OII 2019 Nazionale Teorica

P1 — Pietre miliari 1: …dedicato a Leonardo (Punti 40)

Il “meccanismo elicoidale”, di cui la foto a sinistra mostra un modellino costruito sulla base degli studi e dei disegni originali di Leonardo da Vinci (Codice di Madrid I, foglio 17, verso — mostrato qui sotto), serve a sollevare un oggetto di massa $M$ impiegando una forza (applicata alla manovella di legno in alto a destra) inferiore al peso dell’oggetto; in questo senso si può parlare di una macchina “utile”.

Un disegno schematico e ingrandito della stessa macchina è riportato a pagina 9 (foglio separato) per le misure richieste nel seguito.

[Foto: modellino in legno del meccanismo, con telaio verticale, una grande ruota dentata accoppiata a una vite senza fine orizzontale azionata da una manovella; dalla ruota pende, tramite una fune avvolta su un cilindro coassiale, un peso. A lato lo schizzo originale di Leonardo dal Codice di Madrid I.]

1. Dopo aver letto tutto il testo del problema, e aver individuato una strategia risolutiva, si utilizzi il diagramma dell’apparato riportato a pagina seguente per determinare tutte le misure dei componenti necessarie a fornire le risposte numeriche richieste nel seguito. Si assuma come unità di misura il raggio $r$ del cilindro su cui è avvolta la fune che sostiene l’oggetto.

Supponendo per il momento di poter trascurare tutti gli attriti, il lavoro fatto per spostare la manovella di un tratto infinitesimo $d\ell$ determina il sollevamento dell’oggetto di un tratto $dz$. Si supponga che il sollevamento sia sufficientemente lento da poter trascurare le energie cinetiche dei vari componenti.

2. Determinare la minima forza da applicare alla manovella per sollevare l’oggetto, utilizzando le grandezze necessarie ottenute dall’immagine, e dire perché si tratta di una macchina “utile”.

3. Supponendo adesso che il 75 % della potenza impiegata sia dissipata in attriti e deformazioni dei pezzi, dire se la macchina è ancora “utile”.

Si consideri ora il caso di un funzionamento che non avviene in modo molto lento, mentre la massa appesa viene sollevata a velocità costante $v$, cosicché le varie parti della macchina hanno acquistato una certa energia cinetica.

Si supponga che tutte le parti in legno della macchina siano fatte con lo stesso legno di densità $\rho$, pensato per semplicità come un materiale omogeneo, che lo spessore della ruota dentata sia pari ad $1/12$ del suo diametro, escludendo i denti. Per semplicità si trascuri la presenza dei denti della ruota più grande e si consideri cilindrica la forma della vite senza fine e quella della manovella.

4. Si stimi quale pezzo tra la ruota dentata (senza il contributo dei denti), la vite senza fine e la manovella, ha acquistato la maggiore energia cinetica, mostrando il calcolo necessario.

[Allegato a pag. 9: disegno schematico in scala del meccanismo elicoidale, da cui ricavare le misure dei componenti in unità di $r$.]

p.4 — Modellino del meccanismo elicoidale di Leonardo

p.4 — Disegno originale di Leonardo, Codice di Madrid

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gear, String, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The Commission has decided to extend the period of validity of the agreement to the European Parliament and to the Council.

The “helical mechanism”, of which the photo on the left shows a model built on the basis of Leonardo da Vinci’s original studies and drawings (Madrid Code I, sheet 17, versus shown below), serves to lift an object of mass $M$ by employing a force (applied to the wooden handle at the top right) less than the object’s weight; in this sense one can speak of a “useful” machine.

A detailed and enlarged diagram of the same machine is given on page 9 (separate sheet) for the measures required below.

*[Photo: wood model of the mechanism, with vertical frame, a large toothed wheel coupled to a horizontal endless screw driven by a handle; the wheel hangs, via a rope wrapped on a coaxial cylinder, a weight. Next to it is Leonardo’s original sketch from the Madrid Code I.

1. After reading the entire text of the problem, and having identified a solving strategy, the device diagram shown on the following page is used to determine all the measurements of the components needed to provide the numerical answers required below. The radius $r$ of the cylinder on which the rope supporting the object is wrapped shall be taken as a unit of measurement.

Assuming that all friction can be ignored, the work done to move the handle of an infinitesimal $d\ell$ stroke determines the lifting of the object of a $dz$ stroke. Suppose the lift is slow enough to overlook the kinetic energies of the various components.

2. Determine the minimum force to be applied to the handle to lift the object, using the necessary dimensions obtained from the image, and tell why it is a “useful” machine.

3. Assuming that 75 percent of the power used is dissipated in friction and deformation of the parts, say the machine is still “useful”.

Consider now the case of a operation which does not take place very slowly, while the suspended mass is lifted at a constant speed $v$, so that the various parts of the machine have acquired a certain kinetic energy.

Assume that all the wood parts of the machine are made of the same $\rho$ density wood, thought for simplicity as a homogeneous material, that the thickness of the toothed wheel is $1/12$ of its diameter, excluding the teeth. For simplicity’s sake, the teeth of the larger wheel are neglected and the shape of the endless screw and the handle are considered cylindrical.

4. It is estimated that which piece between the toothed wheel (without the teeth’s contribution), the endless screw and the handle, acquired the most kinetic energy, showing the necessary calculation.

The following information is provided by the Commission: 9: Scale diagram of the helical mechanism, from which the measurements of the components in units of $r$ are derived.]*

The following table shows the methodology used for the calculation of the value of the samples.

The following is the list of the countries of the European Union.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gear, String, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 — Pietre miliari 2: Il chilogrammo di Planck (Punti 60)

Ancora per un mese circa, l’unità di massa del S.I. — il chilogrammo — è definita attraverso un “prototipo internazionale”, cioè un oggetto realizzato nel 1875 con una lega di platino-iridio e conservato in alto vuoto, sotto una triplice campana di vetro, presso l’Ufficio internazionale dei pesi e delle misure (BIPM) a Sèvres, in Francia.

Dal prossimo 20 maggio, abbandonato questo campione fisico, il chilogrammo sarà definito in termini di tre costanti fondamentali: la velocità della luce $c$, la frequenza $\Delta \nu$ (il cui valore è dato nell’introduzione a pagina 3: $\Delta \nu =9192631770\text{Hz}$) e la costante di Planck $h$. La costante di Planck è tra quelle costanti naturali il cui valore è stato “definito” nella risoluzione approvata il 16 novembre 2018 dalla 26a Conferenza Generale di Pesi e Misure di Parigi; esse sono adesso fissate con tutte le loro cifre significative.

1. Si mostri che l’unità “chilogrammo” si può esprimere come $1\text{kg}=\eta f(h,c,\Delta \nu )$ e si determini il valore del numero puro $\eta$.

La costante di Planck è, in qualche modo, l’unità di misura naturale di una grandezza fisica chiamata “azione”, così come la carica elementare $e$ è l’unità naturale della carica elettrica. Come si capisce dal valore dato in tabella, l’azione ha le dimensioni di un’energia per un tempo.

2. Si mostri che l’azione ha le stesse dimensioni di una lunghezza per una quantità di moto, come pure di un momento angolare, e del prodotto di una carica elettrica per un flusso magnetico.

L’azione è una grandezza scalare associata ad ogni possibile legge oraria di un corpo (particella). Si consideri una pallina di massa $m$ che, in assenza di gravità e di attrito, si muove a velocità costante perpendicolarmente a due pareti parallele distanti $2\ell$, rimbalzando elasticamente sull’una e sull’altra. Il moto è periodico di periodo $T$ e può essere rappresentato come un ciclo nel piano $(x,p)$, posizione $x$ – quantità di moto $p$, detto spazio delle fasi. Nel caso particolare di un moto periodico, l’area del ciclo misura l’azione (∗) $A$ della pallina in un periodo del moto.

3. Posto un asse $x$ ortogonale alle due pareti, con l’origine nel punto medio, in modo che le due pareti abbiano coordinata $x=\pm \ell$, si rappresenti graficamente il ciclo chiuso nello spazio delle fasi e si determini l’azione $A$.

In meccanica classica l’azione può assumere qualunque valore reale e può variare con continuità. Max Planck scoprì che il comportamento dei sistemi fisici che effettuano moti periodici è descritto correttamente soltanto ipotizzando che l’azione associata a un periodo del moto possa assumere solo valori multipli di $h$: $A=nh$, dove $n$ è un numero intero positivo. Questa discretizzazione dei valori di $A$ si esprime dicendo che l’azione è una grandezza quantizzata. Quando è possibile rilevare la quantizzazione dell’azione si dice che il sistema manifesta “effetti quantistici”.

4. Per $m=50\text{g}$, $\ell =1\text{m}$ e $T=4\text{s}$, trovare l’ordine di grandezza dell’intero $n$ e spiegare perché non è possibile rilevare gli effetti della quantizzazione dell’azione per questo sistema.

5. Si ripeta il calcolo per un protone che si muove con velocità $v\approx 270{\text{m s}}^{-1}$ e che è confinato a muoversi tra due pareti distanti $2\ell$ con $\ell =1.1\text{nm}$. Si spieghi perché in questo caso gli effetti quantistici sono rilevabili.

6. Si dimostri che la quantizzazione dell’azione implica la quantizzazione dell’energia, ossia il fatto che, fissato $\ell$, l’energia del protone può assumere solo valori discreti $E_n$ con $n$ intero positivo. Si determinino tali valori in funzione di $n$, per un protone confinato a muoversi fra due pareti alla stessa distanza del quesito precedente.

7. Un protone nel livello di energia $n=2$ decade al livello $n=1$; il fotone emesso può essere rivelato nella regione dello spettro visibile?

Si consideri adesso il fenomeno delle onde stazionarie tra estremi fissi, applicato allo spazio tra le due pareti distanti $2\ell$.

8. Si ricavi che relazione c’è tra i possibili valori $\lambda$ della lunghezza d’onda di un’onda stazionaria tra le due pareti e i possibili valori $p$ della quantità di moto del protone tra le stesse pareti.

(∗) Più propriamente “azione ridotta”.

Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis, Bohr Model & Quantization, de Broglie Relation Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The weight of the planck is ** **

For another month or so, the mass unit of the SI the kilogram is defined by an “international prototype”, i.e. an object made in 1875 with a platinum-iride alloy and kept in a high vacuum, under a triple glass bell, at the International Bureau of Weights and Measures (BIPM) in Sèvres, France.

From 20 May, when this physical sample is abandoned, the kilogram will be defined in terms of three fundamental constants: the speed of light $c$, the frequency $\Delta \nu$ (the value of which is given in the introduction on page 3: $\Delta \nu =9192631770\text{Hz}$) and the Planck constant $h$. The Planck constant is among those natural constants whose value was “defined” in the resolution approved on 16 November 2018 by the 26th General Conference of Weights and Measures in Paris; they are now fixed with all their significant figures.

1. It is shown that the unit “kilogram” can be expressed as $1\text{kg}=\eta f(h,c,\Delta \nu )$ and the value of the prime number $\eta$ is determined.

The Planck constant is, in some way, the natural unit of measurement of a physical quantity called “action”, just as the elementary charge $e$ is the natural unit of electric charge. As you can see from the value given in the table, the action is the size of an energy for a time.

2. It shows that the action has the same dimensions of a length for a quantity of motion as well as an angular moment, and the product of an electric charge for a magnetic flux.

The action is a scalar magnitude associated with every possible time law of a body (particle). A ball of mass $m$ shall be considered to move at a constant speed perpendicular to two parallel walls of distance $2\ell$, bouncing elastically on either side, in the absence of gravity and friction. The motor is periodic $T$ and can be represented as a cycle in the plane $(x,p)$, position $x$ motor quantity $p$, called phase space. In the particular case of a periodic motion, the cycle area measures the action () $A$ of the ball during a period of motion.

3. If an axis $x$ is orthogonal to the two walls, with the origin in the middle, so that the two walls are coordinated $x=\pm \ell$, the closed cycle in the phase space is graphically represented and the action $A$ is determined.

In classical mechanics the action can take on any real value and can vary continuously. Max Planck found that the behavior of physical systems that perform periodic movements is correctly described only by assuming that the action associated with a period of motion can take only multiple values of $h$: $A=nh$, where $n$ is a positive integer. This discretion of the values of $A$ is expressed by saying that the action is a quantized quantity. When quantization of action can be detected, the system is said to exhibit “quantum effects”.

4. For $m=50\text{g}$, $\ell =1\text{m}$ and $T=4\text{s}$, find the order of magnitude of the entire $n$ and explain why the effects of quantization of action for this system cannot be detected.

5. Repeat the calculation for a proton moving at $v\approx 270{\text{m s}}^{-1}$ speed and confined to moving between two distant walls $2\ell$ with $\ell =1.1\text{nm}$. It explains why quantum effects are detectable in this case.

6. It is shown that quantization of the action implies quantization of energy, i.e. that, fixed $\ell$, the energy of the proton can only assume discrete values $E_n$ with $n$ positive integer. These values are determined by $n$ for a proton confined to moving between two walls at the same distance as the previous question.

7. A proton in the energy level $n=2$ decays to the level $n=1$; can the photon emitted be detected in the region of the visible spectrum?

Consider now the phenomenon of stationary waves between fixed ends, applied to the space between the two distant walls $2\ell$.

8. It is obtained that there is a relationship between the possible values $\lambda$ of the wavelength of a stationary wave between the two walls and the possible values $p$ of the amount of proton motion between the same walls.

() More precisely, ‘reduced action’.

Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis, Bohr Model & Quantization, de Broglie Relation Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 — Là, dove finisce il solenoide (Punti 100)

Una spira circolare percorsa da una corrente $i$ genera un campo magnetico. Il piano che contiene la spira è un piano di simmetria per il sistema. Questo significa che, operando una riflessione rispetto a questo piano, la spira, il verso della corrente al suo interno e quindi anche il campo magnetico che essa genera restano invariati. Ne segue che tutte le linee di campo magnetico sono curve geometriche simmetriche rispetto a questo piano; analogamente, le intensità del campo magnetico in due punti $Q$ e $Q^{\prime }$, simmetrici rispetto al piano della spira, sono le stesse.

1. Si consideri una linea di campo diversa da quella coincidente con l’asse della spira e su di essa due punti, $Q$ e $Q^{\prime }$, simmetrici rispetto al piano della spira. Siano $\vec{B}$ e ${\vec{B}}^{\prime }$ i vettori campo magnetico, rispettivamente in $Q$ e $Q^{\prime }$. Si deduca (senza fare calcoli) la relazione tra le loro componenti perpendicolari all’asse della spira e quella tra le loro componenti parallele allo stesso asse. Si ripetano le considerazioni anche per due punti $P$ e $P^{\prime }$ sull’asse della spira.

In tutti i sistemi in cui la distribuzione delle correnti presenta un piano di simmetria per riflessione, la relazione fra le componenti del campo magnetico, in punti simmetrici rispetto al piano di simmetria, è quella trovata in questo caso particolare.

Si consideri adesso un lungo solenoide di raggio $R$ e lunghezza $L$, con $L\gg R$, percorso da una corrente elettrica; l’avvolgimento è molto compatto cosicché ogni spira può essere considerata di spessore trascurabile e perpendicolare all’asse. Il punto $P$ mostrato in figura si trova sull’asse del solenoide, nel piano $\pi$ che contiene la spira posta ad un’estremità del solenoide. Notare che la figura non è una rappresentazione in scala del solenoide.

La corrente che scorre nel solenoide è tale che nel punto $C$, intersezione tra l’asse del solenoide e il suo piano mediano, il campo magnetico è orientato come in figura e ha modulo $B_0$.

2. Usando solamente considerazioni sulla simmetria del sistema, dimostrare che il campo magnetico generato dal solenoide in un punto qualsiasi del suo asse è parallelo all’asse stesso.

3. Detto $\vec{B}$ il campo magnetico in $P$, determinare il campo magnetico ${\vec{B}}^{\prime }$ nel punto $P^{\prime }$ mostrato in figura.

4. Detta $B_0$ l’intensità del campo magnetico nel punto centrale $C$ del solenoide, determinare il campo magnetico $\vec{B}$ nel punto $P$.

5. Dimostrare che il flusso del campo magnetico attraverso la sezione $\sigma$ del solenoide contenuta nel piano $\pi$ vale $\frac{1}{2}\pi R^2{B}_0$.

6. Quanto vale il flusso del campo magnetico attraverso la porzione di superficie laterale del solenoide compresa tra il piano $\pi$ e il piano mediano del solenoide?

Si prendano in considerazione due linee di campo che passano per gli estremi di un diametro dell’ultima spira, cioè quella che giace sul piano $\pi$.

7. Qual è la distanza tra i due punti $S_1$ ed $S_2$ in cui queste linee di campo intersecano il piano mediano del solenoide?

8. Nel riquadro riportato nel foglio risposte, si tracci uno schizzo qualitativo delle linee di campo magnetico, indicando anche la distanza tra i punti $S_1$ ed $S_2$.

Suggerimento: Può essere utile ricordare che la componente del campo magnetico parallela all’asse del solenoide subisce una discontinuità pari a $B_0$ (esclusi i punti del bordo) passando dall’interno all’esterno del solenoide.

p.6 — Solenoide con punti C, P, P’ e campo

Topic: Magnetism Metodi: Symmetry Argument, Gauss’s Law, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**P3 There, where the solenoid ends ** *(100 points) *

A circular spiral travelling by a current $i$ generates a magnetic field. The plane containing the spiral is a symmetry plane for the system. This means that, by reflecting against this plane, the spire, the direction of the current within it and therefore also the magnetic field it generates remain unchanged. It follows that all magnetic field lines are geometric curves symmetrical to this plane; similarly, the magnetic field intensities at two points $Q$ and $Q^{\prime }$, symmetrical to the plane of the spire, are the same.

1. Consider a field line other than that which coincides with the axis of the spire and on it two points, $Q$ and $Q^{\prime }$, symmetrical to the plane of the spire. The magnetic field vectors are $\vec{B}$ and ${\vec{B}}^{\prime }$, respectively in $Q$ and $Q^{\prime }$. The ratio of their components perpendicular to the axis of the spire to their parallel components on the same axis is deduced (without calculation). The considerations shall also be repeated for two points $P$ and $P^{\prime }$ on the axis of the spire.

In all systems where the distribution of currents has a plane of symmetry by reflection, the relationship between the magnetic field components, in points symmetrical to the plane of symmetry, is the one found in this particular case.

Consider now a long solenoid of $R$ radius and length $L$, with $L\gg R$, traveled by an electric current; the envelope is very compact so that each spire can be considered of negligible thickness and perpendicular to the axis. The $P$ point shown in the figure is on the axis of the solenoid in the plane $\pi$ containing the spiral at one end of the solenoid. Note that the figure not is a representation on the solenoid scale.

The current flowing through the solenoid is such that at the point $C$, the intersection between the axis of the solenoid and its median plane, the magnetic field is oriented as shown in the figure and has the shape $B_0$.

2. Using only considerations of the symmetry of the system, prove that the magnetic field generated by the solenoid at any point of its axis is parallel to the axis itself.

3. If the magnetic field $\vec{B}$ in $P$ is determined, determine the magnetic field ${\vec{B}}^{\prime }$ in $P^{\prime }$ as shown in Figure 1.

4. The magnetic field $B_0$ at the central point $C$ of the solenoid shall be determined by the magnetic field $\vec{B}$ at the point $P$.

5. Demonstrate that the flow of the magnetic field through the $\sigma$ section of the solenoid contained in the $\pi$ plane is $\frac{1}{2}\pi R^2{B}_0$.

6. What is the magnetic field flow through the portion of the solenoid side surface between the $\pi$ plane and the median plane of the solenoid?

Two lines of field passing through the ends of a diameter of the last spiral, i.e. the one lying on the plane $\pi$, are taken into account.

7. What is the distance between the two points $S_1$ and $S_2$ where these field lines intersect the median plane of the solenoid?

8. In the table in the reply sheet, a qualitative outline of the magnetic field lines is drawn, including the distance between the $S_1$ and $S_2$ points.

Suggest: It may be useful to remember that the component of the magnetic field parallel to the solenoid axis undergoes a discontinuity equal to $B_0$ (excluding edge points) passing from the inside to the outside of the solenoid.

**p.6 ** Solenoid with points C, P, P’ and field

Topic: Magnetism Metodi: Symmetry Argument, Gauss’s Law, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P4 — Luce dal ghiaccio: un alone per il Sole (Punti 100)

L’alone solare, come quello mostrato nella foto, è un fenomeno che si manifesta in particolari condizioni meteorologiche. Si tratta di un sottile anello luminoso che circonda il Sole, visibile a cielo sereno: nella zona interna prossima all’anello il cielo appare più scuro, mentre nella zona esterna si osserva una debole luminosità che diminuisce gradualmente fino a raccordarsi con l’usuale colore blu del cielo sereno.

Il fenomeno è dovuto alla presenza nel cielo di una nube di minuscoli cristalli di ghiaccio, aventi la forma di prismi esagonali, che fanno sì che i raggi di Sole che incidono su una delle pareti laterali, possano emergere in parte deviati.

Scopo di questo problema è capire come avviene la formazione dell’anello luminoso, in corrispondenza di un particolare valore dell’angolo di deviazione, e calcolare tale valore.

Per semplicità, si prenderanno in considerazione solamente i cristalli il cui asse sia perpendicolare al piano definito da un raggio incidente e da quello deviato che arriva all’osservatore, come mostrato in figura a sinistra. L’angolo di deviazione $\delta$ è quello mostrato in figura a destra in cui sono definiti anche l’angolo d’incidenza $i$, l’angolo di rifrazione interna $r$, l’angolo d’incidenza interna $i^{\prime }$ e l’angolo di rifrazione esterna $r^{\prime }$.

È ovvio che per incidenza normale su una faccia laterale “e” tutti i raggi emergono dalla faccia laterale opposta “p”, senza essere deviati. Per angoli d’incidenza non nulli ($0°<i<90°$) i raggi potrebbero emergere dalla faccia parallela opposta (“p”) o da una di quelle immediatamente adiacenti (“c”), oppure da una delle facce “s” adiacenti a quella di entrata “e”.

1. Determinare il minimo valore $n_{\min }$ dell’indice di rifrazione per il quale qualunque raggio incidente sulla faccia “e” e rifratto verso la faccia “s” non esce da “s”.

I raggi incidenti sulla faccia “e” vengono rifratti o verso la faccia “s”, o verso la faccia “c”, o verso la faccia “p”. Con valori dell’indice di rifrazione superiori a $n_{\min }$, i raggi rifratti verso “s” vengono poi riflessi verso “c” e da lì escono. I raggi rifratti verso “c” potranno uscire oppure venire di nuovo riflessi all’interno del prisma. I raggi rifratti verso “p” escono dal prisma.

2. Considerando un fascio uniforme di luce che incide sulla faccia “e” con angolo di incidenza $i$, calcolare la frazione $\eta$ di questa che viene rifratta direttamente verso la faccia “p” (cioè, senza subire riflessioni interne su altre facce), in funzione dell’angolo di incidenza $i$ e dell’indice di rifrazione $n$.

Per studiare il fenomeno dell’alone ci occuperemo, d’ora in poi, solo dei raggi rifratti verso la faccia “c”.

ATTENZIONE: Da qui in poi, determinare il valore degli angoli con l’accuratezza di $1/100$ di grado.

3. Sapendo che l’indice di rifrazione $n$ del ghiaccio per la luce visibile dei diversi colori vale in media $1.310$, calcolare il minimo valore dell’angolo di incidenza $i$ per il quale qualche raggio rifratto verso la faccia “c” può emergere da essa. Calcolare inoltre il corrispondente angolo di deviazione $\delta$.

Il principio di reversibilità del cammino ottico si può esprimere dicendo che “se per andare da un punto $A$ a un punto $B$ la luce segue un certo percorso, allora partendo da $B$ può giungere ad $A$ percorrendo in senso inverso lo stesso percorso”.

4. Senza necessità di ulteriori calcoli, ma sfruttando il principio citato sopra, determinare gli angoli ($i$, $r^{\prime }$ e $\delta$) corrispondenti al massimo valore dell’angolo di incidenza per il quale qualche raggio può emergere dalla faccia “c”.

Data la simmetria legata al principio di reversibilità enunciato sopra, è facile capire per quale angolo di incidenza $i_0$ l’angolo di deviazione $\delta$ avrà un valore minimo o massimo ${\delta }_0$ che è proprio il raggio angolare dell’alone.

5. Determinare quanto valgono $i_0$ e ${\delta }_0$ e dire se si tratta di un valore massimo o di un minimo.

La funzione $\delta (i)$ è piuttosto complicata; risulta infatti $\delta (i)=i+\arcsin \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}-\frac{1}{2}\sin i\right]-60°.$ Per questo, per lo studio successivo, in un intorno abbastanza ampio di ${\delta }_0$ è conveniente approssimarla con il polinomio di secondo grado $y(x)=a{x}^2+bx+c$ dove $y$ è l’angolo di deviazione e $x$ l’angolo di incidenza, $b=-0.6889$ e $c=35.93°$.

6. Determinare il coefficiente $a$ del polinomio dato e verificare, per almeno due valori diversi di $i$, che l’errore relativo dell’approssimazione è minore dell’$1\%$ nell’intervallo $30°\le i\le 55°$.

Il raggio dell’alone è legato al valore di ${\delta }_0$ trovato alla domanda 5. Per capire questo fatto, si supponga che i cristalli considerati siano in numero molto grande $N$ e che siano orientati in modo casuale cosicché la distribuzione statistica dell’angolo di incidenza $i$ sia uniforme.

7. Usando l’approssimazione polinomiale, si determini il rapporto tra l’ampiezza dell’intervallo di angoli di incidenza per i quali la deviazione differisce da ${\delta }_0$ per meno di $0.01°$ e l’ampiezza dell’intervallo per i quali la deviazione differisce da ${\delta }_0$ tra $1.0°$ e $1.01°$.

8. Spiegare in che modo il raggio dell’alone è collegato al valore minimo della deviazione angolare ${\delta }_0$.

p.7 — Foto dell’alone solare nel cielo

p.7 — Cristallo prismatico esagonale tridimensionale

p.7 — Geometria della deviazione del raggio nel cristallo

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Approximation & Series Expansion, Small-Angle Approximation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The light from the ice: one single for the Sun

The solar halo, like the one shown in the photo, is a phenomenon that occurs under particular weather conditions. It is a thin ring of light that surrounds the Sun, visible in a clear sky: in the inner area near the ring, the sky appears darker, while in the outer area, a faint brightness is observed that gradually diminishes until it connects with the usual blue color of the clear sky.

This is because there is a cloud of tiny ice crystals in the sky, shaped like hexagonal prisms, which cause partially deflected sunlight to appear when it hits one of the side walls.

The purpose of this problem is to understand how the light ring is formed, corresponding to a particular value of the angle of deflection, and to calculate that value.

For simplicity’s sake, only those crystals whose axis is perpendicular to the plane defined by an incident and deflected beam reaching the observer will be taken into account, as shown in the figure to the left. The deviation angle $\delta$ is the one shown in the right-hand figure where the angle of incidence $i$, the angle of internal refraction $r$, the angle of internal refraction $i^{\prime }$ and the angle of external refraction $r^{\prime }$ are also defined.

It is obvious that by normal incidence on a side face “e” all rays emerge from the opposite side face “p”, without being deflected. For non-zero angle incidence ($0°<i<90°$) the rays may emerge from the opposite parallel face (“p”) or one of the immediately adjacent faces (“c”), or from one of the faces “s” adjacent to the entrance face “e”.

1. Determine the minimum $n_{\min }$ of the refractive index for which any incident ray on the face ‘e’ and refracted to the face ‘s’ does not exit from ‘s’.

The incident rays on the “e” face are reflected either towards the “s” face, or towards the “c” face, or towards the “p” face. With refractive index values greater than $n_{\min }$, the rays reflected towards “s” are then reflected towards “c” and exit from there. The rays reflected back toward “c” can either be reflected out or reflected back into the prism. The rays reflected back to “p” come out of the prism.

2. Considering a uniform beam of light that affects the face ‘e’ with an angle of incidence $i$, calculate the fraction $\eta$ of this that is reflected directly towards the face ‘p’ (i.e. without internal reflections on other faces), according to the angle of incidence $i$ and the index of refraction $n$.

To study the phenomenon of the halo, we will now only deal with rays reflected towards the face “c”.

**Alert: ** From here on, determine the value of the angles with an accuracy of $1/100$ degree.

3. Knowing that the refractive index $n$ of the ice for visible light of different colours is on average $1.310$, calculate the minimum value of the angle of incidence $i$ for which some refractive rays towards the face ‘c’ can emerge from it. Also calculate the corresponding angle of deviation $\delta$.

The principle of reversibility of the optical path can be expressed by saying that “if to go from a point $A$ to a point $B$ the light follows a certain path, then starting from $B$ it can reach $A$ by going in the opposite direction the same path”.

4. Without further calculation, but using the principle mentioned above, determine the angles ($i$, $r^{\prime }$ and $\delta$) corresponding to the maximum value of the angle of incidence for which some rays can emerge from the face ‘c’.

Given the symmetry linked to the principle of reversibility stated above, it is easy to understand for which angle of incidence $i_0$ the angle of deviation $\delta$ will have a minimum or maximum value ${\delta }_0$ which is exactly the angular radius of the halo.

5. Determine the value of $i_0$ and ${\delta }_0$ and tell whether it is a maximum or a minimum value.

The $\delta (i)$ function is rather complicated; it is $\delta (i)=i+\arcsin \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}-\frac{1}{2}\sin i\right]-60°.$ For this reason, for the next study, in a fairly wide circle of ${\delta }_0$ it is convenient to approximate it with the second degree polynomial $y(x)=a{x}^2+bx+c$ where $y$ is the angle of deviation and $x$ the angle of incidence, $b=-0.6889$ and $c=35.93°$.

6. Determine the $a$ coefficient of the given polynomial and verify, for at least two different values of $i$, that the relative approximation error is less than $1\%$ in the $30°\le i\le 55°$ range.

The radius of the halo is related to the ${\delta }_0$ value found in question 5. To understand this, assume that the crystals considered are very large in number $N$ and are randomly oriented so that the statistical distribution of the angle of incidence $i$ is uniform.

7. Using the polynomial approximation, the ratio between the width of the range of incidence angles for which the deviation differs from ${\delta }_0$ by less than $0.01°$ and the width of the range for which the deviation differs from ${\delta }_0$ between $1.0°$ and $1.01°$ is determined.

8. Explain how the halo radius is connected to the minimum value of the angular deviation ${\delta }_0$.

The following is the list of the countries of the European Union and the European Union:

The following table shows the results of the calculation of the total weight of the product:

**p.7 ** Geometry of the radius deviation in the crystal

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Approximation & Series Expansion, Small-Angle Approximation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)