F=ma

Problem 1 (2015 F = ma). A U-tube manometer consists of a uniform diameter cylindrical tube that is bent into a U shape. It is originally filled with water that has a density ${\rho }_w$. The total length of the column of water is $L$. Ignore surface tension and viscosity. The water is displaced slightly so that one side moves up a distance $x$ and the other side lowers a distance $x$. Find the frequency of oscillation.

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Manometer, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 1 (2015 F = ma). Un manometro a U è costituito da un tubo cilindrico di diametro uniforme piegato a forma di U. Esso è inizialmente riempito con acqua che ha densità ${\rho }_w$. La lunghezza totale della colonna d’acqua è $L$. Si trascurino la tensione superficiale e la viscosità. L’acqua viene spostata leggermente in modo che un lato salga di una distanza $x$ e l’altro lato scenda di una distanza $x$. Si trovi la frequenza di oscillazione.

Problem 2 (2019 F = ma). A uniform rope of length $L$ and mass $M$ passes over a frictionless pulley, and hangs with both ends at equal heights. If one end is pulled down a distance $x$ and the rope is released, what will be the acceleration of the end of that instant?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 2 (2019 F = ma). Una corda omogenea di lunghezza $L$ e massa $M$ passa su una carrucola priva di attrito e pende con entrambe le estremità alla stessa altezza. Se un’estremità viene tirata verso il basso di una distanza $x$ e la corda viene rilasciata, quale sarà l’accelerazione dell’estremità in quell’istante?

[Krotov, Kalda] A small block with mass $m$ lies on a wedge with angle $\alpha$ and mass $M$. The block is attached to a rope pulled over a pulley attached to the tip of the wedge and fixed to a horizontal wall (see the figure). Find the acceleration of the wedge. All surfaces are slippery (there is no friction).

Block on wedge with rope and pulley

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Wedge, String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.13

[Krotov, Kalda] Un piccolo blocco di massa $m$ giace su un cuneo di angolo $\alpha$ e massa $M$. Il blocco è attaccato a una corda tirata su una carrucola fissata alla sommità del cuneo e fissata a una parete orizzontale (vedi la figura). Trova l’accelerazione del cuneo. Tutte le superfici sono scivolose (non c’è attrito).

Block on wedge with rope and pulley

Problem 3. A laser beam propagates through a spherically symmetric medium surrounding a metal sphere of radius $R$. Refractive index of the medium varies with distance $r$ from the center $O$ of the sphere according to the law $\mu (r)\propto r$. Here $R\ll r<\infty$.

The laser beam makes an angle of $\phi$ with a radial line at point $P$, which is a distance $r_0$ away from $O$. What is the minimum distance from the surface of the sphere that the beam can reach?

Topic: Geometric Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Snell’s Law, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 3. Un raggio laser si propaga attraverso un mezzo a simmetria sferica che circonda una sfera metallica di raggio $R$. L’indice di rifrazione del mezzo varia con la distanza $r$ dal centro $O$ della sfera secondo la legge $\mu (r)\propto r$. Qui $R\ll r<\infty$.

Il raggio laser forma un angolo di $\phi$ con una linea radiale nel punto $P$, che si trova a una distanza $r_0$ da $O$. Qual è la distanza minima dalla superficie della sfera che il raggio può raggiungere?

Problem 4 (Krotov, Kalda). Two slippery ($\mu =0$) wedge-shaped inclined surfaces with equal tilt angles are positioned such that their sides are parallel, the inclines are facing each other and there is a little gap in between (see fig.). On top of the surfaces are positioned a cylinder and a wedge-shaped block, whereas they are resting one against the other and one of the block’s sides is horizontal. The masses are, respectively, $m$ and $M$. What accelerations will the cylinder and the block move with? Find the reaction force between them.

Cylinder and wedge on opposing inclined surfaces

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Wedge, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 4 (Krotov, Kalda). Due superfici inclinate a forma di cuneo scivolose ($\mu =0$) con uguali angoli di inclinazione sono posizionate in modo che i loro lati siano paralleli, le superfici inclinate siano rivolte l’una verso l’altra e ci sia un piccolo spazio tra di esse (vedi fig.). Sopra le superfici sono posizionati un cilindro e un blocco a forma di cuneo, che poggiano l’uno contro l’altro e uno dei lati del blocco è orizzontale. Le masse sono, rispettivamente, $m$ e $M$. Con quali accelerazioni si muoveranno il cilindro e il blocco? Trova la forza di reazione tra di essi.

Cylinder and wedge on opposing inclined surfaces

Problem 5 (1984 IPhO). Problem 2.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problema 5 (IPhO 1984). Problema 2.

Problem 6 (Kalda). An empty cylinder with mass $M$ is rolling without slipping along a slanted surface, whose angle of inclination is $\alpha =45^{\circ }$. On its inner surface can slide freely a small block of mass $m=M/2$. What is the angle $\beta$ between the normal to the slanted surface and the straight line segment connecting the centre of the cylinder and the block?

Cylinder rolling on slanted surface with inner block

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 6 (Kalda). Un cilindro vuoto di massa $M$ rotola senza strisciare lungo un piano inclinato, il cui angolo di inclinazione è $\alpha =45^{\circ }$. Sulla sua superficie interna può scivolare liberamente un piccolo blocco di massa $m=M/2$. Qual è l’angolo $\beta$ tra la normale al piano inclinato e il segmento di retta che congiunge il centro del cilindro e il blocco?

Cylinder rolling on slanted surface with inner block

Problem 7 (2020 OPhO). In this problem, we will explore the true gravitational model of the earth, not the one that is claimed in most textbooks. Contrary to popular belief, the Earth is a flat circle of radius $R$ and has a uniform mass per unit area $\sigma$. The Earth rotates with angular velocity $\omega$.

(a) A pendulum of length $\ell$ that is constrained to only move in one plane is placed on the ground at the center of the Earth. The pendulum has more than one angular frequency of small oscillations. Find the value of each angular frequency of small oscillations $\Omega (0),{\Omega }_1(0),\dots$ in terms of $\sigma$, $\omega$, $\ell$, and physical constants and the equilibrium angle $\theta ,{\theta }_1,\dots$ that the frequency occurs at. Assume for all parts that $\ell \ll R$.

An equilibrium angle corresponds to the angle with respect to the vertical where there is an equilibrium point.

(b) The entire pendulum is moved a horizontal distance $r\ll R$ away from the center of the Earth. It is oriented so that it is constrained to only move in the radial direction. Now, find the new angular frequency $\Omega (r)$ of small oscillations about the lowest equilibrium point in terms of the given parameters, assuming that ${\omega }^{2}r$ is much less than the local gravitational acceleration.

Note: The parts that don’t use lagrangian formalism have been taken out.

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 7 (2020 OPhO). In questo problema esploreremo il vero modello gravitazionale della Terra, non quello che viene sostenuto nella maggior parte dei libri di testo. Contrariamente a quanto comunemente si crede, la Terra è un cerchio piatto di raggio $R$ e ha una massa uniforme per unità di area $\sigma$. La Terra ruota con velocità angolare $\omega$.

(a) Un pendolo di lunghezza $\ell$ vincolato a muoversi solo in un piano è posto al suolo al centro della Terra. Il pendolo ha più di una pulsazione di piccole oscillazioni. Trova il valore di ciascuna pulsazione di piccole oscillazioni $\Omega (0),{\Omega }_1(0),\dots$ in termini di $\sigma$, $\omega$, $\ell$, e delle costanti fisiche e dell’angolo di equilibrio $\theta ,{\theta }_1,\dots$ a cui la pulsazione si verifica. Assumi per tutte le parti che $\ell \ll R$.

Un angolo di equilibrio corrisponde all’angolo rispetto alla verticale in cui c’è un punto di equilibrio.

(b) L’intero pendolo viene spostato di una distanza orizzontale $r\ll R$ dal centro della Terra. È orientato in modo da essere vincolato a muoversi solo nella direzione radiale. Ora, trova la nuova pulsazione $\Omega (r)$ di piccole oscillazioni attorno al punto di equilibrio più basso in termini dei parametri dati, assumendo che ${\omega }^{2}r$ sia molto minore dell’accelerazione gravitazionale locale.

Nota: Le parti che non usano il formalismo lagrangiano sono state rimosse.

Problem 8 (1971 IPhO). A wedge with mass $M$ and acute angles ${\alpha }_1$ and ${\alpha }_2$ lies on a horizontal surface. A string has been drawn across a pulley situated at the top of the wedge, its ends are tied to blocks with masses $m_1$ and $m_2$. What will be the acceleration of the wedge? There is no friction anywhere.

Wedge with pulley and hanging masses

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wedge, Pulley, String, Block Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 8 (1971 IPhO). Un cuneo di massa $M$ e angoli acuti ${\alpha }_1$ e ${\alpha }_2$ giace su una superficie orizzontale. Una corda è stata fatta passare su una carrucola situata sulla sommità del cuneo, e le sue estremità sono legate a blocchi di masse $m_1$ e $m_2$. Quale sarà l’accelerazione del cuneo? Non c’è attrito da nessuna parte.

Wedge with pulley and hanging masses

Problem 9. A point mass on the end of a light string rotates as a conical pendulum with an angular velocity $\Omega$. The string is inclined at an angle $\phi$ to the vertical. If the motion is slightly disturbed, find the value of the angular frequency of small oscillations.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 9. Un punto materiale all’estremità di un filo leggero ruota come un pendolo conico con velocità angolare $\Omega$. Il filo è inclinato di un angolo $\phi$ rispetto alla verticale. Se il moto viene leggermente perturbato, trovare il valore della pulsazione delle piccole oscillazioni.

Problem 10 (1986 IPhO). Problem 3. (Note that this problem is about coupled oscillators instead of applying lagrangian formalism.)

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.14

Problema 10 (IPhO 1986). Problema 3. (Si noti che questo problema riguarda oscillatori accoppiati invece dell’applicazione del formalismo lagrangiano.)

Problem 11. Find the natural frequencies of the circuit given below.

$C,LCL$

(A circuit consisting of one capacitor $C$ in series with two parallel branches, each containing an inductor $L$ and capacitor $C$ in series.)

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Inductor Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problema 11. Trovare le frequenze proprie del circuito riportato di seguito.

$C,LCL$

(Un circuito costituito da un condensatore $C$ in serie con due rami in parallelo, ciascuno contenente un induttore $L$ e un condensatore $C$ in serie.)

Problem 12 (2012 Physics Cup). Determine all the eigenfrequencies (= natural frequencies) of the circuit shown in Figure. You may assume that all the capacitors and inductances are ideal, and that the following strong inequalities are satisfied: $C_1\ll C_2$, and $L_1\ll L_2$. Note that your answers need to be simplified according to these strong inequalities.

LC circuit with two capacitors and two inductors

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Inductor Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problema 12 (Physics Cup 2012). Determinare tutte le autofrequenze (= frequenze proprie) del circuito mostrato in Figura. Si può assumere che tutti i condensatori e le induttanze siano ideali, e che siano soddisfatte le seguenti forti disuguaglianze: $C_1\ll C_2$, e $L_1\ll L_2$. Si noti che le risposte devono essere semplificate in accordo con queste forti disuguaglianze.

LC circuit with two capacitors and two inductors

Problem 13 (2021 Physics Cup). Find all non-trivial natural oscillation frequencies for a regular octagon made from eight homogeneous bars of mass $m$ and length $l$. While the bars are rigid, the connectors connecting two neighboring bars are such that the angle $\phi$ between the bars can be changed without any friction, but a returning torque $T=k\left(\phi -\frac{3\pi }{4}\right)$ will appear at the joint as soon as the angle departs from its equilibrium value $\frac{3\pi }{4}$. Indicate how many linearly independent oscillation modes correspond to each of these frequencies. Consider only planar oscillation modes, i.e. modes by which the bars move only in the plane of the octagon.

Note: The usage of lagrangian formalism in this problem is not part of the intended solution, and requires quite a bit of mathematical work. The problem is put here, in case you are interested in doing the math and bashing out a problem fully. It would be recommended to read more advanced theory such as construction of energy matrices to finish it this way. Either way, the intended solution to this problem has a good connection with coupled oscillations (refer to problem 5.9), so it is nice to try it.

Topic: Oscillations & Waves, Rigid Body Statics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problema 13 (2021 Physics Cup). Trovare tutte le frequenze proprie di oscillazione non banali per un ottagono regolare formato da otto sbarre omogenee di massa $m$ e lunghezza $l$. Mentre le sbarre sono rigide, i connettori che collegano due sbarre vicine sono tali che l’angolo $\phi$ tra le sbarre può essere cambiato senza alcun attrito, ma una coppia di richiamo $T=k\left(\phi -\frac{3\pi }{4}\right)$ comparirà nel giunto non appena l’angolo si discosta dal suo valore di equilibrio $\frac{3\pi }{4}$. Indicare quanti modi di oscillazione linearmente indipendenti corrispondono a ciascuna di queste frequenze. Considerare solo modi di oscillazione planari, cioè modi in cui le sbarre si muovono solo nel piano dell’ottagono.

Nota: L’uso del formalismo lagrangiano in questo problema non fa parte della soluzione prevista, e richiede parecchio lavoro matematico. Il problema è posto qui, nel caso siate interessati a fare i calcoli e risolvere completamente un problema. Si consiglierebbe di leggere teoria più avanzata come la costruzione di matrici energetiche per terminarlo in questo modo. In ogni caso, la soluzione prevista di questo problema ha una buona connessione con le oscillazioni accoppiate (si veda il problema 5.9), quindi è bello provarci.