IZhO 2024

Superposition of oscillations

Experimental competition — January 10, 2024 (XX IZhO). The Experimental competition consists of one problem. This part of the competition lasts 3 hours.

Devices and equipment: tripod, complex pendulum, ruler of 30 cm, electronic stopwatch.

The oscillatory system is a torsion pendulum, which consists of a metal screw-threaded rod 1, suspended on two threads 2 and 3 of equal length, the threads are tied to a horizontal rod 4, fixed in the tripod leg. On the movable rod 1 there are two elongated screw nuts 5 and 6, which can be freely moved along the rod.

In all experiments, the lengths of the threads must remain unchanged, and they themselves must be strictly vertical in a state of equilibrium and located symmetrically relative to the center of the rod $C$ . We denote the distance between the threads as $a$ .

The screw nuts should also be positioned symmetrically relative to the center of the rod. The position of the nuts is determined by the distance $z$ from the rod center to the middle of the nut. For precise positioning of the nuts, it is recommended to use a rod thread with a pitch of 1.0 mm. For convenience, one of the faces of the nut is sealed with a strip of paper on which its middle is clearly marked, so that when the nut is turned one turn, it moves along the rod by a distance of 1.0 mm.

In this experiment you need to study two types of the rod oscillations:

longitudinal oscillations (1 in the figure below), in which the rod and threads always move in the same vertical plane;
torsional oscillations (2 in the figure below), in which the rod rotates around a fixed vertical axis passing through the rod center.

If the rod is deflected in a vertical plane and released, it then performs longitudinal oscillations. If the rod is rotated at a certain angle around the vertical axis and released, it then performs torsional oscillations.

In addition, this experiment is aimed at studying the superposition of longitudinal and torsional oscillations, which can be excited by displacing the rod along its axis and rotating it at a certain angle relative to the vertical axis. We call such oscillations mixed.

For convenience, secure the pendulum in a tripod so that the rod moves in close proximity to the table surface. Place a sheet of paper on the table, on which you have to draw a straight line corresponding to the rod equilibrium position. During longitudinal oscillations, the rod must move along this straight line; during torsional oscillations, the center of the rod must be located on the same vertical.

During the experiments, the angles of deviation of the threads from the vertical during longitudinal oscillations and the angles of rod rotation during torsional oscillations should lie in the range of 20°-30°.

Successful completion of this experiment requires high precision measurements, so be extremely careful and accurate! Release the rod without any additional push!

Part 1. Observation of the effect and its theoretical description

Place the threads at a distance of $a = 20$ cm, their lengths should approximately be $L = 45$ cm, and the screw nuts should be placed at the ends of the movable rod. Excite mixed oscillations of the rod and carefully observe the movement of one of its ends. Since, with the selected system parameters, the frequencies of longitudinal and torsional oscillations are close, the shape of the trajectory of the rod end changes slowly and regularly, periodically returning to the initial one. Let us call the process of sequential restoration of the original shape of the trajectory a cycle, the corresponding time as the cycle time $T_{C}$ , and the number of complete longitudinal oscillations corresponding to it as $N_{C}$ .

1.1 Draw several successive characteristic shapes of the rod end trajectories in one cycle.

We introduce a coordinate system on the horizontal plane: the $x$ axis is directed along the rod in the position of its equilibrium, the $y$ axis is perpendicular to it, and the origin is placed under the center of the rod in the position of its equilibrium.

We also denote the angle of deflection of the threads during longitudinal oscillations as $α$ , the angle of rod rotation during torsional oscillations as $β$ , the period of longitudinal oscillations as $T_{0}$ , the period of torsional oscillations as $T_{1}$ , the length of the threads as $L$ , and the length of the rod as $l$ .

1.2 Write down the exact dependences of the coordinates of the rod end $x (t)$ and $y (t)$ on time $t$ , and then obtain the corresponding approximate expressions for the conditions of this experiment.

1.3 Within the framework of the proposed model, obtain a formula for the cycle period $T_{C}$ , expressing it through the periods of longitudinal $T_{0}$ and torsional $T_{1}$ oscillations.

1.4 Write down the formula for the number of longitudinal oscillations in the cycle $N_{C}$ , expressing it in terms of periods $T_{0}$ and $T_{1}$ .

Part 2. Longitudinal oscillations

2.1 Measure the period of longitudinal oscillations $T_{0}$ with the possible minimal error. Calculate the instrumental, random and total errors of the measured value of the period $Δ T_{0}$ .

Part 3. Torsional oscillations

The period of torsional oscillations can be described by the formula:

$\frac{T _{1}}{T _{0}} = a^{q} F (z), (1)$

where $z$ signifies the distance from the rod center to the centers of the nuts, and $F (z)$ stands for a function that depends on $z$ only.

3.1 Measure the dependence of the period of torsional oscillations $T_{1}$ on the distance between the threads $a$ , plot a graph of the resulting dependence. Take measurements when the nuts are at the rod ends with $z = 17$ cm.

3.2 Based on experimental data, prove the validity of formula (1) and determine the exponent $q$ . An error estimate is not required here.

It can be shown that the function $F (z)$ in formula (1) has the following form

$F (z) = A + B z^{2}, (2)$

where $A, B$ refer to some constant values independent of the parameters $a$ and $z$ .

3.3 Fix the suspension threads at a distance of $a = 10$ cm. Measure the period of torsional oscillations as a function of the position of the nuts $z$ . Plot a graph of the resulting relationship. It is unnecessary to take measurements when the nuts are closer to the center of the rod than the threads.

3.4 Prove the applicability of formula (2) to describe your experimental data.

3.5 Calculate the values of the coefficients $A$ , $B$ and estimate their errors. Please note that $a$ , $z$ values must be measured in centimeters.

Part 4. Mixed oscillations

Place the threads at a distance of $a = 20$ cm. Investigate the mixed oscillations described in Part 1 for different positions of the nuts with $z > 10$ cm.

4.1 Measure the dependence of the number of longitudinal oscillations in the cycle $N_{C}$ on the position of the nuts $z$ . You may not be able to do this for all $z$ values!

4.2 Based on the results of parts 2 and 3, calculate the periods of torsional oscillations for all values of $z$ at which the measurements have carried out in section 4.1.

4.3 Present the measurement results in such a graphical form that they confirm the validity of the formula for the $N_{C}$ value obtained in part 1.

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Superposition Principle, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Error Propagation

Sovrapposizione di oscillazioni

Prova sperimentale — 10 gennaio 2024 (XX IZhO). La prova sperimentale consiste in un problema e dura 3 ore.

Strumenti e materiali: treppiede, pendolo complesso, righello da 30 cm, cronometro elettronico.

Il sistema oscillante è un pendolo di torsione, costituito da un’asta metallica filettata 1, sospesa su due fili 2 e 3 di uguale lunghezza; questi fili sono collegati a un’asta orizzontale 4, fissata su una gamba del treppiede. Sull’asta mobile 1 sono posizionate due dadi filettati allungati 5 e 6, che possono muoversi liberamente lungo l’asta.

In tutti gli esperimenti, la lunghezza dei fili deve rimanere invariata e devono essere rigorosamente verticali nello stato di equilibrio, posizionandosi in modo simmetrico rispetto al centro dell’asta $C$ . La distanza tra i due fili viene indicata con $a$ .

Anche i dadi filettati devono essere disposti in modo simmetrico rispetto al centro dell’asta. La loro posizione è determinata dalla distanza $z$ dal centro dell’asta al centro del dado. Per un posizionamento preciso dei dadi si consiglia di sfruttare la filettatura dell’asta, con passo di 1,0 mm. Per comodità, su una delle facce del dado è incollata una striscia di carta su cui è chiaramente segnato il suo punto medio; ogni giro del dado corrisponde a un movimento di 1,0 mm lungo l’asta.

In questo esperimento si devono studiare due tipi di oscillazioni dell’asta:

oscillazioni longitudinali (1 nella figura seguente), in cui l’asta e i fili si muovono sempre nello stesso piano verticale;
oscillazioni di torsione (2 nella figura seguente), in cui l’asta ruota attorno a un asse verticale fisso che passa per il centro dell’asta.

Se l’asta viene deviata in un piano verticale e poi rilasciata, esegue oscillazioni longitudinali. Se invece l’asta viene ruotata di un certo angolo attorno all’asse verticale e poi rilasciata, esegue oscillazioni torsionali.

Inoltre, questo esperimento ha lo scopo di studiare la sovrapposizione delle oscillazioni longitudinali e torsionali, che si possono eccitare spostando l’asta lungo il suo asse e ruotandolo di un certo angolo rispetto all’asse verticale. Chiamiamo tali oscillazioni miste.

Per comodità, fissare il pendolo su un treppiede in modo che l’asta si muova in prossimità della superficie del tavolo. Posizionare un foglio di carta sul tavolo e tracciare una linea retta corrispondente alla posizione di equilibrio dell’asta. Durante le oscillazioni longitudinali, l’asta deve muoversi lungo questa linea retta; durante le oscillazioni torsionali, il centro dell’asta deve trovarsi sulla stessa verticale.

Durante gli esperimenti, gli angoli di deviazione dei fili rispetto alla verticale durante le oscillazioni longitudinali e gli angoli di rotazione dell’asta durante le oscillazioni torsionali dovrebbero rimanere compresi nell’intervallo di 20°-30°.

Per completare con successo questo esperimento sono necessarie misurazioni estremamente precise, quindi è necessario essere estremamente attenti e accurati! Lasciare andare l’asta senza alcuna spinta aggiuntiva!

Parte 1. Osservazione dell’effetto e sua descrizione teorica

Disporre i fili a una distanza di $a = 20$ cm; la loro lunghezza dovrebbe essere approssimativamente di $L = 45$ cm, mentre i dadi devono essere posizionate alle estremità dell’asta mobile. Indurre oscillazioni miste nell’asta e osservare attentamente il movimento di una delle sue estremità. Poiché, con i parametri del sistema selezionati, le frequenze delle oscillazioni longitudinali e torsionali sono vicine, la forma della traiettoria dell’estremità dell’asta cambia lentamente e in modo regolare, tornando periodicamente alla forma iniziale. Chiamiamo il processo di ripristino sequenziale della forma originale della traiettoria un ciclo; il tempo corrispondente a questo processo è definito tempo di ciclo $T_{C}$ , mentre il numero di oscillazioni longitudinali complete che lo compongono è indicato con $N_{C}$ .

1.1 Disegnare diverse forme caratteristiche della traiettoria dell’estremità dell’asta nel corso di un ciclo.

Introduciamo un sistema di coordinate sul piano orizzontale: l’asse $x$ è orientato lungo l’asta nella posizione di equilibrio, l’asse $y$ è perpendicolare ad esso, e l’origine si trova sotto il centro dell’asta nella stessa posizione di equilibrio.

Denotiamo inoltre l’angolo di deviazione dei fili durante le oscillazioni longitudinali con $α$ , l’angolo di rotazione dell’asta durante le oscillazioni torsionali con $β$ , il periodo delle oscillazioni longitudinali con $T_{0}$ , il periodo delle oscillazioni torsionali con $T_{1}$ , la lunghezza dei fili con $L$ e la lunghezza dell’asta con $l$ .

1.2 Scrivere le espressioni precise che legano le coordinate dell’estremità dell’asta, $x (t)$ e $y (t)$ , al tempo $t$ , e ottenere successivamente le formule approssimative corrispondenti alle condizioni di questo esperimento.

1.3 Nel quadro del modello proposto, determinare una formula per il periodo del ciclo $T_{C}$ , esprimendolo in termini dei periodi delle oscillazioni longitudinali $T_{0}$ e torsionali $T_{1}$ .

1.4 Scrivere la formula per il numero di oscillazioni longitudinali in un ciclo, $N_{C}$ , esprimendola in funzione dei periodi $T_{0}$ e $T_{1}$ .

Parte 2. Oscillazioni longitudinali

2.1 Misurare il periodo delle oscillazioni longitudinali $T_{0}$ con l’errore minimo possibile. Calcolare gli errori strumentale, casuale e totale $Δ T_{0}$ del valore misurato del periodo.

Parte 3. Oscillazioni torsionali

Il periodo delle oscillazioni torsionali può essere descritto dalla seguente formula:

$\frac{T _{1}}{T _{0}} = a^{q} F (z), (1)$

dove $z$ rappresenta la distanza dal centro dell’asta ai centri dei dadi, e $F (z)$ indica una funzione che dipende esclusivamente da $z$ .

3.1 Misurare la dipendenza del periodo delle oscillazioni torsionali $T_{1}$ dalla distanza tra i fili $a$ , e tracciare un grafico di tale relazione. Effettuare le misurazioni quando i dadi si trovano alle estremità dell’asta, quindi con $z = 17$ cm.

3.2 Sulla base dei dati sperimentali, dimostrare la validità della formula (1) e determinare l’esponente $q$ . Non è richiesta una stima dell’errore.

Si può dimostrare che la funzione $F (z)$ nella formula (1) ha la seguente forma

$F (z) = A + B z^{2}, (2)$

dove $A$ , $B$ indicano valori costanti indipendenti dai parametri $a$ e $z$ .

3.3 Fissare i fili di sospensione a una distanza di $a = 10$ cm. Misurare il periodo delle oscillazioni torsionali in funzione della posizione dei dadi $z$ . Tracciare un grafico che rappresenti questa relazione. Non è necessario effettuare misurazioni quando i dadi si trovano più vicini al centro dell’asta rispetto ai fili.

3.4 Dimostrare l’applicabilità della formula (2) per descrivere i dati sperimentali ottenuti.

3.5 Calcolare i valori dei coefficienti $A$ , $B$ e stimare gli errori associati. Si noti che i valori di $a$ , $z$ devono essere misurati in centimetri.

Parte 4. Oscillazioni miste

Posizionare i fili a una distanza di $a = 20$ cm. Studiare le oscillazioni miste descritte nella Parte 1 per diverse posizioni dei dadi, con $z > 10$ cm.

4.1 Misurare la dipendenza del numero di oscillazioni longitudinali nel ciclo $N_{C}$ dalla posizione dei dadi $z$ . Potrebbe non essere possibile effettuare questa misura per tutti i valori di $z$ !

4.2 Sulla base dei risultati delle parti 2 e 3, calcolare i periodi delle oscillazioni torsionali per tutti i valori di $z$ per cui sono state effettuate le misurazioni nella parte 4.1.

4.3 Presentare i risultati delle misurazioni in forma grafica in modo che confermino la validità della formula per il valore di $N_{C}$ ottenuto nella Parte 1.

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