Svizzera 2019

Esercizio 1 : Decadimento di un pione (16 punti) Un pione $({\pi }^0)$ e una particella instabile con un’energia a riposo $m_{\pi^0}c^2$ = 135 MeV 1 che decade tipicamente in due fotoni. La sua vita media e di circa $\tau$ = 8.52(18) $\times 10^{-17}$ s. Per comprendere meglio questo decadimento, consideriamo prima di tutto un esempio classico simile. Parte A. Un’analogia classica (7 punti) Consideriamo un proiettile costituito da due emisferi identici di massa m = 10 kg. All’interno del proiettile c’e una carica esplosiva di massa trascurabile che trasmette un’energia totale di 0.12 MJ agli emisferi durante l’esplosione. i. (0.5 pt) Qual e l’energia di ciascun emisfero dopo l’esplosione, nel sistema di riferimento a riposo del proiettile iniziale? ii. (1.5 pt) A quale quantita di moto corrisponde? iii. (0.5 pt) Consideriamo ora un altro sistema di riferimento in cui il proiettile si muove a 540 km/h. In vista del decadimento del pione, chiameremo questo sistema il sistema di riferimento di laboratorio. Quale deve essere l’orientamento geometrico reciproco dei due emisferi volanti, nel sistema di riferimento di laboratorio, in modo che le loro energie siano estreme? iv. (1.5 pt) Quali sono l’energia minima e massima di un emisfero? v. (1 pt) Quali sono le velocita corrispondenti nel sistema di riferimento di laboratorio? vi. (2 pt) La detonazione della carica esplosiva avviene 15 $\pm$ 1 s dopo che il proiettile e stato sparato. Qual e la distanza coperta nel sistema di riferimento del laboratorio? Disegna la distribuzione di probabilita ed etichettala nel miglior modo possibile. Parte B. Il decadimento della particella (XX punti) Consideriamo ora l’effettivo decadimento di un pione in due fotoni: $\pi^0 \to \gamma\gamma$ In questo caso, procederemo come in precedenza: facciamo le prime considerazioni nel sistema di riferimento del pione, e poi consideriamo il sistema di riferimento di laboratorio. Nota: In fisica delle particelle, l’uso delle unita MeV per l’energia, MeV/c per la quantita di moto e $\text{MeV}/c^2$ per la massa e legittimo e pùo semplificare i calcoli. i. (0.5 pt) Quale energia riceve ogni fotone nel sistema di riferimento a riposo? ii. (0.5 pt) A quale quantita di moto corrisponde? iii. (2 pt) Una possibile fonte di $\pi^0$ e lo scambio di cariche all’interno di un nucleo di idrogeno. In questo caso, ogni ${\pi }^0$ riceve una quantita di moto pari a 28 MeV/c nel sistema di riferimento di laboratorio. Determina l’energia e la velocita corrispondenti. iv. (3 pt) Nel sistema di riferimento di laboratorio, consideriamo nuovamente il caso in cui l’energia dei fotoni e estrema. Determinare quelle energie estreme. v. (0.5 pt) Determinare la velocita corrispondente dei fotoni. vi. (2.5 pt) Qual e la distanza coperta dai $\pi^0$ tra la loro formazione e il loro decadimento, nel sistema di riferimento di laboratorio? Fai uno schizzo qualitativo della distribuzione di probabilita ed etichettala nel miglior modo possibile. 1L’unita di misura elettronvolt e definita come l’energia di un elettrone che viene accelerato di un volt. 1 eV = 1.609 $\times 10^{-19}$ J, 1 MeV = 1.609 $\times 10^{-13}$ J. Nella fisica delle particelle, e comune usare MeV per un’energia, MeV/c per una quantita di moto e $\text{MeV}/c^2$ per una massa.

Topic: Special Relativity, Conservation of Momentum, Nuclear & Particle Physics Metodi: Conservation of Momentum, Relativistic Energy-Momentum, Error Propagation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Error Propagation Objects: Photon, Nucleus, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3

Problem 1: Pion Decay (16 points) A pion $({\pi }^0)$ is an unstable particle with a rest energy $m_{{\pi }^0}{c}^2$ = 135 MeV that typically decays into two photons. Its mean lifetime is approximately $\tau$ = 8.52(18) $\times 10^{-17}$ s. To better understand this decay, we first consider a classical analogy.

Part A. Classical Analogy (7 points) Consider a projectile made of two identical hemispheres, each with mass m = 10 kg. Inside the projectile there is an explosive charge of negligible mass that delivers a total energy of 0.12 MJ to the hemispheres during explosion.

i. (0.5 pt) What is the energy of each hemisphere after the explosion, in the rest frame of the initial projectile?

ii. (1.5 pt) What is the corresponding momentum?

iii. (0.5 pt) Now consider another reference frame in which the projectile moves at 540 km/h. In view of pion decay, we will call this the laboratory reference frame. What must be the relative geometric orientation of the two flying hemispheres in the laboratory frame so that their energies are extreme?

iv. (1.5 pt) What are the minimum and maximum possible energies of one hemisphere?

v. (1 pt) What are the corresponding velocities in the laboratory reference frame? vi. (2 pts) The detonation of the explosive charge occurs 15 $\pm$ 1 s after the projectile e stato sparato. Qual and the distance covered in the laboratory reference frame? Draw the probability distribution and label it in the best possible way. Part B. The decay of the particle (XX points) Let us now consider the actual decay of a pion into two photons: ${\pi }^0\to \gamma \gamma$ In this case, we will proceed as before: let us first make some considerations in the pion reference frame, and then consider the laboratory reference frame. Note: In particle physics, the use of the units MeV for energy, MeV/c for momentuma di moto e $\text{MeV}/c^2$ per la massa is legitimate and can simplify the calculations. i. (0.5 pts) What energy does each photon receive in the rest reference frame? ii. (0.5 pts) To what momentum does it correspond? iii. (2 pts) A possible source of ${\pi }^0$ e lo scambio di cariche all’interno di un nucleo di idrogeno. In questo caso, ogni $\pi^0$ riceve una quantit with momentum equal to 28 MeV/c in the laboratory reference frame. Determine the corresponding energy and speed. iv. (3 pts) In the laboratory reference frame, let us again consider the case in which the energy of the photons is extreme. Determine those extreme energies. v. (0.5 pts) Determine the corresponding speed of the photons. vi. (2.5 pts) What e la distanza coperta dai $\pi^0$ tra la loro formazione e il loro decadimento, nel sistema di riferimento di laboratorio? Fai uno schizzo qualitativo della distribuzione di probabilit and label it in the best possible way. 1The unita di misura elettronvolt is defined as the energy of an electron that is accelerated by one volt. 1 eV = 1.609 $\times 10^{-19}$ J, 1 MeV = 1.609 $\times 10^{-13}$ J. In particle physics, e comune usare MeV per un’energia, MeV/c per una quantit momentum and $\text{MeV}/c^2$ for a mass.

Esercizio 2 : Nelle nuvole (16 punti) Nota : Le due parti di questo esercizio sono indipendenti e possono essere risolte separatamente. Parte A. Il fenomeno dell’alone (11 punti) Osservando il cielo, a volte e possibile osservare aloni di luce, come in Figura 1, causati dalla rifrazione dei raggi solari attraverso i cristalli di ghiaccio che formano il cirrostrato, nuvole situate ad un’altitudine di circa 5.5 km. La figura 2 illustra questo fenomeno. Fig. 1: Un alone, con il sole al centro. Cristallo di ghiaccio Sole Osservatore Halo Fig. 2: Schema della formazione dell’alone. Proponiamo ora di trovare l’angolo di deviazione $\theta_D$ e di comprendere questo fenomeno di alone. Per il resto di questa parte, lavoreremo semplicemente in due dimensioni. La convenzione sara ${\theta }_i$ l’angolo di incidenza sul cristallo di ghiaccio, ${\theta }_r$ l’angolo di rifrazione all’uscita del cristallo e ${\theta }_D$ l’angolo di deflessione tra il raggio in entrata e quello in uscita (NB: gli angoli di incidenza o rifrazione sono sempre misurati tra il raggio luminoso e la normale alla superficie del cristallo). i. (1 pt) Si considera un cristallo di ghiaccio esagonale. Da quale lato uscira il raggio rifratto, in modo che si formi un alone? Riproducete il diagramma sottostante disegnando l’andamento della luce fino a quando esce dal cristallo, e indicate in particolare gli angoli $\theta_i$ e $\theta_r$. Sole A B C ii. (2.5 pt) Indicate le espressioni algebriche di $\theta_r$ e $\theta_D$ secondo $\theta_i$, $n_\text{aria}$ e $n_\text{ghiaccio}$, dove $n_i$ e l’indice di rifrazione nel mezzo $i$. Il diagramma seguente mostra le funzioni ${\theta }_r({\theta }_i)$ e ${\theta }_D({\theta }_i)$. Fig. 3: Angoli di rifrazione ${\theta }_r$ e angoli di deviazione ${\theta }_D$ in funzione dell’angolo di incidenza ${\theta }_i$. iii. (1.5 pt) Come spiegate il campo vuoto corrispondente a ${\theta }_i\in [0^{\circ },13.5^{\circ }]$? Giustificate la vostra risposta con un calcolo. iv. (1.5 pt) Qual e l’angolo $\theta_D$ di un alone? Giustificate la vostra risposta. v. (1.5 pt) Nella Figura 1, potete vedere che l’area all’interno dell’alone e pìu scura che all’esterno. Perch ́e? vi. (1.5 pt) Per un osservatore dal suolo, la dimensione di un alone dovrebbe essere data da ${\theta }_O$ (come da figura 2). Perch ́e e ragionevole dire che la sua dimensione pùo essere data da $\theta_D$? Suggerimento: trovate una relazione tra gli angoli $\theta_O$, $\theta_S$ e $\theta_D$ raffigurati nella figura 2. vii. (1.5 pt) L’attenta osservazione di un alone permette di osservare lo spettro della luce su tutta la circonferenza. Tra il rosso e il blu, quale colore si trova all’interno dell’alone, e quale all’esterno? Giustificate la vostra risposta. Suggerimento : In un ambiente trasparente, si pùo stabilire la seguente relazione tra l’indice di rifrazione n e la lunghezza d’onda $\lambda$ (equazione di Cauchy): $n(\lambda)$ = A + $B/\lambda^2$, dove A e B sono due costanti. Dati (parte A) : $n_\text{aria}$ = 1, $n_\text{ghiaccio} \approx 1.31$ Nota : In questo problema, viene utilizzato solo un cristallo bidimensionale, ma i cristalli di ghiaccio che formano il cirrostrato sono in realta prismi a base esagonale. Cosı, quando un raggio di luce passa attraverso una faccia laterale di questo prisma, ma emerge da una delle basi, si pùo talvolta osservare un secondo alone, pìu grande di quello studiato nel problema. Parte B. Perch ́e una nuvola non cade (5 punti) Quando guardiamo il cielo, possiamo vedere che le nuvole che si trovano a una certa altitudine rimangono lı e non cadono mai sulla terra, nonostante siano soggette alla gravita. i. (2 pt) Considerate innanzitutto una nuvola costituita da un insieme di gocce d’acqua sferiche e situata ad un’altitudine h = 2000 m dal suolo. Sottoposta alla gravita, la nuvola comincera a cadere, ma grazie all’attrito, dopo pochi istanti raggiungera un limite di velocita $v_\text{lim}$. Determinate l’espressione algebrica di questo limite di velocita. Nota : L’attrito dell’aria e qui caratterizzato da una forza $F = k\eta^\alpha r^\beta v^\gamma$, con k una costante senza dimensione chiamata ”coefficiente di forma”, $\eta$ la viscosita dell’aria, r il raggio di una goccia d’acqua e v la sua velocita. $\alpha$, $\beta$, $\gamma \in \mathbb{Z}$ devono essere determinati. ii. (1 pt) Calcolate un ordine di grandezza per questo limite di velocita. Quanto tempo ci vorrebbe perch ́e una tale nuvola arrivi al suolo? Indicate le ipotesi e le semplificazioni che si fanno. iii. (2 pt) In realta, le nuvole non arrivano mai a terra. Come possiamo spiegare che rimangono in alta quota? Immaginate e spiegate i principali processi che possono aiutare a risolvere questo problema. Dati (parte B) : Coefficiente di forma (sfera): k = $6\pi$ Viscosita dell’aria: ${\eta }_{\text{aria}}\approx 1.8\times 10^{-5}\text{kg}\cdot {\text{s}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-1}$ ${\rho }_{\text{acqua}}\approx 1\times 10^3\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ ${\rho }_{\text{aria}}\approx 1.3\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ Carica elementare: e = 1.602 $\times 10^{-19}$ C Massa dell’elettrone: $m_e$ = 9.1 $\times 10^{-31}$ kg Campo magnetico sulla superficie terrestre: $\vec{B}$ = 4.7 $\times 10^{-5}$ T

Topic: Geometric Optics, Fluid Mechanics, Order-of-Magnitude Estimation Metodi: Snell’s Law, Dimensional Analysis, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Physical Reasoning, Estimation & Approximation, Diagrammatic Reasoning Objects: Prism, Droplet Fonte: Testo (PDF) — p.4

Problem 2: In the clouds (16 points) Note: The two parts of this problem are independent and can be solved separately. Part A. The halo phenomenon (11 points) Observing the sky, sometimes it is possible to see halos of light, as in Figure 1, caused by the refraction of solar rays through the ice crystals that form the cirrostratus, clouds located at an altitude of about 5.5 km. Figure 2 illustrates this phenomenon. Fig. 1: A halo, with the sun at the center. Ice crystal Sun Observer Halo Fig. 2: Diagram of the formation of the halo. We now propose to find the deviation angle ${\theta }_D$ and to understand this halo phenomenon. For the rest of this part, we will simply work in two dimensions. The convention will be ${\theta }_i$ the angle of incidence on the ice crystal, ${\theta }_r$ the angle of refraction upon exiting the crystal and ${\theta }_D$ the deflection angle between the incoming and outgoing ray (NB: the angles of incidence or refraction are always measured between the light ray and the normal to the surface of the crystal). i. (1 pt) Consider a hexagonal ice crystal. From which side will the refracted ray exit, so that a halo is formed? Reproduce the diagram below by drawing the path of the light until it exits the crystal, and indicate in particular the angles ${\theta }_i$ and ${\theta }_r$. Sun A B C ii. (2.5 pt) Give the algebraic expressions for ${\theta }_r$ and ${\theta }_D$ in terms of ${\theta }_i$, $n_{\text{aria}}$ and $n_{\text{ghiaccio}}$, where $n_i$ is the refractive index in the medium $i$. The following diagram shows the functions ${\theta }_r({\theta }_i)$ and ${\theta }_D({\theta }_i)$. Fig. 3: Refraction angles ${\theta }_r$ and deviation angles ${\theta }_D$ as functions of the incidence angle ${\theta }_i$. iii. (1.5 pt) How do you explain the empty field corresponding to ${\theta }_i\in [0^{\circ },13.5^{\circ }]$? Justify your answer with a calculation. iv. (1.5 pt) What is the angle ${\theta }_D$ of a halo? Justify your answer. v. (1.5 pt) In Figure 1, you can see that the area inside the halo is darker than outside. Why? vi. (1.5 pt) For an observer on the ground, the size of a halo should be given by ${\theta }_O$ (as in figure 2). Why is it reasonable to say that its size can be given by ${\theta }_D$? Hint: find a relation between the angles ${\theta }_O$, ${\theta }_S$ and ${\theta }_D$ shown in figure 2. vii. (1.5 pt) Careful observation of a halo allows the spectrum of light to be observed over the entire circumference. Between red and blue, which color is inside the halo, and which is outside? Justify your answer. Hint: In a transparent medium, the following relation can be established between the refractive index n and the wavelength $\lambda$ (Cauchy’s equation): $n(\lambda )$ = A + $B/{\lambda }^2$, where A and B are two constants. Data (part A): $n_{\text{aria}}$ = 1, $n_{\text{ghiaccio}}\approx 1.31$ Note: In this problem, only a two-dimensional crystal is used, but the ice crystals that form the cirrostratus are actuallya prismi a base esagonale. Coswhen a ray of light passes through a lateral face of this prism, but emerges from one of the bases, a second halo can sometimes be observed, larger than the one studied in the problem. Part B. Why a cloud does not fall (5 points) When we look at the sky, we can see that the clouds located at a certain altitude remain thereı e non cadono mai sulla terra, nonostante siano soggette alla gravit. i. (2 pts) First consider a cloud made up of a set of spherical water droplets and located at an altitude h = 2000 m from the ground. Subjected to gravitya, la nuvola comincerto fall, but thanks to friction, after a few moments it will reacha un limite di velocita $v_{\text{lim}}$. Determine the algebraic expression of this speed limit. Note: The air frictione qui caratterizzato da una forza $F = k\eta^\alpha r^\beta v^\gamma$, con k una costante senza dimensione chiamata ”coefficiente di forma”, $\eta$ la viscositof the air, r the radius of a water droplet and v its speed. $\alpha$, $\beta$, $\gamma \in \mathbb{Z}$ must be determined. ii. (1 pt) Calculate an order of magnitude for this speed limit. How long would it take for such a cloud to reach the ground? State the assumptions and simplifications that are made. iii. (2 pts) In reality, clouds never reach the ground. How can we explain that they remain at high altitude? Imagine and explain the main processes that can help solve this problem. Data (part B): Shape coefficient (sphere): k = $6\pi$ Air viscosity: ${\eta }_{\text{aria}}\approx 1.8\times 10^{-5}\text{kg}\cdot {\text{s}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-1}$ ${\rho }_{\text{acqua}}\approx 1\times 10^3\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ ${\rho }_{\text{aria}}\approx 1.3\text{kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$ Elementary charge: e = 1.602 $\times 10^{-19}$ C Electron mass: $m_e$ = 9.1 $\times 10^{-31}$ kg Magnetic field on the Earth’s surface: $\vec{B}$ = 4.7 $\times 10^{-5}$ T

Esercizio 3 : Termodinamica (16 punti) Un tubo cilindrico con una parete laterale di vetro di spessore d (conducibilita termica k) viene chiuso ermeticamente con un coperchio di massa m in grado di scivolare verticalmente senza attrito. Il sistema si trova sotto l’influsso della gravita. Coperchio e base sono isolanti termici perfetti. Nel volume sono contenute n moli di un gas ideale monoatomico. All’interno si trova inoltre una resistenza a filamento $R_W$ soggetta ad una tensione elettrica U. L’ambiente esterno si trova sempre alla temperatura costante $T_R$ ed alla pressione atmosferica $P_{\text{atm}}$. Fig. 4: Configurazione sperimentale. Sia $h^{\ast }$ la distanza tra base e coperchio all’equilibrio, ciòe quando le grandezze fisiche sono costanti nel tempo (stato stazionario). Lo scopo del problema e di determinare $h^*$. Procedete come segue: i. (0.75 pt) Determinare la potenza termica che viene dissipata attraverso la resistenza. ii. (0.75 pt) Qual’e‘ l’espressione del flusso di calore [J/s] che il sistema scambia con l’esterno attraverso le pareti? iii. (1.5 pt) Determinate la temperatura all’interno del cilindro in funzione delle grandezze $P_\text{atm}$, m, r, n e A, dove A e la superficie laterale del cilindro (limitata dalla base e dal coperchio). iv. (0.75 pt) Come si esprime la condizione di equilibrio (tutte le grandezze costanti nel tempo)? v. (3.5 pt) Calcolate $h^{\ast }$. vi. (0.75 pt) Date la soluzione numerica per $h^{\ast }$ quando $P_{\text{atm}}$ = 1.0 bar, $T_R$ = $20{}^{\circ }\text{C}$, n = 1.0 mol, m = 1.5 kg, d = 5.0 mm, r = 10 cm, U = 10 V, $R_W$ = 1.0 $\Omega$, k = 1.0 $\text{W}\cdot {\text{K}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-1}$, g = 9.81 $\text{m}\cdot {\text{s}}^2$ , R = 8.314 $\text{l}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. Assumiamo che il sistema si trovi in uno stato stazionario. All’istante t = 0, lo sperimentatore avvolge il tubo completamente con un foglio termicamente isolante e si assicura che il coperchio rimanga all’altezza $h^{\ast }$ esercitando la forza necessaria sul coperchio. vii. (2.5 pt) Lo sperimentatore vuole tenere il coperchio per 3.0 s all’altezza $h^{\ast }$. A quale valore massimo crescera la forza? Gioca lo spessore d della parete un ruolo rilevante per determinare questa forza? viii. (1.5 pt) Dopo t = 3.0 s lo sperimentatore rilascia il coperchio e spenge contemporaneamente la tensione elettrica. Intorno a quale posizione di equilibrio (altezza) oscillera il coperchio? ix. (2 pt) Determinate la velocit`a del coperchio al passaggio della posizione di equilibrio. x. (2 pt) Lo sperimentatore misura una frequenza di oscillazione di 10.5 Hz. Come puoi verificare che nel tubo si trovi effettivamente un gas monoatomico? (L’ampiezza di oscillazione sia piccola a confronto dell’altezza di equilibrio del coperchio)

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Gas, Cylinder, Piston, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.6

Problem 3: Thermodynamics (16 points) A cylindrical tube with a glass lateral wall of thickness d (thermal conductivity a termica k) viene chiuso ermeticamente con un coperchio di massa m in grado di scivolare verticalmente senza attrito. Il sistema si trova sotto l’influsso della gravit). The lid and base are perfect thermal insulators. Inside the volume, n moles of a monatomic ideal gas are contained. Additionally, there is a filament resistor $R_W$ subjected to an electric voltage U. The external environment remains constantly at temperature $T_R$ and atmospheric pressure $P_{\text{atm}}$. Figure 4: Experimental setup. Let $h^{\ast }$ be the distance between base and lid at equilibrium, i.e., when all physical quantities are constant in time (steady state). The goal of the problem is to determine $h^{\ast }$. Proceed as follows:

i. (0.75 pt) Determine the thermal power dissipated through the resistor.

ii. (0.75 pt) What is the expression for the heat flux [J/s] exchanged by the system with the exterior through the walls?

iii. (1.5 pt) Determine the temperature inside the cylinder as a function of $P_{\text{atm}}$, m, r, n, and A, where A is the lateral surface area of the cylinder (bounded by base and lid).

iv. (0.75 pt) How is the equilibrium condition expressed (all quantities constant in time)?

v. (3.5 pt) Calculate $h^{\ast }$.

vi. (0.75 pt) Provide the numerical solution for $h^{\ast }$ when $P_{\text{atm}}$ = 1.0 bar, $T_R$ = $20{}^{\circ }\text{C}$, n = 1.0 mol, m = 1.5 kg, d = 5.0 mm, r = 10 cm, U = 10 V, $R_W$ = 1.0 $\Omega$, k = 1.0 $\text{W}\cdot {\text{K}}^{-1}\cdot {\text{m}}^{-1}$, g = 9.81 $\text{m}\cdot {\text{s}}^2$, R = 8.314 $\text{l}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$. We assume the system is in a steady state. At time t = 0, the experimenter wraps the tube completely with thermal insulation and ensures the lid remains at height $h^{\ast }$ by applying the necessary force on the lid.

vii. (2.5 points) The experimenter wants to hold the lid at height $h^{\ast }$ for 3.0 s. To what maximum value will the force increase? Does the wall thickness d play a significant role in determining this force?

viii. (1.5 points) After t = 3.0 s, the experimenter releases the lid and simultaneously turns off the electric voltage. Around which equilibrium position (height) will the lid oscillate?

ix. (2 points) Determine the velocity of the lid as it passes through the equilibrium position.

x. (2 points) The experimenter measures an oscillation frequency of 10.5 Hz. How can you verify that the gas inside the tube is actually a monatomic gas? (Assume the oscillation amplitude is small compared to the equilibrium height of the lid)