OII 2015 Nazionale Teorica

Alcune Costanti Fisiche

AIF – Olimpiadi di Fisica 2015 Gara Nazionale – Prova Teorica – 10 Aprile 2015 Alcune Costanti Fisiche Valori arrotondati, con errore relativo minore di $10^{-5}$, da considerare esatti COSTANTE SIMBOLO VALORE UNITÀ Velocità della luce nel vuoto $c$ $2.9979\times 10^8$ ${\text{m s}}^{-1}$ Carica elementare $e$ $1.60218\times 10^{-19}$ C Massa dell’elettrone $m_e$ $9.1094\times 10^{-31}$ kg $=5.1100\times 10^2$ $\text{keV }{c}^{-2}$ Costante dielettrica del vuoto ${ϵ}_0$ $8.8542\times 10^{-12}$ ${\text{F m}}^{-1}$ Permeabilità magnetica del vuoto ${\mu }_0$ $1.25664\times 10^{-6}$ ${\text{H m}}^{-1}$ Massa del protone $m_p$ $1.67262\times 10^{-27}$ kg $=9.3827\times 10^2$ $\text{MeV }{c}^{-2}$ Costante di Planck $h$ $6.6261\times 10^{-34}$ J s Costante universale dei gas $R$ $8.3145$ ${\text{J mol}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ Costante di Avogadro $N$ $6.0221\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Costante di Boltzmann $k$ $1.38065\times 10^{-23}$ ${\text{J K}}^{-1}$ Costante di Faraday $F$ $9.6485\times 10^4$ ${\text{C mol}}^{-1}$ Costante di Stefan–Boltzmann $\sigma$ $5.6704\times 10^{-8}$ ${\text{W m}}^{-2}{\text{ K}}^{-4}$ Costante gravitazionale $G$ $6.674\times 10^{-11}$ ${\text{m}}^3{\text{ kg}}^{-1}{\text{ s}}^{-2}$ Pressione atmosferica standard $p_0$ $1.01325\times 10^5$ Pa Temperatura standard ($0{}^{\circ }\text{C}$) $T_0$ $273.15$ K Volume molare di un gas perfetto in condizioni standard ($p_0,T_0$) $V_m$ $2.2414\times 10^{-2}$ ${\text{m}}^3{\text{ mol}}^{-1}$ Unità di massa atomica $u$ $1.66054\times 10^{-27}$ kg Altri dati che possono essere necessari Valori arrotondati, con errore relativo minore di $10^{-5}$, da considerare esatti. Per semplicità – salvo che non sia detto esplicitamente – questi dati, quando riferiti ad una specifica temperatura, si potranno utilizzare anche ad altre temperature senza errori importanti. Accelerazione media di gravità $g$ $9.8067$ ${\text{m s}}^{-2}$ Densità dell’acqua (a $4{}^{\circ }\text{C}$) ${\rho }_a$ $1.000\times 10^3$ ${\text{kg m}}^{-3}$ Calore specifico dell’acqua (a $20{}^{\circ }\text{C}$) $c_a$ $4.182\times 10^3$ ${\text{J kg}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ Calore di fusione dell’acqua ${\lambda }_f$ $3.335\times 10^5$ ${\text{J kg}}^{-1}$ Calore di vaporizzazione dell’acqua (a $100{}^{\circ }\text{C}$) ${\lambda }_v$ $2.257\times 10^6$ ${\text{J kg}}^{-1}$

AIF – Olimpiadi di Fisica 2015 Gara Nazionale – Prova Teorica – 10 Aprile 2015 LEGGI CON CALMA E MOLTA ATTENZIONE! È assolutamente necessario ricordarsi di NON scrivere il proprio nome su nessun foglio (ad esclusione del cartoncino che va chiuso nella busta piccola, come detto in copertina). Si dovrà invece SCRIVERE solo il proprio Codice Studente (riportato sulla busta piccola colorata) su ciascun Foglio Riassuntivo e su ogni foglio a quadretti utilizzato. Insieme ai testi, per ogni problema ti è stato consegnato un Foglio Riassuntivo sul quale dovrai riportare in modo sintetico le risposte ad ogni domanda; i valori numerici devono essere scritti con il corretto numero di cifre, in relazione ai dati forniti e – se necessario – con indicazione dell’unità di misura. È ESSENZIALE che tutti i risultati (formali e numerici) che hai trovato per ciascun problema siano riportati sul corrispondente Foglio Riassuntivo, poiché questo costituisce la base della valutazione della tua prova. Ricordati di usare un foglio a quadretti diverso per ogni problema e di scrivere per prima cosa, in alto a destra, il tuo Codice Studente! Sui fogli a quadretti devono essere riportate le soluzioni dettagliate, cercando di limitare il testo scritto e di privilegiare invece equazioni, simboli, numeri e diagrammi. Su ogni facciata dei fogli a quadretti con la soluzione di un problema va sempre scritto, in alto a destra, il numero del problema, il numero di pagina e il numero totale di pagine utilizzate per quel problema, come descritto in copertina. NOTA importante sui DATI NUMERICI: I dati numerici forniti nei singoli problemi, qualunque sia il numero di cifre con cui vengono scritti, si devono considerare noti con un’incertezza dello 0.1 %, salvo esplicita indicazione contraria. Le costanti fornite nella tabella generale si possono invece considerare note con incertezza trascurabile. Di conseguenza si scrivano i risultati numerici, quando richiesti, con un numero di cifre appropriato all’incertezza del risultato stesso.

AIF – Olimpiadi di Fisica 2015 Gara Nazionale – Prova Teorica – 10 Aprile 2015

Miraggio parabolico — Punti 100

Quando al di sopra di un piano orizzontale la temperatura varia con la quota, restando uniforme ad una stessa altezza dal suolo, anche l’indice di rifrazione dell’aria varia e ciò fa sì che i raggi luminosi siano deviati da un percorso rettilineo, dando luogo al ben noto fenomeno del miraggio. Sarà studiato qui un fenomeno analogo. Si consideri un fascio di luce laser che entra in una vaschetta con le pareti piane e trasparenti. Nella vaschetta c’è una soluzione di acqua e zucchero in cui la concentrazione diminuisce progressivamente con l’altezza $z$: raggiunge il valore di saturazione sul fondo del recipiente ed è praticamente nulla al livello più alto. L’indice di rifrazione $n$ dipende dalla concentrazione e quindi varia anch’esso con la quota, ma la funzione $n(z)$ non è nota, non essendo nota la variazione della concentrazione al variare di $z$: si sa solo che sul fondo il valore di $n$ è quello di una soluzione satura di acqua e zucchero ($n_0=1.46$) mentre al livello più alto, dove c’è la superficie orizzontale del liquido, $n_h=1.33$. Al di sopra c’è aria, il cui indice di rifrazione può essere approssimato con $n_a=1$. Lo scopo di questo problema è quello di capire, adottando alcune ipotesi semplificative, il comportamento del fascio di luce. Si inizia facendo entrare il fascio luminoso dal fondo della vaschetta, diretto dal basso verso l’alto (figura a sinistra). Sia ${\alpha }_0$ l’angolo che il raggio forma con l’asse $z$ appena entrato nel liquido. Si consideri un sistema cartesiano $(x,z)$ nel piano verticale individuato dal raggio e dall’asse $z$, e si ponga l’origine nel punto d’ingresso (vedi figura a sinistra). A partire da questo punto il fascio luminoso devia seguendo una traiettoria non rettilinea.

1. Si trovi la deviazione angolare subita dal fascio nel liquido, dal fondo fino alla superficie superiore di separazione con l’aria, assumendo ${\alpha }_0=30^{\circ }$.
2. Si trovi qual è il valore minimo che deve avere l’angolo d’ingresso se si vuole che il fascio non emerga in aria alla superficie superiore ma subisca una riflessione totale.

Come si è visto, la traiettoria del fascio di luce nella soluzione non è rettilinea, tuttavia la deviazione dalla retta è piccola: per semplicità verrà approssimata con una parabola con asse verticale nel piano $(x,z)$, i cui parametri dipendono ovviamente dall’angolo di incidenza.

3. Si calcolino i parametri della parabola per una incidenza all’angolo limite calcolato al punto 2 supponendo che l’altezza del liquido nella vaschetta sia $h=20\text{cm}$. Si trovi inoltre la distanza, misurata sul fondo della vaschetta, dal punto di incidenza al punto in cui il raggio riflesso dalla superficie dell’acqua ritorna sul fondo della vaschetta (si supponga che la vaschetta sia sufficientemente lunga).
4. Si ricavi, dall’equazione della parabola derivata al punto 3, l’espressione dell’indice di rifrazione in funzione di $z$ e lo si calcoli per $z=5\text{cm}$, $z=10\text{cm}$, $z=15\text{cm}$ e si tracci un grafico approssimativo di $n(z)$.

Negli esempi considerati finora la deviazione dalla traiettoria rettilinea è molto piccola. In altre condizioni però può diventare molto consistente, e il percorso del raggio può ricordare quello di un getto d’acqua sparato orizzontalmente.

Si supponga che il fascio entri nella vaschetta da una parete laterale, in un punto immediatamente sotto la superficie, quindi in $z=h$ e $x=0$ (vedi figura a destra). Supponiamo che l’angolo di ingresso nel liquido sia ${\beta }_h=2^{\circ }$ rispetto all’asse $x$, verso il basso, e che il raggio arrivi sul fondo prima di colpire la parete verticale opposta.

5. Si calcoli l’angolo ${\beta }_0$ che il raggio forma con l’asse $x$ sul fondo e la deviazione angolare subita all’interno del liquido.
6. Supponendo che la traiettoria del raggio si possa approssimare con una parabola anche in questo caso di grande deviazione angolare, se ne calcolino i coefficienti. Si calcoli in quale punto il raggio arriva sul fondo.

p.3 — Raggio luminoso curvo nel liquido, due pannelli

p.4 — Ciclo di isteresi resistenza-tensione della lampada

p.6 — Piano inclinato con molla e blocco

Topic: Geometric Optics, Wave Optics, Oscillations & Waves Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing, Small-Angle Approximation, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Graph Linearization Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Some Physical Constants

AIF – Physics Olympiads 2015 National Competition – Theoretical Test – 10 April 2015 Some Physical Constants Rounded values, with relative error less than $10^{-5}$, to be considered exact CONSTANT SYMBOL VALUE UNIT Speed of light in vacuum $c$ $2.9979\times 10^8$ ${\text{m s}}^{-1}$ Elementary charge $e$ $1.60218\times 10^{-19}$ C Electron mass $m_e$ $9.1094\times 10^{-31}$ kg $=5.1100\times 10^2$ $\text{keV }{c}^{-2}$ Vacuum permittivity ${ϵ}_0$ $8.8542\times 10^{-12}$ ${\text{F m}}^{-1}$ Vacuum permeability ${\mu }_0$ $1.25664\times 10^{-6}$ ${\text{H m}}^{-1}$ Proton mass $m_p$ $1.67262\times 10^{-27}$ kg $=9.3827\times 10^2$ $\text{MeV }{c}^{-2}$ Planck constant $h$ $6.6261\times 10^{-34}$ J s Universal gas constant $R$ $8.3145$ ${\text{J mol}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ Avogadro constant $N$ $6.0221\times 10^{23}$ ${\text{mol}}^{-1}$ Boltzmann constant $k$ $1.38065\times 10^{-23}$ ${\text{J K}}^{-1}$ Faraday constant $F$ $9.6485\times 10^4$ ${\text{C mol}}^{-1}$ Stefan–Boltzmann constant $\sigma$ $5.6704\times 10^{-8}$ ${\text{W m}}^{-2}{\text{ K}}^{-4}$ Gravitational constant $G$ $6.674\times 10^{-11}$ ${\text{m}}^3{\text{ kg}}^{-1}{\text{ s}}^{-2}$ Standard atmospheric pressure $p_0$ $1.01325\times 10^5$ Pa Standard temperature ($0{}^{\circ }\text{C}$) $T_0$ $273.15$ K Molar volume of an ideal gas under standard conditions ($p_0,T_0$) $V_m$ $2.2414\times 10^{-2}$ ${\text{m}}^3{\text{ mol}}^{-1}$ Atomic mass unit $u$ $1.66054\times 10^{-27}$ kg Other data that may be needed Rounded values, with relative error less than $10^{-5}$, to be considered exact. For simplicity – unless explicitly stated otherwise – these data, when referred to a specific temperature, may also be used at other temperatures without significant errors. Average acceleration of gravity $g$ $9.8067$ ${\text{m s}}^{-2}$ Density of water (at $4{}^{\circ }\text{C}$) ${\rho }_a$ $1.000\times 10^3$ ${\text{kg m}}^{-3}$ Specific heat of water (at $20{}^{\circ }\text{C}$) $c_a$ $4.182\times 10^3$ ${\text{J kg}}^{-1}{\text{ K}}^{-1}$ Heat of fusion of water ${\lambda }_f$ $3.335\times 10^5$ ${\text{J kg}}^{-1}$ Heat of vaporization of water (at $100{}^{\circ }\text{C}$) ${\lambda }_v$ $2.257\times 10^6$ ${\text{J kg}}^{-1}$

AIF – Physics Olympiads 2015 National Competition – Theoretical Test – 10 April 2015 READ CALMLY AND WITH GREAT ATTENTION! It is absolutely necessary to remember NOT to write your name on any sheet (with the exception of the card that must be closed in the small envelope, as stated on the cover). Instead, you must WRITE only your Student Code (shown on the small colored envelope) on each Summary Sheet and on every squared sheet used. Together with the texts, for each problem you have been given a Summary Sheet on which you must briefly report the answers to each question; the numerical values must be written with the correct number of digits, in relation to the data provided and – if necessary – with an indication of the unit of measurement. It is ESSENTIAL that all the results (formal and numerical) that you have found for each problem be reported on the corresponding Summary Sheet, since this constitutes the basis for the evaluation of your test. Remember to use a different squared sheet for each problem and to write first, at the top right, your Student Code! On the squared sheets, the detailed solutions must be reported, trying to limit the written text and instead favoring equations, symbols, numbers and diagrams. On every page of the squared paper with the solution to a problem, the problem number, the page number and the total number of pages used for that problem must always be written in the top right corner, as described on the cover. Important NOTE on NUMERICAL DATA: The numerical data provided in the individual problems, whatever the number of digits with which they are written, must be considered known with an uncertainty of 0.1%, unless explicitly stated otherwise. The constants provided in the general table may instead be considered known with negligible uncertainty. Consequently, numerical results, when required, should be written with a number of digits appropriate to the uncertainty of the result itself.

AIF – Physics Olympiads 2015 National Competition – Theoretical Test – 10 April 2015

Parabolic mirage — 100 points

When, above a horizontal plane, the temperature varies with height while remaining uniform at the same height above the ground, the refractive index of the air also varies, and this causes light rays to be deviated from a straight path, giving rise to the well-known phenomenon of the mirage. An analogous phenomenon will be studied here. Consider a laser light beam entering a tank with flat, transparent walls. In the tank there is a solution of water and sugar in which the concentration gradually decreases with height $z$: it reaches the saturation value at the bottom of the container and is practically zero at the highest level. The refractive index $n$ depends on the concentration and therefore also varies with height, but the function $n(z)$ is not known, since the variation of concentration as $z$ varies is not known: it is only known that at the bottom the value of $n$ is that of a saturated solution of water and sugar ($n_0=1.46$) while at the highest level, where the horizontal surface of the liquid is, $n_h=1.33$. Above there is air, whose refractive index can be approximated by $n_a=1$. The purpose of this problem is to understand, by adopting some simplifying assumptions, the behavior of the light beam. We begin by making the light beam enter from the bottom of the tank, directed from the bottom upward (figure on the left). Let ${\alpha }_0$ be the angle that the ray forms with the axis $z$ just after entering the liquid. Consider a Cartesian system $(x,z)$ in the vertical plane identified by the ray and the axis $z$, and place the origin at the entry point (see figure on the left). Starting from this point the light beam deviates following a non-rectilinear trajectory.

1. Find the angular deviation undergone by the beam in the liquid, from the bottom up to the upper surface of separation with the air, assuming ${\alpha }_0=30^{\circ }$.
2. Find the minimum value that the entry angle must have if the beam is not to emerge into the air at the upper surface but to undergo total reflection.

As has been seen, the trajectory of the light beam in the solution is not rectilinear; however, the deviation from the straight line is small: for simplicity it will be approximated by a parabola with vertical axis in the plane $(x,z)$, whose parameters obviously depend on the angle of incidence.

3. Calculate the parameters of the parabola for an incidence at the limiting angle calculated in point 2, assuming that the height of the liquid in the tank is $h=20\text{cm}$. Also find the distance, measured on the bottom of the tank, from the point of incidence to the point at which the ray reflected from the water surface returns to the bottom of the tank (assume that the tank is sufficiently long).
4. Derive, from the equation of the parabola obtained in point 3, the expression for the refractive index as a function of $z$ and calculate it for $z=5\text{cm}$, $z=10\text{cm}$, $z=15\text{cm}$ and draw an approximate graph of $n(z)$.

In the examples considered so far, the deviation from the rectilinear trajectory is very small. Under other conditions, however, it can become very substantial, and the path of the ray can resemble that of a jet of water shot horizontally.

Assume that the beam enters the tank from a side wall, at a point immediately below the surface, therefore at $z=h$ and $x=0$ (see the figure on the right). Suppose that the entry angle into the liquid is ${\beta }_h=2^{\circ }$ with respect to the axis $x$, downward, and that the ray reaches the bottom before striking the opposite vertical wall.

5. Calculate the angle ${\beta }_0$ that the ray forms with the axis $x$ on the bottom and the angular deviation undergone inside the liquid.
6. Assuming that the trajectory of the ray can be approximated by a parabola also in this case of large angular deviation, calculate its coefficients. Calculate at what point the ray reaches the bottom.

p.3 — Curved light ray in the liquid, two panels

p.4 — Resistance-voltage hysteresis cycle of the lamp

p.6 — Inclined plane with spring and block

Solution: Soluzioni (PDF)