OII na Teorica

Problema teorico n. 2 — L’ascesa del pallone (Rising Balloon)

Un pallone gonfiato con elio e con involucro di gomma, sale e si trova via via in regioni dell’atmosfera dove pressione e temperatura diminuiscono con l’altezza. Nel rispondere alle domande di questo problema fare l’ipotesi che, indipendentemente dalla zavorra che ha, la forma del pallone rimanga sferica mentre esso sale. Supporre anche che la zavorra abbia volume trascurabile e che la temperatura dell’elio dentro il pallone sia sempre la stessa dell’aria che lo circonda. In questo problema tutti i gas vanno considerati gas perfetti.

La costante universale dei gas è $R=8.31\text{J/(mol⋅K)}$; le masse di una mole, rispettivamente di elio e di aria, sono ${\mu }_{He}=4.00\times 10^{-3}\text{kg/mol}$ e ${\mu }_{air}=28.9\times 10^{-3}\text{kg/mol}$; l’accelerazione di gravità è $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

Parte A

Sia $P$ la pressione dell’aria che circonda il pallone e $T$ la sua temperatura. La pressione all’interno del pallone è più alta di quella al suo esterno a causa della tensione superficiale dell’involucro. Il pallone contiene $n$ moli di elio e la pressione al suo interno è $P_{in}$.

(a) [1.5 punti] Trovare la spinta di Archimede $F_b$ sul pallone espressa in funzione di $n$, $P_{in}$, $P$, $T$.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

Theoretical problem n. 2 The ball’s rise** (Rising Balloon)

A balloon inflated with helium and rubber envelope, salt and found way out in regions of the atmosphere where pressure and temperature decrease with height. In answering questions about this problem, assume that, regardless of the bulb it has, the shape of the ball remains spherical as it rises. Suppose also that the embolism has negligible volume and that the helium temperature inside the balloon is always the same as the air around it. In this problem all gases must be considered perfect gases.

The universal gas constant is $R=8.31\text{J/(mol⋅K)}$; the masses of a mole, of helium and air, respectively, are ${\mu }_{He}=4.00\times 10^{-3}\text{kg/mol}$ and ${\mu }_{air}=28.9\times 10^{-3}\text{kg/mol}$; the acceleration by gravity is $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

The following information shall be provided:

Both the air pressure around the ball $P$ and its temperature $T$. The pressure inside the ball is higher than that outside it because of the surface tension of the envelope. The ball contains $n$ helium moles and the pressure inside it is $P_{in}$.

**(a) ** [1.5 points] Find the Archimedes thrust $F_b$ on the ball expressed as a function of $n$, $P_{in}$, $P$, $T$.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

(b) [2 punti] In un esperimento condotto in Corea in un certo giorno d’estate si è trovato che la temperatura dell’aria all’altezza $h$ sul livello del mare variava secondo la legge $T(h)=T_0\left(1-\frac{h}{H}\right)$ in un intervallo di altezza tale che $h\ll H$, con $H=49\text{km}$ e $T_0=303\text{K}$. La pressione e la densità dell’aria al livello del mare erano, rispettivamente, $P_0=1\text{atm}=1.013\times 10^5\text{Pa}$ e ${\rho }_0=1.16{\text{kg/m}}^3$.

Nel medesimo intervallo di altezza l’andamento della pressione era del tipo $P=P_0{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{\alpha }(2.1)$ Esprimere $\alpha$ in funzione di ${\mu }_{air}$, $g$, $R$, $H$ e trovarne il valore numerico con due cifre significative. Considerare costante l’accelerazione di gravità, indipendentemente dalla variazione dell’altezza.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

(b) [2 punti] In un esperimento condotto in Corea in un certo giorno d’estate si è trovato che la temperatura dell’aria all’altezza $h$ sul livello del mare variava secondo la legge $T(h)=T_0\left(1-\frac{h}{H}\right)$ in an altitude range of $h\ll H$, with $H=49\text{km}$ and $T_0=303\text{K}$. The pressure and density of the air at sea level were $P_0=1\text{atm}=1.013\times 10^5\text{Pa}$ and ${\rho }_0=1.16{\text{kg/m}}^3$ respectively.

In the same height range the pressure trend was of the type $P=P_0{\left(\frac{T}{T_0}\right)}^{\alpha }(2.1)$ Express $\alpha$ as a function of ${\mu }_{air}$, $g$, $R$, $H$ and find the numerical value with two significant digits. Consider the acceleration of gravity constantly, regardless of the change in height.

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Parte B

Sia $r_0$ il raggio di un pallone sferico di gomma quando non è gonfiato (stato non teso). Quando il pallone viene gonfiato fino a formare una sfera di raggio $r$ ($r>r_0$), l’involucro del pallone ha immagazzinato energia elastica a causa della tensione della gomma. Un semplice modello permette di esprimere l’energia elastica alla temperatura costante $T_0$ con la formula $U_{el}=\kappa R{T}_0{r}_0^2\left({\lambda }^2+\frac{1}{{\lambda }^4}-3\right)(2.2)$ dove $\lambda =r/r_0>1$ è il grado di gonfiamento del pallone e $\kappa$ è una costante con unità di misura mol/m².

(c) [2 punti] Esprimere la pressione interna $P_{in}$ in termini dei parametri dati nell’equazione (2.2) e di $P$ (pressione esterna), e fare uno schizzo dell’andamento di $P_{in}-P$ in funzione di $\lambda =r/r_0$.

Topic: Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

The following information shall be provided:

Whether $r_0$ the radius of a spherical rubber ball when it is not inflated (unstretched state). When the ball is inflated to form a sphere of radius $r$ ($r>r_0$), the ball envelope has stored elastic energy due to the strain on the tyre. A simple model allows the elastic energy to be expressed at constant temperature $T_0$ using the formula $U_{el}=\kappa R{T}_0{r}_0^2\left({\lambda }^2+\frac{1}{{\lambda }^4}-3\right)(2.2)$ where $\lambda =r/r_0>1$ is the degree of bulge of the ball and $\kappa$ is a constant with unit measurement mol/m2.

**(c) ** [2 points] Express the internal pressure $P_{in}$ in terms of the parameters given in equation (2.2) and $P$ (external pressure), and sketch the trend of $P_{in}-P$ as a function of $\lambda =r/r_0$.

Topic: Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Energy Conservation Method, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

(d) [1.5 punti] La costante $\kappa$ può essere determinata conoscendo la quantità di gas necessaria per gonfiare il pallone. Alla temperatura $T_0=303\text{K}$ e $P_0=1.0\text{atm}$, un pallone non gonfiato ($\lambda =1$) contiene $n_0=12.5$ moli di elio. Si trova che sono necessarie $n=45$ moli di elio in totale per gonfiare il pallone fino a $\lambda =1.5$, alla medesima temperatura $T_0$ e pressione $P_0$.

Esprimere il parametro $\kappa$, definito come nella formula (2.2), in termini di $n$, $n_0$, $\lambda$, $P_0$, $R$, $T_0$, $r_0$, dove $r_0=r/\lambda$. Trovare il valore di $\kappa$ con due cifre significative.

Topic: Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

**(d) ** [1.5 points] The $\kappa$ constant can be determined by knowing the amount of gas required to inflate the ball. At $T_0=303\text{K}$ and $P_0=1.0\text{atm}$ temperatures, an uninflated ball ($\lambda =1$) contains $n_0=12.5$ helium moles. It is found that $n=45$ total helium moles are needed to inflate the ball to $\lambda =1.5$, at the same temperature $T_0$ and pressure $P_0$.

Express the parameter $\kappa$, as defined in formula (2.2), in terms of $n$, $n_0$, $\lambda$, $P_0$, $R$, $T_0$, $r_0$, where $r_0=r/\lambda$. Find the value of $\kappa$ with two significant digits.

Topic: Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

Parte C

Un pallone è stato preparato come descritto nella parte precedente a livello del mare (gonfiato fino a $\lambda =1.5$ con $n=45$ moli di elio a $T_0=303\text{K}$ e $P_0=1\text{atm}=1.013\times 10^5\text{Pa}$). La massa totale, incluso il pallone, il gas stesso ed altra zavorra, è $M_{tot}=1.12\text{kg}$.

(e) [3 punti] Supporre che il pallone si fermi all’altezza $h_f$ dove avviene che la spinta di Archimede equilibra il peso totale. Trovare $h_f$ e il grado di gonfiamento ${\lambda }_f$ a quell’altezza. Scrivere il risultato con due cifre significative. Supporre di poter trascurare durante la salita le perdite di gas e gli effetti di trascinamento dovuti alla resistenza dell’aria.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

The following information shall be provided:

A ball was prepared as described in the previous part at sea level (inflated to $\lambda =1.5$ with $n=45$ helium moles at $T_0=303\text{K}$ and $P_0=1\text{atm}=1.013\times 10^5\text{Pa}$). The total mass, including the ball, the gas itself and other manure, is $M_{tot}=1.12\text{kg}$.

**(e) ** [3 points] Suppose the ball stops at $h_f$ where it happens that Archimedes’ push balances the total weight. Find $h_f$ and the degree of swelling ${\lambda }_f$ at that height. Write the result in two significant digits. Suppose that during the climb you can ignore gas leaks and drag effects due to air resistance.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Hydrostatic Equilibrium, Conservation Laws Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2