OII 2016 Nazionale

Lo stucco nel secchiello — Punti 100

Un secchiello di massa $m_1=850\text{g}$ è appeso a un filo inestensibile che passa nella gola di una carrucola ed è attaccato, all’altra estremità, a un blocco di massa $M=2,90\text{kg}$ appoggiato su un piano orizzontale.

Siano ${\mu }_s=0,72$ e ${\mu }_d=0,64$ i coefficienti di attrito, rispettivamente statico e dinamico, tra il blocco e il piano d’appoggio. Si trascuri la massa del filo e quella della carrucola. Si supponga che la carrucola possa ruotare sul proprio perno con attrito trascurabile.

1. Si dimostri che in questa situazione il sistema, inizialmente fermo, è in equilibrio, e si calcoli il modulo della forza d’attrito tra il blocco e il piano.

Una palla di stucco, di massa $m_2=570\text{g}$, viene fatta cadere verticalmente nel secchiello e, arrivata sul fondo, vi aderisce senza rimbalzare e senza far oscillare il secchiello. Sia $v=4,2{\text{m s}}^{-1}$ la velocità della palla al momento dell’impatto.

Sia $F(t)$ l’intensità della forza che la palla esercita sul secchiello per un breve intervallo di tempo $\Delta t$. Si indichi con $F_p$ il suo valore massimo (detto di picco) e con $⟨F⟩$ il suo valore medio durante l’urto. Posto $⟨F⟩=\alpha F_p$, il valore di $\alpha$ dipende dai dettagli dell’urto, ovvero dalla forma del picco nel grafico $F(t)$; valori ragionevoli possono variare nell’intervallo tra $0,5$ e $0,8$. Si supponga che nel nostro caso sia $\alpha =0,7$.

2. Tenendo conto di tutte le forze in gioco (anche di quelle non impulsive) si trovi qual è il minimo valore che dovrebbe avere la durata $\Delta t$ dell’urto affinché il secchiello e il blocco non vengano messi in moto dall’urto.

Si supponga, d’ora in poi, di poter trattare l’urto come istantaneo.

3. Si calcoli la velocità $V$ del secchiello immediatamente dopo l’urto.

4. Si calcoli l’accelerazione $a$ del secchiello dopo l’urto.

Si consideri ora una situazione in cui la carrucola è sostituita da una ruota dentata di massa $m_3=750\text{g}$, il filo è sostituito da una catena ideale perfettamente flessibile e di massa trascurabile incastrata nella ruota. Per il calcolo del momento d’inerzia si supponga di poter assimilare la ruota dentata a un disco omogeneo di raggio $R$.

5. Si calcoli, in questa nuova situazione, la velocità $V^{\prime }$ del secchiello subito dopo l’urto.

6. Si determini l’accelerazione $a^{\prime }$ del secchiello dopo l’urto.

p.4 — Secchiello, blocco, filo e carrucola dentata

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, Gear, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Stout in the bucket Points 100

A mass bucket $m_1=850\text{g}$ is suspended from an unextended wire that passes through the throat of a carriage and is attached, at the other end, to a mass block $M=2,90\text{kg}$ resting on a horizontal plane.

The friction coefficients, static and dynamic respectively, between the block and the supporting plane are ${\mu }_s=0,72$ and ${\mu }_d=0,64$. You’re neglecting the mass of the wire and the carriage. Suppose the carriage can rotate on its own axle with negligible friction.

1. It is shown that in this situation the system, initially stationary, is in balance, and the form of friction force between the block and the plane is calculated.

A stucco ball, of $m_2=570\text{g}$ mass, is dropped vertically into the bucket and, when it reaches the bottom, adheres to it without bouncing or swinging the bucket. Whether $v=4,2{\text{m s}}^{-1}$ the speed of the ball at impact.

either $F(t)$ the intensity of force that the ball exerted on the bucket for a short time interval $\Delta t$. Indicate its maximum value (i.e. * peak*) with $F_p$ and its mean value during impact with $⟨F⟩$. Since $⟨F⟩=\alpha F_p$, the value of $\alpha$ depends on the impact details, or the shape of the peak in the $F(t)$ chart; reasonable values may vary between $0,5$ and $0,8$. Suppose in our case it is $\alpha =0,7$.

2. Taking into account all the forces involved (including non-impulsive ones), the minimum value that the impact duration $\Delta t$ should be for the beam and the block not to be set in motion by the impact is to be found.

Assume, from now on, that you can treat the impact as instantaneous.

3. The speed $V$ of the bucket shall be calculated immediately after impact.

4. The $a$ acceleration of the bucket after impact is calculated.

Consider now a situation where the carriage is replaced by a toothed wheel of $m_3=750\text{g}$ mass, the wire is replaced by a perfectly flexible, negligible mass ideal chain embedded in the wheel. For the calculation of the moment of inertia, assume that the toothed wheel can be assimilated to a homogeneous disc of $R$ radius.

5. In this new situation, the speed $V^{\prime }$ of the bucket is calculated immediately after impact.

6. The acceleration $a^{\prime }$ of the bucket after impact is determined.

The following table shows the number of units of the vehicle:

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Impulse-Momentum Theorem Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pulley, Block, Gear, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Da lontano verso il solenoide — Punti 100

Si consideri un solenoide compatto di raggio $R$, di lunghezza finita ma molto maggiore del raggio, con $n$ spire per unità di lunghezza ottenute con un filo molto sottile, tale che il suo spessore possa essere trascurato e che ogni spira possa essere descritta come una circonferenza su un piano perpendicolare all’asse del solenoide. Gli effetti della gravità potranno essere ignorati e la permeabilità magnetica dell’aria sarà identificata con quella del vuoto ${\mu }_0$.

Di solito, in queste condizioni, il campo magnetico generato dalla corrente costante $I$ che scorre nel filo è approssimato con un campo uniforme all’interno del solenoide (${\vec{B}}_{\text{int}}$), parallelo e orientato come l’asse $z$, mentre non si considera il campo esterno ${\vec{B}}_{\text{est}}$.

1. Esprimere, in funzione dei dati, il modulo di ${\vec{B}}_{\text{int}}$ e del flusso ${\Phi }_{\text{int}}$ di ${\vec{B}}_{\text{int}}$ attraverso una sezione ortogonale al solenoide passante per il suo centro, nell’approssimazione che il campo ${\vec{B}}_{\text{int}}$ sia uniforme.

In alcuni fenomeni, come quello che sarà esaminato in questo problema, il campo magnetico esterno non è affatto trascurabile; anzi è proprio il campo esterno che crea gli effetti interessanti. In questo problema non sarà mai necessario calcolarne l’intensità ma solo conoscerne la direzione e il flusso.

Si consideri il piano $\pi$ perpendicolare all’asse del solenoide per il suo punto medio, sul quale i punti saranno individuati da una coppia di coordinate polari $(r,\phi )$ con origine nel centro del solenoide. Nei punti del piano $\pi$, esterni al solenoide, il campo magnetico è parallelo a quello interno ma con verso opposto.

2. Si dimostri che il flusso ${\Phi }_{\text{est}}$ attraverso la sola superficie del piano $\pi$ esterna al solenoide è uguale e contrario al flusso interno ${\Phi }_{\text{int}}$ e se ne scriva l’espressione.

Per esplorare il campo magnetico esterno si può pensare di lanciare un elettrone (di massa $m$ e carica $-e$) da un punto del piano $\pi$, a grande distanza, esattamente verso l’asse del solenoide. La velocità iniziale dell’elettrone sia di modulo $v_0\ll c$ e in direzione ortogonale all’asse del solenoide.

Se la corrente $I$ nel solenoide è nulla o molto piccola l’elettrone urta la superficie del solenoide; se la corrente è maggiore di un valore $I_{\text{min}}$ questo non succede.

3. Scrivere l’espressione della forza che fa deviare l’elettrone; dimostrare poi che la traiettoria dell’elettrone è piana e disegnarla schematicamente nel caso particolare $I=I_{\text{min}}$, indicando con $P$ il punto in cui l’elettrone è alla minima distanza dall’asse del solenoide.

Si consideri il momento $\vec{M}$ della forza individuata al punto precedente, calcolato rispetto all’asse del solenoide.

4. Si dimostri che, in un punto generico della traiettoria dell’elettrone a distanza $r$ dall’asse, il modulo $M$ di tale momento può essere scritto come

$M=-er{B}_{\text{est}}(r)v_r$

dove $v_r$ è la componente radiale della velocità, cioè $v_r=dr/dt$.

In presenza di un momento non nullo della forza, il momento angolare $L$ dell’elettrone, rispetto all’asse del solenoide, non è costante ma varia al variare della distanza $r$ dall’asse del solenoide. Sarà utile, nel seguito, trovare una relazione tra la variazione del momento angolare dell’elettrone e il flusso ${\Phi }_{\text{est}}$ ottenuto come la somma (integrale) dei contributi infinitesimi di flusso $d\Phi$ attraverso corone circolari di superficie infinitesima, di raggio $r$ e spessore $dr$.

5. Scrivere di quanto varia $L$ per una variazione $dr$ della distanza $r$ e dimostrare che $dL$ è proporzionale a $d\Phi$.

6. Utilizzando la relazione di proporzionalità fra $dL$ e $d\Phi$, esprimere il momento angolare dell’elettrone nel punto $P$ di minimo avvicinamento (citato nella domanda 3) in funzione del modulo del flusso ${\Phi }_{\text{est}}$.

7. Trovare infine l’espressione della corrente $I_{\text{min}}$ oltre la quale l’elettrone non urta il solenoide, in funzione della velocità iniziale $v_0$ dell’elettrone e del raggio $R$ del solenoide.

p.5 — Solenoide, piano e anello con velocita elettrone

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Gauss’s Law, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Solenoid, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

From far to the solenoid Points 100

A compact solenoid of $R$ radius, of finite length but much greater than radius, with $n$ spires per unit length obtained with a very thin wire, such that its thickness can be neglected and that each spire can be described as a circumference on a plane perpendicular to the axis of the solenoid. The effects of gravity can be ignored and the magnetic permeability of the air will be identified with that of the vacuum ${\mu }_0$.

Usually, under these conditions, the magnetic field generated by the constant current $I$ flowing through the wire is approximated by a uniform field within the solenoid (${\vec{B}}_{\text{int}}$), parallel and oriented as the $z$ axis, while the external field ${\vec{B}}_{\text{est}}$ is not considered.

1. Express, according to the data, the ${\vec{B}}_{\text{int}}$ and the ${\Phi }_{\text{int}}$ flow of ${\vec{B}}_{\text{int}}$ through an orthogonal section to the solenoid passing through its center, in the approximation that the ${\vec{B}}_{\text{int}}$ field is uniform.

In some phenomena, such as the one that will be examined in this issue, the external magnetic field is not negligible at all; rather, it is the external field that creates the interesting effects. In this problem it will never be necessary to calculate its intensity but only to know its direction and flow.

Consider the plane $\pi$ perpendicular to the axis of the solenoid for its midpoint, where the points will be identified by a pair of polar coordinates $(r,\phi )$ originating in the centre of the solenoid. In the points of the plane $\pi$, outside the solenoid, the magnetic field is parallel to the inner one but with the opposite direction.

2. The flow ${\Phi }_{\text{est}}$ through the sole surface of the plane $\pi$ outside the solenoid is shown to be equal to and contrary to the flow ${\Phi }_{\text{int}}$ inside and the expression is written.

To explore the external magnetic field one can think of launching an electron (mass $m$ and charge $-e$) from a point in the plane $\pi$, at a great distance, exactly towards the axis of the solenoid. The initial electron speed is $v_0\ll c$ and is in the direction orthogonal to the solenoid axis.

If the current $I$ in the solenoid is zero or very small the electron hits the surface of the solenoid; if the current is greater than a value $I_{\text{min}}$ this does not happen.

3. Write down the expression of the force that causes the electron to deviate; then prove that the electron trajectory is flat and draw it schematically in the particular case $I=I_{\text{min}}$, indicating with $P$ the point at which the electron is at the minimum distance from the solenoid axis.

Consider the $\vec{M}$ moment of the force identified in the previous point, calculated relative to the solenoid axis.

4. It is shown that at a generic point in the electron trajectory $r$ from the axis, the $M$ formula at that point can be written as

$M=-er{B}_{\text{est}}(r)v_r$

where $v_r$ is the radial component of the velocity, i.e. $v_r=dr/dt$.

In the presence of a non-zero force moment, the angular moment $L$ of the electron, relative to the solenoid axis, is not constant but varies with the variation of the distance $r$ from the solenoid axis. It will be useful, below, to find a relationship between the electron angular moment change and the flow ${\Phi }_{\text{est}}$ obtained as the (integral) sum of the infinitesimals of flow $d\Phi$ through circular crowns of infinitesimals, radius $r$ and thickness $dr$.

5. Write how much $L$ varies for a $dr$ variation of the $r$ distance and prove that $dL$ is proportional to $d\Phi$.

6. Using the proportionality ratio between $dL$ and $d\Phi$, express the angular moment of the electron in the $P$ point of minimum approach (cited in Question 3) according to the flow formula ${\Phi }_{\text{est}}$.

7. Finally, find the expression of the current $I_{\text{min}}$ beyond which the electron does not strike the solenoid, depending on the initial velocity $v_0$ of the electron and the radius $R$ of the solenoid.

**p.5 ** Solenoid, plane and electron-speed ring

Topic: Magnetism, Electromagnetism Metodi: Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Gauss’s Law, Calculus-Integration Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Solenoid, Electron Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Scalda e raffredda — Punti 100

L’interno di un contenitore con pareti isolanti a sezione quadrata è lungo $2h+d$. Un setto mobile di forma quadrata di lato $\ell$ e spessore $d$ può essere ruotato per dividere a tenuta stagna in due parti uguali il contenitore. Nel contenitore vengono immesse $2n$ moli di elio a temperatura $T_0$ e successivamente il setto viene lentamente abbassato e fissato con il blocco mostrato in figura; in questa è riportata schematicamente anche una resistenza elettrica $r$, la cui reale geometria è tale da poter scaldare uniformemente il gas contenuto nella camera di destra; il volume occupato dalla resistenza può essere ignorato. La capacità termica dell’elemento riscaldante e del setto siano trascurabili.

NOTA — Attenzione a non confondere il simbolo $r$ della resistenza con quello maiuscolo $R$ della costante dei gas perfetti.

Il circuito elettrico viene collegato a un generatore di f.e.m. $\mathcal{E}$ per un breve tempo $\Delta t$. Si faccia l’ipotesi che in questo tempo il setto costituisca un buon isolante termico tra le due camere; in altri termini, il coefficiente $k$ di conduzione termica del setto è piccolo ma non trascurabile su tempi lunghi.

1. Ricavare l’espressione della potenza $W_r$ erogata dal riscaldatore e calcolare la temperatura $T_1$ del gas alla fine del riscaldamento.

2. Ricavare l’espressione del valore massimo della potenza $W_d$ dispersa attraverso il setto durante il riscaldamento.

3. Dal confronto delle due potenze, individuare la condizione che deve soddisfare il coefficiente di conduzione $k$ del materiale con cui è fatto il setto perché l’ipotesi che esso costituisca un buon isolante termico sia valida.

4. In termini delle grandezze date, esprimere la forza che il blocco deve esercitare sul setto al momento in cui si spegne l’elemento riscaldante.

Dato che il setto non è un perfetto isolante, le due parti di gas si porteranno in un tempo lungo all’equilibrio termico (questo è detto processo di termalizzazione).

5. Calcolare la temperatura di equilibrio termico $T_{\text{eq}}$ del sistema.

Si indichi con $dQ$ il calore scambiato in un tempo $dt$ tra le due parti di gas, con $T_f$ la temperatura del gas freddo, con $T_c$ quella del gas caldo.

6. Poiché il processo di termalizzazione è irreversibile, l’entropia del sistema aumenta. Di quanto?

Per rendere reversibile il processo di termalizzazione, con delle opportune modifiche e dopo aver sostituito il setto con uno perfettamente isolante, si mettono in contatto le due camere attraverso una macchina reversibile di Carnot e si ripete l’esperienza facendo eseguire alla macchina cicli infinitesimi tra le temperature istantanee $T_f$ e $T_c$ dei due gas, fino a raggiungere l’equilibrio termico.

7. Spiegare perché la temperatura finale del gas sarà adesso minore di quella trovata sopra, al punto 5.

8. Determinare la temperatura di equilibrio termico $T_{\text{rev}}$, che si raggiunge facendo uso della macchina reversibile.

p.6 — Contenitore quadrato con setto mobile ruotabile

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Container, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Heat and cooling 100 points

The inside of a container with insulating walls in a square section shall be $2h+d$ long. A movable set of a square side shape $\ell$ and thickness $d$ may be rotated to divide the container into two equal parts at a constant rate. The container is inserted $2n$ moles of helium at $T_0$ temperature and the set is then slowly lowered and fixed with the block shown in the figure; in this one an electrical resistance $r$ is also reported schematically, the real geometry of which is such that the gas contained in the right chamber can be heated evenly; the volume occupied by the resistance can be ignored. The heat capacity of the heating element and the sexting is negligible.

NOTE Please note that the resistance symbol $r$ is not to be confused with the uppercase symbol $R$ of the perfect gas constant.

The electrical circuit is connected to an f.e.m. generator. $\mathcal{E}$ for a short time $\Delta t$. Assume that at this time the septum is a good thermal insulator between the two chambers; in other words, the heat conduction coefficient $k$ of the septum is small but not negligible over long periods.

1. The heat output of the heater shall be expressed as $W_r$ and the gas temperature $T_1$ calculated at the end of the heating.

2. Find the expression of the maximum value of the power $W_d$ dispersed through the sept during heating.

3. From the comparison of the two powers, identify the condition that the conduction coefficient $k$ of the material with which the set is made must meet for the hypothesis that it is a good thermal insulator to be valid.

4. In terms of the given quantities, express the force that the block must exert on the set when the heating element is turned off.

Since the septum is not a perfect insulator, the two parts of the gas will be carried at a time along the thermal equilibrium (this is called the thermalisation process).

5. Calculate the heat equilibrium temperature $T_{\text{eq}}$ of the system.

The heat exchanged at a time $dt$ between the two parts of the gas, with $T_f$ the temperature of the cold gas, with $T_c$ that of the hot gas, shall be indicated by $dQ$.

6. Since the heating process is irreversible, the entropy of the system increases. How much?

To make the thermalisation process reversible, with appropriate modifications and after replacing the sept with a perfectly insulating one, the two chambers are put in contact through a reversible Carnot machine and the experience is repeated by running the machine endless cycles between the instantaneous temperatures $T_f$ and $T_c$ of the two gases, until the thermal balance is reached.

7. Explain why the final gas temperature will now be lower than the one above, point 5.

8. Determine the thermal equilibrium temperature $T_{\text{rev}}$, which is achieved by using the reversible machine.

p.6 Square container with rotating mobile sevent

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, Differential Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Gas, Container, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)