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OSCILLAZIONI E RIMBALZI IN PRESENZA DI FORZE NON CONSERVATIVE — Parte Prima: Guida Arcuata

Una sfera d’acciaio piena di raggio $r = 12, 700$ mm compie oscillazioni senza slittare su una guida arcuata di raggio $R$ . Il periodo delle oscillazioni è dato dalla relazione:

$T = 2 π \frac{7 ( R - r )}{5 g}$

Dallo studio delle oscillazioni che la sfera compie sulla guida, determina la misura del raggio $R$ .

Topic: Oscillations & Waves, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Ossillators and reversals in the presence of non-conservative forces Part One: Arcuate guide

A steel ball full of $r = 12, 700$ mm radius oscillates without slipping on an arc guide of $R$ radius. The period of oscillations is given in the report:

$T = 2 π \frac{7 ( R - r )}{5 g}$

From the study of the oscillations the sphere makes on the wheel, the measurement of the radius $R$ is determined.

Per valutare come l’arco di raggio $R$ approssima il profilo della guida, si riferisce la guida a una coppia di assi cartesiani $(x, y)$ , con l’asse delle ascisse parallelo al listello di legno e l’asse delle ordinate perpendicolare ad esso, passante per la mezzeria della guida arcuata e positivo verso l’alto. La relazione che lega le coordinate $(x, y)$ di un punto appartenente a un arco di cerchio è:

$y = R - R^{2} - x^{2}$

Si conviene che l’arco di cerchio e quello appartenente alla guida siano indistinguibili se la coordinata $y$ calcolata e quella misurata direttamente differiscono non più di 2 mm.

Indica quale porzione di guida soddisfa a tale criterio. Riporta in tabella le misure effettuate e descrivi, eventualmente avvalendoti di un disegno schematico di supporto, tutti gli accorgimenti necessari che hai adottato.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Diagrammatic Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

To assess how the arc of radius $R$ approximates the profile of the steering wheel, the steering wheel refers to a pair of Cartesian axles $(x, y)$ , with the axis of the axles parallel to the wooden frame and the axis of the axles perpendicular to it, passing through the centre of the steering wheel and positive upwards. The ratio of the coordinates $(x, y)$ of a point belonging to a circle arc is:

$y = R - R^{2} - x^{2}$

The circle arc and the one belonging to the wheel are indistinguishable if the calculated $y$ coordinate and the one directly measured differ by no more than 2 mm.

Indicate which part of the vehicle meets this criterion. Please list the measures taken and describe, if necessary using a supporting schematic, all the necessary measures taken.

L’ampiezza del moto della sfera si riduce in modo evidente durante le oscillazioni a causa di una forza dissipativa $F$ dovuta all’attrito volvente, applicata al centro di massa della sfera, con intensità direttamente proporzionale all’intensità $N$ della forza normale alla guida:

$F = k m g$

dove $m$ è la massa della sfera e $k$ è una costante adimensionale (valida quando $N \approx m g$ ).

Descrivi quale criterio segui per realizzare la condizione per cui l’intensità della forza normale alla guida, $N$ , sia praticamente uguale all’intensità della forza peso.

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Physical Modeling, Experimental Data Analysis Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The width of the sphere’s motion is significantly reduced during oscillations due to a dissipative force $F$ due to the rolling friction applied to the centre of mass of the sphere, with an intensity directly proportional to the intensity $N$ of the normal driving force:

$F = k m g$

where $m$ is the mass of the sphere and $k$ is an additive constant (valid when $N \approx m g$ ).

Describe what criterion you follow to achieve the condition that the intensity of the normal driving force, $N$ , is practically equal to the intensity of the weight force.

La posizione della sfera sulla porzione circolare di guida può essere espressa dalla misura diretta della lunghezza di un arco. Noti l’arco di cerchio $A B ⌢$ e il raggio $R$ , si ha $θ = A B ⌢ / R$ . L’altezza $h$ del centro di massa della sfera in funzione dell’angolo $θ$ è:

$h = (R - r) (1 - cos θ)$

Si può dimostrare che, se la forza normale $N$ e la forza dissipativa $F$ sono quelle descritte, esiste una relazione semplice che esprime la variazione dell’ampiezza delle oscillazioni $Δ θ$ in ogni oscillazione completa compiuta dalla sfera:

$Δ θ = 4 k (1)$

Effettua e riporta in tabella le misure necessarie atte a verificare l’attendibilità della relazione (1), dandone anche una rappresentazione grafica. Dal grafico ricava il coefficiente $k$ .

Geometria oscillazioni sfera su guida arcuata

Topic: Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The position of the sphere on the circular driving section can be expressed by direct measurement of the length of an arc. Note the circle arc $A B ⌢$ and the radius $R$ , you have $θ = A B ⌢ / R$ . The height $h$ of the centre of mass of the sphere as a function of the angle $θ$ is:

$h = (R - r) (1 - cos θ)$

It can be shown that if the normal force $N$ and the dissipative force $F$ are the ones described, there is a simple relationship that expresses the variation in the amplitude of oscillations $Δ θ$ in each complete oscillation performed by the sphere:

$Δ θ = 4 k (1)$

It shall draw up and report on the measures necessary to verify the reliability of the report (1), including a graphic representation. The graph shows the coefficient $k$ .

Geometry of spherical oscillations on the arcuate drive

Parte Seconda – Rampa di Lancio

Togli dall’apparato un angolare, e con esso le puntine da disegno e la molletta da bucato corrispondenti, in modo da rendere piana e orizzontale una metà della guida, lasciando arcuata l’altra metà. Ottieni in tal modo una rampa di lancio con cui lanciare orizzontalmente la sfera.

Al di sotto di una certa velocità la sfera abbandona la guida solo dopo una rotazione attorno al bordo. Questo “effetto di bordo” altera i valori della velocità e della posizione del centro di massa al momento del distacco dalla guida.

Effettua e riporta in tabella le misure atte a determinare l’intervallo dei valori dell’arco $A B ⌢$ affinché la sfera non risenta dell’effetto del bordo.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Experimental Data Analysis, Kinematic Equations, Energy Conservation Method Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Part Two Launching ramp

Remove a corner from the device, and with it the corresponding drawing points and washing spoon, so as to make one half of the handle flat and horizontal, leaving the other half arched. This gives you a launch pad to launch the ball horizontally.

At a speed below a certain speed, the sphere leaves the wheel only after rotating around the edge. This ‘board effect’ alters the values of the speed and position of the centre of mass when detached from the steering wheel.

It shall make and report in the table the measures to determine the range of arc values $A B ⌢$ so that the sphere is not affected by the edge effect.

La tecnica della carta carbone permette di rilevare alcuni rimbalzi della sfera dopo un lancio. Si ipotizza che negli urti col tavolo si verifichino due condizioni:

si conservi la componente orizzontale della velocità di traslazione ( $v_{x}$ );
il coefficiente di restituzione ( $e$ ), definito come il rapporto $e = v_{y}^{'} / v_{y}$ tra le intensità delle componenti verticali delle velocità in uscita ( $v_{y}^{'}$ ) e in ingresso ( $v_{y}$ ) nell’urto, sia costante nei vari rimbalzi.

Verifica che la distribuzione delle prime tre tracce lasciate dagli urti successivi dopo un lancio è compatibile con le due ipotesi suddette. Descrivi la procedura adottata e i risultati ottenuti.

Topic: Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Kinematic Equations, Conservation of Momentum Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The carbon paper technique allows you to detect some bounce of the sphere after a launch. It is assumed that two conditions occur in the collision with the table:

the horizontal component of the transfer rate ( $v_{x}$ ) is retained;
il coefficiente di restituzione ( $e$ ), definito come il rapporto $e = v_{y}^{'} / v_{y}$ tra le intensità delle componenti verticali delle velocità in uscita ( $v_{y}^{'}$ ) e in ingresso ( $v_{y}$ ) nell’urto, sia costante nei vari rimbalzi.

It verifies that the distribution of the first three tracks left by subsequent impacts after a launch is compatible with the two above assumptions. Describe the procedure and the results obtained.

Quantifica il rapporto $η = E_{f} / E_{i}$ tra le energie cinetiche possedute dalla sfera subito dopo ( $E_{f}$ ) e subito prima ( $E_{i}$ ) del primo rimbalzo. Descrivi la procedura adottata e i risultati ottenuti.

Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Experimental Data Analysis, Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.1 Soluzione: Soluzioni (PDF)

Quantifies the ratio of the $η = E_{f} / E_{i}$ kinetic energies of the sphere immediately after ( $E_{f}$ ) and immediately before ( $E_{i}$ ) the first bounce. Describe the procedure and the results obtained.

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