OII 2002 Nazionale Teorica

PROBLEMA n. 1 — Tensione del filo di un pendolo (50 Punti)

Un sensore di forza collegato a un sistema di acquisizione automatica di dati consente di registrare valori di forze che variano rapidamente nel tempo.

Un pendolo è costituito da una sfera di massa $m$ collegata a un’estremità di un filo di lunghezza $\ell$ il quale è fissato, all’altra sua estremità, a un sostegno. Il pendolo viene deviato dalla verticale di un angolo $\alpha$ e quindi lasciato oscillare liberamente, mentre un sensore di forza misura la componente verticale della tensione del filo; i valori misurati di tale componente sono riportati nel grafico che segue.

Componente verticale della tensione del filo $F$ (in N) in funzione del tempo $t$ (in s): curva periodica e asimmetrica, con massimi stretti ($F\approx 1.55$ N a $t\approx 0,1.05,2.1,3.15$ s) e minimi larghi ($F\approx 0.15$ N).

1. Mettere in relazione l’andamento del grafico con le successive posizioni del pendolo, motivando l’asimmetria tra i massimi e i minimi della curva.
2. Stimare il periodo del pendolo.
3. Utilizzando i valori massimo e minimo delle misure riportate nel grafico, determinare l’angolo $\alpha$ e la massa del pendolo.

Note: Si tenga conto che non ci sono motivi per considerare piccolo l’angolo $\alpha$. Gli effetti di smorzamento sono da considerarsi trascurabili. Assumere $g=9.80{\text{m s}}^{-2}$.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Pendulum, Sphere, String Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

PROBLEMA n. 1 Stretch of the wire of a pendulum (50 Points)

A force sensor connected to an automatic data acquisition system allows for recording force values that vary rapidly over time.

A pendulum consists of a sphere of mass $m$ connected to one end of a length of wire $\ell$ which is fixed, at its other end, to a support. The pendulum is deflected from the vertical of an angle $\alpha$ and then left to oscillate freely, while a force sensor measures the vertical component of the wire voltage; the measured values of this component are shown in the following graph.

Vertical component of the wire voltage $F$ (in N) in terms of time $t$ (in s): periodic and asymmetrical curve, with narrow maximum ($F\approx 1.55$ N to $t\approx 0,1.05,2.1,3.15$ s) and lowest width ($F\approx 0.15$ N).

1. Relate the chart’s progress to the subsequent positions of the pendulum, thus justifying asymmetry between the maximum and minimum curves.
2. Estimate the period of the pendulum.
3. Using the maximum and minimum values of the measurements shown in the graph, determine the angle $\alpha$ and the mass of the pendulum.

Note: Please note that there is no reason to consider the angle $\alpha$ small. The effects of softening should be considered negligible. Assumere $g=9.80{\text{m s}}^{-2}$.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Pendulum, Sphere, String Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Interferenza su intercapedine d’aria

PROBLEMA n. 2 — Interferenza (50 Punti)

Una lastra di vetro spessa viene posta sopra un cubo di vetro. Tra la lastra e il cubo resta una sottile intercapedine d’aria di spessore uniforme $d$. Un fascio di luce monocromatica di lunghezza d’onda compresa tra $0.40\mu \text{m}$ e $0.80\mu \text{m}$ incide perpendicolarmente sulla lastra producendo interferenza. Al variare della lunghezza d’onda in tutto l’intervallo considerato, si notano due soli massimi di luce riflessa, uno dei quali in corrispondenza del valore ${\lambda }_1=0.40\mu \text{m}$.

1. Scrivere la condizione d’interferenza costruttiva in termini di $\lambda$ e $d$ e determinare l’insieme dei possibili rapporti tra due qualunque lunghezze d’onda che danno luogo a massimi di interferenza.
2. Calcolare il valore della seconda lunghezza d’onda per cui si ha un massimo di luce riflessa.
3. Calcolare lo spessore $d$ dell’intercapedine d’aria.

Nota: Poiché la lastra è spessa l’interferenza è dovuta solo alla presenza dell’intercapedine d’aria.

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Interference on an air gap

PROBLEM no. 2 — Interference (50 points)

A thick glass plate is placed on top of a glass cube. Between the plate and the cube there remains a thin air gap of uniform thickness $d$. A beam of monochromatic light with wavelength between $0.40\mu \text{m}$ and $0.80\mu \text{m}$ strikes the plate perpendicularly, producing interference. As the wavelength varies over the entire interval considered, only two maxima of reflected light are observed, one of which occurs at the value ${\lambda }_1=0.40\mu \text{m}$.

1. Write the condition for constructive interference in terms of $\lambda$ and $d$ and determine the set of possible ratios between any two wavelengths that give rise to interference maxima.
2. Calculate the value of the second wavelength for which there is a maximum of reflected light.
3. Calculate the thickness $d$ of the air gap.

Note: Since the plate is thick, the interference is due only to the presence of the air gap.

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Equilibrio di sfera e contrappeso su filo

PROBLEMA n. 3 — Equilibrio (100 Punti)

Dal soffitto di una stanza pende un filo di lunghezza maggiore di $1\text{m}$ che termina in un piccolo anello B. Nell’anello passa un secondo lungo filo, di massa trascurabile, alle cui estremità sono appesi due corpi: uno è una sfera omogenea di centro A, raggio $R=0.5\text{m}$ e massa $M$ e l’altro è un contrappeso di massa $KM$, con $K>1$.

In assenza di attriti, i corpi si dispongono in una situazione di equilibrio in cui la sfera è più in alto e il contrappeso più in basso. La porzione di filo che regge il contrappeso si adagia per un tratto CD sulla superficie della sfera.

La sfera omogenea di centro A e raggio $R$ pende dal filo passante per l’anello B; il filo del contrappeso si adagia sulla sfera lungo l’arco CD (tangente in D) prima di scendere verticale.

1. Disegnare le forze agenti sulla sfera e spiegarne l’origine fisica.
2. Determinare quanto è lungo il tratto $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ di filo che regge il contrappeso che rimane in contatto con la sfera.
3. Descrivere, anche con un disegno, il caso limite in cui $K$ tende a 1, esplicitando le condizioni in cui ciò può verificarsi.
4. Descrivere, anche con un disegno, il caso limite in cui $K$ tende a infinito, discutendo anche che cosa succede se la sfera tocca l’anello in B.
5. Calcolare una risposta numerica per $K=2$ e per $K=4$.

Topic: Rigid Body Statics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, String Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Equilibrium of a sphere and counterweight on a thread

PROBLEM no. 3 — Equilibrium (100 points)

From the ceiling of a room hangs a thread of length greater than $1\text{m}$ that ends in a small ring B. Through the ring passes a second long thread, of negligible mass, at whose ends two bodies are hung: one is a homogeneous sphere with center A, radius $R=0.5\text{m}$ and mass $M$, and the other is a counterweight of mass $KM$, with $K>1$.

In the absence of friction, the bodies arrange themselves in an equilibrium situation in which the sphere is higher and the counterweight lower. The portion of the thread that supports the counterweight rests for a stretch CD on the surface of the sphere.

The homogeneous sphere with center A and radius $R$ hangs from the thread passing through the ring B; the counterweight’s thread rests on the sphere along the arc CD (tangent at D) before descending vertically.

1. Draw the forces acting on the sphere and explain their physical origin.
2. Determine how long the stretch $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ of the thread supporting the counterweight that remains in contact with the sphere is.
3. Describe, also with a drawing, the limiting case in which $K$ tends to 1, setting out the conditions under which this can occur.
4. Describe, also with a drawing, the limiting case in which $K$ tends to infinity, also discussing what happens if the sphere touches the ring at B.
5. Calculate a numerical answer for $K=2$ and for $K=4$.

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Lampada stroboscopica (circuito RC a scarica)

PROBLEMA n. 4 — Lampada stroboscopica (100 Punti)

Si consideri il circuito in figura 1. Se si indica con $q_0$ la carica sul condensatore $C$ al tempo $t=0$, in cui viene chiuso l’interruttore, allora la carica ad ogni istante successivo è data dalla funzione $q(t)=Q+(q_0-Q)e^{-t/\tau }\text{con}\tau =R_{\mathrm{p}}C(1)$ essendo $R_{\mathrm{p}}$ la resistenza equivalente al parallelo delle resistenze $R_1$ e $R_2$.

Figura 1 — Generatore di tensione $V$ con interruttore T in serie alla resistenza $R_1$; in parallelo, il ramo $R_2$ e il condensatore $C$.

1. Mostrare che la costante $Q$ rappresenta il valore di regime della carica sul condensatore e determinarne il valore in funzione dei parametri $V$, $R_1$, $\tau$.
2. Calcolare le correnti nei tre rami del circuito usando la relazione (1) e verificare che il risultato è consistente con la legge dei nodi di Kirchhoff. Traccia suggerita: ricavare nell’ordine la ddp ai capi del condensatore $V_C(t)$; la corrente nel ramo del condensatore; la corrente in $R_2$; la corrente in $R_1$; verificare la legge di Kirchhoff a uno dei nodi.

La resistenza $R_2$ viene sostituita da una lampada a gas (figura 2) schematizzabile come un componente resistivo definito in questo modo:

• quando la tensione applicata è nulla la resistenza è molto elevata ($R_{\mathrm{L}}=R_{+}\gg R_1$) e rimane tale finché la tensione non supera il valore $V_2=V/2$; a questo punto la resistenza scende a $R_{-}\ll R_1$ e la lampada emette luce;
• la resistenza rimane molto bassa ($R_{\mathrm{L}}=R_{-}\ll R_1$) quando la tensione applicata ai suoi capi resta superiore al valore $V_1=V/4$; quando la tensione scende al di sotto di questo valore la resistenza torna ad $R_{+}$ e la lampada si spegne.

Figura 2 — Lo stesso circuito con $R_2$ sostituita da una lampada a gas di resistenza $R_{\mathrm{L}}$.

Il grafico di figura 3 mostra come la resistenza della lampada, nell’intervallo di tensione applicata $V_1<V_{\mathrm{L}}<V_2$, dipende dalla storia precedente.

Figura 3 — Caratteristica isteretica $R_{\mathrm{L}}(V_{\mathrm{L}})$: $R_{\mathrm{L}}=R_{+}$ finché $V_{\mathrm{L}}$ non supera $V_2=V/2$, poi scende a $R_{-}$; risale a $R_{+}$ quando $V_{\mathrm{L}}$ scende sotto $V_1=V/4$.

3. Partendo dalla condizione $q_0=0$ riportare in un grafico l’andamento della $V_C(t)$ mostrando che la lampada emette una successione di lampi (lampada stroboscopica).
4. Determinare la frequenza dei lampi nel caso $R_{+}=100R_1$ ed $R_{-}=R_1/100$, dandone poi il valore numerico per $C=100\mu \text{F}$ ed $R_1=4.7\text{k}\Omega$.

Si vuole osservare una corda vibrante alla luce di una lampada stroboscopica la cui frequenza può essere variata; è noto solo il valore minimo della frequenza ${\nu }_0=2\text{Hz}$. A partire da un valore certamente maggiore di quello di vibrazione della corda, la frequenza della lampada viene lentamente diminuita, fino al valore minimo. A un certo istante, durante questa operazione, si osserva che la corda appare ferma, ma poiché la frequenza dei lampi non è nota, non è possibile determinare la frequenza di oscillazione della corda. Diminuendo ancora progressivamente la frequenza della lampada, la corda appare ferma una seconda volta e subito dopo, raggiunta la frequenza minima della lampada ${\nu }_0$, la corda sembra oscillare con un periodo apparente $T_{\text{app}}=3\text{s}$.

5. A che frequenza oscilla la corda?

Topic: Circuits, Oscillations & Waves Metodi: Kirchhoff’s Laws, Differential Equations, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Capacitor, Resistor, Switch, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Stroboscopic lamp (RC discharge circuit)

PROBLEM no. 4 — Stroboscopic lamp (100 points)

Consider the circuit in figure 1. If $q_0$ denotes the charge on the capacitor $C$ at time $t=0$, at which the switch is closed, then the charge at every subsequent instant is given by the function $q(t)=Q+(q_0-Q)e^{-t/\tau }\text{con}\tau =R_{\mathrm{p}}C(1)$ where $R_{\mathrm{p}}$ is the equivalent resistance of the parallel combination of the resistors $R_1$ and $R_2$.

Figure 1 — Voltage generator $V$ with switch T in series with the resistor $R_1$; in parallel, the branch $R_2$ and the capacitor $C$.

1. Show that the constant $Q$ represents the steady-state value of the charge on the capacitor and determine its value as a function of the parameters $V$, $R_1$, $\tau$.
2. Calculate the currents in the three branches of the circuit using relation (1) and verify that the result is consistent with Kirchhoff’s node law. Suggested outline: derive in order the potential difference across the capacitor $V_C(t)$; the current in the capacitor branch; the current in $R_2$; the current in $R_1$; verify Kirchhoff’s law at one of the nodes.

The resistor $R_2$ is replaced by a gas lamp (figure 2) that can be schematized as a resistive component defined in this way:

• when the applied voltage is zero the resistance is very high ($R_{\mathrm{L}}=R_{+}\gg R_1$) and remains so until the voltage exceeds the value $V_2=V/2$; at this point the resistance drops to $R_{-}\ll R_1$ and the lamp emits light;
• the resistance remains very low ($R_{\mathrm{L}}=R_{-}\ll R_1$) when the voltage applied across its terminals stays above the value $V_1=V/4$; when the voltage drops below this value the resistance returns to $R_{+}$ and the lamp turns off.

Figure 2 — The same circuit with $R_2$ replaced by a gas lamp of resistance $R_{\mathrm{L}}$.

The graph in figure 3 shows how the resistance of the lamp, in the applied voltage range $V_1<V_{\mathrm{L}}<V_2$, depends on the previous history.

Figure 3 — Hysteretic characteristic $R_{\mathrm{L}}(V_{\mathrm{L}})$: $R_{\mathrm{L}}=R_{+}$ as long as $V_{\mathrm{L}}$ does not exceed $V_2=V/2$, then it drops to $R_{-}$; it rises back to $R_{+}$ when $V_{\mathrm{L}}$ drops below $V_1=V/4$.

3. Starting from the condition $q_0=0$, plot on a graph the trend of $V_C(t)$ showing that the lamp emits a succession of flashes (stroboscopic lamp).
4. Determine the frequency of the flashes in the case $R_{+}=100R_1$ and $R_{-}=R_1/100$, then give its numerical value for $C=100\mu \text{F}$ and $R_1=4.7\text{k}\Omega$.

One wants to observe a vibrating string in the light of a stroboscopic lamp whose frequency can be varied; only the minimum value of the frequency ${\nu }_0=2\text{Hz}$ is known. Starting from a value certainly greater than that of the vibration of the string, the frequency of the lamp is slowly decreased, down to the minimum value. At a certain instant, during this operation, one observes that the string appears stationary, but since the frequency of the flashes is not known, it is not possible to determine the oscillation frequency of the string. Decreasing the frequency of the lamp still progressively, the string appears stationary a second time and immediately afterwards, once the minimum frequency of the lamp ${\nu }_0$ is reached, the string seems to oscillate with an apparent period $T_{\text{app}}=3\text{s}$.

5. At what frequency does the string oscillate?

Solution: Soluzioni (PDF)