OII 2019 Nazionale Teorica

P1 — Pietre miliari 1: …dedicato a Leonardo (Punti 40)

Il “meccanismo elicoidale”, di cui la foto a sinistra mostra un modellino costruito sulla base degli studi e dei disegni originali di Leonardo da Vinci (Codice di Madrid I, foglio 17, verso — mostrato qui sotto), serve a sollevare un oggetto di massa $M$ impiegando una forza (applicata alla manovella di legno in alto a destra) inferiore al peso dell’oggetto; in questo senso si può parlare di una macchina “utile”.

Un disegno schematico e ingrandito della stessa macchina è riportato a pagina 9 (foglio separato) per le misure richieste nel seguito.

[Foto: modellino in legno del meccanismo, con telaio verticale, una grande ruota dentata accoppiata a una vite senza fine orizzontale azionata da una manovella; dalla ruota pende, tramite una fune avvolta su un cilindro coassiale, un peso. A lato lo schizzo originale di Leonardo dal Codice di Madrid I.]

1. Dopo aver letto tutto il testo del problema, e aver individuato una strategia risolutiva, si utilizzi il diagramma dell’apparato riportato a pagina seguente per determinare tutte le misure dei componenti necessarie a fornire le risposte numeriche richieste nel seguito. Si assuma come unità di misura il raggio $r$ del cilindro su cui è avvolta la fune che sostiene l’oggetto.

Supponendo per il momento di poter trascurare tutti gli attriti, il lavoro fatto per spostare la manovella di un tratto infinitesimo $d\ell$ determina il sollevamento dell’oggetto di un tratto $dz$. Si supponga che il sollevamento sia sufficientemente lento da poter trascurare le energie cinetiche dei vari componenti.

2. Determinare la minima forza da applicare alla manovella per sollevare l’oggetto, utilizzando le grandezze necessarie ottenute dall’immagine, e dire perché si tratta di una macchina “utile”.

3. Supponendo adesso che il 75 % della potenza impiegata sia dissipata in attriti e deformazioni dei pezzi, dire se la macchina è ancora “utile”.

Si consideri ora il caso di un funzionamento che non avviene in modo molto lento, mentre la massa appesa viene sollevata a velocità costante $v$, cosicché le varie parti della macchina hanno acquistato una certa energia cinetica.

Si supponga che tutte le parti in legno della macchina siano fatte con lo stesso legno di densità $\rho$, pensato per semplicità come un materiale omogeneo, che lo spessore della ruota dentata sia pari ad $1/12$ del suo diametro, escludendo i denti. Per semplicità si trascuri la presenza dei denti della ruota più grande e si consideri cilindrica la forma della vite senza fine e quella della manovella.

4. Si stimi quale pezzo tra la ruota dentata (senza il contributo dei denti), la vite senza fine e la manovella, ha acquistato la maggiore energia cinetica, mostrando il calcolo necessario.

[Allegato a pag. 9: disegno schematico in scala del meccanismo elicoidale, da cui ricavare le misure dei componenti in unità di $r$.]

p.4 — Modellino del meccanismo elicoidale di Leonardo

p.4 — Disegno originale di Leonardo, Codice di Madrid

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy, Rotational Dynamics Metodi: Energy Conservation Method, Free-Body Diagram, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Measurement & Instrumentation, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gear, String, Cylinder Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 — Milestones 1: …dedicated to Leonardo (40 points)

The “helical mechanism”, of which the photo on the left shows a small model built on the basis of the studies and original drawings of Leonardo da Vinci (Madrid Codex I, sheet 17, verso — shown below), is used to lift an object of mass $M$ by employing a force (applied to the wooden crank at the top right) smaller than the weight of the object; in this sense one can speak of a “useful” machine.

An enlarged schematic drawing of the same machine is shown on page 9 (separate sheet) for the measurements required in the following.

[Photo: wooden model of the mechanism, with a vertical frame, a large gear wheel coupled to a horizontal worm screw driven by a crank; from the wheel hangs, by means of a rope wound on a coaxial cylinder, a weight. Beside it, Leonardo’s original sketch from the Madrid Codex I.]

1. After reading the entire text of the problem, and having identified a solution strategy, use the diagram of the apparatus shown on the following page to determine all the measurements of the components necessary to provide the numerical answers required in the following. Assume as unit of measurement the radius $r$ of the cylinder on which the rope supporting the object is wound.

Assuming for the moment that all friction can be neglected, the work done to move the crank by an infinitesimal amount $d\ell$ causes the object to be raised by an amount $dz$. Assume that the lifting is sufficiently slow that the kinetic energies of the various components can be neglected.

2. Determine the minimum force to be applied to the crank to lift the object, using the necessary quantities obtained from the image, and state why it is a “useful” machine.

3. Assuming now that 75% of the power used is dissipated in friction and deformation of the parts, state whether the machine is still “useful.”

Consider now the case of an operation that does not occur very slowly, while the suspended mass is lifted at constant speed $v$, so that the various parts of the machine have acquired a certain kinetic energy.

Assume that all the wooden parts of the machine are made of the same wood with density $\rho$, thought of for simplicity as a homogeneous material, that the thickness of the gear wheel is equal to $1/12$ of its diameter, excluding the teeth. For simplicity, neglect the presence of the teeth of the larger wheel and consider the shape of the worm screw and that of the crank to be cylindrical.

4. Estimate which part among the gear wheel (without the contribution of the teeth), the worm screw, and the crank has acquired the greatest kinetic energy, showing the necessary calculation.

[Attachment on p. 9: scaled schematic drawing of the helical mechanism, from which the measurements of the components in units of $r$ can be derived.]

p.4 — Model of Leonardo’s helical mechanism

p.4 — Original drawing by Leonardo, Madrid Codex

Solution: Soluzioni (PDF)

P2 — Pietre miliari 2: Il chilogrammo di Planck (Punti 60)

Ancora per un mese circa, l’unità di massa del S.I. — il chilogrammo — è definita attraverso un “prototipo internazionale”, cioè un oggetto realizzato nel 1875 con una lega di platino-iridio e conservato in alto vuoto, sotto una triplice campana di vetro, presso l’Ufficio internazionale dei pesi e delle misure (BIPM) a Sèvres, in Francia.

Dal prossimo 20 maggio, abbandonato questo campione fisico, il chilogrammo sarà definito in termini di tre costanti fondamentali: la velocità della luce $c$, la frequenza $\Delta \nu$ (il cui valore è dato nell’introduzione a pagina 3: $\Delta \nu =9192631770\text{Hz}$) e la costante di Planck $h$. La costante di Planck è tra quelle costanti naturali il cui valore è stato “definito” nella risoluzione approvata il 16 novembre 2018 dalla 26a Conferenza Generale di Pesi e Misure di Parigi; esse sono adesso fissate con tutte le loro cifre significative.

1. Si mostri che l’unità “chilogrammo” si può esprimere come $1\text{kg}=\eta f(h,c,\Delta \nu )$ e si determini il valore del numero puro $\eta$.

La costante di Planck è, in qualche modo, l’unità di misura naturale di una grandezza fisica chiamata “azione”, così come la carica elementare $e$ è l’unità naturale della carica elettrica. Come si capisce dal valore dato in tabella, l’azione ha le dimensioni di un’energia per un tempo.

2. Si mostri che l’azione ha le stesse dimensioni di una lunghezza per una quantità di moto, come pure di un momento angolare, e del prodotto di una carica elettrica per un flusso magnetico.

L’azione è una grandezza scalare associata ad ogni possibile legge oraria di un corpo (particella). Si consideri una pallina di massa $m$ che, in assenza di gravità e di attrito, si muove a velocità costante perpendicolarmente a due pareti parallele distanti $2\ell$, rimbalzando elasticamente sull’una e sull’altra. Il moto è periodico di periodo $T$ e può essere rappresentato come un ciclo nel piano $(x,p)$, posizione $x$ – quantità di moto $p$, detto spazio delle fasi. Nel caso particolare di un moto periodico, l’area del ciclo misura l’azione (∗) $A$ della pallina in un periodo del moto.

3. Posto un asse $x$ ortogonale alle due pareti, con l’origine nel punto medio, in modo che le due pareti abbiano coordinata $x=\pm \ell$, si rappresenti graficamente il ciclo chiuso nello spazio delle fasi e si determini l’azione $A$.

In meccanica classica l’azione può assumere qualunque valore reale e può variare con continuità. Max Planck scoprì che il comportamento dei sistemi fisici che effettuano moti periodici è descritto correttamente soltanto ipotizzando che l’azione associata a un periodo del moto possa assumere solo valori multipli di $h$: $A=nh$, dove $n$ è un numero intero positivo. Questa discretizzazione dei valori di $A$ si esprime dicendo che l’azione è una grandezza quantizzata. Quando è possibile rilevare la quantizzazione dell’azione si dice che il sistema manifesta “effetti quantistici”.

4. Per $m=50\text{g}$, $\ell =1\text{m}$ e $T=4\text{s}$, trovare l’ordine di grandezza dell’intero $n$ e spiegare perché non è possibile rilevare gli effetti della quantizzazione dell’azione per questo sistema.

5. Si ripeta il calcolo per un protone che si muove con velocità $v\approx 270{\text{m s}}^{-1}$ e che è confinato a muoversi tra due pareti distanti $2\ell$ con $\ell =1.1\text{nm}$. Si spieghi perché in questo caso gli effetti quantistici sono rilevabili.

6. Si dimostri che la quantizzazione dell’azione implica la quantizzazione dell’energia, ossia il fatto che, fissato $\ell$, l’energia del protone può assumere solo valori discreti $E_n$ con $n$ intero positivo. Si determinino tali valori in funzione di $n$, per un protone confinato a muoversi fra due pareti alla stessa distanza del quesito precedente.

7. Un protone nel livello di energia $n=2$ decade al livello $n=1$; il fotone emesso può essere rivelato nella regione dello spettro visibile?

Si consideri adesso il fenomeno delle onde stazionarie tra estremi fissi, applicato allo spazio tra le due pareti distanti $2\ell$.

8. Si ricavi che relazione c’è tra i possibili valori $\lambda$ della lunghezza d’onda di un’onda stazionaria tra le due pareti e i possibili valori $p$ della quantità di moto del protone tra le stesse pareti.

(∗) Più propriamente “azione ridotta”.

Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis, Bohr Model & Quantization, de Broglie Relation Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The weight of the planck is ** **

For another month or so, the mass unit of the SI the kilogram is defined by an “international prototype”, i.e. an object made in 1875 with a platinum-iride alloy and kept in a high vacuum, under a triple glass bell, at the International Bureau of Weights and Measures (BIPM) in Sèvres, France.

From 20 May, when this physical sample is abandoned, the kilogram will be defined in terms of three fundamental constants: the speed of light $c$, the frequency $\Delta \nu$ (the value of which is given in the introduction on page 3: $\Delta \nu =9192631770\text{Hz}$) and the Planck constant $h$. The Planck constant is among those natural constants whose value was “defined” in the resolution approved on 16 November 2018 by the 26th General Conference of Weights and Measures in Paris; they are now fixed with all their significant figures.

1. It is shown that the unit “kilogram” can be expressed as $1\text{kg}=\eta f(h,c,\Delta \nu )$ and the value of the prime number $\eta$ is determined.

The Planck constant is, in some way, the natural unit of measurement of a physical quantity called “action”, just as the elementary charge $e$ is the natural unit of electric charge. As you can see from the value given in the table, the action is the size of an energy for a time.

2. It shows that the action has the same dimensions of a length for a quantity of motion as well as an angular moment, and the product of an electric charge for a magnetic flux.

The action is a scalar magnitude associated with every possible time law of a body (particle). A ball of mass $m$ shall be considered to move at a constant speed perpendicular to two parallel walls of distance $2\ell$, bouncing elastically on either side, in the absence of gravity and friction. The motor is periodic $T$ and can be represented as a cycle in the plane $(x,p)$, position $x$ motor quantity $p$, called phase space. In the particular case of a periodic motion, the cycle area measures the action () $A$ of the ball during a period of motion.

3. If an axis $x$ is orthogonal to the two walls, with the origin in the middle, so that the two walls are coordinated $x=\pm \ell$, the closed cycle in the phase space is graphically represented and the action $A$ is determined.

In classical mechanics the action can take on any real value and can vary continuously. Max Planck found that the behavior of physical systems that perform periodic movements is correctly described only by assuming that the action associated with a period of motion can take only multiple values of $h$: $A=nh$, where $n$ is a positive integer. This discretion of the values of $A$ is expressed by saying that the action is a quantized quantity. When quantization of action can be detected, the system is said to exhibit “quantum effects”.

4. For $m=50\text{g}$, $\ell =1\text{m}$ and $T=4\text{s}$, find the order of magnitude of the entire $n$ and explain why the effects of quantization of action for this system cannot be detected.

5. Repeat the calculation for a proton moving at $v\approx 270{\text{m s}}^{-1}$ speed and confined to moving between two distant walls $2\ell$ with $\ell =1.1\text{nm}$. It explains why quantum effects are detectable in this case.

6. It is shown that quantization of the action implies quantization of energy, i.e. that, fixed $\ell$, the energy of the proton can only assume discrete values $E_n$ with $n$ positive integer. These values are determined by $n$ for a proton confined to moving between two walls at the same distance as the previous question.

7. A proton in the energy level $n=2$ decays to the level $n=1$; can the photon emitted be detected in the region of the visible spectrum?

Consider now the phenomenon of stationary waves between fixed ends, applied to the space between the two distant walls $2\ell$.

8. It is obtained that there is a relationship between the possible values $\lambda$ of the wavelength of a stationary wave between the two walls and the possible values $p$ of the amount of proton motion between the same walls.

() More precisely, ‘reduced action’.

Topic: Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Dimensional Analysis, Bohr Model & Quantization, de Broglie Relation Competenze: Unit Conversion, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Ball, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 — Là, dove finisce il solenoide (Punti 100)

Una spira circolare percorsa da una corrente $i$ genera un campo magnetico. Il piano che contiene la spira è un piano di simmetria per il sistema. Questo significa che, operando una riflessione rispetto a questo piano, la spira, il verso della corrente al suo interno e quindi anche il campo magnetico che essa genera restano invariati. Ne segue che tutte le linee di campo magnetico sono curve geometriche simmetriche rispetto a questo piano; analogamente, le intensità del campo magnetico in due punti $Q$ e $Q^{\prime }$, simmetrici rispetto al piano della spira, sono le stesse.

1. Si consideri una linea di campo diversa da quella coincidente con l’asse della spira e su di essa due punti, $Q$ e $Q^{\prime }$, simmetrici rispetto al piano della spira. Siano $\vec{B}$ e ${\vec{B}}^{\prime }$ i vettori campo magnetico, rispettivamente in $Q$ e $Q^{\prime }$. Si deduca (senza fare calcoli) la relazione tra le loro componenti perpendicolari all’asse della spira e quella tra le loro componenti parallele allo stesso asse. Si ripetano le considerazioni anche per due punti $P$ e $P^{\prime }$ sull’asse della spira.

In tutti i sistemi in cui la distribuzione delle correnti presenta un piano di simmetria per riflessione, la relazione fra le componenti del campo magnetico, in punti simmetrici rispetto al piano di simmetria, è quella trovata in questo caso particolare.

Si consideri adesso un lungo solenoide di raggio $R$ e lunghezza $L$, con $L\gg R$, percorso da una corrente elettrica; l’avvolgimento è molto compatto cosicché ogni spira può essere considerata di spessore trascurabile e perpendicolare all’asse. Il punto $P$ mostrato in figura si trova sull’asse del solenoide, nel piano $\pi$ che contiene la spira posta ad un’estremità del solenoide. Notare che la figura non è una rappresentazione in scala del solenoide.

La corrente che scorre nel solenoide è tale che nel punto $C$, intersezione tra l’asse del solenoide e il suo piano mediano, il campo magnetico è orientato come in figura e ha modulo $B_0$.

2. Usando solamente considerazioni sulla simmetria del sistema, dimostrare che il campo magnetico generato dal solenoide in un punto qualsiasi del suo asse è parallelo all’asse stesso.

3. Detto $\vec{B}$ il campo magnetico in $P$, determinare il campo magnetico ${\vec{B}}^{\prime }$ nel punto $P^{\prime }$ mostrato in figura.

4. Detta $B_0$ l’intensità del campo magnetico nel punto centrale $C$ del solenoide, determinare il campo magnetico $\vec{B}$ nel punto $P$.

5. Dimostrare che il flusso del campo magnetico attraverso la sezione $\sigma$ del solenoide contenuta nel piano $\pi$ vale $\frac{1}{2}\pi R^2{B}_0$.

6. Quanto vale il flusso del campo magnetico attraverso la porzione di superficie laterale del solenoide compresa tra il piano $\pi$ e il piano mediano del solenoide?

Si prendano in considerazione due linee di campo che passano per gli estremi di un diametro dell’ultima spira, cioè quella che giace sul piano $\pi$.

7. Qual è la distanza tra i due punti $S_1$ ed $S_2$ in cui queste linee di campo intersecano il piano mediano del solenoide?

8. Nel riquadro riportato nel foglio risposte, si tracci uno schizzo qualitativo delle linee di campo magnetico, indicando anche la distanza tra i punti $S_1$ ed $S_2$.

Suggerimento: Può essere utile ricordare che la componente del campo magnetico parallela all’asse del solenoide subisce una discontinuità pari a $B_0$ (esclusi i punti del bordo) passando dall’interno all’esterno del solenoide.

p.6 — Solenoide con punti C, P, P’ e campo

Topic: Magnetism Metodi: Symmetry Argument, Gauss’s Law, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 There, where the solenoid ends *(100 points) *

A circular spiral travelling by a current $i$ generates a magnetic field. The plane containing the spiral is a symmetry plane for the system. This means that, by reflecting against this plane, the spire, the direction of the current within it and therefore also the magnetic field it generates remain unchanged. It follows that all magnetic field lines are geometric curves symmetrical to this plane; similarly, the magnetic field intensities at two points $Q$ and $Q^{\prime }$, symmetrical to the plane of the spire, are the same.

1. Consider a field line other than that which coincides with the axis of the spire and on it two points, $Q$ and $Q^{\prime }$, symmetrical to the plane of the spire. The magnetic field vectors are $\vec{B}$ and ${\vec{B}}^{\prime }$, respectively in $Q$ and $Q^{\prime }$. The ratio of their components perpendicular to the axis of the spire to their parallel components on the same axis is deduced (without calculation). The considerations shall also be repeated for two points $P$ and $P^{\prime }$ on the axis of the spire.

In all systems where the distribution of currents has a plane of symmetry by reflection, the relationship between the magnetic field components, in points symmetrical to the plane of symmetry, is the one found in this particular case.

Consider now a long solenoid of $R$ radius and length $L$, with $L\gg R$, traveled by an electric current; the envelope is very compact so that each spire can be considered of negligible thickness and perpendicular to the axis. The $P$ point shown in the figure is on the axis of the solenoid in the plane $\pi$ containing the spiral at one end of the solenoid. Note that the figure not is a representation on the solenoid scale.

The current flowing through the solenoid is such that at the point $C$, the intersection between the axis of the solenoid and its median plane, the magnetic field is oriented as shown in the figure and has the shape $B_0$.

2. Using only considerations of the symmetry of the system, prove that the magnetic field generated by the solenoid at any point of its axis is parallel to the axis itself.

3. If the magnetic field $\vec{B}$ in $P$ is determined, determine the magnetic field ${\vec{B}}^{\prime }$ in $P^{\prime }$ as shown in Figure 1.

4. The magnetic field $B_0$ at the central point $C$ of the solenoid shall be determined by the magnetic field $\vec{B}$ at the point $P$.

5. Demonstrate that the flow of the magnetic field through the $\sigma$ section of the solenoid contained in the $\pi$ plane is $\frac{1}{2}\pi R^2{B}_0$.

6. What is the magnetic field flow through the portion of the solenoid side surface between the $\pi$ plane and the median plane of the solenoid?

Two lines of field passing through the ends of a diameter of the last spiral, i.e. the one lying on the plane $\pi$, are taken into account.

7. What is the distance between the two points $S_1$ and $S_2$ where these field lines intersect the median plane of the solenoid?

8. In the table in the reply sheet, a qualitative outline of the magnetic field lines is drawn, including the distance between the $S_1$ and $S_2$ points.

Suggest: It may be useful to remember that the component of the magnetic field parallel to the solenoid axis undergoes a discontinuity equal to $B_0$ (excluding edge points) passing from the inside to the outside of the solenoid.

p.6 Solenoid with points C, P, P’ and field

Topic: Magnetism Metodi: Symmetry Argument, Gauss’s Law, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Coil, Solenoid Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P4 — Luce dal ghiaccio: un alone per il Sole (Punti 100)

L’alone solare, come quello mostrato nella foto, è un fenomeno che si manifesta in particolari condizioni meteorologiche. Si tratta di un sottile anello luminoso che circonda il Sole, visibile a cielo sereno: nella zona interna prossima all’anello il cielo appare più scuro, mentre nella zona esterna si osserva una debole luminosità che diminuisce gradualmente fino a raccordarsi con l’usuale colore blu del cielo sereno.

Il fenomeno è dovuto alla presenza nel cielo di una nube di minuscoli cristalli di ghiaccio, aventi la forma di prismi esagonali, che fanno sì che i raggi di Sole che incidono su una delle pareti laterali, possano emergere in parte deviati.

Scopo di questo problema è capire come avviene la formazione dell’anello luminoso, in corrispondenza di un particolare valore dell’angolo di deviazione, e calcolare tale valore.

Per semplicità, si prenderanno in considerazione solamente i cristalli il cui asse sia perpendicolare al piano definito da un raggio incidente e da quello deviato che arriva all’osservatore, come mostrato in figura a sinistra. L’angolo di deviazione $\delta$ è quello mostrato in figura a destra in cui sono definiti anche l’angolo d’incidenza $i$, l’angolo di rifrazione interna $r$, l’angolo d’incidenza interna $i^{\prime }$ e l’angolo di rifrazione esterna $r^{\prime }$.

È ovvio che per incidenza normale su una faccia laterale “e” tutti i raggi emergono dalla faccia laterale opposta “p”, senza essere deviati. Per angoli d’incidenza non nulli ($0°<i<90°$) i raggi potrebbero emergere dalla faccia parallela opposta (“p”) o da una di quelle immediatamente adiacenti (“c”), oppure da una delle facce “s” adiacenti a quella di entrata “e”.

1. Determinare il minimo valore $n_{\min }$ dell’indice di rifrazione per il quale qualunque raggio incidente sulla faccia “e” e rifratto verso la faccia “s” non esce da “s”.

I raggi incidenti sulla faccia “e” vengono rifratti o verso la faccia “s”, o verso la faccia “c”, o verso la faccia “p”. Con valori dell’indice di rifrazione superiori a $n_{\min }$, i raggi rifratti verso “s” vengono poi riflessi verso “c” e da lì escono. I raggi rifratti verso “c” potranno uscire oppure venire di nuovo riflessi all’interno del prisma. I raggi rifratti verso “p” escono dal prisma.

2. Considerando un fascio uniforme di luce che incide sulla faccia “e” con angolo di incidenza $i$, calcolare la frazione $\eta$ di questa che viene rifratta direttamente verso la faccia “p” (cioè, senza subire riflessioni interne su altre facce), in funzione dell’angolo di incidenza $i$ e dell’indice di rifrazione $n$.

Per studiare il fenomeno dell’alone ci occuperemo, d’ora in poi, solo dei raggi rifratti verso la faccia “c”.

ATTENZIONE: Da qui in poi, determinare il valore degli angoli con l’accuratezza di $1/100$ di grado.

3. Sapendo che l’indice di rifrazione $n$ del ghiaccio per la luce visibile dei diversi colori vale in media $1.310$, calcolare il minimo valore dell’angolo di incidenza $i$ per il quale qualche raggio rifratto verso la faccia “c” può emergere da essa. Calcolare inoltre il corrispondente angolo di deviazione $\delta$.

Il principio di reversibilità del cammino ottico si può esprimere dicendo che “se per andare da un punto $A$ a un punto $B$ la luce segue un certo percorso, allora partendo da $B$ può giungere ad $A$ percorrendo in senso inverso lo stesso percorso”.

4. Senza necessità di ulteriori calcoli, ma sfruttando il principio citato sopra, determinare gli angoli ($i$, $r^{\prime }$ e $\delta$) corrispondenti al massimo valore dell’angolo di incidenza per il quale qualche raggio può emergere dalla faccia “c”.

Data la simmetria legata al principio di reversibilità enunciato sopra, è facile capire per quale angolo di incidenza $i_0$ l’angolo di deviazione $\delta$ avrà un valore minimo o massimo ${\delta }_0$ che è proprio il raggio angolare dell’alone.

5. Determinare quanto valgono $i_0$ e ${\delta }_0$ e dire se si tratta di un valore massimo o di un minimo.

La funzione $\delta (i)$ è piuttosto complicata; risulta infatti $\delta (i)=i+\arcsin \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}-\frac{1}{2}\sin i\right]-60°.$ Per questo, per lo studio successivo, in un intorno abbastanza ampio di ${\delta }_0$ è conveniente approssimarla con il polinomio di secondo grado $y(x)=a{x}^2+bx+c$ dove $y$ è l’angolo di deviazione e $x$ l’angolo di incidenza, $b=-0.6889$ e $c=35.93°$.

6. Determinare il coefficiente $a$ del polinomio dato e verificare, per almeno due valori diversi di $i$, che l’errore relativo dell’approssimazione è minore dell’$1\%$ nell’intervallo $30°\le i\le 55°$.

Il raggio dell’alone è legato al valore di ${\delta }_0$ trovato alla domanda 5. Per capire questo fatto, si supponga che i cristalli considerati siano in numero molto grande $N$ e che siano orientati in modo casuale cosicché la distribuzione statistica dell’angolo di incidenza $i$ sia uniforme.

7. Usando l’approssimazione polinomiale, si determini il rapporto tra l’ampiezza dell’intervallo di angoli di incidenza per i quali la deviazione differisce da ${\delta }_0$ per meno di $0.01°$ e l’ampiezza dell’intervallo per i quali la deviazione differisce da ${\delta }_0$ tra $1.0°$ e $1.01°$.

8. Spiegare in che modo il raggio dell’alone è collegato al valore minimo della deviazione angolare ${\delta }_0$.

p.7 — Foto dell’alone solare nel cielo

p.7 — Cristallo prismatico esagonale tridimensionale

p.7 — Geometria della deviazione del raggio nel cristallo

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Approximation & Series Expansion, Small-Angle Approximation Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Prism Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P4 — Light from ice: a halo for the Sun (100 points)

The solar halo, like the one shown in the photo, is a phenomenon that occurs under particular meteorological conditions. It is a thin luminous ring surrounding the Sun, visible in a clear sky: in the inner region near the ring the sky appears darker, while in the outer region a faint luminosity is observed that gradually decreases until it blends with the usual blue color of the clear sky.

The phenomenon is due to the presence in the sky of a cloud of tiny ice crystals, having the shape of hexagonal prisms, which cause the Sun’s rays that strike one of the lateral faces to be able to emerge partly deviated.

The purpose of this problem is to understand how the formation of the luminous ring occurs, at a particular value of the deviation angle, and to calculate that value.

For simplicity, only the crystals whose axis is perpendicular to the plane defined by an incident ray and the deviated one that reaches the observer will be taken into consideration, as shown in the figure on the left. The deviation angle $\delta$ is the one shown in the figure on the right, in which the angle of incidence $i$, the internal refraction angle $r$, the internal incidence angle $i^{\prime }$ and the external refraction angle $r^{\prime }$ are also defined.

It is obvious that for normal incidence on a lateral face “e” all rays emerge from the opposite lateral face “p”, without being deviated. For non-zero angles of incidence ($0°<i<90°$) the rays could emerge from the opposite parallel face (“p”) or from one of those immediately adjacent (“c”), or from one of the faces “s” adjacent to the entry face “e”.

1. Determine the minimum value $n_{\min }$ of the refractive index for which any ray incident on face “e” and refracted toward face “s” does not exit from “s”.

The rays incident on face “e” are refracted either toward face “s”, or toward face “c”, or toward face “p”. With values of the refractive index greater than $n_{\min }$, the rays refracted toward “s” are then reflected toward “c” and from there exit. The rays refracted toward “c” may exit or be reflected again inside the prism. The rays refracted toward “p” exit the prism.

2. Considering a uniform beam of light that is incident on face “e” with angle of incidence $i$, calculate the fraction $\eta$ of this that is refracted directly toward face “p” (that is, without undergoing internal reflections on other faces), as a function of the angle of incidence $i$ and of the refractive index $n$.

To study the phenomenon of the halo we will concern ourselves, from now on, only with the rays refracted toward face “c”.

ATTENTION: From here on, determine the value of the angles with an accuracy of $1/100$ of a degree.

3. Knowing that the refractive index $n$ of ice for visible light of different colors is on average $1.310$, calculate the minimum value of the angle of incidence $i$ for which some ray refracted toward face “c” can emerge from it. Also calculate the corresponding angle of deviation $\delta$.

The principle of reversibility of the optical path can be expressed by saying that “if to go from a point $A$ to a point $B$ light follows a certain path, then starting from $B$ it can reach $A$ by traveling the same path in the reverse direction.”

4. Without the need for further calculations, but by exploiting the principle cited above, determine the angles ($i$, $r^{\prime }$ and $\delta$) corresponding to the maximum value of the angle of incidence for which some ray can emerge from face “c”.

Given the symmetry related to the reversibility principle stated above, it is easy to understand for which angle of incidence $i_0$ the angle of deviation $\delta$ will have a minimum or maximum value ${\delta }_0$ which is precisely the angular radius of the halo.

5. Determine the values of $i_0$ and ${\delta }_0$ and say whether it is a maximum or a minimum value.

The function $\delta (i)$ is rather complicated; in fact it turns out $\delta (i)=i+\arcsin \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{n^2-{\sin }^{2}i}-\frac{1}{2}\sin i\right]-60°.$ For this reason, for the subsequent study, in a sufficiently wide neighborhood of ${\delta }_0$ it is convenient to approximate it with the second-degree polynomial $y(x)=a{x}^2+bx+c$ where $y$ is the angle of deviation and $x$ the angle of incidence, $b=-0.6889$ and $c=35.93°$.

6. Determine the coefficient $a$ of the given polynomial and verify, for at least two different values of $i$, that the relative error of the approximation is less than $1\%$ in the interval $30°\le i\le 55°$.

The radius of the halo is related to the value of ${\delta }_0$ found in question 5. To understand this fact, suppose that the crystals considered are very large in number $N$ and that they are randomly oriented so that the statistical distribution of the angle of incidence $i$ is uniform.

7. Using the polynomial approximation, determine the ratio between the width of the interval of angles of incidence for which the deviation differs from ${\delta }_0$ by less than $0.01°$ and the width of the interval for which the deviation differs from ${\delta }_0$ between $1.0°$ and $1.01°$.

8. Explain how the radius of the halo is connected to the minimum value of the angular deviation ${\delta }_0$.

p.7 — Photo of the solar halo in the sky

p.7 — Three-dimensional hexagonal prismatic crystal

p.7 — Geometry of the ray deviation in the crystal

Solution: Soluzioni (PDF)