OII 2025 Nazionale Teorica

P1 Ps = Positronio Punti 100 Il positrone è l’antiparticella dell’elettrone: ha massa uguale a quella dell’elettrone, ma carica elettrica opposta; insieme all’elettrone può formare uno “stato legato” chiamato positronio, simile all’atomo di idrogeno. Il positronio(1), come l’atomo di idrogeno, è tenuto insieme dalla forza di attrazione coulombiana. Per un sistema classico di due particelle, l’energia totale non relativistica $E$ si può ottenere come somma dell’energia di traslazione del sistema, dovuta al moto del centro di massa (CdM) con l’energia interna $E_{\text{int}}$, dovuta al moto relativo delle particelle e all’energia potenziale legata alla loro interazione.

1. Mostrare che l’energia totale di un sistema di due particelle cariche di masse $m_1$ e $m_2$ e cariche $q_1$ e $q_2$ si può scrivere, in termini della velocità ${\vec{v}}_{\text{CdM}}$ del CdM e della velocità relativa ${\vec{v}}_r$ delle due particelle, come

$E=\frac{1}{2}M{v}_{\text{CdM}}^2+\frac{1}{2}\mu v_r^2+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r},$

dove $M$ è la massa totale e $\mu =m_1{m}_2/M$ è chiamata massa ridotta del sistema. In fisica atomica e nucleare conviene usare come unità di misura dell’energia l’elettronvolt (eV) e i suoi multipli e come unità di massa il $\text{MeV}/c^2$. L’unità di massa atomica vale $u=931.5\text{MeV}/c^2$. 2. Calcolare la massa ridotta dell’idrogeno e quella del positronio esprimendole con quattro cifre significative nelle unità suggerite. Supporre che l’orbita dell’elettrone attorno al protone nell’idrogeno o attorno al positrone nel positronio sia circolare e ricavare la relazione fra il raggio dell’orbita e il modulo dell’energia interna. Secondo la meccanica quantistica non relativistica, l’energia interna dello stato fondamentale di un sistema costituito da una particella positiva di carica elettrica $e$ e una negativa di carica $-e$ è data da $E_{\text{int}}=-\frac{\mu e^4}{8h^2{\epsilon }_0^2}$. 3. Calcolare l’energia interna dello stato fondamentale del positronio. Usando la relazione classica ricavata sopra, calcolare il raggio da associare a un positronio nello stato fondamentale. A differenza dell’atomo di idrogeno, il positronio è instabile, perche ́ l’elettrone e il positrone possono annichilirsi con trasformazione di tutta la loro energia in energia di fotoni. Questo processo è intrinsecamente relativistico. Il positronio nello stato fondamentale ha una vita media di $1.24\times 10^{-10}$ s; l’annichilazione più probabile è quella in due fotoni. 4. Calcolare, nel sistema di riferimento del CdM, l’energia di ciascun fotone emesso nel decadimento del positronio e l’angolo tra le direzioni di emissione dei fotoni stessi. Il positrone non è presente stabilmente nel nostro mondo ricco di elettroni, ma può essere prodotto grazie ai decadimenti ${\beta }^{+}$ di alcuni isotopi instabili, come ad esempio l’isotopo ${}^{18}$F del fluoro che decade in ${}^{18}$O, un positrone e un neutrino elettronico: ${}^{18}\text{F}\to {}^{18}\text{O}+e^{+}+{\nu }_e$ . Le masse di ${}^{18}$F e ${}^{18}$O sono rispettivamente $18.000937$ u e $17.999161$ u mentre la massa del neutrino è trascurabile. Si vogliono analizzare ora le caratteristiche del positrone emesso nel decadimento di un nucleo di fluoro a riposo, in particolare la sua energia minima e massima. 5. Calcolare il valore minimo dell’energia del positrone prodotto nel decadimento. 6. Mostrare che, nel decadimento del fluoro, l’energia cinetica dell’ossigeno è trascurabile rispetto alla sua energia a riposo. SEGUE $\Rightarrow$ (1) Il positronio può esistere in due stati di spin diverso: lo stato di singoletto ($S=0$) chiamato para-positronio, in cui lo spin dell’elettrone e del positrone sono antiparalleli e quello di tripletto ($S=1$) che assume il nome di orto-positronio. In questo problema si discute del para-positronio.

Questo significa che la velocità dell’ossigeno è molto minore di $c$, dunque è non relativistico; per la sua energia cinetica e la sua quantità di moto si possono usare le espressioni classiche. Inoltre il valore massimo dell’energia del positrone emesso si ottiene quando il neutrino è emesso con energia trascurabile. 7. Calcolare il valore massimo dell’energia del positrone emesso nel decadimento, avendo mostrato che l’energia cinetica dell’ossigeno è trascurabile rispetto all’energia relativistica del positrone. Il positronio non si trova in natura, ma viene prodotto artificialmente facendo urtare un elettrone e un positrone: nelle usuali condizioni sperimentali, l’elettrone può essere considerato fermo, mentre il positrone può avere velocità anche elevata. In maniera largamente prevalente, il positronio si forma quasi fermo e i due fotoni prodotti nell’annichilazione hanno quindi le caratteristiche dedotte al punto 4. Ora si vogliono esaminare le proprietà assai diverse dei fotoni prodotti nell’annichilazione di un positronio in moto, eventualmente relativistico. 8. Mostrare che le direzioni dei fotoni prodotti nell’annichilazione di un positronio in moto non sono collineari, escluso un caso particolare. In questo caso particolare, detto $v$ il modulo della velocità del positronio, determinare un’espressione per il rapporto tra le energie dei due fotoni prodotti, in termini $\beta =v/c$, e mostrare che non può mai essere uguale a uno.

Topic: Modern-Quantum Physics, Special Relativity, Nuclear & Particle Physics Metodi: Bohr Model & Quantization, Coulomb’s Law, Mass-Energy Equivalence, Relativistic Energy-Momentum, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Significant Figures Objects: Electron, Photon, Nucleus, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P1 Ps = Positronium 100 points The positron is the antiparticle of the electron: it has the same mass as the electron, but opposite electric charge; together with the electron it can form a “bound state” called positronium, similar to the hydrogen atom. Positronium(1), like the hydrogen atom, is held together by the Coulomb attraction force. For a classical system of two particles, the total non-relativistic energy $E$ can be obtained as the sum of the translational energy of the system, due to the motion of the center of mass (CM), and the internal energy $E_{\text{int}}$, due to the relative motion of the particles and the potential energy associated with their interaction.

1. Show that the total energy of a system of two charged particles with masses $m_1$ and $m_2$ and charges $q_1$ and $q_2$ can be written, in terms of the velocity ${\vec{v}}_{\text{CdM}}$ of the CM and the relative velocity ${\vec{v}}_r$ of the two particles, as

$E=\frac{1}{2}M{v}_{\text{CdM}}^2+\frac{1}{2}\mu v_r^2+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r},$

where $M$ is the total mass and $\mu =m_1{m}_2/M$ is called the reduced mass of the system. In atomic and nuclear physics it is convenient to use the electronvolt (eV) and its multiples as the unit of energy and the $\text{MeV}/c^2$ as the unit of mass. The atomic mass unit is $u=931.5\text{MeV}/c^2$. 2. Calculate the reduced mass of hydrogen and that of positronium, expressing them with four significant figures in the suggested units. Assume that the orbit of the electron around the proton in hydrogen or around the positron in positronium is circular and derive the relation between the radius of the orbit and the magnitude of the internal energy. According to non-relativistic quantum mechanics, the internal energy of the ground state of a system consisting of a positive particle with electric charge $e$ and a negative one with charge $-e$ is given by $E_{\text{int}}=-\frac{\mu e^4}{8h^2{\epsilon }_0^2}$. 3. Calculate the internal energy of the ground state of positronium. Using the classical relation derived above, calculate the radius to be associated with a positronium in the ground state. Unlike the hydrogen atom, positronium is unstable, because the electron and the positron can annihilate, transforming all their energy into photon energy. This process is intrinsically relativistic. Positronium in the ground state has a mean lifetime of $1.24\times 10^{-10}$ s; the most probable annihilation is that into two photons. 4. Calculate, in the COM reference frame, the energy of each photon emitted in the decay of positronium and the angle between the emission directions of the photons themselves. The positron is not stably present in our electron-rich world, but it can be produced thanks to the decays ${\beta }^{+}$ of some unstable isotopes, such as for example the isotope ${}^{18}$F of fluorine which decays into ${}^{18}$O, a positron and an electron neutrino: ${}^{18}\text{F}\to {}^{18}\text{O}+e^{+}+{\nu }_e$ . The masses of ${}^{18}$F and ${}^{18}$O are respectively $18.000937$ u and $17.999161$ u while the mass of the neutrino is negligible. We now want to analyze the characteristics of the positron emitted in the decay of a fluorine nucleus at rest, in particular its minimum and maximum energy. 5. Calculate the minimum value of the energy of the positron produced in the decay. 6. Show that, in the decay of fluorine, the kinetic energy of the oxygen is negligible compared to its rest energy. CONTINUES $\Rightarrow$ (1) Positronium can exist in two states of different spin: the singlet state ($S=0$) called para-positronium, in which the spin of the electron and of the positron are antiparallel, and the triplet state ($S=1$) which takes the name of ortho-positronium. In this problem the para-positronium is discussed.

This means that the speed of the oxygen is much less than $c$, hence it is non-relativistic; for its kinetic energy and its momentum the classical expressions can be used. Moreover, the maximum value of the energy of the emitted positron is obtained when the neutrino is emitted with negligible energy. 7. Calculate the maximum value of the energy of the positron emitted in the decay, having shown that the kinetic energy of the oxygen is negligible compared with the relativistic energy of the positron. Positronium is not found in nature, but is produced artificially by making an electron and a positron collide: under the usual experimental conditions, the electron can be considered at rest, while the positron can have even high speed. In the largely prevalent case, the positronium forms almost at rest and the two photons produced in the annihilation therefore have the characteristics deduced in point 4. Now we want to examine the very different properties of the photons produced in the annihilation of a positronium in motion, possibly relativistic. 8. Show that the directions of the photons produced in the annihilation of a positronium in motion are not collinear, except in one particular case. In this particular case, denoting by $v$ the magnitude of the velocity of the positronium, determine an expression for the ratio between the energies of the two photons produced, in terms of $\beta =v/c$, and show that it can never be equal to one.

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P2 Un biliardo magnetico Punti 100 Si considerino due sfere dielettriche di raggio $r$ e massa $m$, caricate uniformemente(2) poste in una regione di campo magnetico uniforme $\vec{B}$ orientato nel verso positivo dell’asse $z$. Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali $(x,y,z)$, le sfere scivolano senza ruotare sul piano orizzontale liscio $(x,y)$, perpendicolare al campo magnetico. La sfera A si sta muovendo con velocità $\vec{v}$ lungo l’asse $x$, in verso positivo, nell’istante in cui urta la sfera B, mentre questa è praticamente ferma nell’origine delle coordinate; la collisione è centrale ed elastica. Con queste stesse condizioni iniziali si esaminano due casi diversi. Primo caso: la sfera A ha una carica negativa $-q$ e la sfera B una carica $+q$; inoltre il modulo della velocità della sfera A e l’intensità del campo magnetico sono tali che l’interazione elettrostatica può essere trascurata.

1. Determinare la velocità della sfera B immediatamente dopo la collisione.
2. Dopo aver fatto le considerazioni fisiche necessarie, mostrare geometricamente, a partire da una rappresentazione grafica, che dopo un tempo $\Delta t$ le due sfere si urtano nuovamente; determinare la posizione del centro della sfera B all’istante del secondo urto, l’intervallo $\Delta t$ e verificare che si tratta ancora di un urto centrale.
3. Tenendo presente che nell’istante di un urto il punto di collisione coincide col centro di massa del sistema (CdM), determinare modulo e direzione della velocità media del CdM delle sfere tra il primo e il terzo urto. [Si può verificare che si troverebbe lo stesso risultato considerando qualunque coppia di urti.] Secondo caso: entrambe le sfere hanno carica $q>0$ e l’interazione elettrostatica non è più trascurabile.
4. Scrivere l’equazione di moto del CdM del sistema. Sia $P_i$ (con $i=1,2,3\dots$) il punto in cui le superfici delle due sfere sono a contatto all’istante dell’$i$-esima collisione.
5. Mostrare che comunque si scelgano due punti $P_j$ e $P_k$ la loro distanza è sempre minore o uguale a un valore $D$ e determinare $D$. Valutazione dell’ipotesi iniziale: ci si chiede se un simile biliardo sia realizzabile. Facendo riferimento al primo dei due casi, si consideri che le palle da biliardo sono sfere di raggio $r\approx 3$ cm, massa $m\approx 200$ g e possono muoversi a una velocità $v\approx 3{\text{m s}}^{-1}$; si supponga poi che la carica su ogni palla sia in modulo $q\approx 100$ nC.
6. Che valore dovrebbe avere l’intensità del campo magnetico perche ́ l’ipotesi data nel primo caso sia soddisfatta?
7. Che dimensioni minime dovrebbe avere il biliardo per poter avere le prime collisioni? (2) Per la simmetria sferica della distribuzione di carica e per il fatto che la sfera non rotola, la carica può essere pensata come puntiforme posta al centro della sfera; la dimostrazione qui non è richiesta.

Topic: Magnetism, Conservation of Momentum, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation Laws, Conservation of Momentum, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P2 A magnetic pool The following points shall be added: Two dielectric spheres of radius $r$ and mass $m$, uniformly charged, placed in the a uniform magnetic field region $\vec{B}$ oriented towards the positive side of the $z$ axis. Fixed a system of orthogonal Cartesian axes $(x,y,z)$, the spheres slide without rotating horizontally liscio $(x,y)$, perpendicolare al campo magnetico. The sphere A is moving $\vec{v}$ along the axis $x$, in a positive direction, as soon as the sphere B hits, The collision is central and elastic. The same initial conditions apply to two different cases. First case: the sphere A has a negative charge $-q$ and the sphere B a charge $+q$; furthermore the speed module The magnetic field intensity of the sphere A and the magnetic field intensity are such that electrostatic interaction can be neglected.

1. Determine the speed of the sphere B immediately after the collision.
2. After having made the necessary physical considerations, show geometrically, starting from a graphic representation, that after some time $\Delta t$ the two spheres collide again; determine the position of the centre of the B-sphere near the second impact, the $\Delta t$ interval and verify that it is still a collision The central.
3. Whereas, in the event of a collision, the point of collision coincides with the centre of mass of the system (CdM), determining the shape and direction of the average speed of the CdM of the spheres between the first and third I’m going to hit you. [It can be found that the same result would be found considering any pair of impacts.] Secondly, both spheres have a charge of $q>0$ and electrostatic interaction is no longer negligible.
4. Write the system CdM motion equation. Whether $P_i$ (with $i=1,2,3\dots$) the point at which the surfaces of the two spheres are in contact with the distant of $i$-exima The collision.
5. Show that any two points $P_j$ and $P_k$ are chosen, their distance is always less than or equal to a value $D$ and determine $D$. Assessment of the initial hypothesis: one wonders whether such a pool can be achieved. Referring to the first In both cases, it is considered that billiard balls are spheres of radius $r\approx 3$ cm, mass $m\approx 200$ g and can be move at a speed $v\approx 3{\text{m s}}^{-1}$; then assume that the load on each ball is $q\approx 100$ nC.
6. What value should the magnetic field intensity be for the hypothesis in the first case to be satisfied?
7. What size should the pool be to make the first collisions? (2) For the spherical symmetry of the charge distribution and the fact that the sphere does not roll, the charge can be thought of as The point is placed at the centre of the sphere; the demonstration is not required here.

Topic: Magnetism, Conservation of Momentum, Electrostatics Metodi: Lorentz Force Analysis, Conservation Laws, Conservation of Momentum, Free-Body Diagram Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Rullo con molla Punti 100 Un rullo è costituito da un cilindro solido omogeneo di massa $m$ e raggio $r$, è appoggiato su un tavolo orizzontale ed è sottoposto a una forza orizzontale di modulo $F$, sempre applicata al suo asse e perpendicolare a esso, come mostrato nella figura sottostante, e a una forza di attrito – statico o dinamico – di modulo $F_a$.

1. Supponendo che il rullo rotoli senza strisciare, si ricavi che deve essere necessariamente $F=3F_a$. La condizione sulle forze è dunque necessaria per avere puro rotolamento ma non è sufficiente. Si supponga che il rullo si stia muovendo e che da un certo istante venga applicata al rullo una forza $F=3F_a$.
2. Mostrare che questa condizione non è sufficiente per avere puro rotolamento e trovare quale altra condizione è richiesta per l’instaurarsi di un moto di tale tipo. In presenza di attrito il rullo viene lanciato con velocità $v_0>0$ e ${\omega }_0=0$; per quanto visto sopra, il rullo inizialmente slitta.
3. Confermare questo risultato, considerando lo spostamento lineare e angolare del rullo in un intervallo temporale infinitesimo $dt$ dall’istante di partenza, qualunque siano i valori della velocità e del coefficiente d’attrito. Il rullo viene ora collegato a una parete tramite una molla elicoidale di costante elastica $k$ e lunghezza di riposo indefinita ma tale che il rullo non arrivi mai a urtare la parete (v. figura). Si assuma inoltre che la molla abbia massa trascurabile e sia ideale, ovvero che la legge di Hooke rimanga valida anche per deformazioni arbitrariamente grandi; l’asse della molla si consideri sempre orizzontale. Sia $x=0$ la posizione di equilibrio del rullo. Il rullo viene spostato dalla posizione di equilibrio di una quantità $A$ e rilasciato da fermo all’istante $t=0$.
4. Nell’ipotesi di attrito trascurabile, trovare il periodo di oscillazione $T_0$. Come cambia la situazione se ${\omega }_0\ne 0$? Ora i coefficienti di attrito statico $({\mu }_s)$ e dinamico $({\mu }_d<{\mu }_s)$ tra il rullo e il tavolo non sono più nulli.
5. Il rullo viene allontanato dalla posizione di equilibrio e lasciato da fermo; inizia a rotolare avanti e indietro. Per piccole oscillazioni, non si verifica slittamento tra il rullo e la superficie; trovare il nuovo periodo di oscillazione $T_1$.
6. Se l’ampiezza iniziale dell’oscillazione $A$ è maggiore di un certo valore critico $A^{\ast }$, con $v_0=0$ e ${\omega }_0=0$, il moto di rotolamento senza strisciamento non è più possibile. Esprimere $A^{\ast }$ in funzione di $k,m,r,g,{\mu }_s$ .
7. Supponendo che l’elongazione iniziale sia $A=\gamma A^{\ast }$ con $\gamma \gg 1$, dimostrare che il rullo può eventualmente ritornare a rotolare senza strisciare solo vicino al termine della prima semioscillazione. Infine il rullo, sempre collegato alla molla, viene lanciato a velocità $v_0$ dalla posizione di equilibrio con una forza orizzontale impulsiva applicata all’asse. Per quanto visto al quesito 2. il rullo parte strisciando.
8. Dimostrare che la condizione di puro rotolamento si verifica certamente a un istante $t^{\ast }$, prima che il rullo si arresti.

p.4 — Rullo cilindrico su tavolo collegato a molla

Topic: Rotational Dynamics, Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Torque & Angular Momentum Analysis, Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Cylinder, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.4 Soluzione: Soluzioni (PDF)

P3 Roller with spring Points 100 A roller consists of a homogeneous solid cylinder of mass $m$ and radius $r$, it rests on a horizontal table and is subjected to a horizontal force of magnitude $F$, always applied to its axis and perpendicular to it, as shown in the figure below, and to a friction force – static or kinetic – of magnitude $F_a$.

1. Assuming that the roller rolls without slipping, show that necessarily $F=3F_a$. The condition on the forces is therefore necessary to have pure rolling but it is not sufficient. Suppose that the roller is moving and that from a certain instant a force $F=3F_a$ is applied to the roller.
2. Show that this condition is not sufficient to have pure rolling and find what other condition is required for the establishment of such a motion. In the presence of friction the roller is launched with velocity $v_0>0$ and ${\omega }_0=0$; for what was seen above, the roller initially slips.
3. Confirm this result, considering the linear and angular displacement of the roller in an infinitesimal time interval $dt$ from the starting instant, whatever the values of the velocity and of the friction coefficient. The roller is now connected to a wall by means of a helical spring of spring constant $k$ and rest length indefinite but such that the roller never comes to hit the wall (see figure). It is further assumed that the spring has negligible mass and is ideal, that is, that Hooke’s law remains valid even for arbitrarily large deformations; the axis of the spring is always considered horizontal. Let $x=0$ be the equilibrium position of the roller. The roller is displaced from the equilibrium position by an amount $A$ and released from rest at the instant $t=0$.
4. Under the assumption of negligible friction, find the oscillation period $T_0$. How does the situation change if ${\omega }_0\ne 0$? Now the coefficients of static friction $({\mu }_s)$ and kinetic friction $({\mu }_d<{\mu }_s)$ between the roller and the table are no longer zero.
5. The roller is moved away from the equilibrium position and left from rest; it begins to roll back and forth. For small oscillations, no slipping occurs between the roller and the surface; find the new oscillation period $T_1$.
6. If the initial amplitude of the oscillation $A$ is greater than a certain critical value $A^{\ast }$, with $v_0=0$ and ${\omega }_0=0$, the motion of rolling without slipping is no longer possible. Express $A^{\ast }$ as a function of $k,m,r,g,{\mu }_s$ .
7. Assuming that the initial displacement is $A=\gamma A^{\ast }$ with $\gamma \gg 1$, prove that the roller can eventually return to rolling without slipping only near the end of the first half-oscillation. Finally the roller, still connected to the spring, is launched with velocity $v_0$ from the equilibrium position by an impulsive horizontal force applied to its axis. As seen in question 2., the roller starts by slipping.
8. Show that the condition of pure rolling certainly occurs at an instant $t^{\ast }$, before the roller stops.

p.4 — Cylindrical roller on a table connected to a spring

Solution: Soluzioni (PDF)