IZhO 2021

Problem 1 (10.0 points)

Theoretical competition — 8 January 2021 (XVII IZhO).

This problem consists of three independent parts.

Problem 1.1 (4.0 points)

Water of mass density $\rho =1.00g/s{m}^3$ is poured into a vertical $U$-shaped tube of small constant cross-section $s=8.00s{m}^2$, such that the total length of water in both legs is $l=50.0sm$. Two pistons are placed into one leg of the tube with the spring of stiffness $k=1.00N/m$ in between. The pistons are watertight and can slide along the tube without friction. At the initial moment, a weight of mass $m=10.0g$ is placed on the upper piston. Determine the possible frequencies of small harmonic vibrations of the system near a new equilibrium position. The mass of the pistons and the spring can be neglected, the acceleration of gravity is equal to $g=9.80m/s^2$. Consider water as an ideal incompressible liquid.

Problem 1.2 (3.0 points)

Some insects, such as water striders, are capable of moving freely on the water surface, because their legs are densely covered with non-wetting hairs. To understand why this turns possible, consider the following model problem. A square plate with the side $a=10.0sm$ and thickness $h=2.00mm$ is carefully laid on the water surface. The density of the plate material is equal to $\rho =1.10g/s{m}^3$, the density of water is ${\rho }_0=1.00g/s{m}^3$, and its surface tension constitutes $\sigma =7.30\cdot 10^{-2}N/m$. Find the maximum mass $m$ of a weight that can be put on the plate so that it still does not sink. Assume that the weight does not deform the plate, the acceleration of free fall is $g=9.80m/s^2$.

Problem 1.3 (3.0 points)

The electrical circuit shown schematically in the figure consists of three capacitors with capacities $C_1$, $C_2$ and $C_3$, a coil of inductance $L$ and a source of constant voltage $U_0$. At the initial moment of time, the capacitors are not charged, and the current in the coil is zero. The switch $K$ is shorted. Find the maximum current $I_{max}$ through the coil and determine the minimum voltage $U_{min}$ across the capacitor $C_2$. Assume that the resistance of the connecting wires is rather small.

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics, Circuits Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Kirchhoff’s Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning

Problema 1 (10,0 punti)

Prova teorica – 8 gennaio 2021 (XVII IZhO).

Questo problema è composto da tre parti indipendenti.

Problema 1.1 (4,0 punti)

Acqua con una densità di massa di $\rho =1,00g/s{m}^3$ viene versata in un tubo verticale a forma di “U” la cui sezione trasversale costante è $s=8,00s{m}^2$, in modo che la lunghezza totale dell’acqua in entrambe le braccia del tubo sia $l=50,0sm$. Due pistoni vengono posizionati in una delle braccia del tubo, separati da una molla la cui rigidezza è $k=1,00N/m$. I pistoni sono ermetici e possono scorrere lungo il tubo senza attrito. Nel momento iniziale, un peso di massa $m=10,0g$ viene posto sul pistone superiore. Determinare le possibili frequenze delle piccole vibrazioni armoniche del sistema in prossimità di una nuova posizione di equilibrio. La massa dei pistoni e della molla può essere trascurata; l’accelerazione di gravità è pari a $g=9,80m/s^2$. Si consideri l’acqua come un liquido ideale incompressibile.

Problema 1.2 (3,0 punti)

Alcuni insetti, come i gerridi, sono in grado di muoversi liberamente sulla superficie dell’acqua perché le loro zampe sono fittamente ricoperte di peli non bagnabili. Per comprendere il motivo di questo fenomeno, consideriamo il seguente modello. Una lastra quadrata con lato $a=10,0sm$ e spessore $h=2,00mm$ viene posizionata con cura sulla superficie dell’acqua. La densità del materiale della lastra è $\rho =1,10g/s{m}^3$, quella dell’acqua è ${\rho }_0=1,00g/s{m}^3$, e la tensione superficiale è $\sigma =7,30\cdot 10^{-2}N/m$. Determinare la massa massima $m$ di un pesetto che può essere posto sulla lastra senza che questa affondi. Si assuma che il peso non deformi la lastra e che l’accelerazione di caduta libera sia $g=9,80m/s^2$.

Problema 1.3 (3,0 punti)

Il circuito elettrico mostrato schematicamente nella figura è composto da tre condensatori con capacità rispettivamente $C_1$, $C_2$ e $C_3$, da un induttore di induttanza $L$ e da una sorgente di tensione costante $U_0$. Nel momento iniziale, i condensatori non sono caricati e la corrente nell’induttore è zero. L’interruttore $K$ viene chiuso. Determinare la corrente massima $I_{max}$ che attraversa l’induttore e la tensione minima $U_{min}$ ai capi del condensatore $C_2$. Si assuma che la resistenza dei cavi di connessione sia piuttosto piccola.

Problem 2. Thermodynamics of one-component plasma (10.0 points)

Plasma, considered a fourth state of matter, is an ionized gas containing electrons, ions and neutral particles. In a plasma, particle concentrations and temperatures vary over a very wide range, so that a great variety of physical effects can play an essential role. Therefore, at present, a great deal of plasma models have been developed, and this problem deals with one of them, which is called a one-component plasma model. Namely, let us consider a fully ionized plasma with no neutral particles present, which consists of positively charged deuterium nuclei moving against a neutralizing uniformly charged background formed by electrons. This model is a very good approximation for ultrahigh-pressure plasmas occurring at the center of white dwarfs and giant planets like Jupiter. Let the charge and the mass of deuterium nuclei be $e=1.602\cdot 10^{-19}Cl$ and $m=3.44\cdot 10^{-24}g$ respectively, and their concentration be $n=1,62\cdot 10^{27}s{m}^{-3}$ at temperature $T=1.76\cdot 10^{4}K$. Under these conditions, an essential role is played by the interaction between deuterium nuclei, which are located at the sites of a cubic lattice, whose two-dimensional projection is shown in Figure 2.1. Plasma must preserve its neutrality, therefore, each cube with a nucleus located in its center is neutral and referred to as a unit cell. The field produced by each cubic cell is rather complicated, and instead the system is formally reduced to spherical cells, whose two-dimensional projection is depicted in Figure 2.2. The justification of such a replacement is not obvious and depends on the type of problems under investigation.

In numerical calculations, consider the following known: Boltzmann’s constant $k_B=1.38\cdot 10^{-23}J/K$, the vacuum permittivity ${\epsilon }_0=8,85\cdot 10^{-12}F/m$.

Figure 2.1. Two-dimensional projection of a one-component plasma model with cubic cells.

Figure 2.2. Two-dimensional projection of a one-component plasma model with spherical cells.

2.1 Calculate the smallest distance $a$ between neighboring nuclei.

2.2 Show that interaction energy between nuclei plays a significant role under the given conditions. To do this, estimate the ratio $\Gamma$ of the interaction energy of neighboring nuclei to their thermal energy. Neglect the presence of a neutralizing background.

2.3 Calculate the bulk charge density $\rho$ of a spherical cell in a one-component plasma model.

2.4 Calculate the potential difference between two points of a spherical cell located at distances $a/2$ and $a/4$ respectively.

2.5 Calculate the frequency of small oscillations ${\omega }_p$ of a nucleus near the equilibrium position in a spherical cell.

2.6 At the given plasma temperature, estimate the rms amplitude $A$ of oscillations of nuclei near their equilibrium position.

2.7 The internal energy $U$ of a one-component plasma, containing $N$ spherical cells in the volume $V$, has the form

$U={\alpha }_{1}N+{\alpha }_2\frac{N^{4/3}}{V^{1/3}}.$

Determine constants ${\alpha }_1$ and ${\alpha }_2$.

The plasma state of matter is a promising working body for the controlled nuclear fusion. The main problem in the implementation of nuclear fusion is to overcome the so-called Coulomb barrier, which is the Coulomb repulsion between positively charged nuclei. Note that the presence of the neutralizing background of nuclei results in lowering of the Coulomb barrier, since the repulsive force between nuclei decreases. Consider the process of two fusing cells, which occurs as follows. Two cells fuse into one spherical cell with the same bulk density of the neutralizing background, and a new nucleus appears in its center, formed by the fusion of two initial nuclei.

2.8 Calculate the Coulomb barrier lowering for the fusion of two deuterium nuclei cells under given conditions.

The expression for the internal energy of a one-component plasma in the vell model in 2.7 above is interesting in that it explicitly depends on the volume, which is characteristic for nonideal systems. Let a thermodynamic state of the system, whose composition remains unchanged, be depicted by a dot on the pressure ($P$) – volume ($V$) diagram. In this diagram consider a process consisting of two isotherms $AB$ and $CD$, as well as two adiabats $BC$ and $AD$. Variations in volumes, temperatures and pressures in this process may be considered so small that the quadrilateral $ABCD$ can be assumed a parallelogram.

2.9 Using the above cycle, express the derivative $(\partial U/\partial V{)}_T$ of the internal energy with respect to volume at a fixed temperature in terms of the derivative $(\partial P/\partial T{)}_V$ of the pressure with respect to temperature at a fixed volume as well as the temperature $T$ and pressure $P$ of the system.

2.10 The pressure $P$ of a one-component plasma, containing $N$ spherical cells in the volume $V$, has the form

$P={\beta }_1\frac{N}{V}+{\beta }_2{\left(\frac{N}{V}\right)}^{{\beta }_3}.$

Determine constants ${\beta }_1$, ${\beta }_2$ and ${\beta }_3$. Calculate the numerical value of the pressure for the plasma parameters given in the problem statement.

Topic: Thermodynamics, Electrostatics Metodi: First Law of Thermodynamics, Coulomb’s Law, Statistical Averaging Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning

Problema 2. Termodinamica del plasma monocomponente (10,0 punti)

Il plasma, considerato il quarto stato della materia, è un gas ionizzato che contiene elettroni, ioni e particelle neutre. In un plasma, le concentrazioni di particelle e le temperature variano su un intervallo molto ampio, quindi una grande varietà di effetti fisici può svolgere un ruolo essenziale. Pertanto, al momento sono stati sviluppati molti modelli del plasma, e questo problema riguarda uno di essi, chiamato modello di plasma monocomponente. In particolare, consideriamo un plasma completamente ionizzato privo di particelle neutre, costituito da nuclei di deuterio carichi positivamente che si muovono su uno sfondo neutralizzante uniformemente carico formato dagli elettroni. Questo modello rappresenta un’ottima approssimazione per i plasmi ad altissima pressione presenti al centro delle nane bianche e dei pianeti giganti come Giove. Siano la carica e la massa dei nuclei di deuterio rispettivamente $e=1,602\cdot 10^{-19}Cl$ e $m=3,44\cdot 10^{-24}g$, e sia la loro concentrazione $n=1,62\cdot 10^{27}s{m}^{-3}$ a una temperatura di $T=1,76\cdot 10^{4}K$. In queste condizioni, un ruolo essenziale è svolto dall’interazione tra i nuclei di deuterio, i quali si trovano nei punti di una rete cubica la cui proiezione bidimensionale è mostrata nella Figura 2.1. Poiché il plasma deve mantenere la sua neutralità, ogni cella cubica contenente un nucleo al suo centro è neutra e viene definita “cella unitaria”. Il campo generato da ciascuna cella cubica è piuttosto complesso; pertanto, formalmente il sistema viene ridotto a celle sferiche, la cui proiezione bidimensionale è rappresentata nella Figura 2.2. La motivazione di tale sostituzione non è ovvia e dipende dal tipo di problemi che si stanno studiando.

Nei calcoli numerici, si considerino i seguenti valori noti: la costante di Boltzmann $k_B=1,38\cdot 10^{-23}J/K$, la permittività del vuoto ${\epsilon }_0=8,85\cdot 10^{-12}F/m$.

Figura 2.1. Proiezione bidimensionale di un modello di plasma monocomponente con celle cubiche.

Figura 2.2. Proiezione bidimensionale di un modello di plasma monocomponente con celle sferiche.

2.1 Calcolare la minima distanza $a$ tra nuclei adiacenti.

2.2 Dimostrare che l’energia di interazione tra i nuclei svolge un ruolo significativo nelle condizioni date. A tal fine, stimare il rapporto $\Gamma$ tra l’energia di interazione dei nuclei adiacenti e la loro energia termica. Ignorare la presenza di uno sfondo neutralizzante.

2.3 Calcolare la densità di carica volumetrica $\rho$ di una cella sferica in un modello di plasma monocomponente.

2.4 Calcolare la differenza di potenziale tra due punti di una cella sferica situati a distanze rispettivamente $a/2$ e $a/4$.

2.5 Calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni ${\omega }_p$ di un nucleo in prossimità della posizione di equilibrio all’interno di una cella sferica.

2.6 Alla temperatura di plasma data, stimare l’ampiezza quadratica media $A$ delle oscillazioni dei nuclei vicino alla loro posizione di equilibrio.

2.7 L’energia interna $U$ di un plasma monocomponente, contenente $N$ celle sferiche nel volume $V$, ha la seguente forma:

$U={\alpha }_{1}N+{\alpha }_2\frac{N^{4/3}}{V^{1/3}}.$

Determinare le costanti ${\alpha }_1$ e ${\alpha }_2$.

Lo stato di plasma della materia è un promettente corpo di lavoro per la fusione nucleare controllata. Il problema principale nella realizzazione della fusione nucleare è superare la cosiddetta barriera di Coulomb, cioè la repulsione coulombiana tra i nuclei carichi positivamente. Si noti che la presenza dello sfondo neutralizzante dei nuclei porta a un abbassamento della barriera di Coulomb, poiché la forza repulsiva tra i nuclei diminuisce. Si consideri il processo di fusione di due celle, che avviene come segue. Due celle si fondono in un’unica cella sferica con la stessa densità volumica dello sfondo neutralizzante, e al suo centro compare un nuovo nucleo, formato dalla fusione dei due nuclei iniziali.

2.8 Calcolare l’abbassamento della barriera di Coulomb per la fusione di due celle di nuclei di deuterio nelle condizioni date.

L’espressione per l’energia interna di un plasma monocomponente nel modello vell riportata sopra al punto 2.7, è interessante poiché dipende esplicitamente dal volume, caratteristica dei sistemi non ideali. Supponiamo che uno stato termodinamico del sistema, la cui composizione rimane invariata, venga rappresentato da un punto nel diagramma pressione ($P$) – volume ($V$). In questo diagramma consideriamo un processo costituito da due isoterme $AB$ e $CD$, nonché da due adiabate $BC$ e $AD$. I cambiamenti di volume, temperatura e pressione in questo processo possono essere considerati così piccoli da rendere il quadrilatero $ABCD$ approssimativamente un parallelogrammo.

2.9 Utilizzando il ciclo descritto sopra, esprimere la derivata $(\partial U/\partial V{)}_T$ dell’energia interna rispetto al volume a temperatura costante, in termini della derivata $(\partial P/\partial T{)}_V$ della pressione rispetto alla temperatura a volume costante, nonché della temperatura $T$ e della pressione $P$ del sistema.

2.10 La pressione $P$ di un plasma monocomponente, contenente $N$ celle sferiche in un volume $V$, ha la seguente forma:

$P={\beta }_1\frac{N}{V}+{\beta }_2{\left(\frac{N}{V}\right)}^{{\beta }_3}.$

Determinare le costanti ${\beta }_1$, ${\beta }_2$ e ${\beta }_3$. Calcolare il valore numerico della pressione per i parametri del plasma indicati nella formulazione del problema.

Problem 3. Optical waveguide (10.0 points)

At present, various waveguides are widely used to transmit energy and information. The propagation of electromagnetic waves in waveguides differs significantly from the propagation of waves in free space, and in this problem you are asked to describe the propagation of electromagnetic waves in the simplest plane waveguide.

Description of waves

A plane monochromatic electromagnetic wave propagating along the axis $Ox$ is described by the formula

$\vec{E}(t,x)={\vec{E}}_0\cos (\omega t-kx+\phi ).(1)$

Here $\vec{E},{\vec{E}}_0$ denote the electric field strength of the wave and its amplitude, respectively, the magnitude of $k$ is called the wavenumber, $\omega$ refers to the circular wave frequency, $\phi$ signifies the initial phase, and the expression in the cosine is called the wave phase.

3.1 Express the wavenumber $k$ in terms of the wavelength $\lambda$ and the period of oscillation $T$ in terms of the angular frequency $\omega$.

3.2 Express the velocity $c$ of wave propagation in terms of $k$ and $\omega$.

In a more general case, a monochromatic plane wave is described by the function

$\vec{E}(t,\vec{r})={\vec{E}}_0\cos (\omega t-\vec{k}\cdot \vec{r}+\phi ).(2)$

In this expression, $\vec{r}$ stands for the radius vector of an arbitrary point in space, $\vec{k}$ designates the wave vector equal in magnitude to the wavenumber and pointing to the direction of wave propagation.

Let the wave vector $\vec{k}$ lie in the plane $Oxy$ and be directed at an angle $\theta$ to the axis $Ox$, as shown in the figure to the right.

3.3 Draw schematically a family of equidistant wave surfaces, which are surfaces of equal wave phases, for a plane wave described by function (2).

3.4 Write down explicitly the expression for the electric field strength of wave (2) as a function of coordinates $\vec{E}(t,x,y)$.

An ideal monochromatic wave is infinite in time and space, therefore, it cannot carry information. To transmit information, it is necessary to use either separate pulses (restricted in time) or vary the wave amplitude (wave modulation). In these cases, the wave ceases to be monochromatic, and can be represented as a sum (superposition) of monochromatic waves.

Consider a wave that is the sum of two waves propagating along the axis $Ox$: the first one having the angular frequency ${\omega }_0$ and wavenumber $k_0$; the second wave frequency is ${\omega }_0+\Delta \omega$, $\Delta \omega \ll {\omega }_0$, with the wavenumber $k_0+\Delta k$, $\Delta k\ll k_0$. Note that, in the general case, the wavenumber is a certain function of frequency $k(\omega )$.

3.5 Show that the sum of these two monochromatic waves is a modulated wave consisting of separate wave packets. Write down the formula describing the slow variation of the amplitude $A_0(x,t)$ of the resulting wave in space and time (it is called an envelope).

3.6 Determine the time duration of an individual wave packet $\tau$. Write down the relationship between the duration $\tau$ and the frequency difference $\Delta \nu =\Delta \omega /2\pi$.

3.7 Determine the spatial length of the wave packet $L$.

It turns out that the speed of the wave surface of constant phase $v_p$, which is called the phase velocity, differs from the speed of the wave packet $v_g$, which is called the group velocity. The speed of the envelope maximum can be considered a group velocity.

3.8 Find the phase velocity $v_p$ of the considered modulated wave and express it in terms of $\omega ,k,\Delta \omega ,\Delta k$.

3.9 Find the group velocity $v_g$ of the considered modulated wave and express it in terms of $\omega ,k,\Delta \omega ,\Delta k$.

3.10 Establish a relationship between phase $v_p$ and group $v_g$ velocities for electromagnetic waves in a vacuum.

Plane waveguide

In this part, consider the propagation of electromagnetic waves in a plane waveguide. The waveguide is formed by two infinite parallel conductive plates located at a distance $a$ from each other. Assume a vacuum in between the plates.

Under investigation are electromagnetic waves, whose electric field strength vectors are directed parallel to the plates (they are called TE waves). Let us introduce a coordinate system, whose $Ox$ axis lies in one of the plates, and whose $Oy$ axis is directed perpendicular to the plates.

A wave propagating along the axis $Ox$ in between the plates is described by the function

$E(t,x,y)=E_0\cos (\omega t-k_{x}x)\sin (k_{y}y),(3)$

where $\omega$ is the known circular frequency of the wave. For this wave to propagate in the waveguide without energy losses, the electric field strength on the plates must be zero.

3.11 Find the values $k_y$ at which the wave can propagate in the waveguide without energy losses.

A set of possible values $k_y$ is discrete and characterized by some integer $m$. Waves corresponding to different values of this number are called modes (types of possible waves).

3.12 Show that the wave described by function (3) can be represented as a superposition of two plane waves $E_1(t,x,y)$ and $E_2(t,x,y)$ with the wave numbers $k_0$, propagating symmetrically at angles $\pm \theta$ to the plates, see figure below.

3.13 Express the values $k_x,k_y$ in terms of the wavenumber $k_0$ and angle $\theta$.

3.14 Determine the possible angles ${\theta }_m$ at which the wave can propagate in the waveguide without energy losses. Express the values of these angles in terms of the distance $a$ between the plates and the wavelength $\lambda$ in vacuum.

3.15 Determine the phase velocities $v_p$ of the waves of each mode. Express these velocities in terms of the wave frequency $\omega$ and the speed of light $c$ in a vacuum.

Short pulses with a carrier frequency ${\omega }_0$ are supplied to the waveguide input. Since these pulses have a finite time duration $\tau$, they cannot be treated as a monochromatic wave, but instead contain a set of monochromatic components in a certain frequency range $\Delta \omega \ll {\omega }_0$. These input pulses form a set of pulses in each of the possible waveguide modes.

3.16 Determine the speed of the pulse propagation in the mode number $m$.

3.17 At what minimum distance $X$ from the waveguide input the number of pulses is to be doubled if $a/\lambda =1.2$. Express your answer in terms of the speed of light $c$ and the pulse duration $\tau$.

To avoid the appearance of “extra” pulses at the information transmission process, waveguides are used to operate in a single-mode regime, in which only one mode can propagate.

3.18 Find ratios $a/\lambda$ at which only one mode can propagate in the waveguide.

Mathematical hints for the theoretical problems. The following formulas may be useful: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\text{where }n\text{ is an integer};$ $(1+x{)}^{\gamma }\approx 1+\gamma x+\frac{\gamma (\gamma -1)}{2}{x}^2,\text{for }x\ll 1\text{ and any }\gamma .$

Topic: Oscillations & Waves, Wave Optics Metodi: Snell’s Law, Interference & Diffraction Analysis, Wave Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning

Problema 3. Guida d’onda ottica (10,0 punti)

Attualmente, diverse guide d’onda vengono ampiamente utilizzate per trasmettere energia e informazioni. La propagazione delle onde elettromagnetiche all’interno di queste guide differisce in modo significativo rispetto alla loro propagazione nello spazio libero; in questo problema vi viene chiesto di descrivere il comportamento della propagazione delle onde elettromagnetiche nella guida d’onda planare più semplice.

Descrizione delle onde

Un’onda elettromagnetica monocromatica piana che si propaga lungo l’asse $Ox$ è descritta dalla seguente formula:

$\vec{E}(t,x)={\vec{E}}_0\cos (\omega t-kx+\phi ).(1)$

Qui $\vec{E}$ e ${\vec{E}}_0$ indicano rispettivamente l’intensità del campo elettrico dell’onda e la sua ampiezza; il modulo di $k$ viene chiamata numero d’onda, $\omega$ indica la frequenza circolare dell’onda, $\phi$ rappresenta la fase iniziale, mentre l’espressione contenuta nel coseno è definita fase dell’onda.

3.1 Esprimere il numero d’onda $k$ in funzione della lunghezza d’onda $\lambda$ e il periodo di oscillazione $T$ in funzione della frequenza angolare $\omega$.

3.2 Esprimere la velocità di propagazione dell’onda $c$ in termini di $k$ e $\omega$.

In un caso più generale, un’onda piana monocromatica è descritta dalla funzione:

$\vec{E}(t,\vec{r})={\vec{E}}_0\cos (\omega t-\vec{k}\cdot \vec{r}+\phi ).(2)$

In questa espressione, $\vec{r}$ rappresenta il raggio vettore di un punto qualsiasi nello spazio, mentre $\vec{k}$ indica il vettore d’onda, il cui modulo è uguale al numero d’onda e che punta nella direzione della propagazione dell’onda.

Si supponga che il vettore d’onda $\vec{k}$ si trovi nel piano $Oxy$ e sia orientato con un angolo $\theta$ rispetto all’asse $Ox$, come mostrato nella figura a destra.

3.3 Disegnare schematicamente una famiglia di superfici d’onda equidistanti, cioè superfici caratterizzate da uguali fasi d’onda, per un’onda piana descritta dalla funzione (2).

3.4 Scrivere esplicitamente l’espressione per l’intensità del campo elettrico dell’onda (2) in funzione delle coordinate $\vec{E}(t,x,y)$.

Un’onda monocromatica ideale è infinita nello spazio e nel tempo, pertanto non può trasmettere informazioni. Per trasmettere informazioni, è necessario utilizzare impulsi separati (con durata limitata) o variare l’ampiezza dell’onda (modulazione d’onda). In questi casi, l’onda smette di essere monocromatica e può essere rappresentata come una somma (sovrapposizione) di onde monocromatiche.

Si consideri un’onda che è la somma di due onde che si propagano lungo l’asse $Ox$: la prima presenta una frequenza angolare ${\omega }_0$ e un numero d’onda $k_0$; la seconda onda ha una frequenza di ${\omega }_0+\Delta \omega$, con $\Delta \omega \ll {\omega }_0$, e un numero d’onda di $k_0+\Delta k$, dove $\Delta k\ll k_0$. Si noti che, nel caso generale, il numero d’onda è una funzione della frequenza, ovvero $k(\omega )$.

3.5 Dimostrare che la somma di queste due onde monocromatiche costituisce un’onda modulata composta da pacchetti d’onda separati. Scrivere la formula che descrive la lenta variazione dell’ampiezza $A_0(x,t)$ dell’onda risultante nello spazio e nel tempo (questa ampiezza è detta “inviluppo”).

3.6 Determinare la durata temporale di un singolo pacchetto d’onda, $\tau$. Scrivere la relazione tra questa durata $\tau$ e la differenza di frequenze $\Delta \nu =\Delta \omega /2\pi$.

3.7 Determinare la lunghezza spaziale di un pacchetto d’onda, $L$.

Si osserva che la velocità della superficie dell’onda a fase costante, chiamata velocità di fase, è diversa dalla velocità del pacchetto d’onda, chiamata velocità di gruppo. La velocità del punto massimo dell’inviluppo può essere considerata una velocità di gruppo.

3.8 Trovare la velocità di fase $v_p$ dell’onda modulata in esame ed esprimerla in termini di $\omega ,k,\Delta \omega ,\Delta k$.

3.9 Trovare la velocità di gruppo $v_g$ dell’onda modulata in esame ed esprimerla in termini di $\omega ,k,\Delta \omega ,\Delta k$.

3.10 Stabilire una relazione tra le velocità di fase $v_p$ e le velocità di gruppo $v_g$ delle onde elettromagnetiche nel vuoto.

Guida d’onda piana

In questa parte, si considera la propagazione delle onde elettromagnetiche in una guida d’onda piana. La guida d’onda è formata da due piastre conduttive infinite e parallele, poste a una distanza $a$ l’una dall’altra; si assume che lo spazio tra le piastre sia vuoto.

Si studiano onde elettromagnetiche i cui vettori campo elettrico sono diretti parallelamente alle piastre; tali onde vengono chiamate onde TE. Introduciamo un sistema di coordinate nel quale l’asse $Ox$ coincide con una delle piastre, mentre l’asse $Oy$ è perpendicolare ad esse.

Un’onda che si propaga lungo l’asse $Ox$ nello spazio tra le piastre viene descritta dalla seguente funzione:

$E(t,x,y)=E_0\cos (\omega t-k_{x}x)\sin (k_{y}y),(3)$

dove $\omega$ è la frequenza circolare nota dell’onda. Affinché questa onda possa propagarsi nella guida d’onda senza perdite di energia, l’intensità del campo elettrico sulle piastre deve essere zero.

3.11 Determinare i valori di $k_y$ per cui l’onda può propagarsi nella guida d’onda senza perdite di energia.

Un insieme di possibili valori di $k_y$ è discreto e caratterizzato da un certo numero intero $m$. Le onde corrispondenti a diversi valori di questo numero vengono chiamate modi (tipi di onde possibili).

3.12 Dimostrare che l’onda descritta dalla funzione (3) può essere rappresentata come sovrapposizione di due onde piane $E_1(t,x,y)$ e $E_2(t,x,y)$, con numeri d’onda $k_0$, che si propagano in modo simmetrico sotto angoli $\pm \theta$ rispetto alle piastre, come mostrato nella figura sottostante.

3.13 Esprimere i valori di $k_x$ e $k_y$ in termini del numero d’onda $k_0$ e dell’angolo $\theta$.

3.14 Determinare gli angoli ${\theta }_m$ possibili per cui l’onda può propagarsi nella guida d’onda senza perdite di energia. Esprimere questi valori in termini della distanza $a$ tra le piastre e della lunghezza d’onda $\lambda$ nel vuoto.

3.15 Determinare le velocità di fase $v_p$ delle onde di ciascun modo. Esprimere queste velocità in termini della frequenza d’onda $\omega$ e della velocità della luce $c$ nel vuoto.

All’ingresso della guida d’onda vengono inviati impulsi brevi con frequenza portante ${\omega }_0$. Poiché questi impulsi hanno una durata temporale finita $\tau$, non possono essere considerati onde monocromatiche, ma contengono invece un insieme di componenti monocromatiche in un determinato intervallo di frequenze $\Delta \omega \ll {\omega }_0$. Questi impulsi iniziali generano una serie di impulsi appartenenti a ciascuno dei modi possibili della guida d’onda.

3.16 Determinare la velocità di propagazione degli impulsi nel modo con numero $m$ specificato.

3.17 A quale distanza minima $X$ dall’ingresso della guida d’onda il numero di impulsi deve raddoppiarsi, se $a/\lambda =1,2$? Esprimere la risposta in termini della velocità della luce $c$ e della durata dell’impulso $\tau$.

Per evitare la comparsa di “impulsi aggiuntivi” durante il processo di trasmissione delle informazioni, le guide d’onda vengono utilizzate in regime monomodale, cioè in modo che possa propagarsi soltanto un singolo modo.

3.18 Trovare i valori di $a/\lambda$ per cui nella guida d’onda può propagarsi esclusivamente un solo modo.

Suggerimenti matematici per i problemi teorici. Le seguenti formule possono rivelarsi utili: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\text{dove }n\text{ eˋ un intero};$ $(1+x{)}^{\gamma }\approx 1+\gamma x+\frac{\gamma (\gamma -1)}{2}{x}^2,\text{per }x\ll 1\text{ e qualsiasi valore di }\gamma .$