Deformation, Hysteresis, and Bistability
Instruments and equipment: rubber cord, wooden stand with the column, wooden ruler, 6 weights by 100 g each, measuring tape, thread, and pins.
Part 1. Stretching (4.5 points)
1.1 Fix the rubber cord to one side of the wooden column with the pins provided (Fig. 1). Measure the dependence of the cord length on the gravity force of hanging weights. Carry out your measurements in two different ways:
- loading process, i.e. increasing step-by-step the number of weights from 0 to 6;
- unloading process, i.e. decreasing step-by-step the number of weights from 6 to 0.
1.2 Plot in the same graph the relative elongations of the rubber cord as a function of the gravity force of hanging weights at loading and unloading processes.
Deformazione, Esterosismo e Bistabilità
Strumenti ed attrezzature: corda di gomma, supporto in legno con colonna, righello di legno, 6 pesi da 100 g ciascuno, metro a nastro, filo e spilli.
Parte 1. Estensione (4,5 punti)
1.1 Fissa la corda di gomma su un lato della colonna in legno utilizzando gli spilli forniti (Fig. 1). Misura come varia la lunghezza della corda in funzione della forza di gravità dei pesi appesi. Effettua le misurazioni in due modi diversi:
- processo di carico, cioè aumentando gradualmente il numero di pesi da 0 a 6;
- processo di scarico, cioè diminuendo gradualmente il numero di pesi da 6 a 0.
1.2 Disegna nello stesso grafico le elongazioni relative della corda di gomma in funzione della forza di gravità dei pesi appesi sia durante il processo di carico che di scarico.
Deformation, Hysteresis, and Bistability
Instruments and equipment: rubber cord, wooden stand with the column, wooden ruler, 6 weights by 100 g each, measuring tape, thread, and pins.
Part 2. Equilibrium (7.5 points)
Place the ruler near the vertical wall of the column as shown in Fig. 2. Attach the rubber cord to the top of the ruler with the pins provided. Attach the other end of the cord to the column with the pins. The cord length in the unstrained state should be about 8 cm. The distance from the lower edge of the ruler to the top of the vertical column of the stand (see Fig. 2) is equal to the ruler length. Tie a thread to the top of the ruler so that the weights could be hanged on.
Attention! You will have to measure the length of the cord with different number of hanging weights.
Attaching the rubber cord, keep both sides to have the same length. For the sake of security wrap the rubber cord around the pins several times. Tie a knot at the end of the thread, attach it to the ruler upper side with the pins, and then put it over the upper edge of the ruler.
All measurements should be carried out very carefully: if you change the number of weights, hold the ruler by hand, then slowly move it downward or move upward until it comes into equilibrium, try to avoid oscillation of the weights. You can gently move the lower edge of the ruler horizontally along the column to find a more stable position of the ruler with the weights.
Theoretical description
2.1 Show that the condition of equilibrium of the ruler fixed as described above has the form:
F(l) = mg \frac{l}{a},\tag{1}
where is the length of the cord, denotes the elastic force of the cord at its length , stands for the length of the ruler, is the gravity force of hanging weights.
2.2 Using the data obtained in the first part of this experimental problem, plot in the same graph the dependences of the elastic force as a function of the length of the rubber cord at loading and unloading processes. Please, do not forget that the initial length of the cord in this part of the experiment is different from that of the previous Part 1! In the same graph, plot 6 graphs for each of the six possible number of weights.
2.3 Using these plots find values of the cord length corresponding to equilibrium positions at various number of weights in two cases: for the loading and for the unloading processes. Plot in the same graph the cord lengths in the equilibrium position against the gravity force of hanging weights for the loading (consecutive increase in the number of weights) and unloading processes (consecutive decrease in the number of weights).
Experiment
2.4 Conduct measurements of the dependence of the cord length in the equilibrium as a function of the gravity force of hanging weights. Measurements are to be made in two ways, i.e. for loading and unloading processes.
2.5 In the same plot you drawn in Section 2.3, plot the obtained experimental curves.
Deformazione, Isteresi e Bistabilità
Strumenti ed attrezzature: corda di gomma, supporto in legno con colonna, righello di legno, 6 pesi da 100 g ciascuno, metro a nastro, filo e pin.
Parte 2. Equilibrio (7,5 punti)
Posiziona il righello vicino alla parete verticale della colonna come mostrato nella Figura 2. Attacca la corda di gomma alla parte superiore del righello utilizzando i pin forniti. Connetti l’altra estremità della corda alla colonna con i pin; la lunghezza della corda in stato non teso dovrebbe essere di circa 8 cm. La distanza dalla parte inferiore del righello alla sommità della colonna verticale del supporto (vedi Figura 2) è uguale alla lunghezza del righello. Lega un filo alla parte superiore del righello in modo che i pesi possano essere appesi.
Attenzione! Dovrai misurare la lunghezza della corda con diversi numeri di pesi appesi.
Quando attacchi la corda di gomma, assicurati che entrambe le estremità abbiano la stessa lunghezza. Per sicurezza, avvolgi più volte la corda intorno ai pin. Fa un nodo all’estremità del filo, attaccalo alla parte superiore del righello con i pin e poi passalo sopra il bordo superiore del righello.
Tutte le misurazioni devono essere eseguite con molta attenzione: se cambi il numero di pesi, tieni il righello con la mano e poi muovilo lentamente verso il basso o verso l’alto fino a quando non raggiunge l’equilibrio; cerca di evitare che i pesi oscillino. Puoi spostare delicatamente la parte inferiore del righello orizzontalmente lungo la colonna per trovare una posizione più stabile con i pesi appesi.
Descrizione teorica
2.1 Dimostra che la condizione di equilibrio del righello, come descritto sopra, ha la seguente forma:
F(l) = mg \frac{l}{a},\tag{1}
dove è la lunghezza della corda, rappresenta la forza elastica della corda alla sua lunghezza , indica la lunghezza del righello e è la forza di gravità dei pesi appesi.
2.2 Utilizzando i dati ottenuti nella prima parte di questo problema sperimentale, traccia nello stesso grafico le dipendenze della forza elastica in funzione della lunghezza della corda di gomma durante i processi di carico e scarico. Ricorda che la lunghezza iniziale della corda in questa parte dell’esperimento è diversa da quella della Parte 1! Nello stesso grafico, traccia 6 curve per ciascuno dei sei possibili numeri di pesi.
2.3 Utilizzando queste curve, trova i valori della lunghezza della corda corrispondenti alle posizioni di equilibrio con diversi numeri di pesi in due casi: durante il processo di carico e quello di scarico. Traccia nello stesso grafico le lunghezze della corda nelle posizioni di equilibrio in funzione della forza di gravità dei pesi appesi, sia per il processo di carico (aumento progressivo del numero di pesi) che per quello di scarico (diminuzione progressiva del numero di pesi).
Sperimento
2.4 Effettua misurazioni sulla dipendenza della lunghezza della corda in equilibrio in funzione della forza di gravità dei pesi appesi. Le misurazioni devono essere eseguite in due modi, cioè per i processi di carico e scarico.
2.5 Nello stesso grafico tracciato nella Sezione 2.3, disegna le curve sperimentali ottenute.
Deformation, Hysteresis, and Bistability
Instruments and equipment: rubber cord, wooden stand with the column, wooden ruler, 6 weights by 100 g each, measuring tape, thread, and pins.
Part 3. Bistability (3 points)
If the lower edge of the ruler is shifted away from the vertical column (see Fig. 3), then at a certain length of the rubber cord and some number of weights it is possible to find two stable equilibrium positions of the ruler (bistability): the first one closer to the vertical, the second one closer to the horizon. In this Part you have to determine the conditions under which the bistability occurs.
We can show (but you do not need to do that!) that for the small displacement of the lower edge of the ruler, the equilibrium condition (1) is approximately described by the following formula:
F(l) = mg \frac{l - \delta}{a}.\tag{2}
3.1 Plot schematically in the figure taken from section 2.3 such a function that it represents the existence of two stable equilibrium positions and mark them on the figure.
function you can vary both parameters and at your will.
3.2. The length of the free part of the rubber cord should be the same as in Part 2. Find experimentally two stable equilibrium positions of the ruler at the same number of weights. Find and write down at which number of weights those two stable positions really exist. Measure and write down the two lengths of the rubber cord at which these two equilibrium positions are achieved.
To search for the two equilibrium positions: a) put the ruler almost vertically and allow it to go down slightly holding by hand, b) stretch the cord until the ruler is almost in horizontal position and allow it to rise slowly holding gently by hand. Repeat these procedures several times!
When you try to find the bistability you are allowed to change slightly the free length of the rubber cord. If this length is changed, please, measure it and write down its new value (in cm).
Deformazione, Isteresi e Bistabilità
Strumenti ed attrezzature: corda di gomma, supporto in legno con colonna, righello di legno, 6 pesi da 100 g ciascuno, metro a nastro, filo e spilli.
Parte 3. Bistabilità (3 punti)
Se il bordo inferiore del righello viene spostato lontano dalla colonna verticale (vedi Fig. 3), allora, con una certa lunghezza di corda di gomma e un certo numero di pesi, è possibile ottenere due posizioni di equilibrio stabili per il righello (bistabilità): la prima più vicina alla verticale, la seconda più vicina all’orizzonte. In questa parte dovete determinare le condizioni sotto cui si verifica la bistabilità.
Possiamo dimostrare (ma non è necessario farlo!) che, per una piccola spostamento del bordo inferiore del righello, la condizione di equilibrio (1) può essere approssimativamente descritta dalla seguente formula:
F(l) = mg \frac{l - \delta}{a}.\tag{2}
3.1 Disegnate schematicamente nella figura tratta dalla sezione 2.3 una funzione che rappresenti l’esistenza di due posizioni di equilibrio stabili, e segnalatene le posizioni sulla figura.
Per la funzione potete variare liberamente i parametri e a piacimento.
3.2 La lunghezza della parte libera della corda di gomma deve essere la stessa utilizzata nella Parte 2. Determinate sperimentalmente due posizioni di equilibrio stabili per il righello, utilizzando lo stesso numero di pesi. Indicate esattamente a quale numero di pesi queste due posizioni si verificano. Misurate e annotate le due lunghezze della corda di gomma alle quali vengono raggiunte queste posizioni di equilibrio.
Per individuare le due posizioni di equilibrio: a) posizionate il righello quasi verticalmente e lasciatelo scendere leggermente tenendolo con la mano; b) tese la corda fino a quando il righello non è quasi orizzontale e lasciatelo salire lentamente tenendolo delicatamente. Ripetete queste operazioni più volte!
Quando cercate di ottenere la bistabilità, potete modificare leggermente la lunghezza libera della corda di gomma. Se questa lunghezza cambia, per favore misuratela e annotate il suo nuovo valore (in cm).