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Problem 1 Do the integrals provided in Section 2. From now on, you can use following integrals:

$I_0={\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}(11)$

$I_1={\int }_0^{\infty }x{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2a}(12)$

$I_2={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(13)$

$I_3={\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2a^2}(14)$

$I_4={\int }_0^{\infty }{x}^4{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{\pi }{a^5}}(15)$

$I_5={\int }_0^{\infty }{x}^5{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{a^3}(16)$

Topic: Kinetic Theory Metodi: Calculus-Integration, Statistical Averaging, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 1 Fare gli integrali di cui alla sezione 2. Da ora in poi, puoi usare le seguenti integrali:

$I_0={\int }_0^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a}}(11)$

$I_1={\int }_0^{\infty }x{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2a}(12)$

$I_2={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(13)$

$I_3={\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2a^2}(14)$

$I_4={\int }_0^{\infty }{x}^4{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{3}{8}\sqrt{\frac{\pi }{a^5}}(15)$

$I_5={\int }_0^{\infty }{x}^5{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{a^3}(16)$

Topic: Kinetic Theory Metodi: Calculus-Integration, Statistical Averaging, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problem 2 Show that for any ideal gas the product of mean velocity and the mean inverse velocity is:

$⟨v⟩⟨\frac{1}{v}⟩=\frac{4}{\pi }$

Topic: Kinetic Theory Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration, Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9

Il problema 2 Mostrare che per qualsiasi gas ideale il prodotto della velocità media e la velocità inversa media is:

$⟨v⟩⟨\frac{1}{v}⟩=\frac{4}{\pi }$

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Problem 3 If the formula for Maxwell’s distribution in terms of kinetic energy $E$ is given as:

$F(E)dE=a{E}^b\exp \left(-\frac{E}{kT}\right)dE$

Find the constants $a$ and $b$.

Topic: Kinetic Theory Metodi: Calculus-Integration, Statistical Averaging, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9

Il problema 3 Se la formula per la distribuzione di Maxwell in termini di energia cinetica $E$ è data come:

$F(E)dE=a{E}^b\exp \left(-\frac{E}{kT}\right)dE$

Trova le costanti $a$ e $b$.

Topic: Kinetic Theory Metodi: Calculus-Integration, Statistical Averaging, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problem 4 We can also define the distribution in terms of the De-Broglie wavelength:

$\lambda =\frac{h}{mv}$

where $h$ is Planck constant. Suppose that it is given as

$F(\lambda )d\lambda =a{\lambda }^{-b}\exp \left(-\frac{c}{{\lambda }^2}\right)d\lambda$

then find constants $a$, $b$ and $c$.

Topic: Kinetic Theory, Modern-Quantum Physics Metodi: de Broglie Relation, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problema 4 Possiamo anche definire la distribuzione in termini di lunghezza d’onda De-Broglie:

$\lambda =\frac{h}{mv}$

dove $h$ è costante di Planck. Supponiamo che sia dato come

$F(\lambda )d\lambda =a{\lambda }^{-b}\exp \left(-\frac{c}{{\lambda }^2}\right)d\lambda$

Poi trovare le costanti $a$, $b$ e $c$.

Topic: Kinetic Theory, Modern-Quantum Physics Metodi: de Broglie Relation, Calculus-Integration, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.9

Problem 5 One mole of ideal gas kept in the vessel. Temperature of the gas is kept constant equal to $T$. Gas concentration in the vessel is $n$. Estimate the number of molecules $N_c$ colliging with the flat wall of container per unit area $S$ during period of time $\Delta t$. Hint: First try a simplified problem then try to generalize your result.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration, Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 5 Un mole di gas ideale conservato nella nave. La temperatura del gas è mantenuta costante pari a $T$. La concentrazione di gas nel recipiente è $n$. Calcolare il numero di molecole $N_c$ che si collegano con la parete piatta del contenitore per unità di superficie $S$ durante il periodo di tempo $\Delta t$. Suggerimento: prima prova un problema semplificato e poi prova a generalizzare il risultato.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration, Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problem 6 Using Maxwell’s distribution calculate pressure of $P$ of ideal gas with concentration $n$ and temperature $T$.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration, Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 6 Calcolare la pressione di $P$ di gas ideale con concentrazione $n$ utilizzando la distribuzione di Maxwell e temperatura $T$.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration, Kinetic Theory of Gases Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problem 7 An ideal monoatomic gas is leaking from thermally insulated vessel into vacuum through a tiny hole ,which is much smaller than the mean free path of gas. Assuming Maxwell’s velocity distribution for the atoms, calculate the parameter $\gamma$, which is defined as the ratio between average kinetic energy of molecules of gas outside the vessel to average energy oh the gas inside the vessel:

$\gamma =\frac{⟨E_{\text{outside}}⟩}{⟨E_{\text{inside}}⟩}$

Assume that none of the atoms flow back.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 7 Un gas monoatomo ideale sta perdendo dal recipiente termicamente isolato nel vuoto attraverso Un piccolo buco, molto più piccolo del percorso medio libero del gas. Supponendo la teoria di Maxwell distribuzione della velocità per gli atomi, calcolare il parametro $\gamma$, che è definito come il rapporto tra l’energia cinetica media delle molecole di gas al di fuori del recipiente e la media energia oh il gas all’interno della nave:

$\gamma =\frac{⟨E_{\text{outside}}⟩}{⟨E_{\text{inside}}⟩}$

Supponiamo che nessuno degli atomi torni indietro.

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics Metodi: Statistical Averaging, Calculus-Integration, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problem 8 A thermally insulated vessel with thin walls has a small hole at one of its sides. This vessel was initially empty at the vacuum. A thin beam of molecules moving with equal velocities $v_0$ is directed at the hole of the vessel in a direction perpendicular to the surface of the hole. (The arrows show gas molecules.) $v_0$ Determine the temperature of the gas $T$ inside the vessel after a long period of time. Molar mass of the gas is $\mu$.

3.4 Hardest Problems Try these problems: • 2020 OPhO Invitational Round Problem 7 • 2002 APhO Problem 3 • 2015 APhO Problem 2(b) • 2019 APhO Problem 2B

Solutions Solution 1

1. So first integral is equation 6. To do that we just need to substitute $u^2=\frac{\alpha v^2}{2}$ and $du=dv\sqrt{\frac{\alpha }{2}}$. So integral becomes

$C\sqrt{\frac{2}{\alpha }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}du=1.$

And this is Gaussian integral which is equals to $\sqrt{\pi }$. So constant is

$\sqrt{\frac{\alpha }{2\pi }}$

2. Second integral is equation 9.

$⟨v^2⟩=\sqrt{\frac{\alpha }{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{v}_x^2\exp \left(-\frac{\alpha v_x^2}{2}\right)d{v}_x$

This can be doable using integration by parts. So we want to differentiate $v_x$ and integrate other part

$$\begin{array}{ccc}& D& I\\ +& v_x& v_x{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}\\ -& 1& -\frac{1}{\alpha }{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}\end{array}$$

So integral becomes

$-\frac{v_x}{2\alpha }{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}{|}_{-\infty }^{\infty }+\frac{1}{2\alpha }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}d{v}_x$

First term vanishes because of exponential. Second term is same as integral 1. So overall doing same steps we get

$⟨v_x^2⟩=\sqrt{\frac{\alpha }{2\pi }}\sqrt{\frac{2\pi }{{\alpha }^3}}=\frac{1}{\alpha }$

3. Third integral is equation 10. We can use same method for this.but this time we will different $v^2$. So

$$\begin{array}{ccc}& D& I\\ +& v^2& v\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\\ -& 2v& -\frac{kT}{m}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\end{array}$$

The same as integral two first term vanishes because of exponential and we left with

${\int }_0^{\infty }\frac{kT}{m}2v\exp \left(-\frac{m{v}^2}{kT}\right)dv$

So if we substitute $u=\frac{m{v}^2}{kT}$ we get

${\int }_0^{\infty }2{\left(\frac{kT}{m}\right)}^2{e}^{-u}du=2{\left(\frac{kT}{m}\right)}^2$

Overall

$⟨v⟩=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\cdot 2{\left(\frac{kT}{m}\right)}^2=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$

Solution 2 For this problem we just need to find $⟨\frac{1}{v}⟩$ So by the definition

$⟨\frac{1}{v}⟩={\int }_0^{\infty }\frac{f(v)}{v}dv=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }v\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv$

using provided integral 12 we get that

$⟨\frac{1}{v}⟩=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\frac{kT}{m}=\sqrt{\frac{2m}{\pi kT}}$

And $⟨v⟩=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ is known so if we multiply them we get $\frac{4}{\pi }$

Solution 3 Original Maxwell’s distribution is

$f(v)dv=4\pi v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv$

For transformation we must have

$F(E)dE=f(v)dv⟹F(E)dE=f(v)\frac{dv}{dE}dE$

We can find its derivative by the definition $E=\frac{m{v}^2}{2}⟹\frac{dE}{dv}=mv$ So $F(E)dE$ is

$F(E)dE=4\pi v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\left(\frac{1}{mv}\right)dE=\frac{2}{\sqrt{\pi }(kT{)}^{3/2}}\sqrt{E}\exp \left(-\frac{E}{kT}\right)dE$

Or

$a=\frac{2}{\sqrt{\pi }(kT{)}^{3/2}}b=\frac{1}{2}$

Solution 4 New deBroglie wavelength distribution should satisfy the condition

$f(v)dv=-F(\lambda )d\lambda ⟹-f(v)\frac{dv}{d\lambda }d\lambda$

By definition $\frac{d\lambda }{dv}=-\frac{h}{m{v}^2}$ Combining equations and replacing parameter $v=\frac{h}{m\lambda }$ yields

$F(\lambda )d\lambda =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{h^3}{{\lambda }^4(mkT{)}^{3/2}}\exp \left(-\frac{h^2}{2mkT{\lambda }^2}\right)d\lambda$

or

$a=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{h^3}{(mkT{)}^{3/2}}b=4c=\frac{h^2}{2mkT}$

Solution 5 Like hint says lets first look at simplified problem. Lets assume all the molecules from origin move with velocity $v$ in cylindrical shape and to one direction $\theta$ with the normal of the wall Stage 1 Then during time interval $\Delta t$ only molecules with height $v\Delta t$ can strike to the wall.The number of molecules can strike will be

$N_1=n\Delta V=nv\Delta tS\cos \theta$

Where $S\cos \theta$ is the cross sectional area of that beam. Stage 2 Now lets average this with Maxwell’s distribution. The range of velocity is $[0;\infty ]$ the polar angle $[0;2\pi ]$ the azimithual angle is $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$. Now

$N_c=\sum nSv\cos \theta \Delta t\left(v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\sin \theta d\theta d\varphi dv\right)$

$=nS\Delta t{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }{v}^3\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv{\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta {\int }_0^{2\pi }d\varphi$

Using provided integral 14

$N_c=nS\Delta t{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\cdot \left(\frac{1}{2}\frac{(2kT{)}^2}{m^2}\right)\frac{1}{2}\cdot 2\pi$

So canceling out terms we get an accurate estimation for number of collisions for ideal gas with temperature $T$ is

$N_c=n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}S\Delta t$

Solution 6 So we can consider the scenario in the figure 4 for simplified problem. So we know that the pressure will be $P=2mn{v}^2{\cos }^2\theta$ from proof the lemma 1. Let’s average it with Maxwell’s distribution.

$P=\sum 2mn{v}^2{\cos }^2\theta \cdot \left(v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\sin \theta d\theta d\varphi dv\right)$

$=2mn{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }{v}^4\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta \sin \theta d\theta {\int }_0^{2\pi }d\varphi$

Here we can use the integral 15 and get the result:

$P=2mn{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\cdot \left(\frac{3\sqrt{\pi }}{8}{\left(\frac{5kT}{m}\right)}^{5/2}\right)\cdot \frac{1}{3}2\pi =nkT$

Solution 7 Average kinetic energy inside of container is

$⟨E_{\text{inside}}⟩=\frac{3}{2}kT$

according to lemma 1 or you can calculate it by

$⟨E_{\text{inside}}⟩={\int }_0^{\infty }\frac{m{v}^2}{2}f(v)dv$

For the outside of vessel we can calculate it like other problems. Consider a simple scenario with all the molecules with the same velocity they are mocing in same direction. In this case the number of molecules that go outside will be

$N_{\text{out}}=nvS\cos \theta \Delta t$

Now let’s average this energy and number of molecules with Maxwell’s distribution. We have derived number of molecules before. It is

$N_{\text{out}}=n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}S\Delta t$

So applying similar approach for $E_{\text{out}}$

$E_{\text{out}}=\sum \frac{m{v}^2}{2}nvS\cos \theta \Delta t\left(v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\sin \theta d\theta d\varphi dv\right)$

$=\frac{mnS\Delta t}{2}{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }{v}^5\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv{\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta {\int }_0^{2\pi }d\varphi$

Using the integral 16 yields

$E_{\text{out}}=nS\Delta t2kT\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$

The avarage energy of molecules in the outside will be

$⟨E_{\text{outside}}⟩=\frac{E_{\text{out}}}{N_{\text{out}}}$

So dividing energy to number of molecules we get

$⟨E_{\text{out}}⟩=2kT$

Our final result is

$\frac{⟨E_{\text{outside}}⟩}{⟨E_{\text{inside}}⟩}=\frac{4}{3}$

Note For the solution of OPhO problem 7 check this Aops forum

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics, Conservation of Energy Metodi: Kinetic Theory of Gases, Conservation Laws, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Particle Beam, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10

Problema 8 Un recipiente termicamente isolato con pareti sottili ha un piccolo foro su uno dei suoi lati. Questo recipiente era inizialmente vuoto, sotto vuoto. Un sottile fascio di molecole che si muovono con uguale velocità $v_0$ è diretto verso il foro del recipiente in una direzione perpendicolare alla superficie del foro. (Le frecce indicano le molecole di gas.) $v_0$ Determina la temperatura del gas $T$ all’interno del recipiente dopo un lungo periodo di tempo. La massa molare del gas è $\mu$.

3.4 Problemi più difficili Prova questi problemi: • 2020 OPhO Invitational Round Problem 7 • 2002 APhO Problem 3 • 2015 APhO Problem 2(b) • 2019 APhO Problem 2B

Soluzioni Soluzione 1

1. Quindi il primo integrale è l’equazione 6. Per farlo dobbiamo semplicemente sostituire $u^2=\frac{\alpha v^2}{2}$ e $du=dv\sqrt{\frac{\alpha }{2}}$. Quindi l’integrale diventa

$C\sqrt{\frac{2}{\alpha }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}du=1.$

E questo è l’integrale gaussiano che è uguale a $\sqrt{\pi }$. Quindi la costante è

$\sqrt{\frac{\alpha }{2\pi }}$

2. Il secondo integrale è l’equazione 9.

$⟨v^2⟩=\sqrt{\frac{\alpha }{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{v}_x^2\exp \left(-\frac{\alpha v_x^2}{2}\right)d{v}_x$

Questo si può fare usando l’integrazione per parti. Quindi vogliamo derivare $v_x$ e integrare l’altra parte

$$\begin{array}{ccc}& D& I\\ +& v_x& v_x{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}\\ -& 1& -\frac{1}{\alpha }{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}\end{array}$$

Quindi l’integrale diventa

$-\frac{v_x}{2\alpha }{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}{|}_{-\infty }^{\infty }+\frac{1}{2\alpha }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{\alpha v_x^2}{2}}d{v}_x$

Il primo termine si annulla a causa dell’esponenziale. Il secondo termine è lo stesso dell’integrale 1. Quindi, complessivamente, eseguendo gli stessi passaggi otteniamo

$⟨v_x^2⟩=\sqrt{\frac{\alpha }{2\pi }}\sqrt{\frac{2\pi }{{\alpha }^3}}=\frac{1}{\alpha }$

3. Il terzo integrale è l’equazione 10. Possiamo usare lo stesso metodo per questo, ma questa volta deriveremo $v^2$. Quindi

$$\begin{array}{ccc}& D& I\\ +& v^2& v\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\\ -& 2v& -\frac{kT}{m}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\end{array}$$

Come nell’integrale due, il primo termine si annulla a causa dell’esponenziale e ci resta

${\int }_0^{\infty }\frac{kT}{m}2v\exp \left(-\frac{m{v}^2}{kT}\right)dv$

Quindi se sostituiamo $u=\frac{m{v}^2}{kT}$ otteniamo

${\int }_0^{\infty }2{\left(\frac{kT}{m}\right)}^2{e}^{-u}du=2{\left(\frac{kT}{m}\right)}^2$

Complessivamente

$⟨v⟩=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\cdot 2{\left(\frac{kT}{m}\right)}^2=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$

Soluzione 2 Per questo problema dobbiamo semplicemente trovare $⟨\frac{1}{v}⟩$ Quindi, per definizione

$⟨\frac{1}{v}⟩={\int }_0^{\infty }\frac{f(v)}{v}dv=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }v\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv$

usando l’integrale 12 fornito otteniamo che

$⟨\frac{1}{v}⟩=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\frac{kT}{m}=\sqrt{\frac{2m}{\pi kT}}$

E $⟨v⟩=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ è noto, quindi se li moltiplichiamo otteniamo $\frac{4}{\pi }$

Soluzione 3 La distribuzione di Maxwell originale è

$f(v)dv=4\pi v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv$

Per la trasformazione dobbiamo avere

$F(E)dE=f(v)dv⟹F(E)dE=f(v)\frac{dv}{dE}dE$

Possiamo trovarne la derivata per definizione $E=\frac{m{v}^2}{2}⟹\frac{dE}{dv}=mv$ Quindi $F(E)dE$ è

$F(E)dE=4\pi v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\left(\frac{1}{mv}\right)dE=\frac{2}{\sqrt{\pi }(kT{)}^{3/2}}\sqrt{E}\exp \left(-\frac{E}{kT}\right)dE$

Oppure

$a=\frac{2}{\sqrt{\pi }(kT{)}^{3/2}}b=\frac{1}{2}$

Soluzione 4 La nuova distribuzione della lunghezza d’onda di de Broglie deve soddisfare la condizione

$f(v)dv=-F(\lambda )d\lambda ⟹-f(v)\frac{dv}{d\lambda }d\lambda$

Per definizione $\frac{d\lambda }{dv}=-\frac{h}{m{v}^2}$ Combinando le equazioni e sostituendo il parametro $v=\frac{h}{m\lambda }$ si ottiene

$F(\lambda )d\lambda =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{h^3}{{\lambda }^4(mkT{)}^{3/2}}\exp \left(-\frac{h^2}{2mkT{\lambda }^2}\right)d\lambda$

oppure

$a=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{h^3}{(mkT{)}^{3/2}}b=4c=\frac{h^2}{2mkT}$

Soluzione 5 Come dice il suggerimento, guardiamo prima al problema semplificato. Assumiamo che tutte le molecole dall’origine si muovano con velocità $v$ in forma cilindrica e in un’unica direzione $\theta$ con la normale alla parete Fase 1 Poi, durante l’intervallo di tempo $\Delta t$, solo le molecole con altezza $v\Delta t$ possono colpire la parete. Il numero di molecole che possono colpire sarà

$N_1=n\Delta V=nv\Delta tS\cos \theta$

dove $S\cos \theta$ è l’area della sezione trasversale di quel fascio. Fase 2 Ora mediamo questo con la distribuzione di Maxwell. L’intervallo della velocità è $[0;\infty ]$, l’angolo polare $[0;2\pi ]$, l’angolo azimutale è $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$. Ora

$N_c=\sum nSv\cos \theta \Delta t\left(v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\sin \theta d\theta d\varphi dv\right)$

$=nS\Delta t{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }{v}^3\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv{\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta {\int }_0^{2\pi }d\varphi$

Usando l’integrale 14 fornito

$N_c=nS\Delta t{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\cdot \left(\frac{1}{2}\frac{(2kT{)}^2}{m^2}\right)\frac{1}{2}\cdot 2\pi$

Quindi, cancellando i termini, otteniamo una stima accurata del numero di collisioni per un gas ideale con temperatura $T$

$N_c=n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}S\Delta t$

Soluzione 6 Quindi possiamo considerare lo scenario nella figura 4 per il problema semplificato. Sappiamo quindi che la pressione sarà $P=2mn{v}^2{\cos }^2\theta$ dalla dimostrazione del lemma 1. Mediamola con la distribuzione di Maxwell.

$P=\sum 2mn{v}^2{\cos }^2\theta \cdot \left(v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\sin \theta d\theta d\varphi dv\right)$

$=2mn{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }{v}^4\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta \sin \theta d\theta {\int }_0^{2\pi }d\varphi$

Qui possiamo usare l’integrale 15 e ottenere il risultato:

$P=2mn{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\cdot \left(\frac{3\sqrt{\pi }}{8}{\left(\frac{5kT}{m}\right)}^{5/2}\right)\cdot \frac{1}{3}2\pi =nkT$

Soluzione 7 L’energia cinetica media all’interno del contenitore è

$⟨E_{\text{inside}}⟩=\frac{3}{2}kT$

secondo il lemma 1, oppure puoi calcolarla con

$⟨E_{\text{inside}}⟩={\int }_0^{\infty }\frac{m{v}^2}{2}f(v)dv$

Per l’esterno del recipiente possiamo calcolarla come negli altri problemi. Consideriamo uno scenario semplice in cui tutte le molecole hanno la stessa velocità e si muovono nella stessa direzione. In questo caso il numero di molecole che escono sarà

$N_{\text{out}}=nvS\cos \theta \Delta t$

Ora mediamo questa energia e questo numero di molecole con la distribuzione di Maxwell. Abbiamo ricavato il numero di molecole in precedenza. È

$N_{\text{out}}=n\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}S\Delta t$

Quindi, applicando un approccio simile per $E_{\text{out}}$

$E_{\text{out}}=\sum \frac{m{v}^2}{2}nvS\cos \theta \Delta t\left(v^2{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)\sin \theta d\theta d\varphi dv\right)$

$=\frac{mnS\Delta t}{2}{\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{3/2}{\int }_0^{\infty }{v}^5\exp \left(-\frac{m{v}^2}{2kT}\right)dv{\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta {\int }_0^{2\pi }d\varphi$

Usando l’integrale 16 si ottiene

$E_{\text{out}}=nS\Delta t2kT\sqrt{\frac{kT}{2\pi m}}$

L’energia media delle molecole all’esterno sarà

$⟨E_{\text{outside}}⟩=\frac{E_{\text{out}}}{N_{\text{out}}}$

Quindi, dividendo l’energia per il numero di molecole, otteniamo

$⟨E_{\text{out}}⟩=2kT$

Il nostro risultato finale è

$\frac{⟨E_{\text{outside}}⟩}{⟨E_{\text{inside}}⟩}=\frac{4}{3}$

Nota Per la soluzione del problema 7 di OPhO consulta questo forum Aops

Topic: Kinetic Theory, Thermodynamics, Conservation of Energy Metodi: Kinetic Theory of Gases, Conservation Laws, Ideal Gas Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Particle Beam, Container Fonte: Testo (PDF) — p.10