OII 2015 Nazionale Teorica

Miraggio parabolico — Punti 100

Quando al di sopra di un piano orizzontale la temperatura varia con la quota, restando uniforme ad una stessa altezza dal suolo, anche l’indice di rifrazione dell’aria varia e ciò fa sì che i raggi luminosi siano deviati da un percorso rettilineo, dando luogo al ben noto fenomeno del miraggio.

Sarà studiato qui un fenomeno analogo. Si consideri un fascio di luce laser che entra in una vaschetta con le pareti piane e trasparenti. Nella vaschetta c’è una soluzione di acqua e zucchero in cui la concentrazione diminuisce progressivamente con l’altezza $z$: raggiunge il valore di saturazione sul fondo del recipiente ed è praticamente nulla al livello più alto.

L’indice di rifrazione $n$ dipende dalla concentrazione e quindi varia anch’esso con la quota, ma la funzione $n(z)$ non è nota, non essendo nota la variazione della concentrazione al variare di $z$: si sa solo che sul fondo il valore di $n$ è quello di una soluzione satura di acqua e zucchero ($n_0=1.46$) mentre al livello più alto, dove c’è la superficie orizzontale del liquido, $n_h=1.33$. Al di sopra c’è aria, il cui indice di rifrazione può essere approssimato con $n_a=1$.

Lo scopo di questo problema è quello di capire, adottando alcune ipotesi semplificative, il comportamento del fascio di luce.

Si inizia facendo entrare il fascio luminoso dal fondo della vaschetta, diretto dal basso verso l’alto. Sia ${\alpha }_0$ l’angolo che il raggio forma con l’asse $z$ appena entrato nel liquido. Si consideri un sistema cartesiano $(x,z)$ nel piano verticale individuato dal raggio e dall’asse $z$, e si ponga l’origine nel punto d’ingresso.

Si trovi la deviazione angolare subita dal fascio nel liquido, dal fondo fino alla superficie superiore di separazione con l’aria, assumendo ${\alpha }_0=30°$.

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Miraggio parabolico — Punti 100

When above a horizontal plane the temperature varies with altitude, remaining uniform at the same altitude from the ground, the refractive index of the air also varies and this causes the light rays to be diverted from a straight path, giving rise to the well-known mirage phenomenon.

A similar phenomenon will be studied here. Consider a laser beam of light entering a vessel with flat, transparent walls. In the tank there is a water and sugar solution in which the concentration gradually decreases with the height $z$: it reaches the saturation value on the bottom of the container and is virtually nothing at the highest level.

The refractive index $n$ depends on the concentration and therefore also varies with the quota, but the function $n(z)$ is not known, as the concentration variation at $z$ is not known: only is it known that at the bottom the value of $n$ is that of a water and sugar saturated solution ($n_0=1.46$) while at the highest level, where there is the horizontal surface of the liquid, $n_h=1.33$. Above is air, whose refractive index can be approximated to $n_a=1$.

The purpose of this problem is to understand, by using some simplified assumptions, the behavior of the beam of light.

Start by bringing the light beam in from the bottom of the tank, straight up from the bottom. Sia ${\alpha }_0$ l’angolo che il raggio forma con l’asse $z$ appena entrato nel liquido. Consider a Cartesian system $(x,z)$ in the vertical plane as determined by the radius and axis $z$, and place the origin at the entry point.

The angular deviation from the beam in the liquid, from the bottom to the upper surface of air separation, is given by ${\alpha }_0=30°$.

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Si trovi qual è il valore minimo che deve avere l’angolo d’ingresso ${\alpha }_0$ se si vuole che il fascio non emerga in aria alla superficie superiore ma subisca una riflessione totale.

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Find out what the minimum value of the entry angle ${\alpha }_0$ must be if the beam is not to emerge into the air at the upper surface but to be fully reflected.

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Come si è visto, la traiettoria del fascio di luce nella soluzione non è rettilinea, tuttavia la deviazione dalla retta è piccola: per semplicità verrà approssimata con una parabola con asse verticale nel piano $(x,z)$, i cui parametri dipendono ovviamente dall’angolo di incidenza.

Si calcolino i parametri della parabola $z=a{x}^2+bx+c$ per una incidenza all’angolo limite calcolato al punto 2, supponendo che l’altezza del liquido nella vaschetta sia $h=20\text{cm}$. Si trovi inoltre la distanza $d$, misurata sul fondo della vaschetta, dal punto di incidenza al punto in cui il raggio riflesso dalla superficie dell’acqua ritorna sul fondo della vaschetta (si supponga che la vaschetta sia sufficientemente lunga).

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As we have seen, the path of the beam of light in the solution is not straight, however the deviation from the straight is small: for simplicity it will be approximated with a parabola with a vertical axis in the plane $(x,z)$, the parameters of which obviously depend on the angle of incidence.

Calculate the parameters of the parabola $z=a{x}^2+bx+c$ for an incidence at the boundary angle calculated in point 2, assuming that the height of the liquid in the tank is $h=20\text{cm}$. The distance $d$ measured at the bottom of the tank from the point of impact to the point where the beam reflected from the water surface returns to the bottom of the tank (assume that the tank is sufficiently long).

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Si ricavi, dall’equazione della parabola derivata al punto 3, l’espressione dell’indice di rifrazione in funzione di $z$: $n(z)=?$ Lo si calcoli per $z=5\text{cm}$, $z=10\text{cm}$, $z=15\text{cm}$ e si tracci un grafico approssimativo di $n(z)$.

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The expression of the refractive index function $z$ is obtained from the parabola equation derived from point 3: $n(z)=?$ The calculation is done for $z=5\text{cm}$, $z=10\text{cm}$, $z=15\text{cm}$ and an approximate graph of $n(z)$ is drawn.

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Negli esempi considerati finora la deviazione dalla traiettoria rettilinea è molto piccola. In altre condizioni però può diventare molto consistente, e il percorso del raggio può ricordare quello di un getto d’acqua sparato orizzontalmente.

Si supponga che il fascio entri nella vaschetta da una parete laterale, in un punto immediatamente sotto la superficie, quindi in $z=h$ e $x=0$. Supponiamo che l’angolo di ingresso nel liquido sia ${\beta }_h=2°$ rispetto all’asse $x$, verso il basso, e che il raggio arrivi sul fondo prima di colpire la parete verticale opposta.

Si calcoli l’angolo ${\beta }_0$ che il raggio forma con l’asse $x$ sul fondo e la deviazione angolare $\Delta \beta$ subita all’interno del liquido.

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In the examples considered so far the deviation from the straight path is very small. In other conditions, however, it can become very substantial, and the path of the beam may resemble that of a water jet shot horizontally.

Suppose the beam enters the tank from a side wall, at a point immediately below the surface, then in $z=h$ and $x=0$. Suppose the angle of entry into the liquid is ${\beta }_h=2°$ with respect to the axis $x$, downward, and the beam reaches the bottom before hitting the opposite vertical wall.

The angle ${\beta }_0$ the beam forms with the axis $x$ on the bottom and the angular deviation $\Delta \beta$ within the liquid shall be calculated.

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Supponendo che la traiettoria del raggio si possa approssimare con una parabola anche in questo caso di grande deviazione angolare, se ne calcolino i coefficienti $a^{\prime }$, $b^{\prime }$, $c^{\prime }$ della parabola: $z=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$ Si calcoli in quale punto $x$ il raggio arriva sul fondo della vaschetta.

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Assuming that the radius trajectory can be approximated by a parabola even in this case of large angular deviation, the $a^{\prime }$, $b^{\prime }$, $c^{\prime }$ coefficients of the parabola are calculated: $z=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$ Calculate at which point $x$ the beam reaches the bottom of the tank.

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