OII 1994 Nazionale Teorica

PROBLEMA n. 1 100 Punti Un cilindro isolato termicamente è separato in due scomparti contigui: il primo contiene 32 g di ossigeno (O${}_2$) in un volume di $23.0{\text{dm}}^3$, alla pressione di $1.015\times 10^5{\text{N m}}^{-2}$; il secondo scomparto, alla stessa temperatura del primo, contiene 4.0 g di ozono (O${}_3$) alla pressione di $0.973\times 10^5{\text{N m}}^{-2}$. Messi in comunicazione i due scomparti, si genera una miscela dei due gas e, a seguito di una lenta reazione $2{\text{O}}_3\to 3{\text{O}}_2$, alla fine la quantità di ozono presente nel cilindro è del tutto trascurabile. Durante la reazione un pistone – anch’esso a tenuta di calore – consente di mantenere costante la pressione all’interno del cilindro mentre si riscontra un aumento di volume di $33.6{\text{dm}}^3$.

1. Determinare la pressione iniziale della miscela dei due gas.
2. Mostrare che la reazione avvenuta nel cilindro è esotermica e valutare l’energia sviluppata in questa reazione da una mole di ozono.
3. Nella formazione di ossigeno l’ozono si dissocia secondo la reazione ${\text{O}}_3\to {\text{O}}_2+\text{O}$ . e quindi l’ossigeno atomico si ricombina in ossigeno molecolare. Sapendo che l’energia minima richiesta per la dissociazione di una molecola di ossigeno è ${ϵ}_D=8.14\times 10^{-19}$ J stimare, anche in base ai dati precedenti, l’energia di dissociazione di una molecola di ozono. NOTE: – Si risolva il problema nell’ipotesi che i due gas si comportino come gas ideali; – il peso atomico dell’ossigeno è 16; – il calore specifico molare dell’ozono a volume costante, nelle condizioni proposte, è approssimabile con 7/2 R. AIF – Olimpiadi di Fisica 1994 Gara Nazionale Senigallia, 14-17 Aprile 1994

Topic: Thermodynamics, Kinetic Theory, Conservation of Energy Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Cylinder, Gas, Piston Fonte: Testo (PDF) — p.2 Soluzione: Soluzioni (PDF)

PROBLEM no. 1 100 points A thermally insulated cylinder is divided into two adjacent compartments: the first contains 32 g of oxygen (O${}_2$) in a volume of $23.0{\text{dm}}^3$, at a pressure of $1.015\times 10^5{\text{N m}}^{-2}$; the second compartment, at the same temperature as the first, contains 4.0 g of ozone (O${}_3$) at a pressure of $0.973\times 10^5{\text{N m}}^{-2}$. Once the two compartments are put in communication, a mixture of the two gases is formed and, following a slow reaction $2{\text{O}}_3\to 3{\text{O}}_2$, in the end the amount of ozone present in the cylinder is completely negligible. During the reaction a piston – also heat-tight – allows the pressure inside the cylinder to be kept constant while an increase in volume of $33.6{\text{dm}}^3$ is observed.

1. Determine the initial pressure of the mixture of the two gases.
2. Show that the reaction that occurred in the cylinder is exothermic and evaluate the energy developed in this reaction by one mole of ozone.
3. In the formation of oxygen, ozone dissociates according to the reaction ${\text{O}}_3\to {\text{O}}_2+\text{O}$ . and then atomic oxygen recombines into molecular oxygen. Knowing that the minimum energy required for the dissociation of one oxygen molecule is ${ϵ}_D=8.14\times 10^{-19}$ J, estimate, also on the basis of the previous data, the dissociation energy of one ozone molecule. NOTES: – Solve the problem under the assumption that the two gases behave as ideal gases; – the atomic weight of oxygen is 16; – the molar specific heat of ozone at constant volume, under the proposed conditions, can be approximated by 7/2 R. AIF – Physics Olympiads 1994 National Competition Senigallia, 14-17 April 1994

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PROBLEMA n. 2 100 Punti H. Helmholtz nel 1860 ha condotto una ricerca sperimentale sul suono emesso da un violino studiando il comportamento della sua sorgente – una corda che vibra, sollecitata da un archetto – mettendo anche a punto procedimenti ingegnosi per ottenere gli elementi necessari ad una descrizione matematica del moto della corda nel suo complesso. Scrisse che “durante gran parte di ogni vibrazione la corda viene trascinata dall’arco. Poi, improvvisamente, essa si stacca e rimbalza, quindi viene ricatturata da altre parti dell’arco e di nuovo trascinata”. È molto difficile fare uno studio completo della situazione reale e ci accontenteremo di una analogia, semplificando drasticamente il problema: sostituiremo la corda con una massa attaccata ad una molla, immaginando che la massa sia sollecitata per attrito da un “archetto” costituito da un nastro scorrevole; affideremo al peso della massa il compito di simulare la pressione dell’archetto sulle corde, esercitata dal violinista. ——————————— La situazione ottenuta è rappresentata quindi dalla figura seguente; i valori numerici sono arbitrari. Il blocco, di massa $m$, è attaccato ad una molla di costante $k$ (con un estremo fisso) e striscia sul nastro, che scorre con velocità costante $v$ trascinato da due rulli, come in figura. Sono noti i coefficienti di attrito statico e dinamico ${\mu }_s$ e ${\mu }_d$ fra blocco e nastro, che supporremo costanti. Supponiamo anche che, inizialmente, il blocco sia mantenuto fermo in modo che la molla sia in condizioni di riposo. Ad un certo momento ($t=0$) il blocco viene abbandonato e comincia a muoversi sotto l’azione del nastro. Valori numerici $m=180$ g $k=2.5$ N/m ${\mu }_s=0.5$ ${\mu }_d=0.3$ $v=1.2{\text{m s}}^{-1}$ v m

1. Supponendo che la velocità del nastro, per tutto il tempo che ci interesserà considerare, sia abbastanza elevata da avere sempre strisciamento, calcolare a quale distanza dalla posizione iniziale il blocco si arresterà momentaneamente. Segue a pagina 5 $\Rightarrow$ AIF – Olimpiadi di Fisica 1994 Gara Nazionale Senigallia, 14-17 Aprile 1994
2. Mostrare che in queste condizioni il blocco compirà oscillazioni armoniche e determinare la relativa ampiezza e periodo.
3. Determinare qual è la minima velocità del nastro che consente il moto descritto, verifica che con i dati numerici proposti la condizione è soddisfatta.
4. Se il nastro si muove a velocità inferiore a quella calcolata al punto 3), il moto del blocco è ancora periodico, ma non armonico; descriverne l’andamento e rappresentare, anche in modo qualitativo, il grafico della legge oraria.
5. Determinare la posizione del blocco nei punti significativi del diagramma tracciato e calcolare l’ampiezza del moto, ponendo ora $v=0.5{\text{m s}}^{-1}$. AIF – Olimpiadi di Fisica 1994 Gara Nazionale Senigallia, 14-17 Aprile 1994

p.3 — Blocco su nastro mobile collegato a molla

Topic: Newtonian Mechanics, Oscillations & Waves Metodi: Free-Body Diagram, Simple Harmonic Motion Analysis, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Block, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3 Soluzione: Soluzioni (PDF)

PROBLEM no. 2 100 points H. Helmholtz in 1860 conducted an experimental investigation into the sound emitted by a violin, studying the behavior of its source – a vibrating string, excited by a bow – also developing ingenious procedures to obtain the elements necessary for a mathematical description of the motion of the string as a whole. He wrote that “during most of each vibration the string is dragged by the bow. Then, suddenly, it detaches and rebounds, then is caught again by other parts of the bow and again dragged.” It is very difficult to make a complete study of the real situation and we will settle for an analogy, drastically simplifying the problem: we will replace the string with a mass attached to a spring, imagining that the mass is acted upon by friction from a “bow” consisting of a sliding belt; we will entrust to the weight of the mass the task of simulating the pressure of the bow on the strings, exerted by the violinist. ——————————— The resulting situation is therefore represented by the following figure; the numerical values are arbitrary. The block, of mass $m$, is attached to a spring of constant $k$ (with one fixed end) and slides on the belt, which moves with constant speed $v$ dragged by two rollers, as in the figure. The coefficients of static and kinetic friction ${\mu }_s$ and ${\mu }_d$ between block and belt are known, which we will assume constant. Suppose also that, initially, the block is held stationary so that the spring is in its rest condition. At a certain moment ($t=0$) the block is released and begins to move under the action of the belt. Numerical values $m=180$ g $k=2.5$ N/m ${\mu }_s=0.5$ ${\mu }_d=0.3$ $v=1.2{\text{m s}}^{-1}$ v m

1. Assuming that the speed of the belt, for all the time we will need to consider, is high enough that there is always slipping, calculate at what distance from the initial position the block will momentarily stop. Continues on page 5 $\Rightarrow$ AIF – Physics Olympiads 1994 National Competition Senigallia, 14-17 April 1994
2. Show that under these conditions the block will perform harmonic oscillations and determine the corresponding amplitude and period.
3. Determine the minimum speed of the belt that allows the motion described, and verify that with the proposed numerical data the condition is satisfied.
4. If the belt moves at a speed lower than that calculated in point 3), the motion of the block is still periodic, but not harmonic; describe its behavior and represent, even qualitatively, the graph of the position as a function of time.
5. Determine the position of the block at the significant points of the graph drawn and calculate the amplitude of the motion, now setting $v=0.5{\text{m s}}^{-1}$. AIF – Physics Olympiads 1994 National Competition Senigallia, 14-17 April 1994

p.3 — Block on a moving belt connected to a spring

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PROBLEMA n. 3 100 Punti La conduttività elettrica di un semiconduttore può essere aumentata sostituendo alcuni atomi della struttura cristallina con altri di diversa specie, senza modificare la neutralità elettrica del campione. Tale processo è chiamato “drogaggio”. Mediante il drogaggio di tipo n si aumenta la quantità di elettroni di conduzione; con il drogaggio di tipo p, invece, si producono delle lacune di elettroni dette “buche” le quali possono essere considerate come dei portatori di carica positiva uguale in valore assoluto a quella degli elettroni. Una metà di un campione di semiconduttore, avente sezione quadrata di lato $d=0.20$ mm, viene drogata di tipo n e l’altra metà di tipo p, nella zona di separazione tra le due, detta “giunzione”, alcuni elettroni migrano dalla parte di tipo n alla parte di tipo p ricombinandosi con le buche qui presenti. Al termine del processo si genera così una regione di ampiezza ${\ell }_0\approx 0.5\mu \text{m}$ nella quale non ci sono più cariche libere di muoversi, che viene chiamata “regione di svuotamento”. La parte di tipo n della regione di svuotamento è caratterizzata dalla presenza di cariche positive dovute agli ioni del reticolo cristallino; mentre la parte di tipo p dalla presenza di cariche negative localizzate intorno agli ioni del reticolo. Il grafico in figura mostra una possibile distribuzione della densità di carica elettrica in una giunzione. La densità della carica positiva nella parte di tipo n della regione di svuotamento ($n_{+}$) è $8.5\times 10^{16}$ cariche per ${\text{cm}}^3$, mentre la densità della carica negativa ($n_{-}$) nella parte di tipo p della regione di svuotamento vale $3.0\times 10^{15}$ cariche per ${\text{cm}}^3$. n+ n- 0 x + +

++ + + + + l0

1. Determinare e rappresentare graficamente il campo elettrico presente in tale giunzione.
2. Assegnando al potenziale elettrico il valore zero in un opportuno punto del semiconduttore, determinarne l’andamento nella regione di svuotamento. Considerando i valori forniti per la densità di carica elettrica e che il campione è complessivamente neutro, calcolare il massimo valore che la differenza di potenziale elettrico può assumere. Tale valore è chiamato “barriera di potenziale”. Segue a pagina 7 $\Rightarrow$ AIF – Olimpiadi di Fisica 1994 Gara Nazionale Senigallia, 14-17 Aprile 1994 Collegando gli estremi opposti del campione di semiconduttore con un filo metallico la giunzione viene cortocircuitata e si osserva che nel circuito così realizzato non circola corrente elettrica. Il fenomeno si può spiegare assumendo che agli estremi del campione si generi sempre una differenza di potenziale $V_0$ detto “potenziale ohmico di contatto”, costante e indipendente dalla direzione e dall’intensità di una eventuale corrente elettrica che circola nel semiconduttore, che si oppone alla barriera di potenziale, e in questo caso la annulla.
3. Tenendo conto del fenomeno illustrato qui sopra, mostrare che la barriera di potenziale cambia quando agli estremi della giunzione viene applicata una differenza di potenziale elettrico esterno $V_{\text{est}}$. Determinare come dipende lo spessore $\ell$ della regione di svuotamento da $V_{\text{est}}$. Quando varia l’ampiezza della regione di svuotamento rimangono costanti i valori della densità di carica elettrica, ma cambia la quantità totale di carica presente nelle due parti della giunzione. Si può parlare, in questo caso, di proprietà capacitive della giunzione.
4. Determinare il valore della capacità elettrica di transizione che è definita come $C_T=(\Delta Q/\Delta V_{\text{est}})$ dove $\Delta Q$ è la variazione di carica prodotta quando viene variato di $\Delta V_{\text{est}}$ il potenziale elettrico esterno applicato. NOTA: Per un semiconduttore la costante dielettrica relativa vale ${ϵ}_r=12$. AIF – Olimpiadi di Fisica 1994 Gara Nazionale Senigallia, 14-17 Aprile 1994

p.5 — Giunzione n-p e densità di carica

Topic: Electrostatics, Circuits Metodi: Gauss’s Law, Electric Potential Method, Coulomb’s Law Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Wire Fonte: Testo (PDF) — p.5 Soluzione: Soluzioni (PDF)

PROBLEM no. 3 100 points The electrical conductivity of a semiconductor can be increased by replacing some atoms of the crystal structure with others of a different species, without modifying the electrical neutrality of the sample. This process is called “doping”. By means of n-type doping, the number of conduction electrons is increased; with p-type doping, on the other hand, electron vacancies called “holes” are produced, which can be considered as positive charge carriers equal in absolute value to that of the electrons. One half of a semiconductor sample, having a square cross-section of side $d=0.20$ mm, is doped n-type and the other half p-type; in the separation zone between the two, called the “junction”, some electrons migrate from the n-type part to the p-type part, recombining with the holes present there. At the end of the process, a region of width ${\ell }_0\approx 0.5\mu \text{m}$ is thus generated in which there are no longer any free charges able to move, which is called the “depletion region”. The n-type part of the depletion region is characterized by the presence of positive charges due to the ions of the crystal lattice; while the p-type part is characterized by the presence of negative charges localized around the ions of the lattice. The graph in the figure shows a possible distribution of electric charge density in a junction. The density of positive charge in the n-type part of the depletion region ($n_{+}$) is $8.5\times 10^{16}$ charges per ${\text{cm}}^3$, while the density of negative charge ($n_{-}$) in the p-type part of the depletion region is $3.0\times 10^{15}$ charges per ${\text{cm}}^3$. n+ n- 0 x + +

++ + + +

• l0

1. Determine and represent graphically the electric field present in this junction.
2. Assigning the value zero to the electric potential at a suitable point of the semiconductor, determine its trend in the depletion region. Considering the values provided for the electric charge density and that the sample is overall neutral, calculate the maximum value that the electric potential difference can assume. This value is called the “potential barrier.” Continues on page 7 $\Rightarrow$ AIF – Physics Olympiads 1994 National Competition Senigallia, 14-17 April 1994 By connecting the opposite ends of the semiconductor sample with a metal wire, the junction is short-circuited and it is observed that no electric current flows in the circuit thus created. The phenomenon can be explained by assuming that a potential difference $V_0$ is always generated at the ends of the sample, called “ohmic contact potential”, constant and independent of the direction and magnitude of any electric current flowing in the semiconductor, which opposes the potential barrier, and in this case cancels it.
3. Taking into account the phenomenon illustrated above, show that the potential barrier changes when an external electric potential difference $V_{\text{est}}$ is applied across the junction. Determine how the thickness $\ell$ of the depletion region depends on $V_{\text{est}}$. When the width of the depletion region varies, the values of the electric charge density remain constant, but the total amount of charge present in the two parts of the junction changes. In this case, one can speak of capacitive properties of the junction.
4. Determine the value of the transition capacitance, which is defined as $C_T=(\Delta Q/\Delta V_{\text{est}})$ where $\Delta Q$ is the change in charge produced when the applied external electric potential is varied by $\Delta V_{\text{est}}$. NOTE: For a semiconductor the relative dielectric constant is ${ϵ}_r=12$. AIF – Physics Olympiads 1994 National Competition Senigallia, 14-17 April 1994

p.5 — n-p junction and charge density

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PROBLEMA n. 4 100 Punti Guidando in una giornata assolata su un tratto piano e rettilineo di autostrada si nota che, in lontananza, il manto stradale appare “bagnato”. Il fenomeno, noto da sempre a chi attraversa zone desertiche, viene detto miraggio ed è dovuto alla rifrazione atmosferica in presenza di un gradiente termico particolarmente accentuato nei bassi strati d’aria. Si consideri uno strato d’aria piano e orizzontale, entro cui l’indice di rifrazione dipende solo dall’altezza. Sia ${\alpha }_i$ l’angolo di incidenza di un raggio di luce nello strato ed ${\alpha }_e$ l’angolo di emergenza dello stesso raggio dallo strato.

1. Mostrare che, fissato ${\alpha }_i$, l’angolo ${\alpha }_e$ dipende solo dai valori che l’indice di rifrazione assume sulle superfici superiore ed inferiore dello strato. Per l’indice di rifrazione dell’aria si osserva sperimentalmente che $n-1$ è proporzionale alla densità $\rho$ $n-1=k\rho$ (legge di Gladstone & Dale) e si misura $n=1.00027$ in condizioni di pressione standard ad una temperatura di circa $27{}^{\circ }\text{C}$.
2. Mostrare che, per temperature prossime al valore dato, a pressione costante, l’indice di rifrazione dell’aria può essere approssimato dalla relazione $n=n_0(1+\nu \Delta T)$. Verificare che $\nu =-0.9\times 10^{-6}{\text{K}}^{-1}$. L’automobilista, che ha gli occhi ad un’altezza $h_0=1.4$ m dal suolo, ha l’impressione di vedere la strada bagnata ad una distanza $d_0$ di circa 200 m davanti a sé. Con buona approssimazione le traiettorie dei raggi luminosi possono essere assimilate a parabole (con asse verticale e concavità rivolta verso l’alto).
3. Calcolare la lunghezza del tratto di strada effettivamente visibile da parte dell’automobilista.
4. Determinare l’indice di rifrazione all’altezza dell’occhio del guidatore [$n(h_0)$] in funzione dei parametri dati e dell’indice di rifrazione al suolo [$n_0$]. Può essere utile tenere presente che $h_0\ll d_0$.
5. Supponendo per semplicità che il gradiente termico dell’aria sia uniforme, cioè che la temperatura T dell’aria vari linearmente con l’altezza h secondo la legge $T(h)=T(0)+\theta h$, determinare il gradiente termico $\theta$.

Topic: Geometric Optics, Thermodynamics Metodi: Snell’s Law, Ideal Gas Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Estimation & Approximation Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.7 Soluzione: Soluzioni (PDF)

PROBLEM no. 4 100 points Driving on a sunny day on a flat and straight stretch of highway, one notices that, in the distance, the road surface appears “wet”. The phenomenon, long known to those who cross desert areas, is called a mirage and is due to atmospheric refraction in the presence of a particularly pronounced thermal gradient in the lower layers of air. Consider a flat and horizontal layer of air, within which the refractive index depends only on height. Let ${\alpha }_i$ be the angle of incidence of a light ray in the layer and ${\alpha }_e$ the angle of emergence of the same ray from the layer.

1. Show that, for a fixed ${\alpha }_i$, the angle ${\alpha }_e$ depends only on the values that the refractive index takes on the upper and lower surfaces of the layer. For the refractive index of air, it is observed experimentally that $n-1$ is proportional to the density $\rho$ $n-1=k\rho$ (Gladstone & Dale law) and $n=1.00027$ is measured under standard pressure conditions at a temperature of about $27{}^{\circ }\text{C}$.
2. Show that, for temperatures close to the given value, at constant pressure, the refractive index of air can be approximated by the relation $n=n_0(1+\nu \Delta T)$. Verify that $\nu =-0.9\times 10^{-6}{\text{K}}^{-1}$. The driver, whose eyes are at a height $h_0=1.4$ m from the ground, has the impression of seeing the road wet at a distance $d_0$ of about 200 m ahead of him. With good approximation, the trajectories of the light rays can be assimilated to parabolas (with vertical axis and concavity facing upward).
3. Calculate the length of the stretch of road actually visible to the driver.
4. Determine the refractive index at the driver’s eye level [$n(h_0)$] as a function of the given parameters and of the refractive index at ground level [$n_0$]. It may be useful to keep in mind that $h_0\ll d_0$.
5. Assuming for simplicity that the air’s thermal gradient is uniform, that is, that the air temperature T varies linearly with height h according to the law $T(h)=T(0)+\theta h$, determine the thermal gradient $\theta$.

Solution: Soluzioni (PDF)