OII 2022 Nazionale Teorica

P1 Un contagiri Punti 100 Un tubo cilindrico di vetro, chiuso alle estremità, viene fatto ruotare uniformemente con velocità angolare $\omega$ attorno ad un asse verticale passante per una sua estremità, mantenendolo inclinato di un angolo costante $\alpha$ rispetto alla verticale. Si adotti un sistema di riferimento rotante con il tubo e in questo un sistema di coordinate cilindriche con l’asse $z$ coincidente con l’asse di rotazione e l’asse $r$ orizzontale e giacente nel piano individuato dall’asse $z$ e dall’asse del tubo, come in figura. Una pallina di raggio molto minore del raggio del tubo viene inserita all’interno del tubo. In queste condizioni esiste un punto di equilibrio per la pallina, diverso da quelli banali agli estremi del tubo.

1. Esprimere la coordinata $r_e$ del punto di equilibrio della pallina in funzione di $\omega$ e $\alpha$ e dire se si tratta di un punto di equilibrio stabile o instabile, giustificando la risposta. Si vuole ora studiare l’equilibrio della pallina quando il tubo viene completamente riempito con un liquido di densità $\rho$. Per farlo si analizzerà prima la variazione di pressione idrostatica all’interno del tubo.
2. Scrivere, all’interno del liquido, la differenza di pressione tra due punti vicinissimi posti su una retta verticale, a distanza $r$ dall’asse di rotazione, e alle quote rispettivamente $z$ e $z+dz$.
3. Scrivere, all’interno del liquido, la differenza di pressione tra due punti vicinissimi posti su una retta perpendicolare all’asse di rotazione, alla quota $z$ e a distanze rispettivamente $r$ e $r+dr$ dall’asse di rotazione. Sia ${\rho }_p$ la densità della pallina e $V$ il suo volume.
4. Posta la pallina nel tubo a distanza $r$ dall’asse di rotazione, determinare, in funzione dei dati del problema, le componenti radiale e verticale della spinta idrostatica.
5. Sia $\rho <{\rho }_p$. Scrivere la coordinata $r_A$ della posizione di equilibrio A della pallina e dire se si tratta di un punto di equilibrio stabile o instabile, giustificando la risposta.
6. Sia ora $\rho >{\rho }_p$. Scrivere la coordinata $r_B$ della posizione di equilibrio B della pallina e dire se si tratta di un punto di equilibrio stabile o instabile, giustificando la risposta.
7. Rappresentare in un diagramma sul foglio risposte le due posizioni di equilibrio indicandole con A e B.
8. Un dispositivo di questo tipo può essere utilizzato come contagiri in cui la posizione della pallina è collegata alla frequenza di rotazione. Dire in quale dei due casi $\rho <{\rho }_p$ o $\rho >{\rho }_p$ il dispositivo è adatto allo scopo e determinare la minima frequenza di rotazione $f$ che può essere misurata in funzione dei parametri del problema e della lunghezza $L$ del tubo. — Pagina 4 di 6 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2022 Gara Nazionale Prova teorica – 22 aprile 2022

p.4 — Tubo inclinato rotante, assi z e r

Topic: Rotational Dynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Tube, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 A contagion The following points shall be added: A cylindrical glass tube, closed at the ends, is rotated uniformly at angular speed $\omega$ around a vertical axis passing through the a slope of $\alpha$ with respect to the The vertical. A rotating reference system with the tube is adopted and in this a cylindrical coordinate system with the $z$ axis coinciding with the rotating axis and the $r$ axis horizontal and lying in the plane identified by the $z$ axis and the <axis The tube, as shown in Figure 1. A ball of radius much smaller than the tube radius is inserted into the tube. Under these conditions There is a balance point for the ball, different from the usual ones at the ends of the tube.

1. Express the coordinate $r_e$ of the ball balance point in terms of $\omega$ and $\alpha$ and say whether it is a stable or unstable equilibrium point, justifying the response. The aim is to study the balance of the ball when the tube is completely filled with a liquid of densità $\rho$. To do this, the hydrostatic pressure change inside the tube will be analysed first.
2. Write, inside the liquid, the pressure difference between two very close points on a straight line vertical, at $r$ from the rotating axis, and at the values $z$ and $z+dz$ respectively.
3. Write, inside the liquid, the pressure difference between two very close points on a straight line perpendicular to the rotation axis, to the height $z$ and to distances $r$ and $r+dr$ respectively from the axis of The rotation. Both ${\rho }_p$ the density of the ball and $V$ its volume.
4. Place the ball in the tube $r$ from the rotating axis, determine, depending on the problem data, the radial and vertical components of the hydrostatic drive.
5. It is either $\rho <{\rho }_p$. Write the coordinate $r_A$ of balance position A of the ball and say whether it is a the equilibrium point is stable or unstable, justifying the response.
6. Sia ora $\rho >{\rho }_p$. Write the coordinate $r_B$ of balance position B of the ball and say whether it is a stable or unstable equilibrium point, justifying the response.
7. The two equilibrium positions are shown in a diagram on the answering sheet, with A and B.
8. A device of this type may be used as a counter in which the ball position is connected the rotational frequency. Indicate which of the two $\rho <{\rho }_p$ or $\rho >{\rho }_p$ is suitable for the device and determine the minimum rotation frequency $f$ which can be measured according to the parameters of the problema e della lunghezza $L$ del tubo. Page 4 of 6 AIF 2022 Olympics in Physics National competition Theoretical test 22 April 2022

**p.4 ** Rotating slanted tube, z and r axes

Topic: Rotational Dynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Tube, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Pendolo elettrostatico Punti 100 Una carica elettrica è uniformemente distribuita con densità $\lambda >0$ su una semicirconferenza di centro O e raggio $r$, tenuta fissa su un piano verticale, come mostrato in figura. Sia $\vec{E}(P)$ il campo elettrico dato dalla distribuzione di carica nel punto P del piano mostrato in figura e sia $\vec{E}={\vec{E}}_{\parallel }+{\vec{E}}_{\perp }$, la decomposizione del campo in componenti parallela e ortogonale rispetto alla retta OP.

1. Si dimostri che, se $P^{\prime }$ è il punto simmetrico di P rispetto ad O, vale la relazione ${\vec{E}}_{\perp }(P^{\prime })={\vec{E}}_{\perp }(P)$. Suggerimento per la domanda 1: si consideri la distribuzione di carica sulla semicirconferenza come costituita di due parti di cui una è simmetrica rispetto alla retta $P{P}^{\prime }$. Un pendolo è appeso ad un perno O che coincide con il centro della semicirconferenza. Il pendolo è formato da una piccola sfera di massa $m$ che possiede una carica $q_1$ e un filo, inestensibile e di massa trascurabile, di lunghezza $\ell <r$, come mostrato in figura. Si può dimostrare che in tutti i punti posti sulla verticale passante per O, al di sopra del punto di appoggio della semicirconferenza, il campo elettrico è diretto verso l’alto.
2. Detto $E_A$ il modulo del campo elettrico della distribuzione $\lambda$ nel punto A dire per quali valori di $q_1$, sia positivi che negativi, il pendolo può stare in equilibrio nel punto A. Si vuole determinare la forza di richiamo quando il pendolo è spostato dalla posizione di equilibrio di un piccolo angolo $\phi \ll 1$ (espresso in radianti) nel punto P: per chiarezza, in figura l’angolo $\phi$ ha un’ampiezza molto maggiore di quella reale.
3. Mostrare che, per $\phi \ll 1$, il modulo della componente perpendicolare al filo del campo elettrico in P può essere espressa come $E_{\perp }=\alpha \phi$, dove $\alpha$ è una costante e determinare l’espressione di tale costante. Nel seguito si scriva sempre il campo in termini di $\alpha$ senza sostituire l’espressione appena trovata.
4. Scrivere l’espressione della forza di richiamo che dà origine alle piccole oscillazioni. In queste condizioni si misura il periodo e si trova un valore $T_1$. Successivamente si carica la sfera del pendolo con una carica $q_2$ di modulo doppio della precedente si osserva che anche in questo caso il pendolo oscilla attorno ad una posizione di equilibrio con un periodo $T_2=T_1$.
5. Determinare la posizione del punto di equilibrio in questa nuova condizione e il segno della carica $q_2$.
6. Scrivere, analogamente a prima, l’espressione della forza di richiamo che dà origine alle piccole oscillazioni intorno alla nuova posizione di equilibrio.
7. Determinare il valore del periodo $T$, nei due casi $q_1$ positiva o negativa, sapendo che il periodo delle oscillazioni armoniche del pendolo nel caso in cui la semicirconferenza non è carica vale $T_0=1\text{s}$. — Pagina 5 di 6 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2022 Gara Nazionale Prova teorica – 22 aprile 2022

p.5 — Semicirconferenza carica, campo E in P

p.5 — Pendolo elettrostatico nella semicirconferenza

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Vector Decomposition, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Electrostatic pendulum The following points shall be added: An electrical charge is evenly distributed with density $\lambda >0$ on a semicircular centre O and radius $r$, fixed on a vertical plane, as shown in Figure 1. Whether $\vec{E}(P)$ the electric field given by the charge distribution in point P of the plan shown in Figure and $\vec{E}={\vec{E}}_{\parallel }+{\vec{E}}_{\perp }$, the decomposition of the field into parallel and orthogonal components I’m not going to say that I’m not going to be able to do it.

1. It is shown that if $P^{\prime }$ is the symmetrical point of P with respect to O, the ${\vec{E}}_{\perp }(P^{\prime })={\vec{E}}_{\perp }(P)$ ratio is used. Suggestion for Question 1: consider the distribution of The Commission shall, by means of implementing acts, adopt delegated acts in accordance with Article 21 of the Treaty establishing the European Community, in accordance with Article 21 of this Agreement, in accordance with the procedure referred to in Article 21 of this Agreement. one is symmetrical to the $P{P}^{\prime }$ straight line. A pendulum is suspended from a pole or which coincides with the centre The Commission has already decided to take a decision on the basis of the conclusions of the semicircular. The pendulum is made of a small sphere a mass of $m$ having a charge $q_1$ and a wire, unextended and of a negligible mass, length $\ell <r$, as shown in Figure 1. It can be shown that at all points on the passing vertical For O, above the support point of the semicircular, the The electric field is directed upwards.
2. The electric field module of the distribution $\lambda$ is $E_A$ in point A, indicate which values of $q_1$, both positive and negative, The pendulum may be in equilibrium at point A. You want to determine the force of gravity when the pendulum is moved from the equilibrium position of a small angle $\phi \ll 1$ (expressed in radiants) in point P: for clarity, in the figure the angle $\phi$ has a very wide It’s bigger than the real thing.
3. Show that for $\phi \ll 1$ the module of the component perpendicular to the electric field wire in P can be be expressed as $E_{\perp }=\alpha \phi$, where $\alpha$ is a constant and determine the expression of that constant. The following field is always written as $\alpha$ without replacing the newly found expression.
4. Write the expression of the force of call that gives rise to the small oscillations. In these conditions the period is measured and a value $T_1$ is found. The pendulum sphere is then charged with a $q_2$ charge of double the previous module. The pendulum shall be kept in a position of equilibrium with a period $T_2=T_1$.
5. Determine the position of the equilibrium point in this new condition and the load mark $q_2$.
6. Write, as before, the expression of the force of call giving rise to the small oscillations around the new equilibrium position.
7. Determine the value of the period $T$, in either positive or negative cases $q_1$, knowing that the period of the Harmonic oscillations of the pendulum in the case where the semicircular is not loaded $T_0=1\text{s}$. Page 5 of 6 AIF 2022 Olympics in Physics National competition Theoretical test 22 April 2022

Semi-conference load, field E in P

The following table shows the results of the calculations:

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Vector Decomposition, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Ciclo termodinamico Punti 100 Un gas perfetto monoatomico esegue il ciclo termodinamico mostrato in figura. Tutte le trasformazioni sono quasistatiche. Inizialmente il sistema si trova nello stato A e subisce un’espansione rappresentata da un tratto rettilineo in un diagramma $V,p$, fino a raggiungere lo stato B. Da qui ritorna a quello iniziale mediante una compressione adiabatica. Sono dati i seguenti valori: $V_A=3{\text{dm}}^3$, $p_A=3.36\text{kPa}$, $V_B=24{\text{dm}}^3$.

1. Si calcoli il valore di $p_B$.
2. Si ricavi l’equazione della retta che descrive la trasformazione lineare da A a B, scrivendola nella forma $p=mV+q$. Si calcolino i valori di $m$ e di $q$. Suggerimento: nel resto del problema conviene usare i parametri $q$ e $m$ senza sostituirli con le loro espressioni.
3. Si determinino volume e pressione negli stati in cui il sistema raggiunge la massima e la minima temperatura.
4. Nella trasformazione da A a B il sistema dapprima assorbe calore fino a uno stato intermedio Y e successivamente cede calore fino a B. Si ricavino $V_Y$ e $p_Y$.
5. Si calcoli il rendimento di una macchina termica che esegue questo ciclo.
6. Si calcoli il rendimento che lo stesso sistema realizzerebbe se eseguisse un ciclo di Carnot a parità di temperature massima e minima. — Pagina 6 di 6 —

p.6 — Diagramma p-V del ciclo termodinamico

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Thermodynamic cycle The following points shall be added: A perfect monoatomic gas performs the thermodynamic cycle shown in the figure. All transformations are quasi-static. Initially the system is in state A and undergoes an expansion represented by a straight line segment in a diagram $V,p$, up to and including to reach state B. From here it goes back to the original one by A diabetic compression. The following values are given: $V_A=3{\text{dm}}^3$, $p_A=3.36\text{kPa}$, $V_B=24{\text{dm}}^3$.

1. The value of $p_B$ shall be calculated.
2. The line equation describing the transformation is obtained Linear from A to B, written as $p=mV+q$. Si Calculate the values of $m$ and $q$. Suggestion: in the rest of the problem, use the parameters $q$ and $m$ without replacing them with their expressions.
3. The volume and pressure shall be determined in the states where the system reaches the maximum and minimum temperatures.
4. In transformation from A to B the system first absorbs heat until an intermediate state Y and then releases heat until B. The result is $V_Y$ and $p_Y$.
5. Calculate the efficiency of a heat engine running this cycle.
6. The resulting performance of the same system is calculated by running a Carnot cycle equal to maximum and minimum temperatures. Page 6 of 6

The following table shows the results of the calculation of the temperature of the thermodynamic cycle:

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)