OII 2022 Nazionale Teorica

P1 Un contagiri Punti 100 Un tubo cilindrico di vetro, chiuso alle estremità, viene fatto ruotare uniformemente con velocità angolare $\omega$ attorno ad un asse verticale passante per una sua estremità, mantenendolo inclinato di un angolo costante $\alpha$ rispetto alla verticale. Si adotti un sistema di riferimento rotante con il tubo e in questo un sistema di coordinate cilindriche con l’asse $z$ coincidente con l’asse di rotazione e l’asse $r$ orizzontale e giacente nel piano individuato dall’asse $z$ e dall’asse del tubo, come in figura. Una pallina di raggio molto minore del raggio del tubo viene inserita all’interno del tubo. In queste condizioni esiste un punto di equilibrio per la pallina, diverso da quelli banali agli estremi del tubo.

1. Esprimere la coordinata $r_e$ del punto di equilibrio della pallina in funzione di $\omega$ e $\alpha$ e dire se si tratta di un punto di equilibrio stabile o instabile, giustificando la risposta. Si vuole ora studiare l’equilibrio della pallina quando il tubo viene completamente riempito con un liquido di densità $\rho$. Per farlo si analizzerà prima la variazione di pressione idrostatica all’interno del tubo.
2. Scrivere, all’interno del liquido, la differenza di pressione tra due punti vicinissimi posti su una retta verticale, a distanza $r$ dall’asse di rotazione, e alle quote rispettivamente $z$ e $z+dz$.
3. Scrivere, all’interno del liquido, la differenza di pressione tra due punti vicinissimi posti su una retta perpendicolare all’asse di rotazione, alla quota $z$ e a distanze rispettivamente $r$ e $r+dr$ dall’asse di rotazione. Sia ${\rho }_p$ la densità della pallina e $V$ il suo volume.
4. Posta la pallina nel tubo a distanza $r$ dall’asse di rotazione, determinare, in funzione dei dati del problema, le componenti radiale e verticale della spinta idrostatica.
5. Sia $\rho <{\rho }_p$. Scrivere la coordinata $r_A$ della posizione di equilibrio A della pallina e dire se si tratta di un punto di equilibrio stabile o instabile, giustificando la risposta.
6. Sia ora $\rho >{\rho }_p$. Scrivere la coordinata $r_B$ della posizione di equilibrio B della pallina e dire se si tratta di un punto di equilibrio stabile o instabile, giustificando la risposta.
7. Rappresentare in un diagramma sul foglio risposte le due posizioni di equilibrio indicandole con A e B.
8. Un dispositivo di questo tipo può essere utilizzato come contagiri in cui la posizione della pallina è collegata alla frequenza di rotazione. Dire in quale dei due casi $\rho <{\rho }_p$ o $\rho >{\rho }_p$ il dispositivo è adatto allo scopo e determinare la minima frequenza di rotazione $f$ che può essere misurata in funzione dei parametri del problema e della lunghezza $L$ del tubo. — Pagina 4 di 6 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2022 Gara Nazionale Prova teorica – 22 aprile 2022

p.4 — Tubo inclinato rotante, assi z e r

Topic: Rotational Dynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Tube, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 A contagion The following points shall be added: A cylindrical glass tube, closed at the ends, is rotated uniformly at angular speed $\omega$ around a vertical axis passing through the a slope of $\alpha$ with respect to the The vertical. A rotating reference system with the tube is adopted and in this a cylindrical coordinate system with the $z$ axis coinciding with the rotating axis and the $r$ axis horizontal and lying in the plane identified by the $z$ axis and the <axis The tube, as shown in Figure 1. A ball of radius much smaller than the tube radius is inserted into the tube. Under these conditions There is a balance point for the ball, different from the usual ones at the ends of the tube.

1. Express the coordinate $r_e$ of the ball balance point in terms of $\omega$ and $\alpha$ and say whether it is a stable or unstable equilibrium point, justifying the response. The aim is to study the balance of the ball when the tube is completely filled with a liquid of densità $\rho$. To do this, the hydrostatic pressure change inside the tube will be analysed first.
2. Write, inside the liquid, the pressure difference between two very close points on a straight line vertical, at $r$ from the rotating axis, and at the values $z$ and $z+dz$ respectively.
3. Write, inside the liquid, the pressure difference between two very close points on a straight line perpendicular to the rotation axis, to the height $z$ and to distances $r$ and $r+dr$ respectively from the axis of The rotation. Both ${\rho }_p$ the density of the ball and $V$ its volume.
4. Place the ball in the tube $r$ from the rotating axis, determine, depending on the problem data, the radial and vertical components of the hydrostatic drive.
5. It is either $\rho <{\rho }_p$. Write the coordinate $r_A$ of balance position A of the ball and say whether it is a the equilibrium point is stable or unstable, justifying the response.
6. Sia ora $\rho >{\rho }_p$. Write the coordinate $r_B$ of balance position B of the ball and say whether it is a stable or unstable equilibrium point, justifying the response.
7. The two equilibrium positions are shown in a diagram on the answering sheet, with A and B.
8. A device of this type may be used as a counter in which the ball position is connected the rotational frequency. Indicate which of the two $\rho <{\rho }_p$ or $\rho >{\rho }_p$ is suitable for the device and determine the minimum rotation frequency $f$ which can be measured according to the parameters of the problema e della lunghezza $L$ del tubo. Page 4 of 6 AIF 2022 Olympics in Physics National competition Theoretical test 22 April 2022

p.4 Rotating slanted tube, z and r axes

Topic: Rotational Dynamics, Fluid Mechanics, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition, Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Tube, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Pendolo elettrostatico Punti 100 Una carica elettrica è uniformemente distribuita con densità $\lambda >0$ su una semicirconferenza di centro O e raggio $r$, tenuta fissa su un piano verticale, come mostrato in figura. Sia $\vec{E}(P)$ il campo elettrico dato dalla distribuzione di carica nel punto P del piano mostrato in figura e sia $\vec{E}={\vec{E}}_{\parallel }+{\vec{E}}_{\perp }$, la decomposizione del campo in componenti parallela e ortogonale rispetto alla retta OP.

1. Si dimostri che, se $P^{\prime }$ è il punto simmetrico di P rispetto ad O, vale la relazione ${\vec{E}}_{\perp }(P^{\prime })={\vec{E}}_{\perp }(P)$. Suggerimento per la domanda 1: si consideri la distribuzione di carica sulla semicirconferenza come costituita di due parti di cui una è simmetrica rispetto alla retta $P{P}^{\prime }$. Un pendolo è appeso ad un perno O che coincide con il centro della semicirconferenza. Il pendolo è formato da una piccola sfera di massa $m$ che possiede una carica $q_1$ e un filo, inestensibile e di massa trascurabile, di lunghezza $\ell <r$, come mostrato in figura. Si può dimostrare che in tutti i punti posti sulla verticale passante per O, al di sopra del punto di appoggio della semicirconferenza, il campo elettrico è diretto verso l’alto.
2. Detto $E_A$ il modulo del campo elettrico della distribuzione $\lambda$ nel punto A dire per quali valori di $q_1$, sia positivi che negativi, il pendolo può stare in equilibrio nel punto A. Si vuole determinare la forza di richiamo quando il pendolo è spostato dalla posizione di equilibrio di un piccolo angolo $\phi \ll 1$ (espresso in radianti) nel punto P: per chiarezza, in figura l’angolo $\phi$ ha un’ampiezza molto maggiore di quella reale.
3. Mostrare che, per $\phi \ll 1$, il modulo della componente perpendicolare al filo del campo elettrico in P può essere espressa come $E_{\perp }=\alpha \phi$, dove $\alpha$ è una costante e determinare l’espressione di tale costante. Nel seguito si scriva sempre il campo in termini di $\alpha$ senza sostituire l’espressione appena trovata.
4. Scrivere l’espressione della forza di richiamo che dà origine alle piccole oscillazioni. In queste condizioni si misura il periodo e si trova un valore $T_1$. Successivamente si carica la sfera del pendolo con una carica $q_2$ di modulo doppio della precedente si osserva che anche in questo caso il pendolo oscilla attorno ad una posizione di equilibrio con un periodo $T_2=T_1$.
5. Determinare la posizione del punto di equilibrio in questa nuova condizione e il segno della carica $q_2$.
6. Scrivere, analogamente a prima, l’espressione della forza di richiamo che dà origine alle piccole oscillazioni intorno alla nuova posizione di equilibrio.
7. Determinare il valore del periodo $T$, nei due casi $q_1$ positiva o negativa, sapendo che il periodo delle oscillazioni armoniche del pendolo nel caso in cui la semicirconferenza non è carica vale $T_0=1\text{s}$. — Pagina 5 di 6 — AIF – Olimpiadi di Fisica 2022 Gara Nazionale Prova teorica – 22 aprile 2022

p.5 — Semicirconferenza carica, campo E in P

p.5 — Pendolo elettrostatico nella semicirconferenza

Topic: Electrostatics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Coulomb’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Vector Decomposition, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Sphere, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Electrostatic pendulum 100 points An electric charge is uniformly distributed with density $\lambda >0$ on a semicircle with center O and radius $r$, held fixed on a vertical plane, as shown in the figure. Let $\vec{E}(P)$ be the electric field given by the charge distribution at point P of the plane shown in the figure and let $\vec{E}={\vec{E}}_{\parallel }+{\vec{E}}_{\perp }$ be the decomposition of the field into components parallel and perpendicular to the line OP.

1. Show that, if $P^{\prime }$ is the point symmetric to P with respect to O, the relation ${\vec{E}}_{\perp }(P^{\prime })={\vec{E}}_{\perp }(P)$ holds. Hint for question 1: consider the charge distribution on the semicircle as consisting of two parts, one of which is symmetric with respect to the line $P{P}^{\prime }$. A pendulum is suspended from a pivot O that coincides with the center of the semicircle. The pendulum consists of a small sphere of mass $m$ that carries a charge $q_1$ and a thread, inextensible and of negligible mass, of length $\ell <r$, as shown in the figure. It can be shown that at all points lying on the vertical line through O, above the point where the semicircle rests, the electric field is directed upward.
2. Let $E_A$ be the magnitude of the electric field of the distribution $\lambda$ at point A; state for which values of $q_1$, both positive and negative, the pendulum can be in equilibrium at point A. We want to determine the restoring force when the pendulum is displaced from the equilibrium position by a small angle $\phi \ll 1$ (expressed in radians) at point P: for clarity, in the figure the angle $\phi$ has a much larger magnitude than the actual one.
3. Show that, for $\phi \ll 1$, the magnitude of the component perpendicular to the string of the electric field at P can be expressed as $E_{\perp }=\alpha \phi$, where $\alpha$ is a constant, and determine the expression of this constant. In the following, always write the field in terms of $\alpha$ without substituting the expression just found.
4. Write the expression of the restoring force that gives rise to the small oscillations. Under these conditions the period is measured and a value $T_1$ is found. Subsequently, the pendulum sphere is charged with a charge $q_2$ of twice the magnitude of the previous one; it is observed that also in this case the pendulum oscillates around an equilibrium position with a period $T_2=T_1$.
5. Determine the position of the equilibrium point in this new condition and the sign of the charge $q_2$.
6. Write, analogously to before, the expression of the restoring force that gives rise to the small oscillations around the new equilibrium position.
7. Determine the value of the period $T$, in the two cases $q_1$ positive or negative, knowing that the period of the harmonic oscillations of the pendulum in the case in which the semicircle is not charged is $T_0=1\text{s}$. — Page 5 of 6 — AIF – Physics Olympiads 2022 National Competition Theoretical Test – 22 April 2022

p.5 — Charged semicircle, field E at P

p.5 — Electrostatic pendulum in the semicircle

Solution: Soluzioni (PDF)

P3 Ciclo termodinamico Punti 100 Un gas perfetto monoatomico esegue il ciclo termodinamico mostrato in figura. Tutte le trasformazioni sono quasistatiche. Inizialmente il sistema si trova nello stato A e subisce un’espansione rappresentata da un tratto rettilineo in un diagramma $V,p$, fino a raggiungere lo stato B. Da qui ritorna a quello iniziale mediante una compressione adiabatica. Sono dati i seguenti valori: $V_A=3{\text{dm}}^3$, $p_A=3.36\text{kPa}$, $V_B=24{\text{dm}}^3$.

1. Si calcoli il valore di $p_B$.
2. Si ricavi l’equazione della retta che descrive la trasformazione lineare da A a B, scrivendola nella forma $p=mV+q$. Si calcolino i valori di $m$ e di $q$. Suggerimento: nel resto del problema conviene usare i parametri $q$ e $m$ senza sostituirli con le loro espressioni.
3. Si determinino volume e pressione negli stati in cui il sistema raggiunge la massima e la minima temperatura.
4. Nella trasformazione da A a B il sistema dapprima assorbe calore fino a uno stato intermedio Y e successivamente cede calore fino a B. Si ricavino $V_Y$ e $p_Y$.
5. Si calcoli il rendimento di una macchina termica che esegue questo ciclo.
6. Si calcoli il rendimento che lo stesso sistema realizzerebbe se eseguisse un ciclo di Carnot a parità di temperature massima e minima. — Pagina 6 di 6 —

p.6 — Diagramma p-V del ciclo termodinamico

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Thermodynamic cycle The following points shall be added: A perfect monoatomic gas performs the thermodynamic cycle shown in the figure. All transformations are quasi-static. Initially the system is in state A and undergoes an expansion represented by a straight line segment in a diagram $V,p$, up to and including to reach state B. From here it goes back to the original one by A diabetic compression. The following values are given: $V_A=3{\text{dm}}^3$, $p_A=3.36\text{kPa}$, $V_B=24{\text{dm}}^3$.

1. The value of $p_B$ shall be calculated.
2. The line equation describing the transformation is obtained Linear from A to B, written as $p=mV+q$. Si Calculate the values of $m$ and $q$. Suggestion: in the rest of the problem, use the parameters $q$ and $m$ without replacing them with their expressions.
3. The volume and pressure shall be determined in the states where the system reaches the maximum and minimum temperatures.
4. In transformation from A to B the system first absorbs heat until an intermediate state Y and then releases heat until B. The result is $V_Y$ and $p_Y$.
5. Calculate the efficiency of a heat engine running this cycle.
6. The resulting performance of the same system is calculated by running a Carnot cycle equal to maximum and minimum temperatures. Page 6 of 6

The following table shows the results of the calculation of the temperature of the thermodynamic cycle:

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)