IZhO 2016

Problem 1 (10.0 points)

Theoretical competition — 15 January 2016 (XII IZhO). The theoretical competition lasts 4 hours; there are three Problems.

This problem consists of three independent parts.

Problem 1A (4.0 points)

A homogeneous planet of radius $R$ has no atmosphere and does not rotate. A stone is thrown from the surface of the planet at an angle $\alpha$ to the horizontal with the speed $v_0$, which is equal to the orbital velocity for the surface of the planet. Find the maximum height of ascent of the stone above the surface of the planet. At what range from its initial point, measured along the surface of the planet, the stone will hit the surface?

Problem 1B (3.0 points)

One mole of an ideal monatomic gas performs a process whose chart in $VT$ coordinates completely lies on a straight line. Find the heat capacity of the gas at the point $A$, equidistant from the points of intersection of the process line with the coordinate axes.

Problem 1C (3.0 points)

Two spheres with the radii $r$ and $R$ ($r<R$) with the common center divide the space into three domains. The interior of the small sphere is uniformly charged with the volume charge density $-\rho$, the domain in between the spheres is uniformly charged with the volume charge density $+\rho$, and there is no charge outside the larger sphere. Find the ratio of the radii $R/r$, at which the potential in the center of the symmetry of the system is equal to the potential at infinity.

Problema 1 (10,0 punti)

Competizione teorica – 15 gennaio 2016 (XII IZhO). La competizione teorica dura 4 ore; ci sono tre problemi.

Questo problema è composto da tre parti indipendenti.

Problema 1A (4,0 punti)

Un pianeta omogeneo di raggio $R$ non possiede atmosfera e non ruota. Una pietra viene lanciata dalla superficie del pianeta con un angolo $\alpha$ rispetto all’orizzontale con velocità $v_0$, uguale alla velocità orbitale alla superficie del pianeta. Determinare l’altezza massima raggiunta dalla pietra al di sopra della superficie del pianeta. A quale distanza dal punto di lancio, misurata lungo la superficie del pianeta, la pietra ricadrà sulla superficie?

Problema 1B (3,0 punti)

Una mole di un gas ideale monatomico subisce un processo il cui grafico nelle coordinate $VT$ si trova interamente su una retta. Determinare la capacità termica del gas nel punto $A$, equidistante dai punti di intersezione della linea del processo con gli assi delle coordinate.

Problema 1C (3,0 punti)

Due sfere di raggi $r$ e $R$ ($r<R$), con centro comune, dividono lo spazio in tre regioni. L’interno della sfera più piccola è carico uniformemente con una densità di carica volumetrica pari a $-\rho$, la regione compresa tra le due sfere è carica uniformemente con una densità di carica volumetrica pari a $+\rho$, mentre all’esterno della sfera più grande non vi è alcuna carica. Determinare il rapporto tra i raggi $R/r$ per cui il potenziale nel centro di simmetria del sistema è uguale al potenziale all’infinito.

Problem 2. Equilibrium in terms of potential energy (10.0 points)

One of the widely known principles of the general physics is that every system tends to decrease its potential energy, and the stable equilibrium position corresponds to the state with the minimum of its value.

In this problem the interaction of the liquid with the solid surface is studied. To describe this interaction the following parameters are introduced:

• ${\sigma }_0$ is the surface tension at the interface between the liquid and the air;
• ${\sigma }_1$ is the surface tension at the interface between the liquid and solid;
• ${\sigma }_2$ is the surface tension at the interface between the solid and the air;
• $\theta$ is the contact angle (wetting angle).

The values ${\sigma }_0$, ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ designate the surface energy per unit area of contact between media.

In all parts of the problem, use the following numerical values for water:

• the surface tension ${\sigma }_0=0,072\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$;
• the contact angle $\theta =20^{\circ }$;
• the mass density $\rho =1,0\cdot 10^3\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$;
• the acceleration of gravity $g=9,8\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

1. Introduction (1.0 points)

1. [1.0 points] Prove that the change in the surface energy at the liquid-solid interface is found as

$\Delta U_s=-{\sigma }_0\cos \theta \Delta S,(1)$

where $\Delta S$ stands for the change in the area of the contact between the liquid and solid.

2. Water in a vertical cylindrical tube (2.0 points)

The open tube with the inner radius $R=1,0\mathrm{mm}$ is lowered vertically so that its lower end touches the surface of the water.

Let a water level in the tube be at a certain height $h$, which does not necessarily correspond to its equilibrium value.

2.1 [0.5 points] Find the formula for the change in the surface energy of the system $\Delta U_S$ that corresponds to an additional small rise of water level $\Delta h$ in the tube.

2.2 [0.5 points] Find the formula for the change in the potential energy $\Delta U_G$ of the liquid in the gravitational field that corresponds to an additional small rise of water level $\Delta h$ in the tube.

2.3 [1.0 points] Using the principle of the minimum potential energy, find the formula for the height of the water in the tube $h_0$ in equilibrium position. Calculate its numerical value from the quantities provided above.

3. Water in a vertical conical tube (4.0 points)

A long conical tube is vertically lowered into the water so that its lower end touches the surface of the water. The inner radius of the tube at its lower base is equal to $R=1,0\mathrm{mm}$, and its inner radius at the upper base is close to zero. The tube walls make an angle $\alpha$ with the vertical.

Note: in the following neglect any change in the surface energy at the interface between the liquid and the air.

Let a water level in the tube be at a certain height $h$, which does not necessarily correspond to its equilibrium value.

3.1 [0.5 points] Find the formula for the change in the surface energy of the system $\Delta U_S$ that corresponds to an additional small rise of water level $\Delta h$ in the tube.

3.2 [0.5 points] Find the formula for the change in the potential energy $\Delta U_G$ of the liquid in the gravitational field that corresponds to an additional small rise of water level $\Delta h$ in the tube.

3.3 [1.0 points] Find the equation that determines the height of water in the tube in equilibrium position and rewrite it in terms of ${\sigma }_0,\theta ,\alpha$ and the value of $h_0$ found in 2.3.

3.4 [1.0 points] Let an angle be $\alpha =1,0\times 10^{-2}\mathrm{rad}$. The tube is partially filled with water up to a certain level $H$. Find the dependence of the ultimate height of the water level in the tube as a function of $H$.

3.5 [1.0 points] Specify the range of angles $\alpha$ (providing its numerical values) at which the water completely fills the tube.

4. Outflow of water (3.0 points)

A bottle is completely filled with water, sealed tightly with the cork and turned upside down. Two identical round holes of radii $R$ are drilled in the cork.

4.1 [3.0 points] At what minimum value of the hole radius the water will pour out of the bottle?

Mathematical tips Rather small convex spherically shaped surface can be approximately described by a function $z=h\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right),$ where $R$ denotes the radius of the bulge with $h$ being its height such that $h\ll R$. Then, up to higher orders the area of the spherical part of the bulge is found as $S=\pi \left(R^2+h^2\right),$ and its potential energy in the gravitational field is derived as $U=\frac{\pi R^2{h}^2}{6}\rho g.$

Problema 2. Equilibrio in termini di energia potenziale (10,0 punti)

Uno dei principi più noti della fisica generale è che ogni sistema tende a ridurre la propria energia potenziale, e la posizione di equilibrio stabile corrisponde allo stato in cui tale valore è minimo.

In questo problema viene studiata l’interazione tra il liquido e la superficie solida. Per descrivere questa interazione vengono introdotti i seguenti parametri:

• ${\sigma }_0$ è la tensione superficiale all’interfaccia tra il liquido e l’aria;
• ${\sigma }_1$ è la tensione superficiale all’interfaccia tra il liquido e la sostanza solida;
• ${\sigma }_2$ è la tensione superficiale all’interfaccia tra la sostanza solida e l’aria;
• $\theta$ è l’angolo di contatto (angolo di bagnabilità).

I valori ${\sigma }_0$, ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ indicano l’energia superficiale per unità di area di contatto tra i due mezzi.

In tutte le parti del problema, si usino i seguenti valori numerici relativi all’acqua:

• la tensione superficiale ${\sigma }_0=0,072\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$;
• l’angolo di contatto $\theta =20^{\circ }$;
• la densità di massa $\rho =1,0\cdot 10^3\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$;
• l’accelerazione di gravità $g=9,8\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

1. Introduzione (1,0 punto)

1. [1,0 punto] Dimostrare che la variazione dell’energia superficiale all’interfaccia liquido-solido si calcola come

$\Delta U_s=-{\sigma }_0\cos \theta \Delta S,(1)$

dove $\Delta S$ rappresenta la variazione dell’area di contatto tra il liquido e il solido.

2. L’acqua in un tubo cilindrico verticale (2,0 punti)

Il tubo aperto, con raggio interno $R=1,0\mathrm{mm}$, viene abbassato verticalmente in modo che la sua estremità inferiore tocchi la superficie dell’acqua.

Supponiamo che il livello dell’acqua all’interno del tubo si trovi a una certa altezza $h$, che non corrisponde necessariamente al suo valore di equilibrio.

2.1 [0,5 punti] Trovare la formula per il cambiamento dell’energia superficiale del sistema $\Delta U_S$ che corrisponde a un piccolo aumento del livello dell’acqua $\Delta h$ nel tubo.

2.2 [0,5 punti] Trovare la formula per il cambiamento dell’energia potenziale $\Delta U_G$ del liquido nel campo gravitazionale che corrisponde a un piccolo aumento del livello dell’acqua $\Delta h$ nel tubo.

2.3 [1,0 punti] Utilizzando il principio dell’energia potenziale minima, trovare la formula per l’altezza dell’acqua nel tubo $h_0$ nella posizione di equilibrio. Calcolarne il valore numerico utilizzando le quantità fornite sopra.

3. Acqua in un tubo conico verticale (4,0 punti)

Un lungo tubo conico viene immerso verticalmente nell’acqua in modo che la sua estremità inferiore tocchi la superficie dell’acqua. Il raggio interno della base inferiore del tubo è pari a $R=1\mathrm{mm}$, mentre il raggio interno della base superiore è quasi nullo. Le pareti del tubo formano un angolo $\alpha$ rispetto alla verticale.

Nota: Nella seguente analisi si ignora qualsiasi variazione dell’energia superficiale all’interfaccia tra il liquido e l’aria.

Si supponga che il livello dell’acqua nel tubo sia a un’altezza $h$, che non corrisponde necessariamente al suo valore di equilibrio.

3.1 [0,5 punti] Trovare la formula per il cambiamento dell’energia superficiale del sistema $\Delta U_S$ che corrisponde a un piccolo aumento del livello dell’acqua $\Delta h$ nel tubo.

3.2 [0,5 punti] Trovare la formula per il cambiamento dell’energia potenziale $\Delta U_G$ del liquido nel campo gravitazionale che corrisponde a un piccolo aumento del livello dell’acqua $\Delta h$ nel tubo.

3.3 [1,0 punti] Trovare l’equazione che determina l’altezza dell’acqua nel tubo in posizione di equilibrio e riscriverla in termini di ${\sigma }_0,\theta ,\alpha$ e del valore di $h_0$ trovato in 2.3.

3.4 [1,0 punti] Si supponga che l’angolo sia $\alpha =1,0\times 10^{-2}\mathrm{rad}$. Il tubo è parzialmente riempito d’acqua fino a un certo livello $H$. Trovare la dipendenza dell’altezza massima del livello dell’acqua nel tubo in funzione di $H$.

3.5 [1,0 punti] Indicare l’intervallo di angoli $\alpha$ (con i relativi valori numerici) per cui l’acqua riempie completamente il tubo.

4. Fuoriuscita dell’acqua (3,0 punti)

Una bottiglia è completamente piena d’acqua, chiusa ermeticamente con il tappo e capovolta. Nel tappo sono praticati due fori rotondi identici di raggio $R$.

4.1 [3,0 punti] A quale valore minimo del raggio dei fori l’acqua inizierà a fuoriuscire dalla bottiglia?

Suggerimenti matematici Una superficie convessa di dimensioni abbastanza piccole può essere approssimativamente descritta dalla funzione $z=h\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right),$ dove $R$ rappresenta il raggio del rigonfiamento e $h$ la sua altezza, con l’ipotesi che $h\ll R$. L’area della parte sferica del rigonfiamento può essere calcolata come $S=\pi \left(R^2+h^2\right),$ mentre la sua energia potenziale nel campo gravitazionale è data da $U=\frac{\pi R^2{h}^2}{6}\rho g.$

Problem 3. Nonlinear capacitor (10.0 points)

The electrical circuit contains the voltage source $U_0$ connected in series with the resistor $R=1,00\mathrm{k\Omega }$ and the nonlinear capacitor, whose capacitance depends on the voltage across it and is graphically shown in the figure below.

Note: to solve this problem you may need to use some piece of squared paper provided under the graph,

1. [0.75 points] Assume that $U_0=5,0\mathrm{V}$. Find the charge of the capacitor, which appears on its plates after a sufficiently long period of time.

Suppose that at the initial time moment the charge of the capacitor is zero, and the voltage source provides $U_0=10\mathrm{V}$. It is seen from the graph that the capacitance of the capacitor at this voltage goes to infinity, i.e. $C(10\mathrm{V})=\infty$.

2. [0.25 points] How long does it take for a capacitor to be charged to the voltage $U_0=10\mathrm{V}$?

3. [3.0 points] Find the time moment $t$, when the charge of the capacitor is equal to $q=4,0\mu \mathrm{Cl}$.

4. [0.5 points] Find the time interval $\Delta t$ at which the charge of the capacitor grows from $q_0=4,0\mu \mathrm{Cl}$ to $q=8,0\mu \mathrm{Cl}$.

5. [0.5 points] Find the charge of the capacitor at the time moment $t_0=3,0\mathrm{ms}$.

Let a source provide a constant voltage with a small portion of alternating voltage such that $U_0=U+\delta U\sin \omega t=[5,000+0,100\sin \omega t]\mathrm{V}$, where $\omega =2500rad/s$. After a sufficiently long period of time electrical oscillations of voltage and current are set up in the circuit.

6. [0.5 points] What is the phase difference $\phi$ between the voltage oscillations across the capacitor and the resistor?

7. [4.0 points] Find the dependence of the electric current in the circuit $I(t)$ as a function of time.

8. [0.5 points] Find the voltage across the capacitor $U_C(t)$ as a function of time.

Problema 3. Condensatore non lineare (10,0 punti)

Il circuito elettrico contiene una sorgente di tensione $U_0$ collegata in serie con la resistenza $R=1\mathrm{k\Omega }$ e un condensatore non lineare, la cui capacità dipende dalla tensione applicata ed è rappresentata graficamente nella figura sottostante.

Nota: Per risolvere questo problema potrebbe essere necessario utilizzare il foglio di carta quadrettato fornito sotto la figura.

1. [0,75 punti] Si assuma che $U_0=5\mathrm{V}$. Determinare la carica del condensatore che si accumula sulle sue piastre dopo un periodo di tempo sufficientemente lungo.

Si supponga che al momento iniziale la carica del condensatore sia zero e che la sorgente di tensione fornisca $U_0=10\mathrm{V}$. Dal grafico si evince che la capacità del condensatore a questa tensione tende all’infinito, cioè $C(10\mathrm{V})=\infty$.

2. [0,25 punti] Quanto tempo è necessario perché un condensatore venga caricato fino alla tensione di $U_0=10\mathrm{V}$?

3. [3,0 punti] Determinare il momento temporale $t$ in cui la carica del condensatore è uguale a $q=4\mu \mathrm{Cl}$.

4. [0,5 punti] Calcolare l’intervallo di tempo $\Delta t$ durante il quale la carica del condensatore aumenta da $q_0=4\mu \mathrm{Cl}$ a $q=8\mu \mathrm{Cl}$.

5. [0,5 punti] Determinare la carica del condensatore al momento temporale $t_0=3\mathrm{ms}$.

Si supponga che una sorgente fornisca una tensione costante con una piccola componente di tensione alternata, tale che $U_0=U+\delta U\sin \omega t=[5,000+0,100\sin \omega t]\mathrm{V}$, dove $\omega =2500rad/s$. Dopo un periodo di tempo sufficientemente lungo, nel circuito si stabiliscono oscillazioni elettriche di tensione e corrente.

6. [0,5 punti] Qual è la differenza di fase $\phi$ tra le oscillazioni di tensione sul condensatore e quelle sul resistore?

7. [4,0 punti] Determinare la dipendenza della corrente elettrica nel circuito $I(t)$ in funzione del tempo.

8. [0,5 punti] Calcolare la tensione sul condensatore $U_C(t)$ in funzione del tempo.