OII 2024 Nazionale Teorica

P1 Puro rotolamento Punti 100 Un disco sottile omogeneo ha raggio $R$; in esso viene praticato un foro circolare di raggio $r=R/2$ il cui centro è a distanza $R/2$ dal centro C del disco (v. figura a sinistra); sia $M$ la massa dell’oggetto cosı` ottenuto.

1. Determinare la posizione del centro di massa dell’oggetto (che sarà indicato come CdM), mostrando che la distanza del CdM dal centro del disco C è $d=R/6$. Prima parte. L’oggetto viene appoggiato verticalmente sul suo bordo, sopra un piano orizzontale. La sua disposizione è descritta dalla coordinata $x$ del centro C e dall’angolo orientato $\theta$ tra la verticale passante per C e la congiungente dei due centri, come mostrato in figura a destra. Quando l’oggetto si muove, rotola sempre senza strisciare rimanendo nello stesso piano verticale.
2. Trovare le posizioni di equilibrio dell’oggetto e dire quali sono di equilibrio stabile e quali di equilibrio instabile, giustificando la risposta.
3. Dimostrare che il momento d’inerzia dell’oggetto rispetto al punto di appoggio, quando è in equilibrio stabile, è pari a $(29/24)M{R}^2$. L’oggetto viene disposto in $x=0$ con $\theta =0$ e successivamente ruotato verso destra fino all’angolo $0<{\theta }_0\ll 1$. Lasciato libero, si muove e inizia a oscillare.
4. Mostrare che, ponendo nulla l’energia potenziale gravitazionale nella posizione di equilibrio stabile, l’energia totale è formalmente uguale a quella di un oggetto di massa $\mu$ fissato a una molla di costante elastica $k$ e quindi si può scrivere come $E=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2+\frac{1}{2}k{\theta }^2$ con $\omega =d\theta /dt$ e $\mu$ e $k$ funzioni dei parametri del problema. Nota: in generale il momento di inerzia rispetto al punto di contatto dipende dall’angolo $\theta$; tuttavia, per queste piccole oscillazioni, si può ritenere costante.
5. Scrivere la legge oraria del moto per la coordinata $\theta$ ed esplicitare l’espressione del periodo del moto. Seconda parte. Si supponga adesso che il disco si muova di puro rotolamento in modo che la velocità $\vec{v}$ del centro C sia costante. Per ottenere questo moto si applica una forza orizzontale $\vec{F}(t)$ nel punto C; sia $\theta =0$ al tempo $t=0$.
6. Mostrare che il momento angolare rispetto al punto C, in funzione del tempo, nel riferimento inerziale solidale al punto C, è costante.
7. Determinare, in funzione del tempo e in termini dei dati del problema, l’espressione della forza di attrito $\vec{A}(t)$, della reazione normale del piano $\vec{N}(t)$ e di $\vec{F}(t)$.
8. Trovare la condizione sulla velocità $v$ tale per cui l’oggetto non si stacca dal piano orizzontale, indicando con $v^{\star }$ la velocità limite.
9. Qual è il minimo valore che deve avere il coefficiente di attrito statico affinche ́ il moto sia sempre di puro rotolamento?

p.4 — Disco con foro circolare, raggio R e r

p.4 — Disco appoggiato su piano, angolo theta

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Disk Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Pure rolling Points 100 A thin homogeneous disk has radius $R$; a circular hole of radius $r=R/2$ is drilled in it, whose center is at distance $R/2$ from the center C of the disk (see figure on the left); let $M$ be the mass of the object thus obtained.

1. Determine the position of the center of mass of the object (which will be denoted as CdM), showing that the distance of the CdM from the center of the disk C is $d=R/6$. First part. The object is placed vertically on its edge, on a horizontal plane. Its arrangement is described by the coordinate $x$ of the center C and by the oriented angle $\theta$ between the vertical passing through C and the line joining the two centers, as shown in the figure on the right. When the object moves, it always rolls without slipping while remaining in the same vertical plane.
2. Find the equilibrium positions of the object and state which are stable equilibrium and which are unstable equilibrium, justifying the answer.
3. Prove that the moment of inertia of the object with respect to the point of contact, when it is in stable equilibrium, is equal to $(29/24)M{R}^2$. The object is placed in $x=0$ with $\theta =0$ and subsequently rotated to the right up to the angle $0<{\theta }_0\ll 1$. Left free, it moves and begins to oscillate.
4. Show that, setting the gravitational potential energy to zero at the stable equilibrium position, the total energy is formally equal to that of an object of mass $\mu$ attached to a spring of spring constant $k$ and therefore can be written as $E=\frac{1}{2}\mu {\omega }^2+\frac{1}{2}k{\theta }^2$ with $\omega =d\theta /dt$ and $\mu$ and $k$ functions of the parameters of the problem. Note: in general the moment of inertia with respect to the contact point depends on the angle $\theta$; however, for these small oscillations, it can be considered constant.
5. Write the equation of motion for the coordinate $\theta$ and give the expression for the period of the motion. Second part. Suppose now that the disk moves with pure rolling so that the velocity $\vec{v}$ of the center C is constant. To obtain this motion, a horizontal force $\vec{F}(t)$ is applied at point C; let $\theta =0$ at time $t=0$.
6. Show that the angular momentum with respect to point C, as a function of time, in the inertial reference frame moving with point C, is constant.
7. Determine, as a function of time and in terms of the data of the problem, the expression for the friction force $\vec{A}(t)$, the normal reaction of the plane $\vec{N}(t)$ and of $\vec{F}(t)$.
8. Find the condition on the velocity $v$ such that the object does not detach from the horizontal plane, denoting by $v^{\star }$ the limiting velocity.
9. What is the minimum value that the coefficient of static friction must have for the motion to always be pure rolling?

p.4 — Disk with circular hole, radius R and r

p.4 — Disk resting on a plane, angle theta

Solution: Soluzioni (PDF)

P2 Evoluzioni termodinamiche Punti 100 Questo problema si ispira alla misura del coefficiente $\gamma$, rapporto tra i calori specifici di un gas a pressione e a volume costante, con una tecnica messa a punto da Rüchardt, basata su misure di tempo, più precise delle misure calorimetriche. Di questa tecnica saranno analizzate le modalità e alcune criticità, facendo riferimento all’aria, trattata come un gas perfetto biatomico, di massa molare $m=29\text{g}{\text{mol}}^{-1}$, mentre il valore di $\gamma$ si supporrà noto e pari a 7/5. Un recipiente di vetro a tenuta è munito di un sottile cilindro cavo di vetro; siano $h_0=50$ cm l’altezza del cilindro, $A=2.0{\text{cm}}^2$ la sua sezione e $V_r=1.0$ L il volume del recipiente. Esso è riempito di aria alla pressione atmosferica $p_0=1.013\times 10^5$ Pa e alla temperatura $T_0=273$ K, pari a quella dell’ambiente. Un pistone di massa $M=60.0$ g è attentamente inserito a tenuta nel cilindro. Si indichi con $V_0$ il volume totale iniziale dell’aria contenuta nel recipiente pari al volume del recipiente più quello della parte chiusa del cilindro, $V_0=V_r+A{h}_0$ . In prima approssimazione si supponga che siano trascurabili sia la capacità termica delle pareti del recipiente e del pistone sia l’attrito tra il recipiente e il pistone. Il pistone viene lasciato scendere e compie delle oscillazioni smorzate attorno a una posizione di equilibrio $h_1$; analogamente la pressione oscilla attorno a un valore di equilibrio $p_1$. In questa prima fase si calcolerà la posizione di equilibrio $h_1$ sotto l’ipotesi che non vi sia flusso di calore tra l’aria intrappolata e l’ambiente esterno. In questo caso l’ambiente esterno compie lavoro soltanto su tale volume.

1. A equilibrio raggiunto, quanto vale la pressione $p_1$ dell’aria contenuta nel recipiente?
2. Verificare che la temperatura dell’aria contenuta nel recipiente vale $T_1=275$ K e l’altezza vale $h_1=38.9$ cm, utilizzando come un dato la pressione $p_1$ trovata sopra. Successivamente, il pistone viene leggermente spostato e inizia a compiere piccole oscillazioni; per un breve intervallo di tempo le oscillazioni si possono considerare quasistatiche e si possono trascurare sia lo smorzamento dovuto all’attrito che gli scambi di calore con l’esterno.
3. Quanto vale il periodo $\tau$ di queste oscillazioni? Si analizzano ora due criticità che diventano rilevanti a tempi molto lunghi. La prima è l’effetto della conducibilità residua delle pareti del cilindro. A causa di questo effetto, il pistone si sposta in una nuova posizione di equilibrio $h_2$ .
4. Quanto valgono la temperatura $T_2$ dell’aria contenuta nel recipiente e l’altezza $h_2$ ? Qual è il nuovo valore del periodo ${\tau }^{\prime }$ di eventuali nuove piccole oscillazioni? La seconda criticità è la non perfetta tenuta del pistone. Si schematizzi la situazione considerando che la differenza tra la sezione del cilindro e la sezione del pistone sia $A_i=10^{-4}A$. Per questo motivo il pistone non rimane in equilibrio, ma continua a scendere con una velocità $v$ che si può ritenere costante. Si può ipotizzare che il processo avvenga cosı` lentamente che l’aria contenuta nel recipiente sia in equilibrio termico con l’ambiente circostante per tutta la durata del processo. Si trascurino gli urti tra le molecole.
5. Nell’ipotesi che $|v|\ll ⟨u⟩$ dove $⟨u⟩$ è il valor medio di ciascuna componente della velocità delle molecole d’aria, qual è il valore di $|v|$? Qual è il valore dell’abbassamento del pistone nel periodo $\tau$ di una oscillazione? Suggerimento: ricordare che per una particella di aria a temperatura $T$, la media di una delle componenti della velocità è data da $⟨u⟩=\sqrt{\frac{2RT}{\pi m}}$ .

p.5 — Apparato di Ruchardt con pistone M

Topic: Thermodynamics, Oscillations & Waves, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Kinetic Theory of Gases, Thermodynamic Cycle Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: Gas, Cylinder, Piston, Container Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 Thermodynamic evolutions 100 points This problem is inspired by the measurement of the coefficient $\gamma$, the ratio between the specific heats of a gas at constant pressure and at constant volume, with a technique developed by Rüchardt, based on time measurements, which are more precise than calorimetric measurements. The methods and some critical issues of this technique will be analyzed, referring to air, treated as a perfect diatomic gas, with molar mass $m=29\text{g}{\text{mol}}^{-1}$, while the value of $\gamma$ will be assumed known and equal to 7/5. An airtight glass vessel is equipped with a thin hollow glass cylinder; let $h_0=50$ cm be the height of the cylinder, $A=2.0{\text{cm}}^2$ its cross-section, and $V_r=1.0$ L the volume of the vessel. It is filled with air at atmospheric pressure $p_0=1.013\times 10^5$ Pa and at temperature $T_0=273$ K, equal to that of the environment. A piston of mass $M=60.0$ g is carefully inserted airtight into the cylinder. Let $V_0$ denote the initial total volume of the air contained in the vessel, equal to the volume of the vessel plus that of the closed part of the cylinder, $V_0=V_r+A{h}_0$ . As a first approximation, assume that both the heat capacity of the walls of the vessel and of the piston and the friction between the vessel and the piston are negligible. The piston is left to descend and performs damped oscillations around an equilibrium position $h_1$; similarly, the pressure oscillates around an equilibrium value $p_1$. In this first phase, the equilibrium position $h_1$ will be calculated under the assumption that there is no heat flow between the trapped air and the external environment. In this case, the external environment does work only on this volume.

1. Once equilibrium is reached, what is the pressure $p_1$ of the air contained in the vessel?
2. Verify that the temperature of the air contained in the vessel is $T_1=275$ K and the height is $h_1=38.9$ cm, using the pressure $p_1$ found above as a given. Subsequently, the piston is slightly displaced and begins to perform small oscillations; for a short time interval the oscillations can be considered quasistatic and both the damping due to friction and the heat exchanges with the outside can be neglected.
3. What is the period $\tau$ of these oscillations? Two critical issues that become relevant at very long times are now analyzed. The first is the effect of the residual conductivity of the cylinder walls. Because of this effect, the piston moves to a new equilibrium position $h_2$ .
4. What are the temperature $T_2$ of the air contained in the vessel and the height $h_2$ ? What is the new value of the period ${\tau }^{\prime }$ of any new small oscillations? The second critical issue is the imperfect sealing of the piston. Let the situation be schematized by considering that the difference between the cross-section of the cylinder and the cross-section of the piston is $A_i=10^{-4}A$. For this reason the piston does not remain in equilibrium, but continues to descend with a speed $v$ that can be considered constant. One may assume that the process occurs so slowly that the air contained in the vessel is in thermal equilibrium with the surrounding environment for the entire duration of the process. The collisions between the molecules are neglected.
5. Under the assumption that $|v|\ll ⟨u⟩$ where $⟨u⟩$ is the average value of each component of the speed of the air molecules, what is the value of $|v|$? What is the value of the lowering of the piston in the period $\tau$ of one oscillation? Hint: recall that for an air particle at temperature $T$, the average of one of the components of the speed is given by $⟨u⟩=\sqrt{\frac{2RT}{\pi m}}$ .

p.5 — Ruchardt apparatus with piston M

Solution: Soluzioni (PDF)

P3 Conduttore con cavità Punti 100 L’energia magnetica $E_m$ associata a un circuito costituito da una maglia percorsa da corrente si può esprimere in termini di un parametro detto “coefficiente di autoinduzione” $L$, dato dal rapporto tra il flusso del campo magnetico $\Phi (\vec{B})$, concatenato alla maglia stessa, e la corrente $i$ che scorre nel circuito. $L$ dipende solo dalla geometria del circuito e del mezzo in cui è posto il circuito. In un circuito alimentato da un generatore di corrente costante, ogni variazione di $L$ determina una variazione di energia magnetica $\Delta E_m$, a spese del generatore che alimenta il circuito.

1. Mostrare che il lavoro compiuto dal generatore è dato da $2\Delta E_m$ più l’energia dissipata per effetto Joule. Si consideri ora un circuito in cui è presente un conduttore elettrico rettilineo di lunghezza $\ell$, a sezione circolare di raggio $R\ll \ell$ che presenta una cavità cilindrica di raggio $r$ il cui asse è parallelo all’asse del conduttore e distante $d$ da questo, come mostrato in Fig. 1. Il circuito è chiuso a grande distanza dalla regione oggetto di studio e un generatore mantiene costante la corrente $i$ che scorre nel conduttore; la densità di corrente $j$ è uniforme in ogni sezione del conduttore.
2. Trovare modulo, direzione e verso del campo magnetico $\vec{B}$ nei punti A, B e C indicati nella Fig. 2.
3. Dimostrare che il campo magnetico nella regione della cavità è uniforme. Il conduttore viene immerso verticalmente, per metà della sua lunghezza, in un grande recipiente che contiene un liquido paramagnetico di permeabilità magnetica $\mu$ e densità $\rho$; una membrana porosa per l’aria, posta a metà della cavità, mantiene il liquido alla stessa altezza di quello esterno. Sia questo lo stato iniziale del sistema. Si osserva che, rimossa la membrana, il liquido risale fino a un’altezza che, all’equilibrio, supera di un tratto $h$ il livello del liquido fuori dal cilindro, come in Fig. 3.
4. Determinare l’energia magnetica presente nella cavità del conduttore, in funzione di $h$.
5. Esprimere, in funzione di $h$, il lavoro aggiuntivo fatto dal generatore, a causa della variazione di configurazione del sistema.
6. Determinare l’espressione di $h$. NOTA BENE È possibile utilizzare, riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico questo materiale alle due seguenti condizioni: citare la fonte; non usare il materiale, nemmeno parzialmente, per fini commerciali.

p.6 — Conduttore cilindrico con cavita, Fig.1-2-3

Topic: Magnetism, Electromagnetic Induction, Conservation of Energy Metodi: Ampère’s Law, Superposition Principle, Energy Conservation Method, Biot-Savart Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Conductor with cavity The following points shall be added: Magnetic energy $E_m$ associated with a circuit consisting of a net travelling by current can be expressed in terms of a parameter called self-induction coefficient $L$, given by the flow ratio The magnetic field $\Phi (\vec{B})$, which is connected to the mesh itself, and the current $i$ flowing through the circuit. $L$ depends on the only by the geometry of the circuit and the medium in which the circuit is placed. In a circuit powered by a DC generator, each change of $L$ results in a change di energia magnetica $\Delta E_m$, a spese del generatore che alimenta il circuito.

1. Show that the work done by the generator is given by $2\Delta E_m$ plus the energy dissipated by Joule effect. Consider now a circuit in which a straight line electrical conductor of length $\ell$ is present, circular section a radius $R\ll \ell$ having a cylindrical cavity of radius $r$ whose axis is parallel to the conductor axis; and distance $d$ from this, as shown in Fig. 1. The circuit is closed at a great distance from the region under study and a generator keeps the current $i$ flowing in the conductor; current density $j$ is uniform in each section of the conductor.
2. Find the shape, direction and direction of the magnetic field $\vec{B}$ in points A, B and C shown in Fig. 2.
3. Demonstrate that the magnetic field in the cavity region is uniform. The conductor is immersed vertically, half its length, in a large container containing a paramagnetic liquid of magnetic permeability $\mu$ and density $\rho$; a porous air membrane, set at half of the cavity, keeps the liquid at the same height as the outside. Let’s see if this is the initial state of the system. It is noted that, when the membrane is removed, the liquid rises to a height which, when in equilibrium, exceeds $h$ the liquid level outside the cylinder, as shown in Fig. 3.
4. Determine the magnetic energy present in the conductor cavity, as a function of $h$.
5. Express, according to $h$, the additional work done by the generator due to the change in the system configuration.
6. Determine the expression of $h$. Good note . You can use, reproduce, distribute, communicate this material to the public to the following two Conditions: citing the source; not using the material, even partially, for commercial purposes.

p.6 — Conduttore cilindrico con cavita, Fig.1-2-3

Topic: Magnetism, Electromagnetic Induction, Conservation of Energy Metodi: Ampère’s Law, Superposition Principle, Energy Conservation Method, Biot-Savart Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire, Membrane Fonte: Testo (PDF) — p.6 Soluzione: Soluzioni (PDF)