OII 2003 Nazionale Teorica

Chi sale, chi scende — doppia puleggia

PROBLEMA n. 1 — Chi sale, chi scende… (100 Punti)

Una “doppia puleggia” è formata da due dischi, di forma cilindrica e rigidamente connessi, rispettivamente di raggio $R_{1}$ ed $R_{2}$ e masse $M_{1}$ ed $M_{2}$ . Ciascun disco porta avvolta una corda inestensibile e di massa trascurabile alla cui estremità è appesa una massa di valore rispettivamente $m_{1}$ e $m_{2}$ , come mostrato in figura. Le corde non scivolano durante il loro moto intorno ai due dischi.

Doppia puleggia imperniata in $P$ : sul disco esterno di raggio $R_{1}$ e massa $M_{1}$ è avvolta la corda che sostiene $m_{1}$ , sul disco interno di raggio $R_{2}$ e massa $M_{2}$ la corda che sostiene $m_{2}$ .

Determinare la condizione che deve essere soddisfatta tra le grandezze in gioco in modo tale che ci sia equilibrio meccanico.

Si assuma ora $m_{2} = m_{1}$ , $M_{1} = 9 m_{1}$ , $M_{2} = 3 m_{1}$ e $R_{1} = 2 R_{2}$ .

Con questi valori, in che verso ruotano le pulegge?
Determinare la velocità $v_{1}$ della massa $m_{1}$ , dopo che si è spostata di un tratto $h$ a partire dalla posizione di quiete.
Determinare le tensioni $T_{1}$ e $T_{2}$ delle due corde.
La forza totale $F$ che il soffitto esercita nel punto $P$ per sostenere il sistema delle pulegge e delle masse è la stessa quando le masse $m_{1}$ e $m_{2}$ sono ferme oppure quando sono in moto? Motivare adeguatamente la risposta e successivamente calcolare la forza $F$ (o le forze, se diverse).

Nota: il momento di inerzia di un cilindro omogeneo di raggio $R$ e massa $M$ , rispetto al suo asse di simmetria, è $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ .

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Disk, String Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Chi sale, chi scende — doppia puleggia

PROBLEMA n. 1 — Chi sale, chi scende… (100 Punti)

A ‘double cleaning’ consists of two cylindrical discs, rigidly connected, of radius $R_{1}$ and $R_{2}$ and masses $M_{1}$ and $M_{2}$ respectively. Each disc carries a wrapped, unextensible, mass-negligible string to which a mass of $m_{1}$ and $m_{2}$ is attached, respectively, as shown in Figure 1. The ropes do not slip around the two disks while they are on their motorcycle.

Double threaded brush on $P$ : on the outer disc of radius $R_{1}$ and mass $M_{1}$ the rope supporting $m_{1}$ is wrapped, on the inner disc of radius $R_{2}$ and mass $M_{2}$ the rope supporting $m_{2}$ .

Determine the condition that must be met between the quantities at stake so that there is mechanical balance.

Si assuma ora $m_{2} = m_{1}$ , $M_{1} = 9 m_{1}$ , $M_{2} = 3 m_{1}$ e $R_{1} = 2 R_{2}$ .

With these values, which way do the pulleys turn?
Determine the $v_{1}$ speed of the mass $m_{1}$ after it has moved a stroke $h$ from the still position.
Determine the $T_{1}$ and $T_{2}$ voltages of the two strings.
Is the total force $F$ exerted by the ceiling at the point $P$ to support the pulley and mass system the same when the masses $m_{1}$ and $m_{2}$ are stationary or moving? Properly motivate the response and then calculate the force $F$ (or forces, if different).

Note: the torque of a cylinder of a uniform radius $R$ and mass $M$ , with respect to its axis of symmetry, is $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ .

PROBLEMA n. 2 — Anelli in campo (100 Punti)

In una regione di spazio cilindrica è presente un campo magnetico uniforme $B$ , diretto verticalmente verso l’alto, di cui modulo, inizialmente uguale a $B_{0}$ , varia linearmente annullandosi in un tempo $τ$ .

Nella regione è posto un anello conduttore di raggio $r$ , giacente fermo in un piano perpendicolare a $B$ , con il centro sull’asse della regione.

Determinare l’energia assorbita da una carica $q$ che percorre un giro completo nell’anello mentre il campo magnetico viene variato. Determinare quindi il modulo del campo elettrico $E$ che agisce sulla carica.

In un secondo tempo l’anello conduttore viene sostituito da due anelli concentrici liberi di ruotare senza attrito attorno al medesimo asse: gli anelli, fatti di materiale dielettrico ed omogeneo, hanno andamine massa $m$ , raggi $r_{1}$ ed $r_{2}$ , con $r_{2} > r_{1}$ , e su di essi è distribuita uniformemente una carica di modulo $q$ , positiva sull’anello esterno e negativa su quello interno. Facendo variare il campo magnetico allo stesso modo di prima i due anelli, inizialmente fermi, si mettono in rotazione.

Determinare il modulo della velocità angolari raggiunte dai due anelli dopo che hanno compiuto un giro completo.
Con quali velocità angolari e in quale verso girano gli anelli dopo il tempo $τ$ ?
In una prova successiva i due anelli sono rigidamente collegati fra di loro per mezzo di astine di materiale dielettrico e di massa trascurabile. Trovare la velocità angolare acquistata dal sistema al tempo $τ$ , quando il campo è estinto.

Nota: il momento di inerzia di un anello omogeneo di raggio $r$ e massa $m$ è $I = m r^{2}$ .

Topic: Electromagnetic Induction, Rotational Dynamics Metodi: Faraday’s Law of Induction, Torque & Angular Momentum Analysis, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

PROBLEM no. 2 — Rings in a field (100 points)

In a cylindrical region of space there is a uniform magnetic field $B$ , directed vertically upward, whose magnitude, initially equal to $B_{0}$ , varies linearly, vanishing in a time $τ$ .

In the region there is placed a conducting ring of radius $r$ , lying at rest in a plane perpendicular to $B$ , with its center on the axis of the region.

Determine the energy absorbed by a charge $q$ that travels one complete turn in the ring while the magnetic field is being varied. Then determine the magnitude of the electric field $E$ acting on the charge.

Subsequently, the conducting ring is replaced by two concentric rings free to rotate without friction about the same axis: the rings, made of a homogeneous dielectric material, have the same mass $m$ , radii $r_{1}$ and $r_{2}$ , with $r_{2} > r_{1}$ , and on them a charge of magnitude $q$ is distributed uniformly, positive on the outer ring and negative on the inner one. By varying the magnetic field in the same way as before, the two rings, initially at rest, begin to rotate.

Determine the magnitude of the angular velocities reached by the two rings after they have completed one full turn.
With what angular velocities and in which direction do the rings rotate after the time $τ$ ?
In a subsequent test, the two rings are rigidly connected to each other by means of thin rods of dielectric material and negligible mass. Find the angular velocity acquired by the system at time $τ$ , when the field has died out.

Note: the moment of inertia of a homogeneous ring of radius $r$ and mass $m$ is $I = m r^{2}$ .

Solution: Soluzioni (PDF)

Pianeti extra-solari (transito di HD209458)

PROBLEMA n. 3 — Pianeti extra-solari (100 Punti)

Il prossimo 7 Maggio sarà visibile dall’Italia un transito di Mercurio e il giorno 8 Giugno 2004 il fenomeno più raro del transito di Venere; i due pianeti appariranno come dischetti scuri in moto sulla superficie solare.

Da qualche anno si è pensato che l’esistenza di sistemi planetari diversi dal nostro e quindi di pianeti cosiddetti extra-solari potesse essere dedotta dall’osservazione di transiti e nel 1999 è stato dato il primo annuncio di un tale evento. Poiché le stelle appaiono come sorgenti puntiformi, tali transiti non possono essere osservati direttamente, ma solo attraverso la variazione di luminosità della stella.

Il grafico in fig. 3-1 riporta schematicamente la curva di luce di una stella (denominata HD209458, nella costellazione di Pegaso) che per caratteristiche spettrali e di luminosità può essere pensata come avente la stessa massa e lo stesso raggio del Sole. La riduzione di luminosità, che si ripete regolarmente ogni $3.52$ giorni, è dovuta al “transito” di un suo pianeta (oscuro e quindi non visibile).

Fig. 3-1: curva di luce $F / F_{m a x}$ in funzione del tempo $t$ (giorni), con avvallamento trapezoidale tra i punti A, B, C, D da $1.00$ a circa $0.985$ .

Fig. 3-2: schema geometrico del transito; stella S, pianeta P sulla traccia dell’orbita, angolo di inclinazione $i$ , Terra a destra.

Fig. 3-3: disco stellare attraversato dal pianeta lungo una corda, con l’orbita (tratteggiata) vista da Terra.

Si assumano le seguenti ipotesi, come ipotesi di lavoro: a) il disco stellare sia uniformemente luminoso; b) l’orbita del pianeta sia circolare; c) la densità della stella e del pianeta siano praticamente uguali.

Utilizzando la curva di luce e i dati del pianeta, in Unità Astronomiche, ricavare una stima del rapporto tra la massa del pianeta e quella di Giove ( $1 M_{G} = 1/1047 M_{⊙}$ ).
Determinare il raggio dell’orbita del pianeta, in Unità Astronomiche.
Indicare a quali fasi del transito corrispondono i punti A, B, C e D del grafico.
Nell’ulteriore ipotesi semplificativa che la Terra si trovi nel piano della fig. 3-2, molto lontano a destra, e utilizzando i dati temporali del transito, stimare l’angolo di inclinazione $i$ del piano dell’orbita rispetto alla congiungente stella-Terra (in fig. 3-3 l’orbita del pianeta come si vedrebbe da Terra).

Suggerimento: si consiglia, come è tradizionale in astrofisica, di esprimere le masse in unità di Massa Solare ( $1 M_{⊙} = 1.99 \times 1 0^{30} kg$ ), le distanze in Unità Astronomiche (distanza media Sole–Terra: $1 A = 1.50 \times 1 0^{11} m$ ), i tempi in anni terrestri di $365.24$ giorni (le unità “giorni” e “anni” si indicano rispettivamente con i simboli “d” e “y”; $1 y = 365.24 d$ , $1 d = 86400 s$ ). Infine è utile conoscere il diametro angolare del Sole visto dalla Terra: $δ = 3 2^{'}$ .

Topic: Astrophysics, Gravitation Metodi: Kepler’s Laws, Order-of-Magnitude Estimation, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: Star, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Extra-solar planets (transit of HD209458)

Problem no. 3 — Extra-solar planets (100 points)

Next May 7 a transit of Mercury will be visible from Italy, and on June 8, 2004 the rarest phenomenon of the transit of Venus; the two planets will appear as dark little disks moving across the solar surface.

For some years it has been thought that the existence of planetary systems different from ours and therefore of so-called extra-solar planets could be deduced from the observation of transits, and in 1999 the first announcement of such an event was made. Since stars appear as point sources, such transits cannot be observed directly, but only through the variation in the star’s brightness.

The graph in fig. 3-1 schematically shows the light curve of a star (called HD209458, in the constellation Pegasus) which, by its spectral and luminosity characteristics, can be thought of as having the same mass and the same radius as the Sun. The decrease in luminosity, which repeats regularly every $3.52$ days, is due to the “transit” of one of its planets (dark and therefore not visible).

Fig. 3-1: light curve $F / F_{m a x}$ as a function of time $t$ (days), with a trapezoidal dip between points A, B, C, D from $1.00$ to about $0.985$ .

Fig. 3-2: geometric scheme of the transit; star S, planet P on the orbit track, inclination angle $i$ , Earth on the right.

Fig. 3-3: stellar disk crossed by the planet along a chord, with the orbit (dashed) as seen from Earth.

Assume the following hypotheses, as working hypotheses: a) the stellar disk is uniformly bright; b) the planet’s orbit is circular; c) the density of the star and of the planet are practically equal.

Using the light curve and the planet’s data, in Astronomical Units, derive an estimate of the ratio between the mass of the planet and that of Jupiter ( $1 M_{G} = 1/1047 M_{⊙}$ ).
Determine the radius of the planet’s orbit, in Astronomical Units.
Indicate to which phases of the transit the points A, B, C and D of the graph correspond.
Under the further simplifying hypothesis that the Earth lies in the plane of fig. 3-2, very far to the right, and using the time data of the transit, estimate the inclination angle $i$ of the orbital plane with respect to the star-Earth line (in fig. 3-3 the planet’s orbit as it would be seen from Earth).

Hint: it is advisable, as is traditional in astrophysics, to express masses in units of Solar Mass ( $1 M_{⊙} = 1.99 \times 1 0^{30} kg$ ), distances in Astronomical Units (mean Sun–Earth distance: $1 A = 1.50 \times 1 0^{11} m$ ), times in Earth years of $365.24$ days (the units “days” and “years” are denoted respectively by the symbols “d” and “y”; $1 y = 365.24 d$ , $1 d = 86400 s$ ). Finally it is useful to know the angular diameter of the Sun as seen from Earth: $δ = 3 2^{'}$ .

Solution: Soluzioni (PDF)

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