OII 2013 Nazionale Sperimentale

Quesito n. 1. L’orizzontalità della striscia può essere controllata con la squadretta o con il segmento di metro di carta fissato allo spessore verticale, spostati lungo tutta la striscia stessa. Le due bobine si presentano come due anelli di spessore non trascurabile: lo spessore della bobina mobile è compreso tra 1 e 2 mm e quello della bobina fissa tra 2 e 3 mm. Le altezze dei “centri” delle due bobine si trovano rispettivamente a metà del loro spessore. La distanza può essere letta direttamente sul segmento di metro di carta avvicinato alle due bobine affacciate, individuando a occhio i due punti a metà spessore. Può anche essere ricavata mediando le quote delle superfici inferiori e superiori delle due bobine, lette sulla squadretta o sul metro di carta. Ponendo la bobina fissa e gli angolari direttamente sul foglio di cartone, e gli spilli nei due intagli ad U, la distanza $d$ risulta $7\pm 1$ mm. Ponendo invece gli angolari su spessori di 3 mm, si ottiene la distanza massima di $10\pm 1$ mm. Distanze intermedie si possono ottenere usando opportunamente gli spessori, o sotto gli angolari, o sotto la bobina fissa se si sceglie di appoggiare gli spilli sul bordo superiore degli angolari invece che nell’intaglio.

p.2 — Schema circuito con batteria, amperometro e bobine

p.3 — Fotografia disposizione dell’apparato sperimentale

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Coil, Battery, Galvanometer Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Question No. 1. The horizontalness of the strip can be checked with the square or the fixed paper meter segment vertical thickness, moving along the entire strip itself. The two coils are presented as two rings of unremarkable thickness: the thickness of the moving coil is between 1 and 2 mm and that of the fixed coil between 2 and 3 mm. The heights of the centers of the two coils are They’re about half their thickness. The distance may be read directly on the paper meter segment near the two outline coils, By detecting the two points at half the thickness. It can also be obtained by measuring the area quotas the lower and upper parts of the two coils, read on the square or on the paper meter. By placing the fixed coil and the corners directly on the cardboard sheet, and the spindles in two U-shaped carvings, the The distance $d$ is $7\pm 1$ mm. Instead, by placing the angles on 3 mm thicknesses, the maximum distance $10\pm 1$ mm is obtained. Intermediate distances can be obtained by using the appropriate thicknesses, or under the corners, or under the fixed coil if chosen The brushes shall be mounted on the upper edge of the corners instead of the inside.

p.2 Battery, ampere and coil circuit scheme

The test equipment shall be designed to be capable of performing the following:

Topic: Electromagnetism, Magnetism Metodi: Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Coil, Battery, Galvanometer Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Quesito n. 2. Nei procedimenti riportati come esempi, l’operazione preliminare è di ritagliare un quadrato o un rettangolo di foglio di alluminio, di dimensioni note, e di piegarlo riducendolo ad una strisciolina sottile. Si può cosı` determinare facilmente la posizione del suo centro di massa. La bilancia è usata come una leva di primo genere. 2.1.1 Si ritaglia un quadrato di area $100\pm 2{\text{cm}}^2$, nel foglio di alluminio. Lo si piega più volte lungo lo stesso lato, a metà e poi ancora a metà ecc. fino ad ottenere una strisciolina lunga 10 cm e larga circa 0.5 cm. Il punto di cucitrice che fa da riferimento, è appoggiato con il centro di massa su uno dei due segmenti tracciati sulla bilancia. In posizione simmetrica rispetto al fulcro, si pone la strisciolina di alluminio. Il peso di questa prevale. Se ne taglia una lunghezza di 1 cm alla volta, corrispondente ad un’area di $10{\text{cm}}^2$, finche ́ il peso della strisciolina è inferiore a quello del punto. Si aggiungono allora pezzetti di foglio di area nota fino ad ottenere l’equilibrio. Tabella 2.1.1 Massa del punto braccio Area $A$ braccio Massa $m_1$ di $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) $({\text{cm}}^2)$ di foglio (g) $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ a $57\pm 2$ b $(3.5\pm 0.2)\times 10^{-3}$ Si ricava $m_1$ dall’uguaglianza: $m_1/1{\text{cm}}^2=\mu /A$, ottenuta nell’ipotesi dell’uguaglianza dei due bracci. Supporre $a=b$ comporta un errore di circa il 2 %. Incertezza relativa su $m_1$: $2/100+2/198+2/57=0.065$; incertezza assoluta: $0.22\times 10^{-3}$ g . 2.1.2 Si può tener conto della disuguaglianza dei due bracci, scambiando di posto punto e foglio di alluminio, in una specie di “pesata doppia”. L’equilibrio si riottene con una diversa superficie del foglio. Tabella 2.1.2 Massa del punto braccio Area $A$ braccio Massa $m_1$ di $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) $({\text{cm}}^2)$ di foglio (g) $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ a $A_1=57\pm 2$ b $(3.3\pm 0.1)\times 10^{-3}$ b $A_2=63\pm 2$ a Dalle due uguaglianze $\mu a=(m_1/1{\text{cm}}^2)A_{1}b$; $\mu b=(m_1/1{\text{cm}}^2)A_{2}a$ moltiplicate membro a membro, si ricava $m_1/1{\text{cm}}^2=\mu /\sqrt{A_1{A}_2}$. Incertezza relativa su $m_1$: $2/198+1/2(2/57+2/63)=0.0435$; incertezza assoluta: $0.14\times 10^{-3}$ g . 2.2.1 Un foglio quadrato di alluminio di area $A=100\pm 2{\text{cm}}^2$ viene piegato più volte in una striscia rettangolare. Ad un estremo del giogo si pone il punto “sdraiato” in modo che uno dei due lati paralleli della “U” ne lambisca il bordo. — Pag. 1 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2013 Gara Nazionale – Prova Sper.: Soluzione – 11 Aprile 2013 Per bilanciare il punto si fa scorrere sul giogo la striscia di alluminio, fino a trovare l’equilibrio. Si ripete scambiando le posizioni rispetto al fulcro, di punto e striscia di alluminio. Tabella 2.2.1; 2.2.2 Massa del punto braccio Area $A$ braccio Massa $m_1$ di $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) (cm) $({\text{cm}}^2)$ (cm) di foglio (g) $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ $b_1=11.75\pm 0.05$ $100\pm 2$ $a_1=6.75\pm 0.05$ $(3.4\pm 0.1)\times 10^{-3}$ con la (1) (procedimento 2.2.1) $b_2=11.90\pm 0.05$ $a_2=6.90\pm 0.05$ $(3.4\pm 0.1)\times 10^{-3}$ con la (2) (procedimento 2.2.2) Moltiplicando membro a membro le due uguaglianze dei momenti dei pesi si ricava l’espressione per $m_1$: $m_1=\frac{1}{100}\mu \sqrt{\frac{b_1{b}_2}{a_1{a}_2}}(1)$ Incertezza relativa su $m_1$: $2/100+2/198+1/2(0.05/11.75+0.05/11.90+0.05/6.75+0.05/6.90)=0.04165$; incertezza assoluta: $0.14\times 10^{-3}$ g. 2.2.2 Se alla partenza c’è un lieve difetto di orizzontalità del giogo occorre tener conto nei calcoli anche del momento prodotto dal peso del giogo stesso. Di fatto esso rappresenta un errore sistematico. Realizzando le due situazioni di equilibrio come in 2.2.1, lavorando nelle medesime condizioni di azzeramento della bilancia si può eliminare l’errore sistematico, facendo la differenza membro a membro delle due equazioni che descrivono la condizione di equilibrio. In tal modo si ottiene: $m_1=\frac{1}{100}\mu \frac{b_1+b_2}{a_1+a_2}(2)$ Incertezza relativa su $m_1$ : $2/100+2/198+(0.05+0.05)/(11.75+11.90)+(0.05+0.05)/(6.75+6.90)=0.04165$; incertezza assoluta: $0.14\times 10^{-3}$ g. 2.3.1 Posto il punto a 4 cm dal bordo, si cerca l’equilibrio con foglietti di alluminio di area nota $A$ piegati a strisciolina e posti a diverse distanze $x$ dal fulcro. Dall’uguaglianza dei momenti e dalla proporzionalità tra massa del foglio di alluminio e area $A$, si ricava la diretta proporzionalità tra $x$ e $A^{-1}$. Dal grafico di $x$ in funzione di $A^{-1}$ si può calcolare il coefficiente angolare $k=xA$ della retta che permette di trovare la massa $m_1$ di $1{\text{cm}}^2$ del foglio. Dalla $\mu b=m_1/(1{\text{cm}}^2)Ax$ si ricava: $\mu b=(m_1/1{\text{cm}}^2)k$ e quindi $(m_1/1{\text{cm}}^2)=\mu b/k$. Tabella 2.3.1 Massa del punto Braccio Area $A$ Braccio $x$ Massa $m_1$ di $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) (cm) $({\text{cm}}^2)$ (cm) di foglio (g) $44\pm 2$ $11.3\pm 0.1$ $52\pm 2$ $9.3\pm 0.1$ $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ $b=8.40\pm 0.05$ $66\pm 2$ $7.5\pm 0.1$ $(3.4\pm 0.2)\times 10^{-3}$ $84\pm 2$ $5.8\pm 0.1$ $(3.4\pm 0.1)\times 10^{-3}$ $102\pm 2$ $4.9\pm 0.1$ $130\pm 2$ $3.8\pm 0.1$ — Pag. 2 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2013 Gara Nazionale – Prova Sper.: Soluzione – 11 Aprile 2013 Grafico 1 Dal grafico della regressione lineare si ricava $k=492{\text{cm}}^3$; se ad esso si associa la somma delle incertezze percentuali su $x$ e su $A$, che è intorno a 4 %, risulta: Incertezza relativa su $m_1$: $2/198+0.05/8.40+0.04=0.056$; incertezza assoluta: $0.19\times 10^{-3}$ g. Dalla semidispersione media dei valori di $k$ che è intorno al 2 %, si ricava: Incertezza relativa su $m_1$: $2/198+0.05/8.40+0.02=0.036$; incertezza assoluta: $0.12\times 10^{-3}$ g. NOTA. La massa di un rettangolo di foglio di alluminio di dimensioni $29.0\pm 0.1$ cm e $30.0\pm 0.1$ cm, misurata con bilancia elettronica è risultata pari a $2.95\pm 0.01$ g. Da queste misure, nell’ipotesi che lo spessore sia uniforme, si ricava la massa $m_1$ di $1{\text{cm}}^2$: $m_1=(3.39\pm 0.03)\times 10^{-3}$ g.

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Error Propagation, Graph Linearization Competenze: Error Propagation, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Objects: Lever Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Problem no. 2. In the procedures reported as examples, the preliminary operation is to cut out a square or a rectangle of aluminum foil, of known dimensions, and to fold it reducing it to a thin strip. In this way one can easily determine the position of its center of mass. The balance is used as a first-class lever. 2.1.1 A square of area $100\pm 2{\text{cm}}^2$ is cut out of the aluminum foil. It is folded several times along the same side, in half and then in half again, etc., until a strip 10 cm long and about 0.5 cm wide is obtained. The staple serving as reference is placed with its center of mass on one of the two segments drawn on the balance. In a position symmetric with respect to the fulcrum, the aluminum strip is placed. Its weight prevails. A length of 1 cm at a time is cut off, corresponding to an area of $10{\text{cm}}^2$, until the weight of the strip is less than that of the staple. Pieces of foil of known area are then added until equilibrium is obtained. Table 2.1.1 Mass of the staple arm Area $A$ arm Mass $m_1$ of $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) $({\text{cm}}^2)$ of foil (g) $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ a $57\pm 2$ b $(3.5\pm 0.2)\times 10^{-3}$ $m_1$ is obtained from the equality: $m_1/1{\text{cm}}^2=\mu /A$, obtained under the assumption that the two arms are equal. Assuming $a=b$ entails an error of about 2 %. Relative uncertainty on $m_1$: $2/100+2/198+2/57=0.065$; absolute uncertainty: $0.22\times 10^{-3}$ g . 2.1.2 One can take into account the inequality of the two arms by swapping the position of the point and the aluminum sheet, in a kind of “double weighing.” Equilibrium is regained with a different area of the sheet. Table 2.1.2 Mass of the point arm Area $A$ arm Mass $m_1$ of $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) $({\text{cm}}^2)$ of sheet (g) $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ a $A_1=57\pm 2$ b $(3.3\pm 0.1)\times 10^{-3}$ b $A_2=63\pm 2$ a From the two equalities $\mu a=(m_1/1{\text{cm}}^2)A_{1}b$; $\mu b=(m_1/1{\text{cm}}^2)A_{2}a$ multiplied member by member, one obtains $m_1/1{\text{cm}}^2=\mu /\sqrt{A_1{A}_2}$. Relative uncertainty on $m_1$: $2/198+1/2(2/57+2/63)=0.0435$; absolute uncertainty: $0.14\times 10^{-3}$ g . 2.2.1 A square aluminum sheet of area $A=100\pm 2{\text{cm}}^2$ is folded several times into a rectangular strip. At one end of the beam the point is placed “lying down” so that one of the two parallel sides of the “U” grazes its edge. — Pag. 1 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2013 Gara Nazionale – Prova Sper.: Soluzione – 11 Aprile 2013 To balance the point, the aluminum strip is made to slide along the beam until equilibrium is found. The procedure is repeated by swapping the positions, relative to the fulcrum, of the point and the aluminum strip. Table 2.2.1; 2.2.2 Mass of the point arm Area $A$ arm Mass $m_1$ of $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) (cm) $({\text{cm}}^2)$ (cm) of sheet (g) $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ $b_1=11.75\pm 0.05$ $100\pm 2$ $a_1=6.75\pm 0.05$ $(3.4\pm 0.1)\times 10^{-3}$ with (1) (procedure 2.2.1) $b_2=11.90\pm 0.05$ $a_2=6.90\pm 0.05$ $(3.4\pm 0.1)\times 10^{-3}$ with (2) (procedure 2.2.2) By multiplying member by member the two equalities of the moments of the weights, one obtains the expression for $m_1$: $m_1=\frac{1}{100}\mu \sqrt{\frac{b_1{b}_2}{a_1{a}_2}}(1)$ Relative uncertainty on $m_1$: $2/100+2/198+1/2(0.05/11.75+0.05/11.90+0.05/6.75+0.05/6.90)=0.04165$; absolute uncertainty: $0.14\times 10^{-3}$ g. 2.2.2 If at the start there is a slight lack of horizontality of the yoke, the moment produced by the weight of the yoke itself must also be taken into account in the calculations. In fact, it represents a systematic error. By setting up the two equilibrium situations as in 2.2.1, working under the same zeroing conditions of the balance, the systematic error can be eliminated by subtracting the two equations describing the equilibrium condition member by member. In this way one obtains: $m_1=\frac{1}{100}\mu \frac{b_1+b_2}{a_1+a_2}(2)$ Relative uncertainty on $m_1$ : $2/100+2/198+(0.05+0.05)/(11.75+11.90)+(0.05+0.05)/(6.75+6.90)=0.04165$; absolute uncertainty: $0.14\times 10^{-3}$ g. 2.3.1 With the point placed 4 cm from the edge, equilibrium is sought using aluminum foil strips of known area $A$ folded into small strips and placed at different distances $x$ from the fulcrum. From the equality of the moments and from the proportionality between the mass of the aluminum foil and the area $A$, the direct proportionality between $x$ and $A^{-1}$ is obtained. From the graph of $x$ as a function of $A^{-1}$ one can calculate the slope $k=xA$ of the straight line that allows finding the mass $m_1$ of $1{\text{cm}}^2$ of the sheet. From $\mu b=m_1/(1{\text{cm}}^2)Ax$ one obtains: $\mu b=(m_1/1{\text{cm}}^2)k$ and therefore $(m_1/1{\text{cm}}^2)=\mu b/k$. Table 2.3.1 Mass of the point Arm Area $A$ Arm $x$ Mass $m_1$ of $1{\text{cm}}^2$ $\mu$ (g) (cm) $({\text{cm}}^2)$ (cm) of sheet (g) $44\pm 2$ $11.3\pm 0.1$ $52\pm 2$ $9.3\pm 0.1$ $(198\pm 2)\times 10^{-3}$ $b=8.40\pm 0.05$ $66\pm 2$ $7.5\pm 0.1$ $(3.4\pm 0.2)\times 10^{-3}$ $84\pm 2$ $5.8\pm 0.1$ $(3.4\pm 0.1)\times 10^{-3}$ $102\pm 2$ $4.9\pm 0.1$ $130\pm 2$ $3.8\pm 0.1$ — Pag. 2 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2013 Gara Nazionale – Prova Sper.: Soluzione – 11 Aprile 2013 Grafico 1 From the graph of the linear regression, $k=492{\text{cm}}^3$ is obtained; if the sum of the percentage uncertainties on $x$ and on $A$ is associated with it, which is around 4%, the result is: Relative uncertainty on $m_1$: $2/198+0.05/8.40+0.04=0.056$; absolute uncertainty: $0.19\times 10^{-3}$ g. From the mean half-dispersion of the values of $k$, which is around 2%, the result is: Relative uncertainty on $m_1$: $2/198+0.05/8.40+0.02=0.036$; absolute uncertainty: $0.12\times 10^{-3}$ g. NOTE. The mass of a rectangle of aluminum foil with dimensions $29.0\pm 0.1$ cm and $30.0\pm 0.1$ cm, measured with an electronic balance, was found to be equal to $2.95\pm 0.01$ g. From these measurements, assuming that the thickness is uniform, the mass $m_1$ of $1{\text{cm}}^2$ is obtained: $m_1=(3.39\pm 0.03)\times 10^{-3}$ g.

Solution: Soluzioni (PDF)

Quesito n. 3. Per bilanciare la forza repulsiva tra le bobine i campioni di peso vanno posti sul segno tracciato in corrispondenza del centro della bobina mobile. Le misure riportate nella tabella sottostante, sono state ottenute con le bobine poste a due differenti distanze. Nel primo caso, distanza $d=7\pm 1$ mm, la bobina fissa e gli angolari sono appoggiati direttamente sul cartone, e gli spilli alloggiati negli intagli ad U dei due angolari. Nel secondo caso, distanza $d=10\pm 1$ mm, l’unica differenza sta nel fatto che gli angolari sono posti sopra spessori di 3 mm. Con $n$ si indica il numero di campioni di peso posti sulla bilancia. N.B. nella tabella sottostante sono riportate anche le misure di corrente ottenute con forza attrattiva (v. domanda 6). Tabella 3–6 (Valori relativi alle domande 3 e 6) Distanza tra le bobine $d=7\pm 1$ mm Distanza tra le bobine $d=10\pm 1$ mm Corrente in Rapporto $I^2/n$ in Corrente in Corrente in Rapporto $I^2/n$ in Corrente in repulsione repulsione attrazione repulsione repulsione attrazione n $I\pm 0.01$ (A) $I^2/n$ $({\text{A}}^2)$ $I\pm 0.01$ (A) $I\pm 0.01$ (A) $I^2/n$ $({\text{A}}^2)$ $\pm 0.01$ (A) 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1 0.17 0.029 0.18 0.18 0.032 0.19 2 0.23 0.026 0.25 0.25 0.031 0.27 3 0.28 0.026 0.28 0.30 0.030 0.35 4 0.31 0.024 0.32 0.36 0.032 0.40 5 0.36 0.026 0.36 0.42 0.035 0.44 6 0.39 0.025 0.40 0.45 0.034 0.48 7 0.44 0.028 0.46 0.49 0.034 0.52 8 0.46 0.026 0.47 0.53 0.034 0.56 9 0.48 0.026 0.50 10 0.50 0.025 0.52 v. Nota 1 v. Nota 2 Nota 1: Rapporto medio $k=I^2/n$ : $0.026{\text{A}}^2$ (da regressione lineare); $0.026{\text{A}}^2$ (da media aritmetica). Nota 2: Rapporto medio $k=I^2/n$ : $0.034{\text{A}}^2$ (da regressione lineare); $0.033{\text{A}}^2$ (da media aritmetica). — Pag. 3 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2013 Gara Nazionale – Prova Sper.: Soluzione – 11 Aprile 2013 Il Grafico 2 mostra l’andamento di $I^2$ in funzione di $n$, per la distanza di 7 mm. Grafico 2 La relazione tra $I$ ed $n$ è: $I^2=0.026{\text{A}}^{2}n$, oppure $I=0.16\text{A}\sqrt{n}$ se la distanza tra le bobine è $d=7\pm 1$ mm $I^2=0.034{\text{A}}^{2}n$, oppure $I=0.18\text{A}\sqrt{n}$ se la distanza tra le bobine è $d=10\pm 1$ mm La semidispersione massima dei valori delle costanti di proporzionalità si può assumere uguale a $\pm 0.002{\text{A}}^2$, pari a 8 % o 6 %.

p.7 — Grafico 1: x in funzione di 1/A

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Mathematical Modeling Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Question no. 3. To balance the repulsive force between the coils, the weight samples must be placed on the mark drawn at the center of the movable coil. The measurements shown in the table below were obtained with the coils placed at two different distances. In the first case, distance $d=7\pm 1$ mm, the fixed coil and the angle brackets are resting directly on the cardboard, and the pins are housed in the U-shaped notches of the two angle brackets. In the second case, distance $d=10\pm 1$ mm, the only difference is that the angle brackets are placed on 3 mm spacers. $n$ indicates the number of weight samples placed on the balance. N.B. the table below also shows the current measurements obtained with attractive force (see question 6). Table 3–6 (Values relating to questions 3 and 6) Distance between the coils $d=7\pm 1$ mm Distance between the coils $d=10\pm 1$ mm Current in Ratio $I^2/n$ in Current in Current in Ratio $I^2/n$ in Current in repulsion repulsion attraction repulsion repulsion attraction n $I\pm 0.01$ (A) $I^2/n$ $({\text{A}}^2)$ $I\pm 0.01$ (A) $I\pm 0.01$ (A) $I^2/n$ $({\text{A}}^2)$ $\pm 0.01$ (A) 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1 0.17 0.029 0.18 0.18 0.032 0.19 2 0.23 0.026 0.25 0.25 0.031 0.27 3 0.28 0.026 0.28 0.30 0.030 0.35 4 0.31 0.024 0.32 0.36 0.032 0.40 5 0.36 0.026 0.36 0.42 0.035 0.44 6 0.39 0.025 0.40 0.45 0.034 0.48 7 0.44 0.028 0.46 0.49 0.034 0.52 8 0.46 0.026 0.47 0.53 0.034 0.56 9 0.48 0.026 0.50 10 0.50 0.025 0.52 see Note 1 see Note 2 Note 1: Average ratio $k=I^2/n$ : $0.026{\text{A}}^2$ (from linear regression); $0.026{\text{A}}^2$ (from arithmetic mean). Note 2: Average ratio $k=I^2/n$ : $0.034{\text{A}}^2$ (from linear regression); $0.033{\text{A}}^2$ (from arithmetic mean). — p. 3 — AIF – Physics Olympiad 2013 National Competition – Experimental Test: Solution – 11 April 2013 Graph 2 shows the trend of $I^2$ as a function of $n$, for the distance of 7 mm. Graph 2 The relationship between $I$ and $n$ is: $I^2=0.026{\text{A}}^{2}n$, or $I=0.16\text{A}\sqrt{n}$ if the distance between the coils is $d=7\pm 1$ mm $I^2=0.034{\text{A}}^{2}n$, or $I=0.18\text{A}\sqrt{n}$ if the distance between the coils is $d=10\pm 1$ mm The maximum half-dispersion of the values of the proportionality constants can be assumed equal to $\pm 0.002{\text{A}}^2$, equal to 8 % or 6 %.

p.7 — Graph 1: x as a function of 1/A

Solution: Soluzioni (PDF)

Quesito n. 4. Uguagliando l’intensità della forza elettrodinamica $\vec{F}$ al peso complessivo dei foglietti di alluminio necessari per l’equilibrio, si ottiene $F=2m_{1}gn$, dove $g$ è l’accelerazione di gravità. Poiche ́ $n=I^2/k$, si ottiene $F=\frac{2m_{1}g}{k}{I}^2(3)$ Alla distanza $d=7$ mm risulta $F=(2\cdot 3.39\times 10^{-6}\text{kg}\cdot 9.81\text{m}{\text{s}}^{-2})/(0.0258{\text{A}}^2)I^2$, da cui $F/I^2=(2.6\pm 0.3)\times 10^{-3}{\text{N/A}}^2$. Alla distanza $d=10$ mm risulta $F=(2\cdot 3.39\times 10^{-6}\text{kg}\cdot 9.81\text{m}{\text{s}}^{-2})/(0.0342{\text{A}}^2)I^2$, da cui $F/I^2=(1.9\pm 0.2)\times 10^{-3}{\text{N/A}}^2$. NOTA. Si può ricavare, con una certa approssimazione, l’espressione teorica per l’intensità della forza elettrodinamica $\vec{F}$ assimilando le due bobine a due conduttori rettilinei e paralleli. L’approssimazione è tanto migliore quanto più il raggio delle bobine è maggiore della distanza. Il campo magnetico $B_1$ creato dalla corrente $I_1$ nelle $N_1$ spire della bobina fissa, alla distanza $d$ è $B_1={\mu }_0{N}_1{I}_1/(2\pi d)$, dove ${\mu }_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto uguale a quella dell’aria. La forza sulla corrente $I_2$ nelle $N_2$ spire della bobina mobile è $F=N_2{I}_2{B}_{1}2\pi r$. Sostituendo l’espressione di $B_1$, e poiche ́ $I_1=I_2=I$ si ottiene $F={\mu }_0\frac{N_1{N}_{2}r}{d}{I}^2(4)$ Nel caso delle bobine della prova, $N_1=50$; $N_2=10$; $r=(2.95\pm 0.05)\times 10^{-2}$ m; ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ Con questi dati, i valori teorici delle costanti richieste nelle domande 3 e 4 facilmente calcolabili con le formule (3) e (4), risultano (v. tabella) Tabella 3–4 (Valori relativi alle domande 3 e 4) d (mm) 7.00 8.00 9.00 10.00 $I^2/n$ $({\text{A}}^2)$ $2.42\times 10^{-2}$ $2.76\times 10^{-2}$ $3.11\times 10^{-2}$ $3.45\times 10^{-2}$ $F/I^2$ $({\text{N/A}}^2)$ $2.65\times 10^{-3}$ $2.32\times 10^{-3}$ $2.06\times 10^{-3}$ $1.85\times 10^{-3}$

p.8 — Grafico 2: I quadro in funzione di n

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Biot-Savart Law, Ampère’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Question No. 4. The electrodynamic strength $\vec{F}$ is equal to the total weight of the aluminium sheets needed for The balance is obtained $F=2m_{1}gn$, where $g$ is the gravitational acceleration. Poiche ́ $n=I^2/k$, si ottiene $F=\frac{2m_{1}g}{k}{I}^2(3)$ The distance $d=7$ mm is $F=(2\cdot 3.39\times 10^{-6}\text{kg}\cdot 9.81\text{m}{\text{s}}^{-2})/(0.0258{\text{A}}^2)I^2$, where $F/I^2=(2.6\pm 0.3)\times 10^{-3}{\text{N/A}}^2$. The distance $d=10$ mm is $F=(2\cdot 3.39\times 10^{-6}\text{kg}\cdot 9.81\text{m}{\text{s}}^{-2})/(0.0342{\text{A}}^2)I^2$, where $F/I^2=(1.9\pm 0.2)\times 10^{-3}{\text{N/A}}^2$.

• I’ll take that. The theoretical expression for the electrodynamic force intensity $\vec{F}$ can be obtained with some approximation. The two coils are parallel and straight. The approximation is the better the radius of the coil is greater than the distance. The magnetic field $B_1$ created by the current $I_1$ in the $N_1$ coil spindles at the distance $d$ is $B_1={\mu }_0{N}_1{I}_1/(2\pi d)$, where ${\mu }_0$ is the magnetic permeability of the vacuum equal to that of the air. The current force $I_2$ in the $N_2$ coil of the mobile coil is $F=N_2{I}_2{B}_{1}2\pi r$. Substituting the expression $B_1$, and since $I_1=I_2=I$ is obtained $F={\mu }_0\frac{N_1{N}_{2}r}{d}{I}^2(4)$ In the case of test coils, $N_1=50$; $N_2=10$; $r=(2.95\pm 0.05)\times 10^{-2}$ m; ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}{\text{N/A}}^2$ With these data, the values are: Theoretical constants required in questions 3 and 4 which can be easily calculated using the formulas (3) and (4) are: Table of the table) Table 34 (Values for questions 3 and 4) d (mm) 7.00 8.00 9.00 10.00 $I^2/n$ $({\text{A}}^2)$ $2.42\times 10^{-2}$ $2.76\times 10^{-2}$ $3.11\times 10^{-2}$ $3.45\times 10^{-2}$ $F/I^2$ $({\text{N/A}}^2)$ $2.65\times 10^{-3}$ $2.32\times 10^{-3}$ $2.06\times 10^{-3}$ $1.85\times 10^{-3}$

p.8 — Grafico 2: I quadro in funzione di n

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Biot-Savart Law, Ampère’s Law, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Quesito n. 5. Perche ́ la forza sia attrattiva, la corrente deve avere lo stesso verso nelle due bobine. Si può invertire la corrente nella bobina fissa, scambiando il collegamento dei due capi, a batteria e angolare (come in figura seguente a sinistra). Si possono anche lasciare i collegamenti cosı` come sono e ribaltare la bobina fissa sulla base di cartone (v. figura a destra). È più macchinoso invertire la corrente nella bobina mobile, scambiando il collegamento ai due angolari di bobina fissa e reostato. — Pag. 4 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2013 Gara Nazionale – Prova Sper.: Soluzione – 11 Aprile 2013

p.9 — Schemi inversione corrente per forza attrattiva

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Physical Modeling, Lorentz Force Analysis Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Coil, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Question No. 5. For the force to be attractive, the current must be the same in both coils. The current in the fixed coil can be reversed by switching the connection between the two conductors, battery and angular (as shown in the figure below on the left). You can also leave the links as they are and turn the coil fixed on a cardboard basis (see. Figure on the right). It is more machinably reversed in the current in the moving coil, switching the connection to the two coil angles fixed and re-restored. Pag. 4 — AIF Physics Olympics 2013 National competition Test Hope.: Solution 11 April 2013

The following is the list of the types of electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated by the electricity generated electricity generated by the electricity generated electricity generated by the electricity generated electricity generated by electricity generated by electricity.

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Physical Modeling, Lorentz Force Analysis Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Coil, Battery Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Quesito n. 6. Le misure sono riportate nella Tabella 3–6 a pag. 3.

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning, Measurement & Instrumentation Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Question No. 6. The measures are set out in Table 36 at p. 3.

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Quesito n. 7. La difficoltà nasce dal fatto che la forza elettrodinamica cresce al diminuire della distanza tra le due bobine. Per scostamenti dalla posizione orizzontale di equilibrio, in una bilancia “normale”, la somma dei momenti dei due pesi laterali è sempre nulla, mentre il momento del peso del giogo ${\vec{M}}_g\ne 0$ contrasta lo scostamento fino a farla tornare orizzontale dopo qualche oscillazione. Nel nostro caso, con gli stessi scostamenti, la somma dei due momenti laterali non è più nulla, poiche ́ la forza elettrodinamica è funzione decrescente della distanza. Se la bobina mobile si alza, il momento ${\vec{M}}_e$ della forza attrattiva elettrodinamica, che tenderebbe a riportarla giù, diminuisce di una quantità $\Delta {\vec{M}}_e$. Al contrario se la bobina mobile si abbassa, il momento ${\vec{M}}_e$ che tende ad abbassarla ancora di più, aumenta di $\Delta {\vec{M}}_e^{\prime }$. Se il momento del giogo prevale su $\left|\Delta {\vec{M}}_e\right|$ o $\left|\Delta {\vec{M}}_e^{\prime }\right|$ la bilancia torna in equilibrio orizzontale, altrimenti se ne scosta sempre di più. La posizione orizzontale della bilancia è ancora di equilibrio stabile ma in un intorno sempre più piccolo a mano a mano che cresce la corrente, poiche ́ la forza elettrodinamica cresce al crescere della corrente e quindi crescono anche le variazioni del suo momento $\left|\Delta {\vec{M}}_e\right|$ o $\left|\Delta {\vec{M}}_e^{\prime }\right|$. Si riesce ad ottenere l’equilibrio senza accorgimenti particolari anche in attrazione, con uno, due o al massimo tre foglietti di alluminio sulla bilancia. Occorre solo agire delicatamente, per esempio con un dito, per “aiutare” la bilancia a mettersi orizzontale.

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics, Magnetism Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Coil, Beam Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Question No. 7. The difficulty arises from the fact that the electrodynamic force increases as the distance between the two coils decreases. For deviations from the horizontal equilibrium position, in a normal balance, the sum of the moments of the Two side weights is always zero, while the moment of the weight of the yoke ${\vec{M}}_g\ne 0$ counters the deviation until I’m gonna have to get it back to the horizontal after a few swings. In our case, with the same deviations, the sum of the two lateral moments is nothing, because the force is the same as the force of the other two sides. electrodynamics is a decreasing function of distance. If the moving coil is lifted, the force moment ${\vec{M}}_e$ The electrodynamic attractiveness, which would tend to bring it down, decreases by a quantity $\Delta {\vec{M}}_e$. On the contrary, if the moving coil decreases, the momentum ${\vec{M}}_e$ which tends to lower it even more increases by $\Delta {\vec{M}}_e^{\prime }$. Se il The time of play prevails on $\left|\Delta {\vec{M}}_e\right|$ or $\left|\Delta {\vec{M}}_e^{\prime }\right|$ the balance returns to horizontal equilibrium, otherwise it is shifted More and more. The horizontal position of the balance is still stable but in an increasingly small circle at hand As the current grows, because the electrodynamic force grows as the current grows, and so they grow. also the changes in its timing $\left|\Delta {\vec{M}}_e\right|$ or $\left|\Delta {\vec{M}}_e^{\prime }\right|$. The balance can be achieved without special care even in attraction, with one, two or not more three aluminium sheets on the balance sheet. You just have to act gently, for example with your finger, to help The balance should be horizontal.

Topic: Newtonian Mechanics, Rigid Body Statics, Magnetism Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Coil, Beam Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Quesito n. 8. Le misure riportate nella Tabella 3–6 (colonne 4a e 7a) a pag. 3 sono state ottenute con il metodo seguente. Si dispone il giogo, caricato con i foglietti di alluminio, in modo che, con corrente nulla, risulti orizzontale e in lieve contatto con alcuni spessori posti sotto di esso, dalla parte opposta a quella delle bobine. Si aumenta lentamente l’intensità della corrente sino a quando il giogo inizia ad abbassarsi dalla parte delle bobine, e si legge sull’amperometro il valore della corrente. Con questo metodo la corrente letta ha un piccolo errore in eccesso. Si può notare nella Tabella 3–6 a pag. 3 che i valori di corrente in attrazione superano in genere quelli corrispondenti in repulsione. Si possono anche sistemare gli spessori sotto il giogo, all’interno della bobina fissa, in modo che il giogo sia orizzontale. Questo va poi caricato con i foglietti di alluminio. Gli si impedisce con un dito di sollevarsi, e si aumenta lentamente la corrente finche ́ resta in posizione orizzontale anche senza l’“aiuto” del dito. Si diminuisce poi la corrente finche ́ inizia a staccarsi dallo spessore. Con questo metodo, più macchinoso del precedente, la corrente letta ha un errore in difetto. Materiale elaborato dal Gruppo NOTA BENE È possibile utilizzare, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico questo materiale alle due seguenti condizioni: citare la fonte; non usare il materiale, nemmeno parzialmente, per fini commerciali. — Pag. 5 —

Topic: Magnetism, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Physical Modeling, Error Propagation Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning Objects: Coil Fonte: Testo (PDF) — p.9 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Problem no. 8. The measurements reported in Table 3–6 (columns 4a and 7a) on p. 3 were obtained with the following method. The yoke, loaded with the aluminum sheets, is arranged so that, with zero current, it is horizontal and in slight contact with some spacers placed under it, on the side opposite to that of the coils. The current intensity is slowly increased until the yoke begins to lower on the side of the coils, and the current value is read on the ammeter. With this method the current read has a small error in excess. It can be noted in Table 3–6 on p. 3 that the current values in attraction generally exceed the corresponding ones in repulsion. The spacers can also be arranged under the yoke, inside the fixed coil, so that the yoke is horizontal. This must then be loaded with the aluminum sheets. It is prevented with a finger from rising, and the current is slowly increased until it remains in a horizontal position even without the “help” of the finger. The current is then decreased until it begins to detach from the spacer. With this method, more cumbersome than the previous one, the current read has an error in defect. Material prepared by the Group NOTE WELL This material may be used, reproduced, distributed, communicated to the public under the following two conditions: cite the source; do not use the material, even partially, for commercial purposes. — p. 5 —

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