OII 2017 Nazionale Teorica

P1 Cilindro che slitta e rotola — Punti 100

Un cilindro cavo di spessore trascurabile, massa $m$ e raggio $R$, trasla mentre ruota su un piano orizzontale. Si vuole studiare il comportamento di questo sistema fisico in condizioni diverse da quella di puro rotolamento. L’asse $x$ di traslazione è orientato verso destra e il verso orario mostrato in figura per la velocità angolare si assume positivo; l’origine O sull’asse di traslazione coincide con il punto P di contatto tra il cilindro e il piano all’istante $t=0$. In questo istante, la velocità di traslazione del centro di massa (CdM) è $v_0>0$ mentre la velocità angolare è ${\omega }_0<0$; in altre parole, inizialmente il cilindro sta strisciando mentre si muove verso destra lungo il piano e contemporaneamente ruota attorno al suo asse in senso antiorario, cioè in verso opposto a quello indicato in figura. Inizialmente si supponga trascurabile ogni forma di attrito, in particolare l’attrito dinamico nel punto P di contatto fra il cilindro e il piano.

1. A che distanza dalla posizione iniziale si troverà il punto A del cilindro, dopo un giro di quest’ultimo?

Si consideri adesso che l’attrito dinamico, di coefficiente $\mu$, nel punto P di contatto tra il cilindro e il piano non sia trascurabile, mentre lo siano sempre altre forme di attrito (volvente, viscoso).

2. Si scriva l’espressione della velocità $V_P$ del punto P (punto della superficie del cilindro che in ciascun istante si trova a contatto con il piano) in termini della velocità $v$ del CdM del cilindro e della velocità angolare $\omega$. Si determini il modulo e il verso della forza d’attrito dinamico, spiegando quale condizione deve essere soddisfatta perché questa si annulli.
3. Si scrivano le funzioni $v(t)$ e $u(t)=R\omega (t)$ come espressioni esplicite del tempo $t$ e si determini l’istante $t_1$ dopo il quale tali espressioni non sono più valide; si calcolino i valori delle due funzioni per $t=t_1$. Se ne traccino i grafici in uno stesso piano velocità-tempo, nell’intervallo di tempo $0<t<t_1$, facendo in modo che siano rispettate le condizioni date sopra per i valori iniziali: $v_0>0$ e ${\omega }_0<0$.
4. Completare i grafici di $v(t)$ e $u(t)$ per $t>t_1$, con le stesse condizioni iniziali scelte sopra, giustificando il disegno fatto.
5. Determinare, in funzione di $v_0$, il valore particolare ${\overline{\omega }}_0$ della velocità angolare iniziale ${\omega }_0$ per il quale ad un certo istante il cilindro si arresta definitivamente. Si determini tale istante $t_0$ e la posizione in cui il cilindro si arresta.
6. Mostrare che una scelta diversa di ${\omega }_0$ avrebbe portato ad un’evoluzione diversa del moto del cilindro. Descrivere cosa cambia nei due casi ${\omega }_0>{\overline{\omega }}_0$ e ${\omega }_0<{\overline{\omega }}_0$.
7. Nel caso ${\omega }_0=2{\overline{\omega }}_0$ calcolare, in termini di $m$ e $v_0$, il lavoro fatto dalla forza d’attrito tra l’istante iniziale e il tempo $t=2t_1$, utilizzando il bilancio energetico.

p.3 — Cilindro su piano orizzontale con assi

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Slip and roll cylinder 100 points

A wire cylinder of negligible thickness, mass $m$ and radius $R$, is moved as it rotates on a horizontal plane. Si It wants to study the behavior of this physical system under conditions other than pure rolling. The $x$ axis of translation is oriented to the right and the clockwise direction shown in the figure for angular velocity is positive; the origin O on the transmission axis coincides with the point P of contact between the cylinder and the plane the instant $t=0$. At this moment, the centre of mass transfer velocity (CdM) is $v_0>0$ while the angular velocity It’s ${\omega }_0<0$; in other words, initially the cylinder is crawling as it moves right along the plane and It rotates simultaneously around its axis in an anti-clockwise direction, i.e. in the opposite direction to that indicated in It’s a figure. Initially, any form of friction, in particular dynamic friction at the P-point of the The contact between the cylinder and the plane.

1. How far from the starting position will the cylinder’s point A be after a spin of the cylinder?

Consider now that the dynamic friction coefficient $\mu$ at the point P of contact between the cylinder and the plane does not It is negligible, while there are always other forms of friction (voltage, viscosity).

2. Write the expression of the speed $V_P$ of the point P (point of cylinder surface which at each instant is in contact with the plane) in terms of the cylinder CdM $v$ speed and angular speed $\omega$. Determine the shape and direction of the dynamic friction force, explaining what condition it must be I’m happy that this one is cancelled.
3. Write the functions $v(t)$ and $u(t)=R\omega (t)$ as explicit expressions of time $t$ and determine the instant $t_1$ after which these expressions are no longer valid; the values of the two functions are calculated for $t=t_1$. Se ne They trace the graphs in the same speed-time plane, in the time interval $0<t<t_1$, so that that the above conditions are met for the initial values: $v_0>0$ and ${\omega }_0<0$.
4. Complete the graphs of $v(t)$ and $u(t)$ for $t>t_1$, with the same initial conditions as those chosen above, justifying the I’ve drawn it.
5. Determine, according to $v_0$, the particular value ${\overline{\omega }}_0$ of the initial angular velocity ${\omega }_0$ for which the At a certain moment the cylinder stops permanently. This moment $t_0$ and the position at which the The cylinder stops.
6. To show that a different choice of ${\omega }_0$ would lead to a different evolution of the cylinder motion. Describe what changes in both ${\omega }_0>{\overline{\omega }}_0$ and ${\omega }_0<{\overline{\omega }}_0$.
7. In the case of ${\omega }_0=2{\overline{\omega }}_0$ calculation, in terms of $m$ and $v_0$, the work done by the friction force between the initial instant and time $t=2t_1$ using the energy balance.

The following is the list of the main components of the engine:

Topic: Newtonian Mechanics, Rotational Dynamics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Torque & Angular Momentum Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Spettro dell’idrogeno naturale — Punti 100

AVVERTENZA: In questo problema si tenga presente che i dati numerici che vengono forniti con almeno 5 cifre significative vanno considerati con un’incertezza relativa di $10^{-5}$. L’osservazione delle righe dello spettro dell’idrogeno che cadono nel visibile e la misura delle relative lunghezze d’onda hanno avuto un posto centrale nello sviluppo dei modelli per la struttura atomica. In questo problema ci occuperemo della riga rossa, la cosiddetta riga $H\alpha$, la cui lunghezza d’onda, misurata in aria, vale ${\lambda }_a=656.28\text{nm}$.

1. Calcolare la lunghezza d’onda ${\lambda }_0$ della stessa riga nel vuoto, usando per l’indice di rifrazione dell’aria il valore $n_a=1.00027$.

Secondo il modello di Bohr, elaborato nel 1913, i livelli energetici permessi per l’atomo di idrogeno sono dati dalla relazione $E_n=-\frac{1}{8n^2}K({ϵ}_0,e,m_e,h)\text{con }n\in {\mathbb{N}}^{+}$ dove $K({ϵ}_0,e,m_e,h)$ è un’espressione, scritta in termini delle grandezze fisiche indicate (${ϵ}_0$ costante dielettrica del vuoto, $e$ carica dell’elettrone, $m_e$ massa dell’elettrone e $h$ costante di Planck), con fattore numerico pari a 1.

2. Utilizzando l’analisi dimensionale, determinare l’espressione di $K$ in funzione delle grandezze fisiche indicate.

Il modello di Bohr prevede per $K$ il valore $1.7439\times 10^{-17}\text{J}$.

3. Sapendo che la riga $H\alpha$ viene emessa nella transizione dal livello $n_i=3$ al livello $n_f=2$, calcolare il valore previsto dal modello di Bohr per la lunghezza d’onda di questa riga nel vuoto (${\lambda }_{\text{th}}$) e la differenza percentuale tra questo valore e quello, ${\lambda }_0$, trovato al punto 1.

L’espressione dei livelli energetici data sopra si ricava studiando il moto dell’elettrone nel riferimento del nucleo; considerato che questo è un riferimento solo approssimativamente inerziale, un accordo migliore con i dati sperimentali si ottiene scegliendo il riferimento del centro di massa del sistema nucleo–elettrone e arrivando alla stessa espressione di $K$ nella quale però la massa dell’elettrone è sostituita dalla cosiddetta “massa ridotta” $\mu =m_e{m}_N/(m_e+m_N)$, dove $m_N$ è la massa del nucleo.

4. Verificare questa affermazione ricalcolando, con questo accorgimento, il valore previsto dalla formula di Bohr per la lunghezza d’onda della riga $H\alpha$ nel vuoto (${\lambda }_H$) e determinando anche in questo caso la differenza percentuale rispetto al valore ${\lambda }_0$.

La correzione apportata al punto precedente suggerisce che, se l’idrogeno non è completamente puro ma contiene una certa parte di deuterio (il cui nucleo, avente massa $m_D=3.3436\times 10^{-27}\text{kg}$, è formato da una coppia protone-neutrone), tutte le righe spettrali dovrebbero sdoppiarsi. In natura vi è effettivamente circa lo 0.015 % di deuterio; la miscela che si forma è detta idrogeno naturale (1). Nella parte che segue usare sempre le lunghezze d’onda riferite al vuoto.

5. Calcolare la separazione $\Delta \lambda$ tra le righe rosse emesse dai due isotopi nell’idrogeno naturale.

Per separare righe spettrali di diversa lunghezza d’onda si può utilizzare un reticolo di diffrazione, un componente ottico composto da un numero molto grande di fenditure parallele ed equidistanti, molto vicine tra loro. La legge che fornisce la posizione angolare del $k$-simo massimo luminoso è $p\sin {\theta }_k=k\lambda$ dove $p$ è il passo del reticolo, cioè la distanza tra due fenditure, ${\theta }_k$ è l’angolo di deviazione del $k$-simo fascio rispetto alla direzione del fascio incidente, $k$ è un numero intero che rappresenta l’ordine del massimo luminoso e $\lambda$ la lunghezza d’onda. Due parametri che caratterizzano un reticolo di diffrazione sono la dispersione $D$ e il potere risolutivo $R$. La dispersione è definita da $D\equiv \Delta \theta /\Delta \lambda$

(1) Esiste in natura un terzo isotopo dell’idrogeno, il trizio, il cui nucleo è composto da un protone e due neutroni; esso è presente in quantità che può essere trascurata.

dove $\Delta \theta$ è l’angolo tra i centri di due massimi di diffrazione (dello stesso ordine) prodotti da due righe aventi differenza di lunghezza d’onda $\Delta \lambda$. Si deve tener presente che ogni singolo massimo, in funzione dell’angolo $\theta$, ha un profilo di intensità simile a quelli mostrati diversamente tratteggiati nella figura seguente, caratterizzato ciascuno da una larghezza angolare $\delta \theta$ data da $\delta \theta =\frac{2\lambda }{Np\cos \theta }$ dove $N$ è il numero di fenditure del reticolo illuminate dal fascio incidente. Il potere risolutivo esprime la capacità del reticolo di separare due righe spettrali di lunghezze d’onda ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ molto vicine tra loro, tenendo conto della larghezza dei massimi corrispondenti, ed è definito come $R\equiv \lambda /\Delta {\lambda }_{\text{min}}$ dove $\lambda \approx {\lambda }_1\approx {\lambda }_2$, e $\Delta {\lambda }_{\text{min}}$ è la minima differenza di lunghezza d’onda necessaria per vedere separate le due righe. Affinché due righe vicine possano essere risolte (ovvero si possa capire che si tratta di due righe e non di una riga unica), occorre che la loro separazione angolare $\Delta \theta$ dei corrispondenti massimi sia abbastanza grande rispetto alla loro larghezza $\delta \theta$. Questa minima separazione angolare è data generalmente dal criterio di Rayleigh, secondo cui due righe si considerano risolte quando il massimo di una coincide con il primo minimo dell’altra, come mostrato in figura (2).

6. Determinare la dispersione $D$ di un reticolo di diffrazione, in termini del passo $p$ e dell’ordine $k$.
7. Applicando il criterio di Rayleigh, determinare il potere risolutivo $R$ di un reticolo di diffrazione di larghezza $L=1\text{cm}$, con una densità numerica di $n=1200$ fenditure ${\text{mm}}^{-1}$, su cui incide perpendicolarmente un fascio di luce che ne illumina un tratto di larghezza $d=1.25\text{mm}$.
8. Mostrare che nelle condizioni date non è possibile separare la riga rossa dell’idrogeno dalla riga rossa del deuterio.
9. Dire cosa è necessario cambiare nelle condizioni date affinché le due righe si possano vedere separate con questo reticolo.

(2) In figura i due massimi sono rappresentati con la stessa altezza, come se le due righe avessero la stessa intensità luminosa. Chiaramente questo non corrisponde al caso in esame dell’idrogeno naturale, ma si potrebbe ottenere arricchendo la miscela con più deuterio; per semplicità si studierà questa situazione.

p.5 — Geometria del reticolo di diffrazione

Topic: Modern-Quantum Physics, Wave Optics, Geometric Optics Metodi: Bohr Model & Quantization, Dimensional Analysis, Interference & Diffraction Analysis, Photon Energy Relation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Atom, Diffraction Grating, Slit Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Spectrum of natural hydrogen — 100 points

NOTE: In this problem, bear in mind that the numerical data provided with at least 5 significant figures must be considered with a relative uncertainty of $10^{-5}$. The observation of the lines of the hydrogen spectrum that fall in the visible range and the measurement of their wavelengths have had a central place in the development of models for atomic structure. In this problem we will deal with the red line, the so-called $H\alpha$ line, whose wavelength, measured in air, is ${\lambda }_a=656.28\text{nm}$.

1. Calculate the wavelength ${\lambda }_0$ of the same line in vacuum, using for the refractive index of air the value $n_a=1.00027$.

According to Bohr’s model, developed in 1913, the allowed energy levels for the hydrogen atom are given by the relation $E_n=-\frac{1}{8n^2}K({ϵ}_0,e,m_e,h)\text{con }n\in {\mathbb{N}}^{+}$ where $K({ϵ}_0,e,m_e,h)$ is an expression, written in terms of the physical quantities indicated (${ϵ}_0$ permittivity of vacuum, $e$ electron charge, $m_e$ electron mass and $h$ Planck constant), with numerical factor equal to 1.

2. Using dimensional analysis, determine the expression of $K$ as a function of the physical quantities indicated.

Bohr’s model predicts for $K$ the value $1.7439\times 10^{-17}\text{J}$.

3. Knowing that the $H\alpha$ line is emitted in the transition from level $n_i=3$ to level $n_f=2$, calculate the value predicted by the Bohr model for the wavelength of this line in vacuum (${\lambda }_{\text{th}}$) and the percentage difference between this value and the one, ${\lambda }_0$, found in point 1.

The expression for the energy levels given above is obtained by studying the motion of the electron in the reference frame of the nucleus; considering that this is only approximately an inertial reference frame, a better agreement with the experimental data is obtained by choosing the reference frame of the center of mass of the nucleus–electron system and arriving at the same expression as $K$ in which, however, the mass of the electron is replaced by the so-called “reduced mass” $\mu =m_e{m}_N/(m_e+m_N)$, where $m_N$ is the mass of the nucleus.

4. Verify this statement by recalculating, with this adjustment, the value predicted by the Bohr formula for the wavelength of the $H\alpha$ line in vacuum (${\lambda }_H$) and also determining in this case the percentage difference with respect to the value ${\lambda }_0$.

The correction made to the previous point suggests that, if the hydrogen is not completely pure but contains a certain portion of deuterium (whose nucleus, having mass $m_D=3.3436\times 10^{-27}\text{kg}$, is formed by a proton-neutron pair), all the spectral lines should split into doublets. In nature there is actually about 0.015% deuterium; the mixture that forms is called natural hydrogen (1). In the following part, always use the wavelengths referred to vacuum.

5. Calculate the separation $\Delta \lambda$ between the red lines emitted by the two isotopes in natural hydrogen.

To separate spectral lines of different wavelengths, one can use a diffraction grating, an optical component composed of a very large number of parallel and equidistant slits, very close to each other. The law that gives the angular position of the $k$-th bright maximum is $p\sin {\theta }_k=k\lambda$ where $p$ is the grating spacing, that is, the distance between two slits, ${\theta }_k$ is the deviation angle of the $k$-th beam with respect to the direction of the incident beam, $k$ is an integer representing the order of the bright maximum, and $\lambda$ the wavelength. Two parameters that characterize a diffraction grating are the dispersion $D$ and the resolving power $R$. The dispersion is defined by $D\equiv \Delta \theta /\Delta \lambda$

(1) There exists in nature a third isotope of hydrogen, tritium, whose nucleus is composed of a proton and two neutrons; it is present in quantities that can be neglected.

where $\Delta \theta$ is the angle between the centers of two diffraction maxima (of the same order) produced by two lines having a wavelength difference $\Delta \lambda$. It must be kept in mind that each individual maximum, as a function of the angle $\theta$, has an intensity profile similar to those shown with different hatching in the following figure, each characterized by an angular width $\delta \theta$ given by $\delta \theta =\frac{2\lambda }{Np\cos \theta }$ where $N$ is the number of slits of the grating illuminated by the incident beam. The resolving power expresses the ability of the grating to separate two spectral lines of wavelengths ${\lambda }_1$ and ${\lambda }_2$ very close to each other, taking into account the width of the corresponding maxima, and is defined as $R\equiv \lambda /\Delta {\lambda }_{\text{min}}$ where $\lambda \approx {\lambda }_1\approx {\lambda }_2$, and $\Delta {\lambda }_{\text{min}}$ is the minimum wavelength difference necessary to see the two lines separated. In order for two nearby lines to be resolved (that is, one can understand that they are two lines and not a single line), their angular separation $\Delta \theta$ of the corresponding maxima must be sufficiently large compared to their width $\delta \theta$. This minimum angular separation is generally given by the Rayleigh criterion, according to which two lines are considered resolved when the maximum of one coincides with the first minimum of the other, as shown in figure (2).

6. Determine the dispersion $D$ of a diffraction grating, in terms of the spacing $p$ and the order $k$.
7. Applying the Rayleigh criterion, determine the resolving power $R$ of a diffraction grating of width $L=1\text{cm}$, with a numerical density of $n=1200$ slits ${\text{mm}}^{-1}$, on which a beam of light is incident perpendicularly, illuminating a section of width $d=1.25\text{mm}$.
8. Show that under the given conditions it is not possible to separate the red line of hydrogen from the red line of deuterium.
9. State what must be changed in the given conditions so that the two lines can be seen separated with this grating.

(2) In the figure the two maxima are represented with the same height, as if the two lines had the same luminous intensity. Clearly this does not correspond to the case under examination of natural hydrogen, but it could be obtained by enriching the mixture with more deuterium; for simplicity this situation will be studied.

p.5 — Geometry of the diffraction grating

Solution: Soluzioni (PDF)

P3 Lente gravitazionale — Punti 100

La cosiddetta lente gravitazionale è un fenomeno astronomico previsto dalla teoria della relatività generale, dovuto alla deflessione della luce proveniente da una sorgente lontana nell’attraversamento di un campo gravitazionale molto intenso. Uno dei casi più spettacolari, scoperto nel 2007, è noto come “Horse Shoe Einstein Ring” ed è mostrato nell’immagine qui a fianco, ripresa dal telescopio spaziale Hubble. Il disco luminoso al centro dell’anello è dovuto alla luce proveniente da una galassia molto luminosa, in questo caso la (LRG 3-757), che chiameremo “A”. La luce che proviene dall’anello è stata emessa invece da un’altra galassia, che chiameremo “B”, anch’essa molto luminosa, ma non visibile direttamente perché coperta dalla prima; essa giunge al telescopio Hubble grazie alla deflessione gravitazionale prodotta dalla galassia A. La forma pressoché circolare dell’anello indica che, in questo caso, l’allineamento prospettico delle due galassie è quasi perfetto. Lo studio di questo sistema è complicato dal fatto che i due oggetti si trovano a distanze tali (3) da non poter trascurare l’espansione e la curvatura dell’universo. In questo problema, tuttavia, tralasceremo questi aspetti e ci limiteremo a considerare ciò che avverrebbe in una regione più piccola e a noi più vicina, dove invece li possiamo trascurare. In tale contesto possiamo descrivere il fenomeno in forma semplificata col seguente diagramma nel quale, per chiarezza, gli angoli sono enormemente amplificati e il percorso curvilineo della luce è approssimato con due tratti rettilinei, come se la deviazione avvenisse in un solo punto. In figura H è la posizione dell’osservatore, $\theta$ l’angolo sotto cui si osserva l’anello di luce e $\delta$ l’angolo di deflessione dovuta al campo gravitazionale di A; questo, espresso in termini della massa $M$ della galassia A e della distanza $R=\overline{AD}$, si scrive $\delta =\frac{4GM}{c^{2}R}(1)$ ($G$ è la costante di gravitazione universale, $c$ la velocità della luce)

1. Esprimere la distanza $R$ in funzione della massa $M$ e delle distanze $d_A$ e $d_B$ delle due galassie, indicate in figura (Ricordare la relazione tra gli angoli $\delta$, $\theta$ e ${\theta }^{\prime }$ e tenere presente che le misure di questi angoli sono sempre dell’ordine dei secondi d’arco).
2. Esprimere l’angolo di deflessione $\delta$ in funzione delle stesse grandezze.
3. Mostrare che la massa $M$ della galassia-lente A può essere ricavata se sono note le distanze $d_A$ e $d_B$ e la misura angolare ($\theta$) del raggio dell’anello di Einstein.

(3) Le distanze sono comprese tra 1 e 4 Gpc (dove l’unità di lunghezza “parsec” (pc) usata in astronomia vale circa $3.1\times 10^{16}\text{m}$)

4. Fissata la distanza $d_A$ e posto $d_B=k{d}_A$, determinare per quale valore di $k$ la misura angolare dell’anello visto da H è massima e trovare la corrispondente espressione di ${\theta }_{\text{max}}$.

Si supponga che la galassia A sia a forma di disco schiacciato e che sia su un piano perpendicolare alla linea di vista. Perché l’anello possa essere osservato occorre che la misura angolare del suo raggio sia abbastanza maggiore dell’apertura angolare sotto cui si osserva il raggio $R_A$ della galassia A, ovvero che sia almeno $\theta >2R_A/d_A$. Questo determina una relazione tra la distanza della galassia e la sua “compattezza”, espressa in termini di densità superficiale $\sigma =M/(\pi R_A^2)$.

5. Tenuto conto che la massima densità osservata per una galassia compatta è dell’ordine di ${\sigma }_0=200\text{kg}{\text{m}}^{-2}$, trovare la minima distanza $d_A$ a cui una galassia compatta può generare un anello di Einstein che sia almeno il doppio delle dimensioni apparenti della galassia. Esprimere il risultato in megaparsec (Mpc)

Volendo esaminare in che senso si può parlare di lente gravitazionale si può confrontare l’andamento della deflessione $\delta$ in funzione di $R$, data dall’equazione (1), con l’analoga relazione per la deviazione prodotta da una sottile lente ottica convergente di focale $f$, in funzione della distanza $R$ tra l’asse ottico e il punto di intersezione del raggio con la lente.

6. Determinare la funzione $\delta (R)$ per una lente ottica quando sorgente e immagine sono a distanze $p$ e $q$ dalla lente e gli angoli sono piccoli (ovvero per $p,q\gg R$).

Posto adesso $q=d_A$ e $p=d_B-d_A$, si consideri il cono formato dai raggi di luce che incidono sulla lente gravitazionale ad una distanza $R$ dall’asse ottico.

7. Si dimostri che, limitatamente all’insieme dei raggi di questo cono, la lente gravitazionale equivale ad una lente ottica con una distanza focale $F$ dipendente dal parametro $R$ (oltre che dalle altre costanti) e si trovi l’espressione di $F(R)$. Si mostri con uno schizzo il differente comportamento di una lente gravitazionale rispetto ad una lente ottica, tracciando – in entrambi i casi – tre raggi relativi a tre coni con $R=r,2r,3r$.
8. Nel caso particolare in cui la galassia B possa essere considerata a distanza infinita, mostrare che per l’osservatore H, la luce di quella galassia appare provenire da una sorgente a forma di anello, posto a distanza $D$ da H: determinare tale distanza in termini di $d_A$.

Alcune Costanti Fisiche

Valori arrotondati, con errore relativo minore di $10^{-5}$, da considerare esatti

COSTANTE	SIMBOLO	VALORE	UNITÀ
Velocità della luce nel vuoto	$c$	$2.9979\times 10^8$	$\text{m}{\text{s}}^{-1}$
Carica elementare	$e$	$1.60218\times 10^{-19}$	C
Massa dell’elettrone	$m_e$	$9.1094\times 10^{-31}$	kg
		$=5.1100\times 10^2$	$\text{keV}{c}^{-2}$
Massa del protone	$m_p$	$1.67262\times 10^{-27}$	kg
		$=9.3827\times 10^2$	$\text{MeV}{c}^{-2}$
Massa del neutrone	$m_n$	$1.67493\times 10^{-27}$	kg
		$=9.3955\times 10^2$	$\text{MeV}{c}^{-2}$
Costante dielettrica del vuoto	${ϵ}_0$	$8.8542\times 10^{-12}$	$\text{F}{\text{m}}^{-1}$
Permeabilità magnetica del vuoto	${\mu }_0$	$1.25664\times 10^{-6}$	$\text{H}{\text{m}}^{-1}$
Costante di Planck	$h$	$6.6261\times 10^{-34}$	J s
Costante universale dei gas	$R$	$8.3145$	$\text{J}{\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Costante di Avogadro	$N$	$6.0221\times 10^{23}$	${\text{mol}}^{-1}$
Costante di Boltzmann	$k$	$1.38065\times 10^{-23}$	$\text{J}{\text{K}}^{-1}$
Costante di Faraday	$F$	$9.6485\times 10^4$	$\text{C}{\text{mol}}^{-1}$
Costante di Stefan–Boltzmann	$\sigma$	$5.6704\times 10^{-8}$	$\text{W}{\text{m}}^{-2}{\text{K}}^{-4}$
Costante gravitazionale	$G$	$6.674\times 10^{-11}$	${\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$
Pressione atmosferica standard	$p_0$	$1.01325\times 10^5$	Pa
Temperatura standard ($0{}^{\circ }\text{C}$)	$T_0$	$273.15$	K
Volume molare di un gas perfetto in condizioni standard ($p_0,T_0$)	$V_m$	$2.2414\times 10^{-2}$	${\text{m}}^3{\text{mol}}^{-1}$
Unità di massa atomica	$u$	$1.66054\times 10^{-27}$	kg

Altri dati che possono essere necessari

Valori arrotondati, con errore relativo minore di $10^{-5}$, da considerare esatti. Per semplicità – salvo che non sia detto esplicitamente – questi dati, quando riferiti ad una specifica temperatura, si potranno utilizzare anche ad altre temperature senza errori importanti.

	SIMBOLO	VALORE	UNITÀ
Accelerazione media di gravità	$g$	$9.8067$	$\text{m}{\text{s}}^{-2}$
Densità dell’acqua (a $4{}^{\circ }\text{C}$)	${\rho }_a$	$1.000\times 10^3$	$\text{kg}{\text{m}}^{-3}$
Calore specifico dell’acqua (a $20{}^{\circ }\text{C}$)	$c_a$	$4.182\times 10^3$	$\text{J}{\text{kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$
Calore di fusione dell’acqua	${\lambda }_f$	$3.335\times 10^5$	$\text{J}{\text{kg}}^{-1}$
Calore di vaporizzazione dell’acqua (a $100{}^{\circ }\text{C}$)	${\lambda }_v$	$2.257\times 10^6$	$\text{J}{\text{kg}}^{-1}$

p.6 — Geometria lente gravitazionale e anello

Topic: Gravitation, Astrophysics, Geometric Optics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Star, Lens Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Gravitational lensing Points 100

The so-called gravitational lens is an astronomical phenomenon predicted by the theory of general relativity. It’s caused by the deflection of light from a distant source in a very intense gravitational field. One of the most spectacular cases, discovered in 2007, is known as the “Horse Shoe Einstein Ring”, and it’s shown in the image right next to it, taken from the space telescope. Hubble, please. The bright disk at the center of the ring is due to to light from a very bright galaxy, In this case the (LRG 3-757), which we will call “A”. La The light coming from the ring was emitted instead of Another galaxy, which we’ll call “B”, is also very much Light but not directly visible because it covers It’s coming to the Hubble Telescope thanks to the Gravitational deflection produced by galaxy A. La The almost circular shape of the ring indicates that in this case the perspective alignment of the two galaxies is Almost perfect. The study of this system is complicated by the fact that the two objects are so far apart that they are not We can overlook the expansion and curvature of the universe. In this matter, however, we shall leave these out of the question. We are not going to be able to do this, but we are going to be able to do this. We can ignore them. In this context, we can describe the phenomenon in a simplified form as follows: A diagram in which, for clarity, the angles are enormously amplified and the curved path of light It is approximated by two straight lines, as if the deviation is in one point. In Figure H, the position of the observer, $\theta$ the angle under which the light ring is observed and $\delta$ the angle of deflection due to the gravitational field of A; this, expressed in terms of the mass $M$ of galaxy A and the distance $R=\overline{AD}$, is written $\delta =\frac{4GM}{c^{2}R}(1)$ ($G$ is the universal gravitational constant, $c$ the speed of light)

1. Express the distance $R$ in terms of the mass $M$ and the distances $d_A$ and $d_B$ of the two galaxies, as shown in Figure (Remember the relationship between the angles $\delta$, $\theta$ and ${\theta }^{\prime }$ and note that the measurements of these angles are The value of the data is always in the order of arc seconds.
2. Express the angle of deflection $\delta$ in terms of the same magnitude.
3. Show that the mass $M$ of lens galaxy A can be obtained if the distances $d_A$ and $d_B$ are known and the angular measurement ($\theta$) of the radius of the Einstein ring.

(3) Distances are between 1 and 4 Gpc (where the unit of length parsec (pc) used in astronomy is approximately $3.1\times 10^{16}\text{m}$)

4. Set the distance $d_A$ and place $d_B=k{d}_A$, determine for which value of $k$ the angular measurement of the ring is where H is the maximum and find the corresponding expression ${\theta }_{\text{max}}$.

Suppose that galaxy A is in the shape of a crushed disk and is perpendicular to the line of I’m not seeing you. For the ring to be observed, the angular measurement of its radius must be considerably greater the angular aperture below which the radius $R_A$ of galaxy A is observed, i.e. at least $\theta >2R_A/d_A$. This determines a relationship between the distance of the galaxy and its “compactness”, expressed in terms of densità superficiale $\sigma =M/(\pi R_A^2)$.

5. Given that the maximum observed density for a compact galaxy is of the order of ${\sigma }_0=200\text{kg}{\text{m}}^{-2}$, trovare la minima distanza $d_A$ a cui una galassia compatta può generare un anello di Einstein che sia At least twice the apparent size of the galaxy. The result shall be expressed in megaparsec (Mpc)

In order to examine the way in which we can talk about gravitational lensing we can compare the trend of the The deflection $\delta$ by $R$, given by equation (1), with the analogous ratio for the deflection produced by a thin convergent focal length optical lens $f$, in terms of the distance $R$ between the optical axis and the intersection point The radius with the lens.

6. Determine the $\delta (R)$ function for an optical lens when source and image are $p$ and $q$ from the The lens and angles are small (i.e. $p,q\gg R$).

Now $q=d_A$ and $p=d_B-d_A$, consider the cone formed by light rays that impact the lens Gravitational at a distance $R$ from the optical axis.

7. It turns out that, limited to the sum of the rays of this cone, the gravitational lensing equals a a lens with a focal length $F$ dependent on the parameter $R$ (as well as other constants) and the expression $F(R)$. A sketch shows the different behavior of a gravitational lens. compared to an optical lens, tracing in both cases three rays relative to three cones with $R=r,2r,3r$.
8. In the particular case where galaxy B can be considered at infinite distance, show that for The H-Observer, the light from that galaxy appears to come from a ring-shaped source, located at distance $D$ from H: determine that distance in terms of $d_A$.

♪ Some physical constants ♪

Rounded values with a relative error of $10^{-5}$ to be considered accurate

♪ And I’m going to tell you ♪ |---|---|---|---| | Velocità della luce nel vuoto | $c$ | $2.9979\times 10^8$ | $\text{m}{\text{s}}^{-1}$ | | Carica elementare | $e$ | $1.60218\times 10^{-19}$ | C | | Massa dell’elettrone | $m_e$ | $9.1094\times 10^{-31}$ | kg | | | | $=5.1100\times 10^2$ | $\text{keV}{c}^{-2}$ | | Massa del protone | $m_p$ | $1.67262\times 10^{-27}$ | kg | | | | $=9.3827\times 10^2$ | $\text{MeV}{c}^{-2}$ | | Massa del neutrone | $m_n$ | $1.67493\times 10^{-27}$ | kg | | | | $=9.3955\times 10^2$ | $\text{MeV}{c}^{-2}$ | | Costante dielettrica del vuoto | ${ϵ}_0$ | $8.8542\times 10^{-12}$ | $\text{F}{\text{m}}^{-1}$ | | Permeabilità magnetica del vuoto | ${\mu }_0$ | $1.25664\times 10^{-6}$ | $\text{H}{\text{m}}^{-1}$ | | Costante di Planck | $h$ | $6.6261\times 10^{-34}$ | J s | | Costante universale dei gas | $R$ | $8.3145$ | $\text{J}{\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ | | Costante di Avogadro | $N$ | $6.0221\times 10^{23}$ | ${\text{mol}}^{-1}$ | | Costante di Boltzmann | $k$ | $1.38065\times 10^{-23}$ | $\text{J}{\text{K}}^{-1}$ | | Costante di Faraday | $F$ | $9.6485\times 10^4$ | $\text{C}{\text{mol}}^{-1}$ | | Costante di Stefan–Boltzmann | $\sigma$ | $5.6704\times 10^{-8}$ | $\text{W}{\text{m}}^{-2}{\text{K}}^{-4}$ | | Costante gravitazionale | $G$ | $6.674\times 10^{-11}$ | ${\text{m}}^3{\text{kg}}^{-1}{\text{s}}^{-2}$ | | Pressione atmosferica standard | $p_0$ | $1.01325\times 10^5$ | Pa | | Temperatura standard ($0{}^{\circ }\text{C}$) | $T_0$ | $273.15$ | K | | Volume molare di un gas perfetto in condizioni standard ($p_0,T_0$) | $V_m$ | $2.2414\times 10^{-2}$ | ${\text{m}}^3{\text{mol}}^{-1}$ | | Unità di massa atomica | $u$ | $1.66054\times 10^{-27}$ | kg |

Other data that may be necessary

Rounded values with a relative error less than $10^{-5}$ to be considered accurate. For simplicity unless explicitly stated these data, when referring to a specific temperature, The use of these devices can be done at other temperatures without significant errors.

♪ And I’m going to be a big fan of the show ♪ |---|---|---|---| | Accelerazione media di gravità | $g$ | $9.8067$ | $\text{m}{\text{s}}^{-2}$ | | Densità dell’acqua (a $4{}^{\circ }\text{C}$) | ${\rho }_a$ | $1.000\times 10^3$ | $\text{kg}{\text{m}}^{-3}$ | | Calore specifico dell’acqua (a $20{}^{\circ }\text{C}$) | $c_a$ | $4.182\times 10^3$ | $\text{J}{\text{kg}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ | | Calore di fusione dell’acqua | ${\lambda }_f$ | $3.335\times 10^5$ | $\text{J}{\text{kg}}^{-1}$ | | Calore di vaporizzazione dell’acqua (a $100{}^{\circ }\text{C}$) | ${\lambda }_v$ | $2.257\times 10^6$ | $\text{J}{\text{kg}}^{-1}$ |

p.6 — Geometria lente gravitazionale e anello

Topic: Gravitation, Astrophysics, Geometric Optics Metodi: Newton’s Law of Gravitation, Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Star, Lens Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)