OII na Teorica

L’ascesa del pallone

Theoretical Question 2 Page 1/2 Problema teorico n. 2 L’ascesa del pallone Un pallone gonfiato con elio e con involucro di gomma, sale e si trova via via in regioni dell’atmosfera dove pressione e temperatura diminuiscono con l’altezza. Nel rispondere alle domande di questo problema fare l’ipotesi che, indipendentemente dalla zavorra che ha, la forma del pallone rimanga sferica mentre esso sale. Supporre anche che la zavorra abbia volume trascurabile e che la temperatura dell’elio dentro il pallone sia sempre la stessa dell’aria che lo circonda. In questo problema inoltre tutti i gas vanno considerati gas perfetti. La costante universale dei gas è $R=8.31\text{J/mol}\cdot \text{K}$ e le masse di una mole, rispettivamente di elio e di aria, sono $M_H=4.00\times 10^{-3}\text{kg/mol}$ and $M_A=28.9\times 10^{-3}\text{kg/mol}$. L’accelerazione di gravità è $g=9.8{\text{m/s}}^2$. [Parte A ] (a) [1.5 punti] Indicare con $P$ la pressione dell’aria che circonda il pallone e con $T$ la sua temperatura. La pressione all’interno del pallone è più alta di quella al suo esterno a causa della tensione superficiale dell’involucro. Il pallone contiene $n$ moli di elio e la pressione al suo interno è $P+\Delta P$. Trovare la spinta di Archimede $F_B$ sul pallone espressa in funzione di $P$ e $\Delta P$. (b) [2 punti] In un esperimento condotto in Corea in un certo giorno d’estate si è trovato che la temperatura $T$ dell’aria all’altezza $z$ sul livello del mare variava secondo la legge $T(z)=T_0(1-z/z_0)$ in un intervallo di altezza $z$ tale che $0\text{km}<z<15\text{km}$ con $z_0=49$ km e $T_0=303$ K. La pressione e la densità dell’aria al livello del mare erano, rispettivamente, $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa e ${\rho }_0=1.16{\text{kg/m}}^3$. Nel medesimo intervallo di altezza l’andamento della pressione era del tipo

$P(z)=P_0(1-z/z_0{)}^{\eta }.(2.1)$

Esprimere $\eta$ in funzione di $z_0$, ${\rho }_0$, $P_0$ e $g$, e trovarne il valore numerico con due cifre significative. Considerare costante l’accelerazione di gravità, indipendentemente dalla variazione dell’altezza.

Theoretical Question 2 Page 2/2 [Parte B ] Sia $r_0$ il raggio di un pallone sferico di gomma quando contiene la massima quantità di elio tale che l’involucro non risulti in nessun modo teso. Quando il pallone viene gonfiato fino a formare una sfera di raggio $r$ ($r\ge r_0$), il suo involucro ha immagazzinato energia elastica a causa della tensione della gomma. Un semplice modello permette di esprimere l’energia elastica alla temperatura costante $T$ con la formula

$U=4\pi r_0^2\kappa RT\left(2{\lambda }^2+\frac{1}{{\lambda }^4}-3\right)(2.2)$

dove chiameremo con $\lambda =r/r_0$ ($\ge 1$) il grado di gonfiamento del pallone e dove $\kappa$ è una costante con unità di misura ${\text{mol/m}}^2$. (c) [2 punti] Esprimere $\Delta P$ in termini dei parametri dati nell’equazione (2.2) e fare uno schizzo dell’andamento di $\Delta P$ in funzione di $\lambda =r/r_0$. (d) [1.5 punti] La costante $\kappa$ può essere determinata conoscendo la quantità di gas necessaria per gonfiare il pallone. Alla temperatura $T_0=303$ K e $P_0=1.0$ atm, un pallone non teso ($\lambda =1$) contiene $n_0=12.5$ moli di elio. Si trova che sono necessarie $n=3.6n_0=45$ moli di elio in totale per gonfiare il pallone fino a che sia $\lambda =1.5$, alla medesima temperatura $T_0$ e pressione $P_0$. Per questo pallone esprimere il parametro $a$, definito come $a=\kappa /{\kappa }_0$, in termini di $n$, $n_0$ e $\lambda$, dove ${\kappa }_0\equiv \frac{r_0{P}_0}{4R{T}_0}$. Trovare il valore di $a$ con due cifre significative [Parte C] Un pallone è stato preparato come descritto nella precedente parte (d) a livello del mare (gonfiato fino a $\lambda =1.5$ con $n=3.6n_0=45$ moli di elio a $T_0=303$ K e $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa). La massa totale, incluso il pallone, il gas stesso ed altra zavorra, è $M_T=1.12$ kg. Successivamente si è lasciato che il pallone si alzi. (e) [3 punti] Supporre che il pallone si fermi all’altezza $z_f$ dove avviene che la spinta di Archimede equilibria il peso totale. Trovare $z_f$ e il “grado di gonfiamento” ${\lambda }_f$ a quell’altezza. Scrivere il risultato con due cifre significative. Supporre di poter trascurare durante la salita le perdite di gas e gli effetti di trascinamento dell’aria.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

L’ascesa del pallone

Theoretical Question 2 Page 2 and 2 Theoretical problem n. 2 The Rise of the Ball A balloon inflated with helium and with a rubber envelope, salt and is found away in regions The atmosphere where the pressure and temperature decrease with height. In replying The question of the question of the question of the The shape of the ball remains spherical as it rises. Suppose it is also a fertilizer The temperature of the helium inside the ball is always the same as the temperature of the helium inside the ball. the air around it. In this problem, all gases must also be considered. The perfect gas. The universal gas constant is $R=8.31\text{J/mol}\cdot \text{K}$ and the masses of a mole, of helium and air respectively, are $M_H=4.00\times 10^{-3}\text{kg/mol}$ and $M_A=28.9\times 10^{-3}\text{kg/mol}$. The acceleration of gravity is $g=9.8{\text{m/s}}^2$. [ Part A ] (a) [1.5 points] Indicate with $P$ the air pressure surrounding the ball and with $T$ the the temperature. The pressure inside the ball is higher than its outside at The result of the surface tension of the envelope. The ball contains $n$ Helium mills and the The pressure inside it is $P+\Delta P$. Trovare la spinta di Archimede $F_B$ sul pallone expressed in terms of $P$ e $\Delta P$. (b) [2 points] In an experiment conducted in Korea on a certain summer day, it was found that the temperature $T$ The average air temperature at $z$ above sea level varied according to the Law $T(z)=T_0(1-z/z_0)$ in an altitude range $z$ such that $0\text{km}<z<15\text{km}$ with $z_0=49$ km e $T_0=303$ K. The pressure and density of the air at sea level were, respectively, $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa e ${\rho }_0=1.16{\text{kg/m}}^3$. In the same height range the pressure trend was

$P(z)=P_0(1-z/z_0{)}^{\eta }.(2.1)$

Expressing $\eta$ depending on the $z_0$, ${\rho }_0$, $P_0$ e $g$, and find the numerical value of the value with two The number of people who have been killed is significant. Consider the acceleration of gravity constantly, regardless of the the height change.

Theoretical Question 2 The Commission shall adopt implementing acts in accordance with Article 2 (2) of this Regulation. [ Part B ] Both $r_0$ the radius of a spherical rubber ball when it contains the maximum amount of The Commission has already decided to take a decision on the proposal. When the ball is inflated to form a sphere of radius $r$ ($r\ge r_0$), its envelope has stored elastic energy due to the strain on the tyre. A simple model allows the elastic energy to be expressed at constant temperature $T$ using the formula

$U=4\pi r_0^2\kappa RT\left(2{\lambda }^2+\frac{1}{{\lambda }^4}-3\right)(2.2)$

Where we’ll call with $\lambda =r/r_0$ ($\ge 1$) the degree of swelling of the ball and where $\kappa$ è a constant with a unit of measurement ${\text{mol/m}}^2$. (c) [2 points] Express $\Delta P$ In terms of the parameters given in equation (2.2) and do one The Commission has already adopted a draft $\Delta P$ depending on the $\lambda =r/r_0$. (d) [1.5 points] The constant $\kappa$ can be determined by knowing the amount of gas required to inflate the ball. At the temperature $T_0=303$ K e $P_0=1.0$ atm, un pallone Unwrought ($\lambda =1$) contains $n_0=12.5$ moli di elio. They are found to be necessary $n=3.6n_0=45$ total helium moles for inflating the ball until it is $\lambda =1.5$, at the same temperature $T_0$ e pressione $P_0$. For this ball, express the parameter $a$, defined as $a=\kappa /{\kappa }_0$, in termini di $n$, $n_0$ and $\lambda$, where ${\kappa }_0\equiv \frac{r_0{P}_0}{4R{T}_0}$. Find the value of $a$ with two significant digits [Part C] A ball has been prepared as described in the previous part (d) at sea level (inflated to $\lambda =1.5$ with $n=3.6n_0=45$ moli di elio a $T_0=303$ K e $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa). The total mass, including the ball, the gas itself and other manure, is $M_T=1.12$ kg. Then he let the ball go up. (e) [3 points] Suppose the ball stops at height $z_f$ where the push occurs The weight of the whole of Archimedes equals the total weight. Find out $z_f$ and ‘degree of swelling’ ${\lambda }_f$ a That height. Write the result in two significant digits. Suppose you can ignore gas leaks and air drag effects during the climb.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1