Scattering elastico tra sfere

Immaginiamo una sfera rigida, di raggio $R$ , vincolata a restare fissa. Su di essa incide un fascio costituito da un gran numero di particelle identiche, anch’esse sferiche e rigide, ciascuna di raggio $r$ e massa $m$ . Le particelle hanno tutte la stessa velocità $v$ cosicché non si urtano mai. Si supponga anche che gli urti tra particelle che rimbalzano e quelle del fascio incidente siano trascurabili. La velocità è sufficientemente grande da poter considerare le traiettorie rettilinee, sia prima che dopo l’urto. Gli urti con la sfera fissa sono perfettamente elastici, e nell’urto non ci sono forze tangenziali tra le sfere.

Si considerino le grandezze rappresentate in figura: $b$ , chiamata “parametro d’impatto”, e $θ$ , angolo formato tra la direzione di provenienza del fascio incidente e la direzione della particella diffusa.

1. Si trovi la relazione tra $b$ e l’angolo $θ$ , cioè si trovi la funzione $b (θ)$ .

Il fascio ha una sezione trasversale circolare il cui raggio è molto maggiore del raggio $r$ delle particelle e maggiore anche del raggio $R$ della sfera fissa. Si indichi con $I$ l’intensità del fascio, cioè il numero di particelle che incidono, nell’unità di tempo, sull’unità di superficie disposta perpendicolarmente al fascio, e si supponga che $I$ sia uniforme e costante.

2. Si trovi il numero $d n_{d} (θ)$ di particelle diffuse, nell’unità di tempo, con un angolo compreso tra $θ$ e $θ + d θ$ . Per quale valore di $θ$ la funzione $d n_{d} (θ) / d θ$ ha il massimo?

Si supponga ora di collocare un rivelatore, cioè un dispositivo che conta le palline in transito attraverso una certa superficie, ad una distanza $D$ dalla sfera fissa e ad un angolo $θ$ rispetto al fascio incidente. Si supponga che l’area sensibile del rivelatore sia un quadrato che viene disposto perpendicolarmente alla direzione da cui provengono le particelle diffuse. Il lato del quadrato, $ℓ$ , sia molto maggiore dei raggi $R$ e $r$ e contemporaneamente molto minore di $D$ : $r, R ≪ ℓ ≪ D$ .

3. Si calcoli il tasso di conteggi del rivelatore, $n_{r}$ , cioè il numero di conteggi nell’unità di tempo.

4. In che modo il tasso di conteggi dipende dall’area della regione sensibile del rivelatore? Per quale angolo $θ$ il tasso di conteggi ha il valore massimo? In che modo $n_{r}$ dipende da $D$ ?

5. Si consideri un intervallo di tempo $Δ t$ sufficientemente lungo perché sulla sfera fissa incida un numero molto grande di particelle. Qual è il valore medio della forza che le particelle esercitano sulla sfera?

p.1 — Diffusione elastica: parametro d’urto e angolo

p.1 — Fascio, rivelatore a distanza D

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Free-Body Diagram, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Ball, Particle Beam Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

♪ Scattering elastically between spheres ♪

Immaginiamo una sfera rigida, di raggio $R$ , vincolata a restare fissa. It is surrounded by a beam of identical particles, also spherical and rigid, each with a radius $r$ and mass $m$ . Le particelle hanno tutte la stessa velocità $v$ cosicché non si urtano mai. Suppose the collisions between the bouncing particles and those of the accidental beam are negligible. The speed is large enough to allow for the consideration of straight trajectories, both before and after impact. The impact with the fixed sphere is perfectly elastic, and there are no tangential forces between the spheres in the impact.

Consider the dimensions shown in the figure: $b$ , called the ‘impact parameter’, and $θ$ , the angle formed between the direction of origin of the incident beam and the direction of the diffuse particle.

1. Find the relationship between $b$ and the angle $θ$ , that is, find the function $b (θ)$ .

The beam has a circular cross section whose radius is much greater than the radius $r$ of the particles and also greater than the radius $R$ of the fixed sphere. The intensity of the beam, i.e. the number of particles affecting the unit of surface perpendicular to the beam, in the unit of time, shall be indicated by $I$ and $I$ shall be assumed to be uniform and constant.

2. Si trovi il numero $d n_{d} (θ)$ di particelle diffuse, nell’unità di tempo, con un angolo compreso tra $θ$ e $θ + d θ$ . For what value of $θ$ does the $d n_{d} (θ) / d θ$ function have a maximum?

Now suppose we place a detector, that is, a device that counts balls in transit through a certain surface, at a distance $D$ from the fixed sphere and at an angle $θ$ from the incident beam. Assume that the sensitive area of the detector is a square that is arranged perpendicular to the direction from which the diffuse particles come. The side of the square, $ℓ$ , is much larger than the $R$ and $r$ radii and at the same time much smaller than $D$ : $r, R ≪ ℓ ≪ D$ .

3. The detector count rate, $n_{r}$ , i.e. the number of counts in the unit time, is calculated.

4. In che modo il tasso di conteggi dipende dall’area della regione sensibile del rivelatore? For which angle $θ$ does the count rate have the maximum value? How does $n_{r}$ depend on $D$ ?

5. A time interval $Δ t$ is considered long enough for a very large number of particles to be affected on the fixed sphere. What is the average value of the force that particles exert on the sphere?

**p.1 ** Elastic diffusion: impact parameter and angle

p.1 — Fascio, rivelatore a distanza D

Equilibrio Radiazione-Materia

Vi sarà capitato sovente di osservare che un oggetto esposto al sole si scalda molto rapidamente soprattutto se è di colore scuro. Per indagare il fenomeno, è stato condotto il seguente semplice esperimento:

due barattoli cilindrici identici, con una sottile parete laterale metallica dipinta esternamente rispettivamente di vernice nera e bianca, erano esposti, in situazioni identiche di illuminazione, alla luce di una lampada a filamento incandescente che ne illuminava la superficie laterale;
le temperature venivano registrate ogni 5 s da un sensore termometrico, posto a contatto con la superficie interna di ciascun barattolo dal lato della parte illuminata; i dati venivano raccolti in tempo reale da un calcolatore attraverso una opportuna interfaccia;
dopo un certo tempo, quando le temperature dei due barattoli apparivano essersi circa stabilizzate, la lampada veniva spenta e allontanata, mentre continuava la registrazione online delle temperature fino a quando le temperature mostravano di essersi nuovamente stabilizzate.

I risultati per i due barattoli sono mostrati nel grafico riprodotto nella pagina seguente.

1. Si esamini attentamente, per ciascun barattolo, l’andamento della temperatura in funzione del tempo e si riportino sul foglio riassuntivo i valori rilevanti di temperatura e tempo, con una precisione rispettivamente di 1°C e 10 s. In particolare:

la temperatura ambiente, supposta uniforme, iniziale $T_{ai}$ e quella finale $T_{a f}$ ,
la temperatura di equilibrio a lampada accesa $T_{e q}$ ,
le temperature di dimezzamento per entrambe le fasi, cioè la temperatura $T_{r i sc}^{[1/2]}$ che sta a metà fra $T_{ai}$ e $T_{e q}$ , e la temperatura $T_{r a f f}^{[1/2]}$ che sta a metà fra la temperatura al momento in cui inizia la fase di raffreddamento e $T_{a f}$ ,
i tempi di dimezzamento $τ_{r i sc}$ e $τ_{r a f f}$ corrispondenti che trascorrono finché la temperatura diventa quella di dimezzamento in ciascuna fase, a partire da quando la temperatura inizia effettivamente a salire o rispettivamente a scendere.

Consideriamo dapprima la fase di raffreddamento. Per costruire un modello semplificato che permetta di interpretare l’andamento della temperatura, si tenga conto solo degli scambi di energia per conduzione verso il tavolo su cui appoggia il barattolo e di quelli per irraggiamento, mentre, per semplificare il modello, si trascuri la convezione. Per l’irraggiamento, occorre tener conto che il barattolo emette energia per irraggiamento alla temperatura $T$ , ma, allo stesso tempo, assorbe energia irradiata dall’ambiente alla temperatura $T_{amb}$ . In principio, l’emissione di radiazione segue la legge di Stefan-Boltzmann secondo la quale la potenza emessa dipende da $T^{4}$ , dove $T$ è la temperatura assoluta del corpo che irradia, per cui il bilancio fra l’energia emessa e quella assorbita per irraggiamento è proporzionale a $(T^{4} - T_{amb}^{4})$ , dato che il coefficiente di proporzionalità è uguale per l’emissione e per l’assorbimento. Tenendo però conto della piccola differenza fra la temperatura dei barattoli e la temperatura $T_{amb}$ dell’ambiente, nel modello si può scrivere una semplice proporzionalità da $(T - T_{amb})$ anziché da $(T^{4} - T_{amb}^{4})$ .

2. Si scriva pertanto un’espressione dello scambio complessivo di energia nell’unità di tempo e, introducendo opportuni coefficienti di proporzionalità per la conduzione e per l’irraggiamento, della corrispondente variazione di temperatura. Si definiscano chiaramente i coefficienti introdotti e si ricavi l’espressione della funzione che descrive l’andamento della temperatura nel tempo, a partire dall’istante in cui inizia il raffreddamento. (Per chiarezza si prega di indicare con la lettera $c$ il coefficiente relativo alla conduzione e con la lettera $β$ quello per l’irraggiamento. Può essere utile ricordare che $\int d x / x = ln x$ .)

3. Si scriva il rapporto fra i valori del tempo di dimezzamento $τ_{r a f f}$ dei due barattoli in termini dei coefficienti rispettivamente introdotti per la conduzione e l’irraggiamento, e se ne dia il valore numerico.

Si consideri ora la fase di riscaldamento costruendo un analogo modello in cui si introduca un termine aggiuntivo per descrivere la potenza assorbita dalla radiazione proveniente dalla lampada.

4. Si scriva l’espressione dello scambio complessivo di energia nell’unità di tempo e della corrispondente variazione di temperatura. Si esprima la temperatura di equilibrio in funzione dei coefficienti introdotti al punto 2 e del termine dovuto all’assorbimento dell’energia irradiata dalla lampada, definito attraverso un opportuno coefficiente di assorbimento di tale energia.

5. Utilizzando i dati estratti dal grafico e i rapporti calcolati fra i vari coefficienti introdotti, si stimi il rapporto fra i coefficienti di assorbimento della radiazione nel barattolo nero e in quello bianco. Ricordando che, per uno stesso corpo, i coefficienti di assorbimento sono uguali a quelli di emissione della radiazione, si stimi, in ciascun barattolo, il rapporto fra l’energia persa per conduzione e quella persa per irraggiamento.

p.3 — Temperatura barattoli nero e bianco nel tempo

Topic: Thermodynamics, Electromagnetism Metodi: First Law of Thermodynamics, Experimental Data Analysis, Differential Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Radiation-Matter balance

You may have often noticed that an object exposed to the sun warms up very quickly, especially if it is dark in color. To investigate the phenomenon, the following simple experiment was conducted:

two identical cylindrical vessels, with a thin metallic side wall painted outwardly in black and white paint respectively, were exposed under identical lighting conditions to the light of a filament lamp illuminating its side surface;
temperatures were recorded every 5 seconds by a thermometric sensor, which was placed in contact with the inner surface of each bottle on the side of the illuminated part; the data were collected in real time by a calculator through an appropriate interface;
after some time, when the temperatures of the two bottles appeared to have stabilized, the lamp was turned off and turned off, while the online temperature recording continued until the temperatures showed that they had stabilized again.

The results for the two bottles are shown in the graph shown on the following page.

The temperature trend shall be carefully examined for each barrel according to the time and the relevant temperature and time values shall be reported on the summary sheet with an accuracy of 1°C and 10 s respectively. In particular:

the ambient temperature, assumed to be uniform, initial $T_{ai}$ and final $T_{a f}$ ,
the equilibrium temperature of the light bulb on $T_{e q}$ ,
the half-life temperatures for both phases, i.e. the temperature $T_{r i sc}^{[1/2]}$ which is halfway between $T_{ai}$ and $T_{e q}$ , and the temperature $T_{r a f f}^{[1/2]}$ which is halfway between the temperature at the time the cooling phase begins and $T_{a f}$ ,
the corresponding $τ_{r i sc}$ and $τ_{r a f f}$ halving times which run until the temperature becomes that of halving in each phase, starting from the time when the temperature actually starts to rise or fall respectively.

Let us consider the cooling phase first. To construct a simplified model that allows interpreting the temperature trend, only the energy exchanges by conduction to the table on which the barrel rests and those by irradiation are taken into account, while, to simplify the model, convection is neglected. For irradiation, it must be taken into account that the barrel emits irradiation energy at $T$ but at the same time absorbs energy radiated from the environment at $T_{amb}$ . In principle, radiation emission follows Stefan-Boltzmann’s law according to which the power emitted depends on $T^{4}$ , where $T$ is the absolute temperature of the radiating body, so the balance between the energy emitted and that absorbed by radiation is proportional to $(T^{4} - T_{amb}^{4})$ , since the coefficient of proportionality is equal for the emission and for the absorption. However, taking into account the small difference between the temperature of the barrels and the temperature $T_{amb}$ of the environment, a simple proportionality of $(T - T_{amb})$ instead of $(T^{4} - T_{amb}^{4})$ can be written in the model.

2. An expression of the total energy exchange in the unit time and, introducing appropriate coefficients of proportionality for conduction and irradiation, of the corresponding temperature change shall therefore be written. The coefficients introduced are clearly defined and the expression of the function describing the temperature trend over time, starting from the moment the cooling begins, is obtained. (For clarity, please indicate the coefficient for conduction $c$ and the coefficient for irradiation $β$ . It may be helpful to remember that $\int d x / x = ln x$ .)

3. Write down the ratio of the half-life values $τ_{r a f f}$ of the two barrels in terms of the coefficients introduced for conduction and irradiation respectively, and give the numerical value.

Consider the heating phase by constructing an analogue model in which an additional term is introduced to describe the power absorbed by the radiation from the lamp.

4. Write the expression of the total energy exchange in the unit of time and the corresponding temperature change. The equilibrium temperature shall be expressed in terms of the coefficients introduced in point 2 and the term due to the absorption of the energy radiated by the lamp, defined by an appropriate absorption coefficient of that energy.

Using the data extracted from the graph and the ratios calculated between the various coefficients introduced, the ratio of the radiation absorption coefficients in the black and white bottle is estimated. Recalling that for the same body, the absorption coefficients are equal to those of radiation emission, the ratio of energy lost by conduction to that lost by radiation is estimated in each barrel.

**p.3 ** Temperature of black and white jars over time

Galleggiamento in campo magnetico

Un piccolo anello conduttore pesante, di massa $m$ , raggio $a$ e spessore trascurabile, viene posto in una regione di campo magnetico simmetrico, cioè invariante per rotazioni, rispetto ad un asse verticale.

Sia questo l’asse $z$ orientato con il verso positivo in alto, cioè opposto a quello di $g$ , nella quale è rappresentato anche il campo $B$ con le sue componenti radiale ed assiale, che, almeno in una regione finita intorno all’origine delle coordinate, possono essere approssimate in questo modo:

$B_{r} = β r B_{0}$ $B_{z} = (1 - α z) B_{0}$

dove $α$ , $β$ e $B_{0}$ sono opportune costanti positive.

1. Affinché possa esistere un campo $B$ così fatto, le costanti $α$ e $β$ devono essere legate da una relazione: si determini tale relazione.

L’anello viene posto nel campo con il suo asse coincidente con l’asse di simmetria e, lasciato libero di muoversi, può traslare solo lungo l’asse $z$ . All’istante $t = 0$ l’anello viene lasciato da fermo in posizione $z (0) = 0$ e per effetto del suo peso inizia a muoversi verso il basso. Si deve supporre che il moto si svolga tutto nella regione in cui il campo magnetico è descritto dalle equazioni mostrate sopra.

Non appena l’anello si muove il flusso del campo $B$ , concatenato con l’anello, varia; dette $R$ ed $L$ la resistenza e l’induttanza (coefficiente di autoinduzione) dell’anello, questo può essere descritto come un circuito alimentato dalla f.e.m. indotta.

2. Si scriva l’equazione del circuito, in termini della corrente che scorre nell’anello $I (t)$ e della velocità dell’anello $v (t) = d z / d t$ .

Si consideri, d’ora in poi, che $R$ sia completamente trascurabile e quindi si ponga direttamente $R = 0$ , come avverrebbe per un anello superconduttore. L’anello viene tenuto fermo in posizione $z = 0$ e in esso non scorre corrente; appena l’anello viene lasciato libero inizia a muoversi e la corrente inizia a scorrere nell’anello determinando, in presenza del campo $B$ , una forza non nulla sull’anello.

3. Si dimostri che il flusso magnetico totale attraverso l’anello è costante.

4. Si mostri che la corrente $I$ che circola nell’anello, mentre questo si muove, è proporzionale alla coordinata $z$ che dà la posizione istantanea dell’anello.

5. Si calcoli la forza magnetica agente sull’anello, in funzione della sua posizione $z$ , si mostri che l’equazione di moto dell’anello è quella di un oscillatore armonico, e se ne determini il periodo.

6. Si determini la legge oraria $z (t)$ che descrive il moto seguito dall’anello, dall’istante in cui l’anello viene lasciato da fermo in $z = 0$ .

7. Si trovi il valore massimo del modulo della corrente $I (t)$ che circola nell’anello e si determini la posizione dell’anello quando si raggiunge tale massimo.

p.4 — Anello e magnete con campo magnetico

Topic: Electromagnetic Induction, Oscillations & Waves Metodi: Faraday’s Law of Induction, Gauss’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Coil, Magnet Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

# Floating in a magnetic field

A small heavy conductive ring, with a mass $m$ , a radius $a$ and a negligible thickness, is placed in a region of symmetrical magnetic field, that is, rotationally invariant, relative to a vertical axis.

Whether this is the axis $z$ oriented towards the positive side upwards, i.e. opposite to $g$ , in which the field $B$ with its radial and axial components is also represented, which, at least in a finite region around the origin of the coordinates, can be approximated as follows:

$B_{r} = β r B_{0}$ $B_{z} = (1 - α z) B_{0}$

where $α$ , $β$ and $B_{0}$ are appropriate positive constants.

1. In order for a field $B$ to exist in this way, the constants $α$ and $β$ must be linked by a relation: this relation is determined.

The ring is placed in the field with its axis coinciding with the axis of symmetry and, when left free to move, it can only move along the $z$ axis. All’istante $t = 0$ l’anello viene lasciato da fermo in posizione $z (0) = 0$ e per effetto del suo peso inizia a muoversi verso il basso. The motion must be assumed to be complete in the region where the magnetic field is described by the equations shown above.

As soon as the ring moves the flow of the $B$ field, concatenated with the ring, varies; the resistance and inductance (self-induction coefficient) of the ring, called $R$ and $L$ , can be described as a circuit fed by the f.e.m. It’s induced.

2. Write the circuit equation in terms of current flowing in the $I (t)$ ring and the speed of the $v (t) = d z / d t$ ring.

Consider, henceforth, that $R$ is completely negligible and therefore directly $R = 0$ is put, as would be the case for a superconducting ring. The ring is held fixed in the $z = 0$ position and there is no current flowing in it; as soon as the ring is left free it starts to move and the current starts flowing in the ring, determining, in the presence of the $B$ field, a force of no value on the ring.

3. Si dimostri che il flusso magnetico totale attraverso l’anello è costante.

4. Si mostri che la corrente $I$ che circola nell’anello, mentre questo si muove, è proporzionale alla coordinata $z$ che dà la posizione istantanea dell’anello.

6. The time law $z (t)$ describing the motion of the ring from the moment the ring is left standing in $z = 0$ is determined.

7. Si trovi il valore massimo del modulo della corrente $I (t)$ che circola nell’anello e si determini la posizione dell’anello quando si raggiunge tale massimo.

**p.4 ** Magnetic magnet ring and ring

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OII 2012 Nazionale Teorica

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Equilibrio Radiazione-Materia

Radiation-Matter balance

Galleggiamento in campo magnetico

# Floating in a magnetic field

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