OII 2016 Nazionale Sperimentale

ISTRUZIONI:

1. Appena ti verrà dato il via, scrivi chiaro il tuo NOME e COGNOME sul cartoncino che hai ricevuto insieme ai fogli e alle buste, grande e piccola; poi inserisci il cartoncino nella busta piccola e chiudila. Metti subito la busta chiusa in quella grande, che userai alla fine per consegnare tutti i fogli. Successivamente, NON dovrai scrivere il tuo nome su nessun foglio né sulle buste, ma solo il tuo Codice Studente !
2. Leggi con cura il testo della prova.
3. Su ogni facciata scrivi chiaramente in alto a destra:
   • il tuo Codice Studente
   • il numero di pagina
   • il numero totale di pagine usate. Per esempio: pag. 3 di 7

Gara Nazionale — Prova Sperimentale — Giovedì 14 Aprile 2016 — Liceo Statale “Medi”, Senigallia (AN) — Tempo: 4 ore

Istruzioni generali

Ti consigliamo di leggere attentamente tutto il testo seguente prima di iniziare a lavorare con i materiali. Non ti si chiede una relazione di laboratorio, ma solamente una serie di risposte. Ogni risposta deve avere una sua giustificazione sintetica e chiara, anche se non è chiesto esplicitamente nella domanda. Se, per migliorare una misurazione, adotti accorgimenti significativi, registrali nel corrispondente foglio risposte. Al termine della prova inserisci i fogli con le risposte e la minuta nell’apposita busta da consegnare.

LATTINA IN EQUILIBRIO — Punti 200

Premessa

In questa prova ti si chiede di studiare l’equilibrio di una lattina in diverse situazioni. Scrivi nei fogli appositi le tue risposte, riportando le misure con le rispettive incertezze, a meno che nel testo non sia detto esplicitamente di non valutare queste ultime. Annota il numero segnato a pennarello sulla lattina. Avrai a che fare con recipienti contenenti acqua, da non rovesciare, ovviamente. Occupa un tavolo esclusivamente con i materiali hardware elencati qui di seguito. Sistema sull’altro tavolo i fogli di carta, la calcolatrice, e l’occorrente per scrivere. Lascia separati i due tavoli per evitare che acqua, inavvertitamente versata, passi da un tavolino all’altro.

Materiali

• Lattina di acciaio con pareti di spessore $s=(0.20\pm 0.05)\text{mm}$
• Per la bilancia:
  • Listello di legno
  • Nastro millimetrato di carta
  • Lama per seghetto
  • 2 mollette da bucato
  • 4 dadi di acciaio con indicazione della rispettiva massa
  • Nastro adesivo trasparente
• Per il piano inclinato
  • Tavoletta di legno
  • 1 scatola di sale da 1 kg per sostenere la tavoletta
  • 1 angolare per bloccare la tavoletta
  • 1 morsetto per fissare l’angolare al tavolo
  • Carta vetrata. Attenzione a non bagnarla!
  • Nastro adesivo di carta
  • 5 elastici di para
• Siringa
• Squadra millimetrata
• Secchiello con acqua
• Carta assorbente
• Puntina da disegno
• 50 cm circa di filo per cucire
• Dadino metallico
• Calibro ventesimale. L’indice dello strumento è lo zero della scala incisa sul cursore
• Carta millimetrata
• Forbici

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1 – Massa e dimensioni della lattina (punti 40)

Figura 1 – Bilancia

Vedi la figura 1. Fissa al listello con nastro adesivo un tratto del nastro millimetrato di carta, in modo che lo zero coincida con una delle due estremità. Il nastro fornisce un sistema di ascisse lungo il listello, che costituirà il giogo della bilancia. Appoggia il listello sulla lama di seghetto mantenuta diritta con due mollette da bucato. Per effettuare le misure di massa hai a disposizione dei dadi metallici. Su ciascuno dei dadi è riportato il valore della rispettiva massa, con incertezza pari a $\pm 0.1\text{g}$ .

1.a – L’equilibrio del listello appoggiato sulla sola lama è stabile, instabile, indifferente? Determina la massa della lattina. Illustra il procedimento seguito, indicando chiaramente la sequenza delle operazioni.

1.b – Misura con il calibro le dimensioni della lattina che di volta in volta riterrai necessario conoscere. Trascrivi le misure, anche se ottenute in seguito, nell’apposito spazio del foglio delle risposte. Indica chiaramente a quali grandezze si riferiscono.

2 – Centro di massa della lattina vuota (punti 40)

Per localizzare il centro di massa (CM) della lattina si sceglie una terna di assi cartesiani ortogonali solidale con la lattina stessa. L’origine è al centro del cerchio di base della lattina, che si trova qualche millimetro sotto il suo fondo piatto. L’asse $x$ e l’asse $y$ appartengono al piano del cerchio di base, l’asse $z$ coincide con l’asse longitudinale di simmetria della lattina (v. figura 2). Ritaglia un rettangolo di carta vetrata lungo una quindicina di centimetri e largo come la tavoletta di legno o poco meno; fissalo con nastro adesivo di carta e con elastici alla tavoletta che farà da piano inclinato, in modo che vi aderisca perfettamente. Appoggia la tavoletta sulla scatola di sale, e spingi l’estremo inferiore contro l’angolare fissato al banco con il morsetto da tavolo (v. figura 3), così che non si sposti durante le misurazioni.

Figura 2 – Sistema di riferimento

Realizza un filo a piombo annodando il filo da cucito al dadino d’acciaio, e fissalo alla tavoletta con una puntina da disegno. Se, quando inclini la tavoletta, vedi che il fondo della lattina si solleva un po’ rispetto alla carta vetrata nella parte a monte, devi stimare di quanto si solleva e tenerne conto quando determini l’effettiva inclinazione della lattina rispetto al piano orizzontale.

Figura 3 – Piano inclinato

2.a – Determina le coordinate $x=X_0$ e $z=Z_0$ del centro di massa della lattina vuota, studiandone l’equilibrio sul piano inclinato. Illustra il procedimento seguito, indicando chiaramente la sequenza delle operazioni. Le coordinate vanno riferite al sistema di assi definito in precedenza, con l’asse $x$ orientato come in figura 4.

2.b – Considera la possibilità di inserire acqua nella lattina, mantenuta appoggiata su un piano orizzontale. Descrivi solo qualitativamente se, e come, ritieni che debbano cambiare le coordinate del centro di massa del sistema lattina+acqua, all’aumentare della quantità d’acqua nella lattina fino al suo completo riempimento.

3 – Lattina con acqua in equilibrio su piano inclinato (punti 80)

Se la lattina con acqua viene appoggiata su un piano inclinato, la posizione del centro di massa del sistema lattina + acqua, e di conseguenza il suo equilibrio, dipenderà non solo dalla quantità d’acqua ma anche dall’inclinazione della lattina stessa. Quando la base della lattina è inclinata di un angolo $\theta$, la forma geometrica assunta dalla massa d’acqua si discosta da quella di un cilindro retto. La nuova forma, schematizzata in figura 4, può essere pensata come data dalla combinazione del cilindro retto (di altezza $z_0$) con due solidi particolari denominati unghie cilindriche: una (A) aggiunta nella parte a valle e l’altra (M) mancante nella parte a monte, che in figura appaiono in sezione come triangoli opposti al vertice. Le due unghie hanno lo stesso volume. Affinché, per una data inclinazione del piano, l’acqua assuma la forma descritta, occorre versarne un quantitativo sufficiente a ricoprirne completamente il fondo.

Figura 4

Formule utili: Volume dell’unghia cilindrica

$V_u=\frac{2}{3}{R}^3\tan \theta .$

Modulo della coordinata $X_u$ del centro di massa dell’unghia cilindrica

$|X_u|=\frac{3}{16}\pi R$

Figura 4 — $z_0$ è l’altezza del cilindro retto, che è la forma assunta dall’acqua per $\theta =0$. $R$ è il raggio della sezione circolare del cilindro.

Poni la lattina sul piano inclinato, varia la quantità d’acqua al suo interno dosandola con la siringa. Per ogni quantità di acqua aumenta con cautela l’inclinazione del piano di appoggio fino a che il sistema lattina+acqua è al limite tra equilibrio e ribaltamento. Fai molta attenzione quando cerchi questa inclinazione critica. Usa una mano per spostare la scatola di sale e variare così l’inclinazione del piano d’appoggio, metti l’altra mano a pochi millimetri dalla lattina, pronta ad afferrarla quando questa inizia a capovolgersi. Controlla se nella posizione critica di quasi ribaltamento il fondo della lattina risulta coperto di acqua. Dopo aver sistemato la tavoletta alla giusta inclinazione, togli la lattina dal piano inclinato e lasciala appoggiata sul tavolo per evitare di rovesciare l’acqua inavvertitamente, mentre effettui le misurazioni.

3.a – Per ogni massa $m$ di acqua nella lattina, determina la corrispondente inclinazione critica ${\theta }_{\text{max}}$ al limite tra equilibrio e ribaltamento. Riporta le misure in una tabella.

3.b – Descrivi come varia ${\theta }_{\text{max}}$ al variare della massa $m$ d’acqua nella lattina.

3.c – Dalle misure effettuate ricava le coordinate $X$ e $Z$ del centro di massa del sistema lattina + acqua in corrispondenza delle massime inclinazioni ${\theta }_{\text{max}}$ determinate al punto 3a. Spiega il ragionamento per ricavare i valori delle coordinate $X$ e $Z$. Non sono richieste le loro incertezze.

3.d – Rappresenta graficamente nel piano $XZ$ le posizioni del centro di massa, riportandone le coordinate in scala 10:1 .

4 – Galleggiamento della lattina con acqua (punti 40)

Versa acqua nella lattina in quantità tale che questa galleggi nell’acqua del secchio con l’asse di simmetria verticale in equilibrio stabile. Usando la siringa togli gradualmente acqua dalla lattina fino a raggiungere la condizione per cui il sistema assume un equilibrio che puoi giudicare “indifferente”: la lattina può stare in equilibrio sia con l’asse verticale, sia con l’asse obliquo con un’inclinazione qualsiasi, naturalmente senza imbarcare acqua all’interno.

4.a – Qual è la massa d’acqua per cui si verifica questa situazione di equilibrio “indifferente”? Come l’hai misurata?

4.b – Come spieghi il fatto che proprio con questa quantità d’acqua la lattina è in equilibrio, sia con l’asse verticale che inclinato? Per rispondere a questa domanda può essere di aiuto – considerare che la lattina è immersa nello stesso liquido che ha al suo interno, – trascurare lo spessore della parete e del fondo della lattina rispetto alle altre dimensioni.

p.3 — Bilancia con listello, nastro millimetrato e molletta

p.4 — Sistema di riferimento con lattina cilindrica

p.4 — Lattina su piano inclinato con siringa

p.5 — Geometria lattina inclinata, unghie cilindriche

Topic: Rigid Body Statics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Hydrostatic Equilibrium, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Measurement & Instrumentation, Mathematical Modeling Objects: Container, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

INSTRUCTIONS:

1. As soon as you are given the go-ahead, write clearly your NAME and SURNAME on the card you received together with the sheets and the envelopes, large and small; then insert the card into the small envelope and close it. Immediately put the closed envelope into the large one, which you will use at the end to hand in all the sheets. Afterwards, you must NOT write your name on any sheet or on the envelopes, but only your Student Code!
2. Read the text of the test carefully.
3. On each page write clearly at the top right:
   • your Student Code
   • the page number
   • the total number of pages used. For example: page 3 of 7

National Competition — Experimental Test — Thursday 14 April 2016 — Liceo Statale “Medi”, Senigallia (AN) — Time: 4 hours

General instructions

We advise you to read carefully all the following text before starting to work with the materials. You are not asked for a laboratory report, but only for a series of answers. Each answer must have its own concise and clear justification, even if it is not explicitly requested in the question. If, in order to improve a measurement, you adopt significant precautions, record them on the corresponding answer sheet. At the end of the test, insert the answer sheets and the draft into the appropriate envelope to be handed in.

CAN IN EQUILIBRIUM — 200 points

Preamble

In this test you are asked to study the equilibrium of a can in different situations. Write your answers on the designated sheets, reporting the measurements with their respective uncertainties, unless the text explicitly says not to evaluate the latter. Note the number marked with a marker on the can. You will be dealing with containers holding water, which you must obviously not spill. Occupy a table exclusively with the hardware materials listed below. Set up the sheets of paper, the calculator, and the writing materials on the other table. Keep the two tables separate to prevent water, inadvertently spilled, from passing from one table to the other.

Materials

• Steel can with walls of thickness $s=(0.20\pm 0.05)\text{mm}$
• For the balance:
  • Wooden strip
  • Millimeter paper tape
  • Saw blade
  • 2 clothespins
  • 4 steel nuts with the indication of their respective mass
  • Transparent adhesive tape
• For the inclined plane
  • Wooden board
  • 1 1 kg box of salt to support the board
  • 1 angle bracket to block the board
  • 1 clamp to fix the angle bracket to the table
  • Sandpaper. Be careful not to wet it!
  • Paper adhesive tape
  • 5 rubber bands
• Syringe
• Millimeter square
• Bucket with water
• Blotting paper
• Drawing pin
• About 50 cm of sewing thread
• Metal die
• Vernier caliper. The index of the instrument is the zero of the scale engraved on the cursor
• Graph paper
• Scissors

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1 – Mass and dimensions of the can (40 points)

Figure 1 – Balance

See figure 1. Fix a section of the millimeter paper tape to the strip with adhesive tape, so that the zero coincides with one of the two ends. The tape provides a system of abscissas along the strip, which will constitute the beam of the balance. Rest the strip on the saw blade kept straight with two clothespins. To carry out the mass measurements you have metal nuts available. On each of the nuts the value of its respective mass is reported, with an uncertainty equal to $\pm 0.1\text{g}$ .

1.a – Is the equilibrium of the strip resting on the blade alone stable, unstable, or neutral? Determine the mass of the can. Explain the procedure followed, clearly indicating the sequence of operations.

1.b – Use the caliper to measure the dimensions of the can that you deem necessary to know each time. Transcribe the measurements, even if obtained later, in the designated space on the answer sheet. Clearly indicate which quantities they refer to.

2 – Center of mass of the empty can (40 points)

To locate the center of mass (CM) of the can, a set of three orthogonal Cartesian axes fixed to the can itself is chosen. The origin is at the center of the base circle of the can, which is a few millimeters below its flat bottom. The $x$ axis and the $y$ axis lie in the plane of the base circle, the $z$ axis coincides with the longitudinal axis of symmetry of the can (see figure 2). Cut a rectangle of sandpaper about fifteen centimeters long and as wide as the wooden board or slightly less; fix it with paper adhesive tape and rubber bands to the board that will serve as an inclined plane, so that it adheres perfectly. Rest the board on the salt box, and push the lower end against the angle bracket fixed to the bench with the table clamp (see figure 3), so that it does not move during the measurements.

Figure 2 – Reference system

Make a plumb line by tying the sewing thread to the steel nut, and fasten it to the board with a drawing pin. If, when you tilt the board, you see that the bottom of the can lifts slightly with respect to the sandpaper on the upstream side, you must estimate how much it lifts and take it into account when you determine the actual inclination of the can with respect to the horizontal plane.

Figure 3 – Inclined plane

2.a – Determine the coordinates $x=X_0$ and $z=Z_0$ of the center of mass of the empty can by studying its equilibrium on the inclined plane. Explain the procedure followed, clearly indicating the sequence of operations. The coordinates must be referred to the system of axes defined previously, with the $x$ axis oriented as in figure 4.

2.b – Consider the possibility of putting water into the can, kept resting on a horizontal plane. Describe only qualitatively whether, and how, you think the coordinates of the center of mass of the can+water system should change as the amount of water in the can increases until it is completely full.

3 – Can with water in equilibrium on an inclined plane (points 80)

If the can with water is placed on an inclined plane, the position of the center of mass of the can + water system, and consequently its equilibrium, will depend not only on the amount of water but also on the inclination of the can itself. When the base of the can is inclined by an angle $\theta$, the geometric shape assumed by the mass of water deviates from that of a right cylinder. The new shape, schematized in figure 4, can be thought of as given by the combination of the right cylinder (of height $z_0$) with two particular solids called cylindrical wedges: one (A) added in the downstream part and the other (M) missing in the upstream part, which in the figure appear in cross-section as triangles opposite at the vertex. The two wedges have the same volume. In order for the water to assume the described shape, for a given inclination of the plane, it is necessary to pour in a sufficient quantity to completely cover the bottom.

Figure 4

Useful formulas: Volume of the cylindrical wedge

$V_u=\frac{2}{3}{R}^3\tan \theta .$

Modulus of the $X_u$ coordinate of the center of mass of the cylindrical wedge

$|X_u|=\frac{3}{16}\pi R$

Figure 4 — $z_0$ is the height of the right cylinder, which is the shape assumed by the water for $\theta =0$. $R$ is the radius of the circular cross-section of the cylinder.

Place the can on the inclined plane, vary the amount of water inside it by measuring it with the syringe. For each amount of water, carefully increase the inclination of the supporting plane until the can+water system is at the limit between equilibrium and tipping over. Be very careful when you look for this critical inclination. Use one hand to move the box of salt and thus vary the inclination of the supporting plane, put the other hand a few millimeters from the can, ready to grab it when it starts to tip over. Check whether in the critical position of near tipping over the bottom of the can is covered with water. After setting the board at the correct inclination, remove the can from the inclined plane and leave it resting on the table to avoid spilling the water inadvertently while you carry out the measurements.

3.a – For each mass $m$ of water in the can, determine the corresponding critical inclination ${\theta }_{\text{max}}$ at the limit between equilibrium and tipping over. Report the measurements in a table.

3.b – Describe how ${\theta }_{\text{max}}$ varies as the mass $m$ of water in the can varies.

3.c – From the measurements carried out, derive the coordinates $X$ and $Z$ of the center of mass of the can + water system corresponding to the maximum inclinations ${\theta }_{\text{max}}$ determined in point 3a. Explain the reasoning to derive the values of the coordinates $X$ and $Z$. Their uncertainties are not required.

3.d – Graphically represent on the $XZ$ plane the positions of the center of mass, reporting their coordinates on a 10:1 scale.

4 – Floating of the can with water (40 points)

Pour water into the can in an amount such that it floats in the water in the bucket with its axis of symmetry vertical in stable equilibrium. Using the syringe, gradually remove water from the can until reaching the condition in which the system assumes an equilibrium that you can judge as “neutral”: the can can be in equilibrium both with its axis vertical and with its axis oblique at any inclination, naturally without taking in water inside.

4.a – What is the mass of water for which this situation of “neutral” equilibrium occurs? How did you measure it?

4.b – How do you explain the fact that precisely with this amount of water the can is in equilibrium both with its axis vertical and inclined? To answer this question it may be helpful to – consider that the can is immersed in the same liquid that it contains inside, – neglect the thickness of the wall and the bottom of the can compared to the other dimensions.

p.3 — Balance with strip, millimeter tape and clothespin

p.4 — Reference system with cylindrical can

p.4 — Can on inclined plane with syringe

p.5 — Geometry of the inclined can, cylindrical nails

Solution: Soluzioni (PDF)