, lungo una linea retta IS. Il fascio attraversa nel punto S uno specchio sferico concavo di lunghezza focale $f$ e centro C. SC forma con SI un piccolo angolo $α$ (vedere la figura nel Foglio Risposte). Il fascio di particelle produce nel piano focale dello specchio un’immagine a forma di anello. Spiegare perché accade ciò, servendosi di un disegno che illustra questo fatto. Indicare la posizione del centro O e il raggio $r$ dell’immagine ad anello. Questo apparato sperimentale viene utilizzato nel analizzatore Cherenkov mediante immagini ad anello (RICH) e il mezzo attraversato dalla particella è chiamato il radiatore. Nota: in tutte le domande di questo problema i termini del secondo ordine o maggiore in $α$ e $θ$ saranno trascurati.

Topic: Geometric Optics, Oscillations & Waves Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Particle Beam, Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Consider a beam of particles moving at $v > \frac{c}{n}$ speed, such that the angle $θ$ is small, along a straight line IS. The beam passes through a concave spherical mirror of focal length $f$ and centre C at point S. SC forms a small angle $α$ with SI (see figure in the Answer Sheet). The particle beam produces a ring-shaped image in the focal plane of the mirror. Explain why this is happening, using a drawing that illustrates this fact. Indicate the position of the centre O and the radius $r$ of the ring image. This experimental apparatus is used in the Cherenkov analysis by ring imaging (RICH) and the medium through which the particle passes is called the radiator. Note: in all questions in this issue the terms of second order or higher in $α$ and $θ$ will be omitted.

Un fascio di particelle di quantità di moto $p = 10.0 GeV / c$ è formato da tre tipi di particelle: protoni, kaoni e pioni, con una massa a riposo rispettivamente pari a $M_{p} = 0.94 GeV / c^{2}$ , $M_{K} = 0.50 GeV / c^{2}$ e $M_{π} = 0.14 GeV / c^{2}$ . Si ricordi che $p c$ e $M c^{2}$ hanno le dimensioni di un’energia, e 1 eV è l’energia acquistata da un elettrone dopo essere stato accelerato da una differenza di potenziale elettrico di 1 V, e $1 GeV = 1 0^{9} eV$ , $1 MeV = 1 0^{6} eV$ . Il fascio di particelle attraversa un mezzo (il radiatore) formato da aria alla pressione P. L’indice di rifrazione dell’aria dipende dalla pressione dell’aria $P$ , secondo la relazione: $n = 1 + a P$ dove $a = 2.7 \times 1 0^{- 4} atm^{- 1}$ 3.1. Calcolare per ciascuno dei tre tipi di particelle il valore minimo $P_{min}$ della pressione dell’aria per il quale esse emettono luce Cherenkov.

3.2. Calcolare la pressione $P_{1/2}$ per la quale l’immagine ad anello dei kaoni ha un raggio uguale a un mezzo di quello corrispondente ai pioni. Calcolare i valori di $θ_{K}$ e $θ_{π}$ in questo caso. È possibile osservare a questa pressione l’immagine ad anello dei protoni?

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics, Geometric Optics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Physical Modeling, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

A particle beam of motion quantity $p = 10.0 GeV / c$ consists of three types of particles: protons, kaons and pions, with a resting mass of $M_{p} = 0.94 GeV / c^{2}$ , $M_{K} = 0.50 GeV / c^{2}$ and $M_{π} = 0.14 GeV / c^{2}$ respectively. Remember that $p c$ and $M c^{2}$ are the dimensions of aenergy, and 1 eV is the energy acquired by an electron after it has been accelerated by a difference in electrical potential of 1 V, and $1 GeV = 1 0^{9} eV$ , $1 MeV = 1 0^{6} eV$ . The particle beam passes through a medium (the radiator) formed by air at P pressure. The refractive index of the air depends on the air pressure $P$ , according to the report: $n = 1 + a P$ where $a = 2.7 \times 1 0^{- 4} atm^{- 1}$ 3.1. Calculate for each of the three types of particles the minimum value $P_{min}$ of the air pressure for which they emit Cherenkov light.

3.2. Calculate the pressure $P_{1/2}$ for which the ring image of the kaoni has a radius equal to one half of that of the pions. Calculate the values of $θ_{K}$ and $θ_{π}$ in this case. Is it possible to observe the proton ring image at this pressure?

Si assuma ora che il fascio non sia perfettamente monocromatico: la quantità di moto delle particelle assume valori entro un intervallo centrato a $10 GeV / c$ e avente una semiampiezza a metà altezza pari a $Δ p$ . Ciò rende l’immagine ad anello allargata, e corrispondentemente la distribuzione di $θ$ ha una semiampiezza a meta altezza pari a $Δ θ$ . La pressione del radiatore è $P_{1/2}$ , determinata nel precedente punto 3.2. 4.1. Calcolare $\frac{Δ θ _{π}}{Δ p} =$ e $\frac{Δ θ _{K}}{Δ p} =$ , ossia i valori assunti dalla quantità $\frac{Δ θ}{Δ p}$ nel caso dei pioni e dei kaoni. 4.2. Quando la separazione tra le due immagini ad anello, $θ_{K} - θ_{π}$ , è più grande di 10 volte la somma delle semiampiezze $Δ θ = Δ θ_{K} + Δ θ_{π}$ , cioè è $θ_{K} - θ_{π} > 10Δ θ$ , è possibile distinguere nettamente le due immagini ad anello. Calcolare il massimo valore di $Δ p$ per il quale le due immagini ad anello possono ancora essere distinte nettamente.

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics, Geometric Optics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

It is now assumed that the beam is not perfectly monochromatic: the amount of particle motion takes values within a range centered at $10 GeV / c$ and having a half-height semicircle of $Δ p$ . This makes the ring image enlarged, and correspondingly the distribution of $θ$ has a half-height half-amplitude equal to $Δ θ$ . The radiator pressure shall be $P_{1/2}$ as determined in paragraph 3.2. above. 4.1. Calculate $\frac{Δ θ _{π}}{Δ p} =$ and $\frac{Δ θ _{K}}{Δ p} =$ , i.e. the values taken from the quantity $\frac{Δ θ}{Δ p}$ for the pions and kaons. 4.2. When the separation between the two ring images, $θ_{K} - θ_{π}$ , is greater than 10 times the sum of the semicircular $Δ θ = Δ θ_{K} + Δ θ_{π}$ , i.e. $θ_{K} - θ_{π} > 10Δ θ$ , it is possible to distinguish clearly the two ring images. Calculate the maximum value of $Δ p$ for which the two ring images can still be clearly distinguished.

Cherenkov inizialmente scoprì l’effetto che porta il suo nome mentre stava osservando una bottiglia di acqua posta vicino ad una sorgente radioattiva. Egli vide che l’acqua nella bottiglia emetteva luce. 5.1. Determinare la minima energia cinetica $T_{min}$ di una particella con massa a riposo M che si muove nell’acqua, in modo tale da emettere luce Cherenkov. L’indice di rifrazione dell’acqua è $n = 1.33$ . 5.2. La sorgente radioattiva impiegata da Cherenkov emette sia particelle $α$ (cioè nuclei di elio) con massa a riposo $M_{α} = 3.8 GeV / c^{2}$ sia particelle $β$ (cioè elettroni) con massa a riposo $M_{e} = 0.51 MeV / c^{2}$ .

Calcolare il valore numerico di $T_{min}$ per le particelle $α$ e $β$ . Sapendo che l’energia cinetica delle particelle emesse da sorgenti radioattive non eccede mai pochi MeV, determinare quale tipo di particelle dà origine alla radiazione osservata da Cherenkov.

Topic: Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron, Nucleus Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Cherenkov initially discovered the effect that bears his name while observing a water bottle placed near a radioactive source. He saw that the water in the bottle emitted light. 5.1. Determine the minimum kinetic energy $T_{min}$ of a particle with a resting mass M moving in water in such a way as to emit Cherenkov light. The refractive index of water is $n = 1.33$ . 5.2. The radioactive source used by Cherenkov emits both $α$ (i.e. helium nuclei) particles with a resting mass $M_{α} = 3.8 GeV / c^{2}$ and $β$ (i.e. electrons) particles with a resting mass $M_{e} = 0.51 MeV / c^{2}$ .

Calculate the numerical value of $T_{min}$ for the particles $α$ and $β$ . Knowing that the kinetic energy of particles emitted from radioactive sources never exceeds a few MeVs, determine what type of particles gives rise to the radiation observed by Cherenkov.

Nelle precedenti sezioni del problema è stata ignorata la dipendenza dell’effetto Cherenkov dalla lunghezza d’onda $λ$ . Ora si prenda in considerazione il fatto che la radiazione Cherenkov di una particella ha uno spettro allargato continuo che include l’intervallo del visibile (lunghezze d’onda da $0.4 μ m$ a $0.8 μ m$ ). Si sa inoltre che l’indice di rifrazione $n$ del radiatore decresce linearmente del 2% di $n - 1$ quando $λ$ aumenta in questo intervallo.

6.1. Considerare un fascio di pioni con una quantità di moto di $10.0 GeV / c$ che si muove in aria alla pressione di 6 atm. Trovare la differenza angolare $δ θ$ associata con i due estremi dell’intervallo visibile. 6.2. Su questa base, studiare qualitativamente l’effetto della dispersione sull’immagine ad anello dei pioni che hanno una quantità di moto distribuita entro un intervallo centrato a $p = 10 GeV / c$ e avente una semiampiezza a metà altezza di $Δ p = 0.3 GeV / c$ . 6.2.1.Calcolare l’allargamento causato dalla dispersione (variazione dell’indice di rifrazione) e quello dovuto alla non monocromaticità del fascio (variazione della quantità di moto). 6.2.2. Selezionando gli appropriati spazi nel foglio risposte, descrivere come cambia il colore dell’anello quando si passa dal suo bordo più interno a quello più esterno.

Topic: Oscillations & Waves, Geometric Optics, Special Relativity Metodi: Approximation & Series Expansion, Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

In previous sections of the problem the Cherenkov effect’s dependence on wavelength $λ$ has been ignored. Consider now that the Cherenkov radiation of a particle has a continuously widened spectrum that includes the range of visible spectrum (wavelengths from $0.4 μ m$ to $0.8 μ m$ ). It is also known that the radiator refractive index $n$ decreases linearly by 2% of $n - 1$ when $λ$ increases in this range.

6.1. Consider a beam of pions with a motion quantity of $10.0 GeV / c$ moving in air at a pressure of 6 atm. Find the angular difference $δ θ$ associated with the two ends of the visible range. 6.2. On this basis, the effect of dispersion on the ring image of the pins having a quantity of motion distributed within a range centered at $p = 10 GeV / c$ and having a half-height semicircular of $Δ p = 0.3 GeV / c$ should be studied qualitatively. 6.2.1.Calculate the widening caused by dispersion (variable refractive index) and that due to non-monochromaticity of the beam (variable motion quantity). 6.2.2. By selecting the appropriate spaces in the answer sheet, describe how the color of the ring changes when you move from its innermost edge to its outer edge.

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