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Problem 1 (2015 F = ma). A U-tube manometer consists of a uniform diameter cylindrical tube that is bent into a U shape. It is originally filled with water that has a density $ρ_{w}$ . The total length of the column of water is $L$ . Ignore surface tension and viscosity. The water is displaced slightly so that one side moves up a distance $x$ and the other side lowers a distance $x$ . Find the frequency of oscillation.

Topic: Oscillations & Waves, Fluid Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Manometer, Tube Fonte: Testo (PDF) — p.13

Il problema 1 è stato risolto in base al metodo di valutazione del rischio. Un manometro a tubo U è costituito da un tubo cilindrico di diametro uniforme che è piegato in forma di U. È originariamente riempito di acqua con una densità $ρ_{w}$ . La lunghezza totale della colonna d’acqua è $L$ . Ignora la tensione superficiale e la viscosità. L’acqua viene spostata leggermente in modo che un lato si muova in salita a una distanza $x$ e l’altro lato abbassa una distanza $x$ . Trova la frequenza di oscillazione.

Problem 2 (2019 F = ma). A uniform rope of length $L$ and mass $M$ passes over a frictionless pulley, and hangs with both ends at equal heights. If one end is pulled down a distance $x$ and the rope is released, what will be the acceleration of the end of that instant?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.13

Il problema 2 (2019 F = ma). Una corda uniforme di lunghezza $L$ e di massa $M$ passa su una polla senza attrito e si appende con entrambe le estremità a uguali altezze. Se una estremità viene trascinata a una distanza $x$ e la corda viene rilasciata, quale sarà l’accelerazione della fine di quell’istante?

[Krotov, Kalda] A small block with mass $m$ lies on a wedge with angle $α$ and mass $M$ . The block is attached to a rope pulled over a pulley attached to the tip of the wedge and fixed to a horizontal wall (see the figure). Find the acceleration of the wedge. All surfaces are slippery (there is no friction).

Block on wedge with rope and pulley

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Block, Wedge, String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.13

[Krotov, Kalda] Un piccolo blocco di massa $m$ si trova su un cuneo con angolo $α$ e massa $M$ . Il blocco è attaccato a una corda trascinata su una pollice attaccata alla punta della ciglia e fissata a un muro orizzontale (vedere figura). Trova l’accelerazione della cuneo. Tutte le superfici sono scivolose (non c’è attrito).

Blocaggio su cucina con corda e pollice

Problem 3. A laser beam propagates through a spherically symmetric medium surrounding a metal sphere of radius $R$ . Refractive index of the medium varies with distance $r$ from the center $O$ of the sphere according to the law $μ (r) \propto r$ . Here $R ≪ r < \infty$ .

The laser beam makes an angle of $φ$ with a radial line at point $P$ , which is a distance $r_{0}$ away from $O$ . What is the minimum distance from the surface of the sphere that the beam can reach?

Topic: Geometric Optics, Newtonian Mechanics Metodi: Snell’s Law, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.13

**Problema 3. ** Un raggio laser si propaga attraverso un mezzo sfericamente simmetrico che circonda una sfera metallica di raggio $R$ . L’indice di refrazione del mezzo varia con la distanza $r$ dal centro $O$ della sfera secondo la legge $μ (r) \propto r$ . Qui $R ≪ r < \infty$ .

Il fascio laser fa un angolo di $φ$ con una linea radial al punto $P$ , che è una distanza $r_{0}$ da $O$ . Qual è la distanza minima dalla superficie della sfera che il fascio può raggiungere?

Problem 4 (Krotov, Kalda). Two slippery ( $μ = 0$ ) wedge-shaped inclined surfaces with equal tilt angles are positioned such that their sides are parallel, the inclines are facing each other and there is a little gap in between (see fig.). On top of the surfaces are positioned a cylinder and a wedge-shaped block, whereas they are resting one against the other and one of the block’s sides is horizontal. The masses are, respectively, $m$ and $M$ . What accelerations will the cylinder and the block move with? Find the reaction force between them.

Cylinder and wedge on opposing inclined surfaces

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Wedge, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.13

Il problema 4 (Krotov, Kalda). Due superfici inclinate a forma di cucina ( $μ = 0$ ) scivolose con angoli di inclinazione uguali sono posizionate in modo tale che i loro lati siano paralleli, le inclinzioni siano rivolte l’una all’altra e vi sia un piccolo spazio tra di loro (vedi figura). In cima alle superfici sono posizionati un cilindro e un blocco a forma di cucina, mentre si posano uno contro l’altro e uno dei lati del blocco è orizzontale. Le masse sono rispettivamente $m$ e $M$ . Con quali accelerazioni si muoveranno il cilindro e il blocco? Trova la forza di reazione tra loro.

Cilindro e ciglia su superfici inclinate opposte

Problem 5 (1984 IPhO). Problem 2.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.13

Il problema 5 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 2 del problema 1 del problema 1 del problema 2 del problema 1 del problema 2 del problema 2 del problema 1 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 1 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 1 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 2 del problema 3 del problema 2 del problema 1 del problema 2 del problema 1 del problema 2 del problema 3 del problema 2 del problema 1 del problema 1 del problema 2 del problema 1 del problema 1 del problema 2 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema 1 del problema Il problema 2.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.13

Problem 6 (Kalda). An empty cylinder with mass $M$ is rolling without slipping along a slanted surface, whose angle of inclination is $α = 4 5^{\circ}$ . On its inner surface can slide freely a small block of mass $m = M /2$ . What is the angle $β$ between the normal to the slanted surface and the straight line segment connecting the centre of the cylinder and the block?

Cylinder rolling on slanted surface with inner block

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Block, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.14

Il problema 6** (Kalda). Un cilindro vuoto di massa $M$ ruota senza scivolare lungo una superficie inclinata, il cui angolo di inclinazione è $α = 4 5^{\circ}$ . La superficie interna può essere liberamente scivolata da un piccolo blocco di massa $m = M /2$ . Qual è l’angolo $β$ tra la superficie normale e la superficie inclinata e il segmento di linea retta che collega il centro del cilindro e il blocco?

*Cilindro rotolato su superficie inclinata con blocco interno *

Problem 7 (2020 OPhO). In this problem, we will explore the true gravitational model of the earth, not the one that is claimed in most textbooks. Contrary to popular belief, the Earth is a flat circle of radius $R$ and has a uniform mass per unit area $σ$ . The Earth rotates with angular velocity $ω$ .

(a) A pendulum of length $ℓ$ that is constrained to only move in one plane is placed on the ground at the center of the Earth. The pendulum has more than one angular frequency of small oscillations. Find the value of each angular frequency of small oscillations $Ω (0), Ω_{1} (0), \dots$ in terms of $σ$ , $ω$ , $ℓ$ , and physical constants and the equilibrium angle $θ, θ_{1}, \dots$ that the frequency occurs at. Assume for all parts that $ℓ ≪ R$ .

An equilibrium angle corresponds to the angle with respect to the vertical where there is an equilibrium point.

(b) The entire pendulum is moved a horizontal distance $r ≪ R$ away from the center of the Earth. It is oriented so that it is constrained to only move in the radial direction. Now, find the new angular frequency $Ω (r)$ of small oscillations about the lowest equilibrium point in terms of the given parameters, assuming that $ω^{2} r$ is much less than the local gravitational acceleration.

Note: The parts that don’t use lagrangian formalism have been taken out.

Topic: Gravitation, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.14

Il problema 7 è stato risolto in base al testo del testo del testo del regolamento (CE) n. In questo problema, esploreremo il vero modello gravitazionale della terra, non quello che viene affermato nella maggior parte dei libri di testo. Contrariamente alla credenza popolare, la Terra è un cerchio piatto di raggio $R$ e ha una massa uniforme per unità di area $σ$ . La Terra ruota con velocità angolare $ω$ .

(a) Un pendolo di lunghezza $ℓ$ che è costretto a muoversi solo in un piano è posto sul terreno al centro della Terra. Il pendolo ha più di una frequenza angolare di piccole oscillazioni. Trova il valore di ogni frequenza angolare di piccole oscillazioni $Ω (0), Ω_{1} (0), \dots$ in termini di $σ$ , $ω$ , $ℓ$ e costanti fisiche e l’angolo di equilibrio $θ, θ_{1}, \dots$ a cui si verifica la frequenza. Supponiamo per tutte le parti che $ℓ ≪ R$ .

Un angolo di equilibrio corrisponde all’angolo rispetto alla verticale dove c’è un punto di equilibrio.

b) L’intero pendolo è spostato a distanza orizzontale $r ≪ R$ dal centro della Terra. È orientata in modo tale che sia costretta a muoversi solo nella direzione radial. Ora, trovare la nuova frequenza angolare $Ω (r)$ di piccole oscillazioni circa il punto di equilibrio più basso in termini di parametri dati, supponendo che $ω^{2} r$ è molto inferiore all’accelerazione gravitazionale locale.

Nota: Le parti che non utilizzano il formalismo lagrangiano sono state rimosse.

Problem 8 (1971 IPhO). A wedge with mass $M$ and acute angles $α_{1}$ and $α_{2}$ lies on a horizontal surface. A string has been drawn across a pulley situated at the top of the wedge, its ends are tied to blocks with masses $m_{1}$ and $m_{2}$ . What will be the acceleration of the wedge? There is no friction anywhere.

Wedge with pulley and hanging masses

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Differential Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wedge, Pulley, String, Block Fonte: Testo (PDF) — p.14

Il problema 8 è stato risolto con la formulazione di “MSK1/” (1971 IPhO). Un cuneo con massa $M$ e angoli acuti $α_{1}$ e $α_{2}$ si trova su una superficie orizzontale. Una corda è stata disegnata su una pollice situata nella parte superiore della cucina, le sue estremità sono legate a blocchi con masse $m_{1}$ e $m_{2}$ . Qual sarà l’accelerazione della cucina? Non c’è attrito da nessuna parte.

Gli orpi con pollice e masse appese

Problem 9. A point mass on the end of a light string rotates as a conical pendulum with an angular velocity $Ω$ . The string is inclined at an angle $φ$ to the vertical. If the motion is slightly disturbed, find the value of the angular frequency of small oscillations.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum Fonte: Testo (PDF) — p.14

**Problema 9. ** Una massa di punto alla fine di una corda leggera ruota come un pendolo conico con una velocità angolare $Ω$ . La corda è inclinata in un angolo $φ$ verso la verticale. Se il movimento è leggermente disturbato, trovare il valore della frequenza angolare di piccole oscillazioni.

Problem 10 (1986 IPhO). Problem 3. (Note that this problem is about coupled oscillators instead of applying lagrangian formalism.)

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.14

Il problema 10 (IPhO 1986) Problema 3. (Ricorda che questo problema riguarda oscillatori accoppiati invece di applicare il formalismo lagrangiano.)

Problem 11. Find the natural frequencies of the circuit given below.

$C, L C L$

(A circuit consisting of one capacitor $C$ in series with two parallel branches, each containing an inductor $L$ and capacitor $C$ in series.)

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Inductor Fonte: Testo (PDF) — p.15

Problema 11. Trova le frequenze naturali del circuito riportate di seguito.

$C, L C L$

(Un circuito costituito da un condensatore $C$ in serie con due rami paralleli, ognuno contenente un induttore $L$ e un condensatore $C$ in serie.)

Problem 12 (2012 Physics Cup). Determine all the eigenfrequencies (= natural frequencies) of the circuit shown in Figure. You may assume that all the capacitors and inductances are ideal, and that the following strong inequalities are satisfied: $C_{1} ≪ C_{2}$ , and $L_{1} ≪ L_{2}$ . Note that your answers need to be simplified according to these strong inequalities.

LC circuit with two capacitors and two inductors

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Inductor Fonte: Testo (PDF) — p.15

Il problema 12 è il problema MSK1/ (2012 Physics Cup). Determinare tutte le frequenze proprie (= frequenze naturali) del circuito mostrato nella figura. Si può presumere che tutti i condensatori e le induttanze siano ideali e che siano soddisfatte le seguenti forti disuguaglianze: $C_{1} ≪ C_{2}$ e $L_{1} ≪ L_{2}$ . Si noti che le tue risposte devono essere semplificate in base a queste forti disuguaglianze.

Circuito LC con due condensatori e due induttori

Problem 13 (2021 Physics Cup). Find all non-trivial natural oscillation frequencies for a regular octagon made from eight homogeneous bars of mass $m$ and length $l$ . While the bars are rigid, the connectors connecting two neighboring bars are such that the angle $φ$ between the bars can be changed without any friction, but a returning torque $T = k (φ - \frac{3 π}{4})$ will appear at the joint as soon as the angle departs from its equilibrium value $\frac{3 π}{4}$ . Indicate how many linearly independent oscillation modes correspond to each of these frequencies. Consider only planar oscillation modes, i.e. modes by which the bars move only in the plane of the octagon.

Note: The usage of lagrangian formalism in this problem is not part of the intended solution, and requires quite a bit of mathematical work. The problem is put here, in case you are interested in doing the math and bashing out a problem fully. It would be recommended to read more advanced theory such as construction of energy matrices to finish it this way. Either way, the intended solution to this problem has a good connection with coupled oscillations (refer to problem 5.9), so it is nice to try it.

Topic: Oscillations & Waves, Rigid Body Statics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Differential Equations, Torque & Angular Momentum Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.15

Il problema 13 (Copa della Fisica 2021) Trova tutte le frequenze di oscillazione naturale non triviali per un ottagono regolare realizzato da otto barre omogenee di massa $m$ e lunghezza $l$ . Mentre le barre sono rigide, i connettori che collegano due barre vicine sono tali che l’angolo $φ$ tra le barre può essere modificato senza alcun attrito, ma una coppia di ritorno $T = k (φ - \frac{3 π}{4})$ apparirà alla giunta non appena l’angolo si allontana dal suo valore di equilibrio $\frac{3 π}{4}$ . Indicare quante modalità di oscillazione linealmente indipendenti corrispondono a ciascuna di queste frequenze. Considerare solo le modalità di oscillazione pianale, ovvero: modi con cui le barre si muovono solo nel piano dell’ottangolo.

Nota: l’uso del formalismo lagrangiano in questo problema non fa parte della soluzione prevista e richiede un po’ di lavoro matematico. Il problema è posto qui, nel caso tu sia interessato a fare le matematica e a risolvere completamente un problema. Sarebbe consigliabile leggere una teoria più avanzata come la costruzione di matrici energetiche per finire in questo modo. In ogni caso, la soluzione prevista a questo problema ha una buona connessione con oscillazioni accoppiate (si veda il problema 5.9), quindi è bello provarlo.*

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