OII 2015 Nazionale

Una molla ideale di costante elastica $k=30\text{N/m}$ e lunghezza a riposo ${\ell }_0=30\text{cm}$ è fissata a un’estremità nel punto più basso di un piano inclinato di un angolo $\theta =30°$ rispetto all’orizzontale, ed è appoggiata sul piano inclinato.

Si fissi un sistema di riferimento cartesiano con l’origine alla base del piano inclinato e l’asse $x$ parallelo al piano e orientato verso l’alto.

Un blocco di massa $m=200\text{g}$ viene lasciato libero da fermo sul piano inclinato. La posizione del blocco sarà sempre data dalla coordinata $x_A$ della sua faccia anteriore (A); inizialmente A dista $70\text{cm}$ dall’origine delle coordinate. Si consideri in una prima fase una situazione in cui l’attrito è trascurabile.

1. Si esprima — scalarmente — la forza risultante agente sul blocco, $F_R$, in funzione di $x$, sia quando il blocco è staccato dalla molla sia quando è a contatto con essa. Si determini in quale posizione $x_0$ la forza risultante è nulla. Si tracci un grafico di $F_R(x)$.

2. Si determini la posizione $x_1$ in cui il blocco raggiunge la sua velocità massima.

3. Si trovi l’espressione dell’energia potenziale e di quella cinetica del blocco in funzione di $x$.

4. Si determini la posizione $x_2$ in cui il blocco inverte il suo moto.

Si supponga ora che ci sia un attrito non trascurabile e che i coefficienti statico e dinamico siano rispettivamente ${\mu }_s=0.56$ e ${\mu }_d=0.52$.

5. Si verifichi che anche in questo caso il blocco, lasciato fermo nel punto A, scivola, e si trovi in quale posizione $x_3$ inverte ora il suo moto.

6. Si trovi l’espressione $E(x)$ dell’energia meccanica in funzione di $x$ nel moto del blocco da $x_A$ a $x_3$.

7. Si determini la posizione $x_4$ in cui il blocco raggiunge la massima velocità.

8. Si trovi in quale posizione $x_5$ il blocco si arresta definitivamente.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Spring, Inclined Plane, Block Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

An ideal spring of constant elasticity $k=30\text{N/m}$ and rest length ${\ell }_0=30\text{cm}$ shall be fixed at one end at the lowest point of an inclined plane of an angle $\theta =30°$ from the horizontal, and shall be rested on the inclined plane.

A Cartesian reference system is fixed with the origin at the base of the sloping plane and the $x$ axis parallel to the plane and oriented upwards.

A mass block $m=200\text{g}$ is left standing free on the sloping plane. The position of the block shall always be given by the $x_A$ coordinate of its front face (A); initially A shall be $70\text{cm}$ from the origin of the coordinates. Consider, at first, a situation where friction is negligible.

1. Express scalar the resulting force on the block, $F_R$, as a function of $x$, both when the block is detached from the spring and when it is in contact with it. Determine at which position $x_0$ the resulting force is zero. A graph of $F_R(x)$ is drawn.

2. The position $x_1$ at which the block reaches its maximum speed shall be determined.

3. The expression of the potential energy and kinetic energy of the block is given by $x$.

4. Determine the position $x_2$ where the block reverses its motor.

Assume now that there is a non-negligible friction and that the static and dynamic coefficients are ${\mu }_s=0.56$ and ${\mu }_d=0.52$ respectively.

5. It happens that again in this case the block, left standing in point A, slides, and you find yourself in which position $x_3$ is now reversing its motor.

6. The expression $E(x)$ of the mechanical energy function of $x$ is found in the block motion from $x_A$ to $x_3$.

7. The position $x_4$ shall be determined at which the block reaches its maximum speed.

8. Find the position $x_5$ at which the block is permanently stopped.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Energy Conservation Method, Hooke’s Law, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Spring, Inclined Plane, Block Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)