OII 2021 Nazionale Teorica

P1 – Scattering elastico tra due sfere (100 punti)

In una regione priva del campo di gravità si consideri l’urto elastico tra due sfere rigide e non vincolate A e B, di raggi rispettivamente $r_A$ e $r_B$, di cui una (B) inizialmente ferma. In figura sono mostrate le due sfere nel piano contenente i due centri e il vettore ${\vec{v}}_A$.

Siano $b$ il parametro d’impatto (definito come la distanza tra due rette passanti per i centri delle sfere e parallele a ${\vec{v}}_A$), $\alpha$ l’angolo di cui devia A e $\beta$ l’angolo tra la congiungente i due centri al momento dell’impatto e la traiettoria iniziale di A. Si misuri l’angolo $\alpha$ in verso antiorario e l’angolo $\beta$ in verso orario, in modo che entrambi risultino positivi come nella figura: pertanto $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$.

Si vuole determinare la massima deviazione angolare ${\alpha }_{\max }$ che può subire A al variare del parametro d’impatto ($0\le b\le r_A+r_B$), in funzione della sua velocità iniziale e del rapporto tra le masse $\mu =m_A/m_B$. Si supponga che l’attrito sia trascurabile e che quindi le forze impulsive al momento dell’impatto siano dirette lungo la congiungente i due centri.

1. Si dica quali tra le seguenti grandezze si conservano in questo tipo di urto, motivando la risposta: energia cinetica del sistema delle due sfere, energia cinetica della sfera A, quantità di moto totale, quantità di moto della sfera A.

2. Si consideri prima l’urto centrale ($b=0$) per ogni valore di $\mu$ tra 0 e infinito. Si scrivano le equazioni delle leggi di conservazione appropriate e si trovi la velocità $v_A^{\prime }$ della sfera A dopo l’urto.

3. Qual è la massima deviazione ${\alpha }_{\max }$, al variare del parametro d’urto $b$, nel caso $\mu <1$?

Per le domande da 4 a 6, si consideri il caso $\mu \ge 1$, ponendo $s=\sin \beta =b/(r_A+r_B)$:

4. Si scrivano le equazioni che descrivono le leggi di conservazione appropriate.

   Si può dimostrare che nel caso generale vale la relazione:

$\tan \alpha =\frac{\sqrt{1-s^2}}{\frac{2s^2+\mu -1}{2s}}$

5. Si dimostri che, nel caso $\mu =1$, le traiettorie delle due sfere dopo l’urto sono ortogonali.

6. Si ricavi qual è, al variare di $s$, la deviazione massima ${\alpha }_{\max }$, per $\mu >1$, e la si esprima in funzione di $\mu$.

7. Si tracci il grafico di ${\alpha }_{\max }$ in funzione di $\mu$.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Elastic scattering between two spheres (100 points)

In a region free of gravity field, the elastic impact between two rigid, unbound spheres A and B, of radii $r_A$ and $r_B$ respectively, of which one (B) is initially stationary, is considered. The two spheres in the plane containing the two centres and the ${\vec{v}}_A$ vector are shown in Figure 1.

Siano $b$ il parametro d’impatto (definito come la distanza tra due rette passanti per i centri delle sfere e parallele a ${\vec{v}}_A$), $\alpha$ l’angolo di cui devia A e $\beta$ l’angolo tra la congiungente i due centri al momento dell’impatto e la traiettoria iniziale di A. The angle $\alpha$ is measured clockwise and the angle $\beta$ is measured clockwise, so that both are positive as shown in Figure: therefore $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$.

The maximum angular deviation ${\alpha }_{\max }$ that A can experience when the impact parameter ($0\le b\le r_A+r_B$) varies, according to its initial velocity and the mass ratio $\mu =m_A/m_B$, is to be determined. Suppose friction is negligible and that the impulsive forces at the time of impact are directed along the junction of the two centres.

1. Let’s say which of the following quantities are stored in this type of impact, which motivates the answer: kinetic energy of the two-sphere system, kinetic energy of the sphere A, total motion quantity, amount of motion of the sphere A.

2. Consider the centre impact ($b=0$) for each $\mu$ value between 0 and infinity. Write the equations of the appropriate conservation laws and find the $v_A^{\prime }$ speed of the sphere A after impact.

3. What is the maximum deviation ${\alpha }_{\max }$ from the change in the impact parameter $b$ in the case of $\mu <1$?

For questions 4 to 6, consider the case $\mu \ge 1$ by entering $s=\sin \beta =b/(r_A+r_B)$:

4. Write the equations that describe the appropriate conservation laws.

The report can be shown to be generally valid:

$\tan \alpha =\frac{\sqrt{1-s^2}}{\frac{2s^2+\mu -1}{2s}}$

5. It is shown that in the case of $\mu =1$ the trajectories of the two spheres after impact are orthogonal.

6. The maximum deviation ${\alpha }_{\max }$ for $\mu >1$ is obtained from $s$ and is expressed as a function of $\mu$.

7. The graph of ${\alpha }_{\max }$ is plotted as a function of $\mu$.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Free-Body Diagram, Kinematic Equations, Calculus-Integration Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 – Modelli di atmosfera (100 punti)

In meteorologia si chiama “massa d’aria” una porzione di troposfera di notevole estensione sia in orizzontale (anche molte decine di chilometri) che in verticale (una decina di chilometri) nella quale le grandezze termodinamiche come temperatura, pressione e umidità sono sostanzialmente uniformi ad una quota fissata.

Quando una certa quantità d’aria relativamente piccola (per estensioni di decine di metri) viene perturbata e comincia a spostarsi verticalmente, questa può considerarsi termicamente isolata dal resto della massa d’aria. Nel seguito una tale porzione, avente una massa definita, sarà denominata “cella”.

Per descrivere lo stato di equilibrio indifferente dell’intera massa d’aria (condizione per cui una qualunque cella perturbata e spostata verticalmente resta in equilibrio nella nuova posizione) si vogliono utilizzare due modelli, macroscopico e microscopico.

Dal punto di vista macroscopico, il modello più semplice è quello di un gas perfetto biatomico di massa molare media $\bar{\mu }$, trascurando la presenza del vapore d’acqua, la variazione dell’accelerazione di gravità $g$ con la quota $z$ ed effetti dovuti alla radiazione solare.

1. Preliminarmente, detta $p_0$ la pressione al livello del mare, si calcoli l’andamento della pressione con la quota, ovvero $p(z)$, in condizioni di equilibrio idrostatico, facendo l’ulteriore ipotesi che la temperatura sia uniforme e pari a $T_0$. (Si raccomanda di introdurre la costante $\lambda =R{T}_0/(\bar{\mu }g)$.)

2. La condizione di temperatura uniforme della massa d’aria è tale che l’equilibrio di una cella non possa essere indifferente; si dica se si tratta di equilibrio stabile o instabile, dandone una giustificazione qualitativa.

3. Si consideri adesso il caso in cui la massa d’aria ha pressione $p_0$ e temperatura $T_0$ al livello del mare, ma una temperatura $T$ variabile con la quota $z$ tale che in essa ogni cella risulti in equilibrio indifferente. Si calcoli l’andamento della temperatura $T(z)$ nella massa d’aria.

4. Facendo uso di un modello microscopico con atmosfera costituita da una sola specie di molecole (azoto N${}_2$, massa molare $\bar{\mu }=28{\text{g mol}}^{-1}$), e con l’ipotesi che l’energia totale media di ogni molecola sia indipendente dalla quota, calcolare l’andamento di temperatura con la quota, $T(z)$.

5. Utilizzando gli andamenti della temperatura ottenuti ai punti precedenti, si ricavi l’andamento della pressione $p(z)$ per ciascuno dei due modelli.

6. Si dica in quali condizioni il caso elementare discusso al punto 1 dà risultati convergenti con questi due modelli.

7. Per tutti e tre i casi studiati sopra, si calcolino i valori della pressione e della temperatura alla quota di 1000 m, se $p_0=100\text{kPa}$ e $T_0=20^{\circ }\text{C}$.

NOTE:

1. Può essere utile il seguente integrale indefinito: $\int \frac{dx}{a+bx}=\frac{1}{b}\ln (a+bx)+\text{costante}$
2. Approssimazioni valide se $x\ll 1$: $e^x\approx 1+x$; $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium, Kinetic Theory of Gases, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following is the list of air quality indicators:

In meteorology, a portion of the troposphere of considerable extent is called an “air mass” in both horizontal (also many tens of kilometers) and vertical (one dozen kilometers) in which thermodynamic quantities such as temperature, pressure and humidity are essentially uniform at a fixed altitude.

When a relatively small amount of air (for extensions of tens of meters) is disturbed and begins to move vertically, it can be considered thermal isolated from the rest of the air mass. In the following, such a portion, having a defined mass, shall be referred to as a ‘cell’.

To describe the state of indifferent equilibrium of the entire air mass (a condition whereby any disrupted and vertically shifted cell remains in equilibrium in the new position) two models, macroscopic and microscopic, are to be used.

From a macroscopic point of view, the simplest model is that of a perfect biatomic gas of mean molar mass $\bar{\mu }$, ignoring the presence of water vapor, the variation in gravitational acceleration $g$ with the ratio $z$ and effects due to solar radiation.

1. Initially, the pressure at sea level $p_0$ is calculated by the pressure trend with the quota, or $p(z)$, under hydrostatic equilibrium conditions, assuming that the temperature is uniform and equal to $T_0$. (It is recommended to enter the constant $\lambda =R{T}_0/(\bar{\mu }g)$.)

2. The uniform temperature condition of the air mass is such that the balance of a cell cannot be indifferent; whether it is a stable or unstable balance can be said, given a qualitative justification.

3. Consider now the case where the air mass has pressure $p_0$ and temperature $T_0$ at sea level, but a temperature $T$ variable with the quota $z$ such that each cell is in an unbalanced state. The temperature trend $T(z)$ in the air mass is calculated.

4. Using a microscopic model with an atmosphere consisting of a single molecule species (nitrogen N${}_2$, molar mass $\bar{\mu }=28{\text{g mol}}^{-1}$), and assuming that the average total energy of each molecule is independent of the altitude, calculate the temperature trend with the altitude, $T(z)$.

5. Using the temperature trends obtained in the preceding points, the pressure trends $p(z)$ are obtained for each of the two models.

6. It is necessary to specify under what conditions the elementary case discussed in point 1 gives convergent results with these two models.

7. For all three cases considered above, the pressure and temperature values at 1000 m altitude shall be calculated if $p_0=100\text{kPa}$ and $T_0=20^{\circ }\text{C}$.

Notes:

1. The following indefinite integer may be useful: $\int \frac{dx}{a+bx}=\frac{1}{b}\ln (a+bx)+\text{costante}$
2. Approximations valid if $x\ll 1$: $e^x\approx 1+x$; $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$.

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium, Kinetic Theory of Gases, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 – Un sistema stellare binario (50 punti)

Il grafico di figura 1 mostra il risultato di un’analisi di dati sperimentali relativi allo spettro di una sorgente stellare. In ordinata è riportata la quantità $I_s(\lambda )=dE/(dSdtd\lambda )$, detta “irradianza spettrale”, dove $dE$ è la quantità di energia, nell’intervallo di lunghezza d’onda $d\lambda$, che incide su una superficie $dS$ disposta perpendicolarmente alla direzione di propagazione della radiazione, in un intervallo di tempo $dt$.

In questo problema ogni stella sarà modellizzata come un corpo nero che emette radiazione alla temperatura superficiale della stella, uniforme sulla sua intera superficie.

Il grafico di figura 1 non corrisponde a quello di un unico corpo nero. Si può provare a vedere se questo spettro può essere ricavato come la sovrapposizione di due spettri di corpo nero distinti, corrispondenti a due stelle, indicate con le lettere A e B.

1. Individuare, motivando la risposta, quale delle coppie di spettri mostrate nella figura 2 (2.1 e 2.2) ha come somma lo spettro mostrato nella figura 1.

2. Ricavare le temperature superficiali delle due stelle A e B.

3. Indicare, motivando la risposta, quale delle due stelle A e B è più luminosa.

Per determinare la distanza dalla Terra del sistema stellare si ricorre al metodo della parallasse stellare. La distanza angolare tra le posizioni estreme, raggiunte dal sistema stellare a sei mesi di distanza, è pari a $\alpha =0.00204^{\prime \prime }$ (secondi d’arco).

4. Determinare la distanza del sistema stellare dalla Terra, in unità astronomiche (UA).

La figura 3 riporta lo spettro della stella A, ingrandito.

5. Calcolare, con un’incertezza massima del 15%, la luminosità della stella A.

6. Calcolare il raggio della stella A.

7. Determinare, motivando la risposta, quale tra le due stelle A e B ha raggio maggiore.

Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Statistical Averaging, Photon Energy Relation, Kepler’s Laws, Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

The following is the list of the stars in the constellation P3

The graph in Figure 1 shows the result of an analysis of experimental data relating to the spectrum of a star source. The quantity $I_s(\lambda )=dE/(dSdtd\lambda )$, called ‘spectral irradiance’, where $dE$ is the quantity of energy, in the wavelength range $d\lambda$, that affects a surface $dS$ perpendicular to the direction of radiation propagation, in a time range $dt$, is reported in order.

In this problem, each star will be modeled as a black body that emits radiation to the surface temperature of the star, uniform across its entire surface.

The graph in Figure 1 does not correspond to that of a single black body. It can be tested to see if this spectrum can be obtained as the superposition of two distinct black-body spectra corresponding to two stars, indicated by letters A and B.

1. Identify, by reasoning the answer, which of the spectrum pairs shown in Figure 2 (2.1 and 2.2) sums up the spectrum shown in Figure 1.

2. Find the surface temperatures of the two stars A and B.

3. Indicate, motivating the answer, which of the two stars A and B is brighter.

To determine the distance from the Earth of the star system, the method of star parallelism is used. The angular distance between the extreme positions, reached by the star system at six months’ distance, is $\alpha =0.00204^{\prime \prime }$ (arc seconds).

4. Determine the distance of the star system from the Earth, in astronomical units (UA).

Figure 3 shows the spectrum of star A, enlarged.

5. Calculate, with a maximum uncertainty of 15%, the brightness of star A.

6. Calculate the radius of star A.

7. Determine, motivating the answer, which of the two stars A and B has the greatest radius.

Topic: Astrophysics, Modern-Quantum Physics, Oscillations & Waves Metodi: Statistical Averaging, Photon Energy Relation, Kepler’s Laws, Experimental Data Analysis, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Experimental Data Analysis Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P4 – Due fili paralleli carichi (50 punti)

Su due fili isolanti – rettilinei, paralleli e di lunghezza infinita, a distanza $2a$ uno dall’altro – sono disposte cariche di segno opposto con densità lineare $\pm \lambda$ uniforme.

Si consideri, su un piano perpendicolare ai fili rappresentato in figura, la circonferenza di raggio $a$ passante per le intersezioni con i due fili (figura 1).

1. Calcolare il modulo del campo elettrico in ogni punto P della circonferenza (esclusi i punti di intersezione con i fili) e dire in quali punti è minimo.

2. Dimostrare che le due semicirconferenze di centro O che hanno come estremi le intersezioni dei fili con il piano della figura sono due linee di campo.

Una particella di carica positiva $q$ e massa $m$ è vincolata a muoversi su una guida circolare di raggio $2a$ complanare e concentrica alla circonferenza precedente (figura 2). La guida è costituita da un materiale isolante e la particella può scorrervi sopra con attrito trascurabile.

3. Determinare tutti i punti di equilibrio per la particella, indicando se si tratta di equilibrio stabile o instabile.

4. La particella, posta inizialmente nel punto di equilibrio instabile, viene spostata di una piccola quantità e lasciata libera. Determinare la velocità della particella quando passa per il punto di equilibrio stabile.

I due fili si muovono ora entrambi con velocità $\vec{v}$ parallela ai fili stessi.

5. Dimostrare che in ogni punto il campo magnetico $\vec{B}$ è perpendicolare al campo elettrico $\vec{E}$ e tra i moduli dei campi vale la relazione $B=vE/c^2$ (ovvero $vB=(v/c{)}^{2}E$).

Topic: Electrostatics, Electromagnetism, Magnetism Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Gauss’s Law, Lorentz Force Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wire, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)

**P4 Two parallel wires loaded ** (50 points)

On two insulating wires straight, parallel and infinite length, at a distance $2a$ from each other opposite sign loads with uniform linear density $\pm \lambda$ are arranged.

Consider, on a plane perpendicular to the wires shown in Figure 1, the radius circumference $a$ passing through the intersections with the two wires (Figure 1).

1. Calculate the electric field modulus at each point P of the circumference (excluding the points of intersection with the wires) and tell which points is the minimum.

2. To show that the two semicircular centre O which have as their extremes the intersections of the strings with the plane of the figure are two field lines.

A positive charge particle $q$ and mass $m$ is bound to move on a circular guide of radius $2a$ flat and concentric to the previous circumference (Figure 2). The guide is made of an insulating material and the particle can run over it with negligible friction.

3. Determine all equilibrium points for the particle, indicating whether it is stable or unstable.

4. The particle, initially placed at the point of unstable equilibrium, is moved by a small amount and left free. Determine the velocity of the particle as it passes through the stable equilibrium point.

The two wires are now moving both at $\vec{v}$ speed parallel to the wires themselves.

5. Show that at each point the magnetic field $\vec{B}$ is perpendicular to the electric field $\vec{E}$ and that the field modules have a $B=vE/c^2$ (i.e. $vB=(v/c{)}^{2}E$) relationship.

Topic: Electrostatics, Electromagnetism, Magnetism Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method, Energy Conservation Method, Gauss’s Law, Lorentz Force Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wire, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.8 Soluzione: Soluzioni (PDF)