OII 2019 Nazionale

Pietre miliari 1: … dedicato a Leonardo — Punti 40

Il “meccanismo elicoidale”, costruito sulla base degli studi e dei disegni originali di Leonardo da Vinci (Codice di Madrid I, foglio 17), serve a sollevare un oggetto di massa $M$ impiegando una forza (applicata alla manovella di legno) inferiore al peso dell’oggetto; in questo senso si può parlare di una macchina “utile”.

1. Dopo aver letto tutto il testo del problema e aver individuato una strategia risolutiva, si utilizzi il diagramma dell’apparato (allegato) per determinare tutte le misure dei componenti necessarie a fornire le risposte numeriche richieste nel seguito. Si assuma come unità di misura il raggio $r$ del cilindro su cui è avvolta la fune che sostiene l’oggetto.

2. Supponendo di poter trascurare tutti gli attriti, il lavoro fatto per spostare la manovella di un tratto infinitesimo $d\ell$ determina il sollevamento dell’oggetto di un tratto $dz$. Si supponga che il sollevamento sia sufficientemente lento da poter trascurare le energie cinetiche dei vari componenti. Determinare la minima forza $F$ da applicare alla manovella per sollevare l’oggetto, utilizzando le grandezze necessarie ottenute dall’immagine, e dire perché si tratta di una macchina “utile”.

3. Supponendo adesso che il $75\%$ della potenza impiegata sia dissipata in attriti e deformazioni dei pezzi, dire se la macchina è ancora “utile”.

4. Si consideri ora il caso di un funzionamento non molto lento, con la massa sollevata a velocità costante $v$, cosicché le varie parti della macchina hanno acquistato una certa energia cinetica. Si supponga che tutte le parti in legno della macchina siano fatte con lo stesso legno di densità $\rho$ (materiale omogeneo), che lo spessore della ruota dentata sia pari a $1/12$ del suo diametro (esclusi i denti); per semplicità si trascuri la presenza dei denti della ruota più grande e si consideri cilindrica la forma della vite senza fine e quella della manovella. Si stimi quale pezzo tra la ruota dentata (senza il contributo dei denti), la vite senza fine e la manovella ha acquistato la maggiore energia cinetica, mostrando il calcolo necessario.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gear, String, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The Commission has also adopted a number of proposals for the establishment of a European Parliament and Council meeting on the subject of the European Parliament’s proposal for a Council Directive on the protection of workers’ rights.

The “helical mechanism”, built on the basis of the original studies and drawings of Leonardo da Vinci (Madrid Code I, page 17), is used to lift an object of mass $M$ using a force (applied to the wooden handle) less than the object’s weight; in this sense one can speak of a “useful” machine.

After reading the full text of the problem and identifying a resolution strategy, the apparatus diagram (Annex) is used to determine all the measurements of the components needed to provide the numerical answers required below. The radius $r$ of the cylinder on which the rope supporting the object is wrapped shall be taken as a unit of measurement.

Assuming that all friction can be overlooked, the work done to move the handle of an infinitesimal stroke $d\ell$ determines the lifting of the object of a stroke $dz$. Suppose the lift is slow enough to overlook the kinetic energies of the various components. Determine the minimum force $F$ to be applied to the handle to lift the object, using the necessary dimensions obtained from the image, and tell why it is a “useful” machine.

Assuming that the $75\%$ of the power used is dissipated in friction and deformation of the parts, say whether the machine is still “useful”.

4. Consider now the case of not very slow operation, with the mass lifted at constant speed $v$, so that the various parts of the machine have acquired some kinetic energy. Assume that all the wooden parts of the machine are made of the same wood of $\rho$ density (homogeneous material), that the thickness of the toothed wheel is equal to $1/12$ of its diameter (excluding the teeth); for simplicity’s sake, the presence of the teeth of the larger wheel is neglected and the shape of the endless screw and the handle is considered cylindrical. It is estimated which piece between the toothed wheel (without the contribution of the teeth), the endless screw and the handle has acquired the most kinetic energy, showing the necessary calculation.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Vector Decomposition, Energy Conservation Method Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gear, String, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Pietre miliari 2: Il chilogrammo di Planck — Punti 60

Dal 20 maggio 2019, il chilogrammo è definito in termini di tre costanti fondamentali: la velocità della luce $c$, la frequenza $\Delta \nu$ della transizione iperfine del cesio-133 e la costante di Planck $h$.

1. Si mostri che l’unità “chilogrammo” si può esprimere come $1\mathrm{kg}=\eta f(h,c,\Delta \nu )$ e si determini il valore del numero puro $\eta$.

2. Si mostri che l’azione ha le stesse dimensioni di:

• una lunghezza per una quantità di moto,
• un momento angolare,
• il prodotto di una carica elettrica per un flusso magnetico.

3. Si consideri una pallina di massa $m$ che, in assenza di gravità e di attrito, si muove a velocità costante perpendicolarmente a due pareti parallele distanti $2\ell$, rimbalzando elasticamente. Il moto è periodico di periodo $T$ e può essere rappresentato come un ciclo nel piano $(x,p)$ (spazio delle fasi), dove l’area del ciclo misura l’azione $A$ della pallina in un periodo del moto. Posto un asse $x$ ortogonale alle due pareti con origine nel punto medio, in modo che le due pareti abbiano coordinata $x=\pm \ell$, si rappresenti graficamente il ciclo chiuso nello spazio delle fasi e si determini l’azione $A$.

4. Max Planck scoprì che l’azione associata a un periodo del moto può assumere solo valori multipli di $h$: $A=nh$, con $n$ intero positivo. Per $m=50\mathrm{g}$, $\ell =1\mathrm{m}$ e $T=4\mathrm{s}$, trovare l’ordine di grandezza dell’intero $n$ e spiegare perché non è possibile rilevare gli effetti della quantizzazione dell’azione per questo sistema.

5. Si ripeta il calcolo per un protone che si muove con velocità $v\approx 270{\mathrm{m}\mathrm{s}}^{-1}$ e che è confinato a muoversi tra due pareti distanti $2\ell$ con $\ell =1.1\mathrm{nm}$. Si spieghi perché in questo caso gli effetti quantistici sono rilevabili.

6. Si dimostri che la quantizzazione dell’azione implica la quantizzazione dell’energia, ossia il fatto che, fissato $\ell$, l’energia del protone può assumere solo valori discreti $E_n$ con $n$ intero positivo. Si determinino tali valori in funzione di $n$, per un protone confinato a muoversi fra due pareti alla distanza $\ell =1.1\mathrm{nm}$.

7. Un protone nel livello di energia $n=2$ decade al livello $n=1$; il fotone emesso può essere rivelato nella regione dello spettro visibile?

8. Si consideri il fenomeno delle onde stazionarie tra estremi fissi nello spazio tra le due pareti distanti $2\ell$. Si ricavi la relazione che intercorre tra i possibili valori $\lambda$ della lunghezza d’onda di un’onda stazionaria tra le due pareti e i possibili valori $p$ della quantità di moto del protone tra le stesse pareti.

Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Bohr Model & Quantization, Dimensional Analysis, Photon Energy Relation, de Broglie Relation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Ball, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The Commission has already adopted a proposal for a regulation on the approximation of the laws of the Member States relating to the protection of the environment.

From 20 May 2019, the kilogram is defined in terms of three fundamental constants: the speed of light $c$, the frequency $\Delta \nu$ of the hyperfine transition of cesium-133 and the Planck constant $h$.

**1. ** It is shown that the unit “kilogram” can be expressed as $1\mathrm{kg}=\eta f(h,c,\Delta \nu )$ and the value of the pure number $\eta$ is determined.

**2. ** The action is shown to be the same size as:

• a length for a motorcycle quantity,
• a corner moment,
• the product of an electrical charge by a magnetic flux.

3. A ball of mass $m$ is considered to be moving at a constant speed perpendicular to two parallel walls distant $2\ell$, bouncing elastically, in the absence of gravity and friction. The cycle is periodic $T$ and can be represented as a cycle in the $(x,p)$ plane (phase space), where the cycle area measures the action of the ball $A$ in a cycle period. Place an $x$ orthogonal axis on the two walls originating in the middle, so that the two walls have a $x=\pm \ell$ coordinate, graphically represent the closed cycle in the phase space and determine the $A$ action.

Max Planck found that the action associated with a cycle period can take only multiple values of $h$: $A=nh$, with $n$ positive integer. For $m=50\mathrm{g}$, $\ell =1\mathrm{m}$ and $T=4\mathrm{s}$, find the order of magnitude of the entire $n$ and explain why the effects of quantization of action for this system cannot be detected.

5. Repeat the calculation for a proton moving at $v\approx 270{\mathrm{m}\mathrm{s}}^{-1}$ speed and confined to moving between two distant walls $2\ell$ with $\ell =1.1\mathrm{nm}$. It explains why quantum effects are detectable in this case.

6. It is shown that quantization of action implies quantization of energy, i.e. the fact that, fixed at $\ell$, the energy of the proton can only assume discrete values $E_n$ with $n$ positive integer. These values shall be determined in terms of $n$ for a proton confined to moving between two walls at a distance $\ell =1.1\mathrm{nm}$.

7. A proton in the energy level $n=2$ decays to the level $n=1$; can the photon emitted be detected in the region of the visible spectrum?

8. Consider the phenomenon of stationary waves between fixed ends in the space between two distant walls $2\ell$. The relationship between the possible values $\lambda$ of a stationary wavelength between the two walls and the possible values $p$ of the amount of proton motion between the same walls is obtained.

Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Bohr Model & Quantization, Dimensional Analysis, Photon Energy Relation, de Broglie Relation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Ball, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Là, dove finisce il solenoide — Punti 100

Una spira circolare percorsa da una corrente $i$ genera un campo magnetico. Il piano che contiene la spira è un piano di simmetria per il sistema: operando una riflessione rispetto a questo piano, la spira, il verso della corrente e quindi anche il campo magnetico restano invariati. Ne segue che tutte le linee di campo magnetico sono curve geometriche simmetriche rispetto a questo piano; analogamente, le intensità del campo magnetico in due punti $Q$ e $Q^{\prime }$, simmetrici rispetto al piano della spira, sono le stesse.

1. Si consideri una linea di campo diversa da quella coincidente con l’asse della spira, e su di essa due punti $Q$ e $Q^{\prime }$, simmetrici rispetto al piano della spira. Siano $\vec{B}$ e ${\vec{B}}^{\prime }$ i vettori campo magnetico rispettivamente in $Q$ e $Q^{\prime }$. Si deduca (senza fare calcoli) la relazione tra le loro componenti perpendicolari all’asse della spira e quella tra le loro componenti parallele allo stesso asse. Si ripetano le considerazioni anche per due punti $P$ e $P^{\prime }$ sull’asse della spira.

Si consideri adesso un lungo solenoide di raggio $R$ e lunghezza $L$, con $L\gg R$, percorso da una corrente elettrica; l’avvolgimento è molto compatto cosicché ogni spira può essere considerata di spessore trascurabile e perpendicolare all’asse. Il punto $P$ si trova sull’asse del solenoide, nel piano $\pi$ che contiene la spira posta a un’estremità del solenoide. Nel punto $C$, intersezione tra l’asse del solenoide e il suo piano mediano, il campo magnetico ha modulo $B_0$.

2. Usando solamente considerazioni sulla simmetria del sistema, dimostrare che il campo magnetico generato dal solenoide in un punto qualsiasi del suo asse è parallelo all’asse stesso.

3. Detto $\vec{B}$ il campo magnetico in $P$, determinare il campo magnetico ${\vec{B}}^{\prime }$ nel punto $P^{\prime }$ simmetrico di $P$ rispetto al piano mediano del solenoide.

4. Determinare il campo magnetico $\vec{B}$ nel punto $P$ (estremità dell’asse) in termini di $B_0$.

5. Dimostrare che il flusso del campo magnetico attraverso la sezione $\sigma$ del solenoide contenuta nel piano $\pi$ vale $\Phi =\frac{1}{2}\pi R^2{B}_0.$

6. Quanto vale il flusso del campo magnetico attraverso la porzione di superficie laterale del solenoide compresa tra il piano $\pi$ e il piano mediano del solenoide?

7. Si prendano in considerazione due linee di campo che passano per gli estremi di un diametro dell’ultima spira (quella giacente sul piano $\pi$). Qual è la distanza tra i due punti $S_1$ ed $S_2$ in cui queste linee di campo intersecano il piano mediano del solenoide?

8. Nel foglio risposte, si tracci uno schizzo qualitativo delle linee di campo magnetico, indicando anche la distanza tra i punti $S_1$ ed $S_2$.

Suggerimento: può essere utile ricordare che la componente del campo magnetico parallela all’asse del solenoide subisce una discontinuità pari a $B_0$ (esclusi i punti del bordo) passando dall’interno all’esterno del solenoide.

Topic: Magnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Symmetry Argument, Gauss’s Law, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

There, where the solenoid ends Points 100

A circular spiral travelling by a current $i$ generates a magnetic field. The plane containing the spiral is a symmetry plane for the system: by operating a reflection relative to this plane, the spiral, the direction of the current and therefore also the magnetic field remain unchanged. It follows that all magnetic field lines are geometric curves symmetrical to this plane; similarly, the magnetic field intensities at two points $Q$ and $Q^{\prime }$, symmetrical to the plane of the sphere, are the same.

1. A field line other than that which matches the axis of the spire shall be considered, and on it two points $Q$ and $Q^{\prime }$, symmetrical to the plane of the spire. The magnetic field vectors in $\vec{B}$ and ${\vec{B}}^{\prime }$ are $Q$ and $Q^{\prime }$ respectively. The ratio of the components perpendicular to the axis of the spire to the parallel components of the same axis is deduced (without calculation). The considerations shall also be repeated for two points $P$ and $P^{\prime }$ on the axis of the spire.

Consider a long solenoid of $R$ radius and length $L$, with $L\gg R$, traveled by an electric current; the envelope is very compact so that each spire can be considered negligible thickness and perpendicular to the axis. The point $P$ is located on the axis of the solenoid in the plane $\pi$ containing the spiral at one end of the solenoid. At the $C$ point, the intersection between the solenoid axis and its median plane, the magnetic field is $B_0$.

2. Using only considerations of system symmetry, prove that the magnetic field generated by the solenoid at any point of its axis is parallel to the axis itself.

3. The magnetic field in $P$ is said to be $\vec{B}$, determine the magnetic field ${\vec{B}}^{\prime }$ at the symmetric point $P^{\prime }$ of $P$ with respect to the median plane of the solenoid.

4. Determine the magnetic field $\vec{B}$ at the $P$ point (end of the axis) in terms of $B_0$.

5. Demonstrate that the flow of the magnetic field through the $\sigma$ section of the solenoid contained in the plane $\pi$ is $\Phi =\frac{1}{2}\pi R^2{B}_0.$

6. What is the magnetic field flow through the portion of the solenoid side surface between the $\pi$ plane and the median plane of the solenoid?

7. Two lines of field passing through the ends of a diameter of the last spire (the one lying on the plane $\pi$) are taken into account. What is the distance between the two points $S_1$ and $S_2$ where these field lines intersect the median plane of the solenoid?

8. In the response sheet, a qualitative outline of the magnetic field lines is drawn, including the distance between the $S_1$ and $S_2$ points.

Suggest: it may be useful to remember that the component of the magnetic field parallel to the axis of the solenoid undergoes a discontinuity equal to $B_0$ (excluding edge points) passing from the inside to the outside of the solenoid.

Topic: Magnetism, Electromagnetic Induction Metodi: Symmetry Argument, Gauss’s Law, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Luce dal ghiaccio: un alone per il Sole — Punti 100

L’alone solare è un sottile anello luminoso che circonda il Sole, visibile a cielo sereno in particolari condizioni meteorologiche: nella zona interna prossima all’anello il cielo appare più scuro, mentre nella zona esterna si osserva una debole luminosità che diminuisce gradualmente fino a raccordarsi con l’usuale colore blu del cielo sereno. Il fenomeno è dovuto alla presenza nel cielo di una nube di minuscoli cristalli di ghiaccio aventi la forma di prismi esagonali.

Per semplicità si considerano solo i cristalli il cui asse sia perpendicolare al piano definito da un raggio incidente e da quello deviato che arriva all’osservatore. L’angolo di deviazione $\delta$ è definito insieme all’angolo d’incidenza $i$, all’angolo di rifrazione interna $r$, all’angolo d’incidenza interna $i^{\prime }$ e all’angolo di rifrazione esterna $r^{\prime }$. Per incidenza normale sulla faccia laterale “e” tutti i raggi emergono dalla faccia opposta “p” senza essere deviati. Per $0^{\circ }<i<90^{\circ }$ i raggi potrebbero emergere dalla faccia parallela “p”, da una delle facce adiacenti “c”, oppure dalle facce “s” adiacenti a quella di entrata “e”.

1. Determinare il minimo valore $n_{\min }$ dell’indice di rifrazione per il quale qualunque raggio incidente sulla faccia “e” e rifratto verso la faccia “s” non esce da “s”.

2. Considerando un fascio uniforme di luce che incide sulla faccia “e” con angolo di incidenza $i$, calcolare la frazione $\eta$ di questa che viene rifratta direttamente verso la faccia “p” (senza subire riflessioni interne su altre facce), in funzione di $i$ e di $n$.

Da qui in poi si considerano solo i raggi rifratti verso la faccia “c”.

3. Sapendo che l’indice di rifrazione $n$ del ghiaccio per la luce visibile vale in media $1.310$, calcolare il minimo valore dell’angolo di incidenza $i$ per il quale qualche raggio rifratto verso la faccia “c” può emergere da essa. Calcolare inoltre il corrispondente angolo di deviazione $\delta$. (Accuratezza richiesta: $0.01^{\circ }$.)

4. Sfruttando il principio di reversibilità del cammino ottico — “se per andare da un punto A a un punto B la luce segue un certo percorso, allora partendo da B può giungere ad A percorrendo in senso inverso lo stesso percorso” — determinare gli angoli ($i$, $r^{\prime }$ e $\delta$) corrispondenti al massimo valore dell’angolo di incidenza per il quale qualche raggio può emergere dalla faccia “c”.

5. Determinare l’angolo di incidenza $i_0$ per cui $\delta$ assume il suo valore estremo ${\delta }_0$ (raggio angolare dell’alone), e dire se si tratta di un minimo o di un massimo.

6. La funzione $\delta (i)$ è data da $\delta (i)=i+\arcsin \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}-\frac{1}{2}\sin i\right]-60^{\circ }.$ In un intorno di ${\delta }_0$ si approssima con il polinomio di secondo grado $y(x)=a{x}^2+bx+c,b=-0.6889,c=35.93^{\circ },$ dove $y$ è l’angolo di deviazione e $x$ l’angolo di incidenza. Determinare il coefficiente $a$ e verificare, per almeno due valori diversi di $i$, che l’errore relativo dell’approssimazione è minore dell’$1\%$ nell’intervallo $30^{\circ }\le i\le 55^{\circ }$.

7. Supponendo che i cristalli siano in numero molto grande $N$ e orientati casualmente (distribuzione statistica di $i$ uniforme), e usando l’approssimazione polinomiale, determinare il rapporto tra l’ampiezza dell’intervallo di angoli di incidenza per i quali la deviazione differisce da ${\delta }_0$ per meno di $0.01^{\circ }$ e l’ampiezza dell’intervallo per i quali la deviazione differisce da ${\delta }_0$ tra $1.0^{\circ }$ e $1.01^{\circ }$.

8. Spiegare in che modo il raggio dell’alone è collegato al valore minimo della deviazione angolare ${\delta }_0$.

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Snell’s Law, Approximation & Series Expansion, Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Luce dal ghiaccio: un alone per il Sole — Punti 100

The solar halo is a thin ring of light that surrounds the Sun, visible in a clear sky under particular weather conditions: in the inner area near the ring, the sky appears darker, while in the outer area, a faint brightness is observed that gradually decreases until it connects with the usual blue color of the clear sky. This is due to the presence in the sky of a cloud of tiny ice crystals shaped like hexagonal prisms.

For simplicity’s sake, only crystals whose axis is perpendicular to the plane defined by an incident and the deviated radius reaching the observer are considered. The deviation angle $\delta$ is defined together with the angle of incidence $i$, the angle of internal refraction $r$, the angle of internal refraction $i^{\prime }$ and the angle of external refraction $r^{\prime }$. By normal incidence on the lateral face “e”, all rays emerge from the opposite face “p” without being deflected. For $0^{\circ }<i<90^{\circ }$ the rays may emerge from the parallel face “p”, from one of the adjacent faces “c”, or from the faces “s” adjacent to the entrance face “e”.

1. Determine the minimum value $n_{\min }$ of the refractive index for which any incident ray on the face ‘e’ and refracted to the face ‘s’ does not exit from ‘s’.

2. Considering a uniform beam of light that hits the face ‘e’ with an angle of incidence $i$, calculate the fraction $\eta$ of this that is reflected directly towards the face ‘p’ (without internal reflections on other faces), according to $i$ and $n$.

Da qui in poi si considerano solo i raggi rifratti verso la faccia “c”.

3. Knowing that the refractive index $n$ of the ice for visible light is on average $1.310$, calculate the minimum value of the angle of incidence $i$ for which some rays of refractive light towards the face “c” can emerge from it. Also calculate the corresponding angle of deviation $\delta$. (Accuratezza richiesta: $0.01^{\circ }$.)

4. Sfruttando il principio di reversibilità del cammino ottico — “se per andare da un punto A a un punto B la luce segue un certo percorso, allora partendo da B può giungere ad A percorrendo in senso inverso lo stesso percorso” — determinare gli angoli ($i$, $r^{\prime }$ e $\delta$) corrispondenti al massimo valore dell’angolo di incidenza per il quale qualche raggio può emergere dalla faccia “c”.

5. Determine the angle of incidence $i_0$ for which $\delta$ takes its extreme value ${\delta }_0$ (angle radius of the halo), and tell whether it is a minimum or a maximum.

6. The $\delta (i)$ function is given by $\delta (i)=i+\arcsin \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}-\frac{1}{2}\sin i\right]-60^{\circ }.$ In a circle of ${\delta }_0$ approximates to the second degree polynomial $y(x)=a{x}^2+bx+c,b=-0.6889,c=35.93^{\circ },$ where $y$ is the angle of deflection and $x$ the angle of incidence. Determine the coefficient $a$ and verify, for at least two values different from $i$, that the relative approximation error is less than $1\%$ in the $30^{\circ }\le i\le 55^{\circ }$ range.

7. Assuming that the crystals are very large in number $N$ and randomly oriented (uniform statistical distribution of $i$), and using the polynomial approximation, determine the ratio between the width of the incidence angle range for which the deviation differs from ${\delta }_0$ by less than $0.01^{\circ }$ and the width of the range for which the deviation differs from ${\delta }_0$ between $1.0^{\circ }$ and $1.01^{\circ }$.

8. Explain how the halo radius is connected to the minimum angular deviation value ${\delta }_0$.

Topic: Geometric Optics, Wave Optics Metodi: Snell’s Law, Approximation & Series Expansion, Ray Tracing, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)