IPhO 2004 — Teorica — Problema 2

L’ascesa del pallone

Theoretical Question 2 Page 1/2 Problema teorico n. 2 L’ascesa del pallone Un pallone gonfiato con elio e con involucro di gomma, sale e si trova via via in regioni dell’atmosfera dove pressione e temperatura diminuiscono con l’altezza. Nel rispondere alle domande di questo problema fare l’ipotesi che, indipendentemente dalla zavorra che ha, la forma del pallone rimanga sferica mentre esso sale. Supporre anche che la zavorra abbia volume trascurabile e che la temperatura dell’elio dentro il pallone sia sempre la stessa dell’aria che lo circonda. In questo problema inoltre tutti i gas vanno considerati gas perfetti. La costante universale dei gas è $R=8.31\text{J/mol}\cdot \text{K}$ e le masse di una mole, rispettivamente di elio e di aria, sono $M_H=4.00\times 10^{-3}\text{kg/mol}$ and $M_A=28.9\times 10^{-3}\text{kg/mol}$. L’accelerazione di gravità è $g=9.8{\text{m/s}}^2$. [Parte A ] (a) [1.5 punti] Indicare con $P$ la pressione dell’aria che circonda il pallone e con $T$ la sua temperatura. La pressione all’interno del pallone è più alta di quella al suo esterno a causa della tensione superficiale dell’involucro. Il pallone contiene $n$ moli di elio e la pressione al suo interno è $P+\Delta P$. Trovare la spinta di Archimede $F_B$ sul pallone espressa in funzione di $P$ e $\Delta P$. (b) [2 punti] In un esperimento condotto in Corea in un certo giorno d’estate si è trovato che la temperatura $T$ dell’aria all’altezza $z$ sul livello del mare variava secondo la legge $T(z)=T_0(1-z/z_0)$ in un intervallo di altezza $z$ tale che $0\text{km}<z<15\text{km}$ con $z_0=49$ km e $T_0=303$ K. La pressione e la densità dell’aria al livello del mare erano, rispettivamente, $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa e ${\rho }_0=1.16{\text{kg/m}}^3$. Nel medesimo intervallo di altezza l’andamento della pressione era del tipo

$P(z)=P_0(1-z/z_0{)}^{\eta }.(2.1)$

Esprimere $\eta$ in funzione di $z_0$, ${\rho }_0$, $P_0$ e $g$, e trovarne il valore numerico con due cifre significative. Considerare costante l’accelerazione di gravità, indipendentemente dalla variazione dell’altezza.

Theoretical Question 2 Page 2/2 [Parte B ] Sia $r_0$ il raggio di un pallone sferico di gomma quando contiene la massima quantità di elio tale che l’involucro non risulti in nessun modo teso. Quando il pallone viene gonfiato fino a formare una sfera di raggio $r$ ($r\ge r_0$), il suo involucro ha immagazzinato energia elastica a causa della tensione della gomma. Un semplice modello permette di esprimere l’energia elastica alla temperatura costante $T$ con la formula

$U=4\pi r_0^2\kappa RT\left(2{\lambda }^2+\frac{1}{{\lambda }^4}-3\right)(2.2)$

dove chiameremo con $\lambda =r/r_0$ ($\ge 1$) il grado di gonfiamento del pallone e dove $\kappa$ è una costante con unità di misura ${\text{mol/m}}^2$. (c) [2 punti] Esprimere $\Delta P$ in termini dei parametri dati nell’equazione (2.2) e fare uno schizzo dell’andamento di $\Delta P$ in funzione di $\lambda =r/r_0$. (d) [1.5 punti] La costante $\kappa$ può essere determinata conoscendo la quantità di gas necessaria per gonfiare il pallone. Alla temperatura $T_0=303$ K e $P_0=1.0$ atm, un pallone non teso ($\lambda =1$) contiene $n_0=12.5$ moli di elio. Si trova che sono necessarie $n=3.6n_0=45$ moli di elio in totale per gonfiare il pallone fino a che sia $\lambda =1.5$, alla medesima temperatura $T_0$ e pressione $P_0$. Per questo pallone esprimere il parametro $a$, definito come $a=\kappa /{\kappa }_0$, in termini di $n$, $n_0$ e $\lambda$, dove ${\kappa }_0\equiv \frac{r_0{P}_0}{4R{T}_0}$. Trovare il valore di $a$ con due cifre significative [Parte C] Un pallone è stato preparato come descritto nella precedente parte (d) a livello del mare (gonfiato fino a $\lambda =1.5$ con $n=3.6n_0=45$ moli di elio a $T_0=303$ K e $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa). La massa totale, incluso il pallone, il gas stesso ed altra zavorra, è $M_T=1.12$ kg. Successivamente si è lasciato che il pallone si alzi. (e) [3 punti] Supporre che il pallone si fermi all’altezza $z_f$ dove avviene che la spinta di Archimede equilibria il peso totale. Trovare $z_f$ e il “grado di gonfiamento” ${\lambda }_f$ a quell’altezza. Scrivere il risultato con due cifre significative. Supporre di poter trascurare durante la salita le perdite di gas e gli effetti di trascinamento dell’aria.

Topic: Fluid Mechanics, Thermodynamics, Elasticity & Materials Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Ideal Gas Law, Energy Conservation Method, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Bubble, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

The Balloon’s Ascent

Theoretical Question 2 Page 1/2 Theoretical Problem No. 2 The Balloon’s Ascent

A balloon filled with helium, enclosed in a rubber envelope, rises and gradually enters atmospheric regions where pressure and temperature decrease with altitude. When answering the questions in this problem, assume that, regardless of its ballast, the balloon maintains a spherical shape as it rises. Also assume that the ballast has negligible volume and that the temperature of the helium inside the balloon is always equal to that of the surrounding air. In this problem, all gases are considered ideal.

The universal gas constant is $R=8.31\text{J/mol}\cdot \text{K}$ and the molar masses of helium and air are respectively $M_H=4.00\times 10^{-3}\text{kg/mol}$ and $M_A=28.9\times 10^{-3}\text{kg/mol}$. The acceleration due to gravity is $g=9.8{\text{m/s}}^2$.

[Part A] (a) [1.5 points] Let $P$ denote the pressure of the surrounding air and $T$ its temperature. The internal pressure of the balloon is higher than the external pressure due to surface tension in the envelope. The balloon contains $n$ moles of helium, and the internal pressure is $P+\Delta P$. Find the buoyant force $F_B$ acting on the balloon, expressed in terms of $P$ and $\Delta P$.

(b) [2 points] In an experiment conducted in Korea on a certain summer day, it was found that the air temperature $T$ at an altitude of $z$ above sea level varied according to the law $T(z)=T_0(1-z/z_0)$ over a height interval $z$ such that $0\text{km}<z<15\text{km}$ with $z_0=49$ km and $T_0=303$ K. The pressure and density of air at sea level were, respectively, $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa and ${\rho }_0=1.16{\text{kg/m}}^3$. In the same height interval, the pressure variation followed the form

$P(z)=P_0(1-z/z_0{)}^{\eta }.(2.1)$

Express $\eta$ as a function of $z_0$, ${\rho }_0$, $P_0$ and $g$, and determine its numerical value with two significant figures. Assume the gravitational acceleration to be constant, independent of height variation.

Theoretical Question 2 Page 2/2 [Part B] Let $r_0$ be the radius of a rubber spherical balloon when it contains the maximum amount of helium such that the envelope is not under any tension. When the balloon is inflated to form a sphere of radius $r$ ($r\ge r_0$), its envelope has stored elastic energy due to rubber tension. A simple model allows expressing the elastic energy at constant temperature $T$ by the formula

$U=4\pi r_0^2\kappa RT\left(2{\lambda }^2+\frac{1}{{\lambda }^4}-3\right)(2.2)$

where we denote by $\lambda =r/r_0$ ($\ge 1$) the degree of inflation of the balloon and where $\kappa$ is a constant with units ${\text{mol/m}}^2$.

(c) [2 points] Express $\Delta P$ in terms of the parameters given in equation (2.2) and sketch the behavior of $\Delta P$ as a function of $\lambda =r/r_0$.

(d) [1.5 points] The constant $\kappa$ can be determined knowing the amount of gas required to inflate the balloon. At temperature $T_0=303$ K and pressure $P_0=1.0$ atm, a non-stretched balloon ($\lambda =1$) contains $n_0=12.5$ moles of helium. It is found that a total of $n=3.6n_0=45$ moles of helium are required to inflate the balloon until it reaches $\lambda =1.5$, at the same temperature $T_0$ and pressure $P_0$. For this balloon, express the parameter $a$, defined as $a=\kappa /{\kappa }_0$, in terms of $n$, $n_0$ and $\lambda$, where ${\kappa }_0\equiv \frac{r_0{P}_0}{4R{T}_0}$. Determine the value of $a$ with two significant figures.

[Part C] A balloon has been prepared as described in the previous part (d) at sea level (inflated to $\lambda =1.5$ with $n=3.6n_0=45$ moles of helium at $T_0=303$ K and $P_0=1\text{atm}=1.01\times 10^5$ Pa). The total mass, including the balloon itself, the gas, and additional ballast, is $M_T=1.12$ kg. Subsequently, the balloon was released and allowed to rise.

(e) [3 points] Assume that the balloon stops at height $z_f$, where the buoyant force balances the total weight. Find $z_f$ and the “degree of inflation” ${\lambda }_f$ at that height. Write the result with two significant figures. Assume that gas loss and air drag effects can be neglected during ascent.