BPhO 2025

FLYING DUMBBELL (10 points) — Jaan Kalda. In this problem, we shall study the dynamics of a dumbbell consisting of two steel balls, each with radius $r = 1$ cm, connected by a steel rod with diameter $d = 1$ mm and length $l = 10$ cm, in the absence of gravity. Unless instructed otherwise, assume steel is perfectly elastic. You may simplify your calculations by assuming $l ≫ r$ . i) (2 points) Given that the Young’s modulus of steel is $Y = 2 \times 1 0^{11}$ Pa and the density of steel is $ρ = 7800 kg m^{- 3}$ , determine the period $T$ of free longitudinal oscillations of the dumbbell. (Do not consider oscillations with standing waves in the rod where the balls remain almost at rest.) Young’s modulus is the ratio of a material’s stress (force per unit area) to its strain (relative deformation). ii) (2 points) Estimate the impact time $τ$ when a steel ball bounces off a steel wall. iii) (2 points) The dumbbell moves toward a steel wall with velocity $v = - v \overset{x}{^}$ , with its axis perpendicular to the wall, and bounces back. Here, $\overset{x}{^}$ denotes a unit vector along the axis perpendicular to the wall. Sketch how the $x$ ‐ component $v_{x}$ of the front ball’s velocity (the ball that collides with the wall) depends on time. iv) (2 points) Now, the dumbbell moves toward a steel wall with velocity $v = - v \overset{x}{^}$ as before, but its axis forms an angle $α$ with the $x$ ‐axis. The interaction of the front ball with the wall depends qualitatively on the angle $α$ , with a transition from one type of interaction to another occurring at $α = α_{0}$ . Determine the value of $α_{0}$ . Hint: $min (\frac{sin x}{x}) \approx - 0.217$ . v) (2 points) Under the assumptions of the previous task, let $α > α_{0}$ . Additionally, assume that while steel is highly elastic, it is not infinitely so: any oscillations excited in the rod will decay by the time the rear ball collides with the wall. Determine the speed with which the centre of mass of the dumbbell departs from the wall.

Topic: Oscillations & Waves, Elasticity & Materials, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Wave Equation, Stress-Strain Analysis, Conservation of Momentum Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1

FLOYING DUMBBELL (10 punti) Jaan Kalda. In questo problema, studieremo la dinamica di un manubrio costituito da due acciai sfere, ciascuna con raggio $r = 1$ cm, collegate con una canna di acciaio di diametro $d = 1$ mm e lunghezza $l = 10$ cm, in assenza di gravità. Salvo indicazioni diverse, supponiamo che l’acciaio sia Perfettamente elastica. È possibile semplificare i calcoli supponendo $l ≫ r$ . I) (2 punti) Dato che il modulo del Young è di acciaio è $Y = 2 \times 1 0^{11}$ Pa e la densità di acciaio è $ρ = 7800 kg m^{- 3}$ , determinare il periodo $T$ di oscillazioni longitudinali libere di Il dumbbell. (Non considerare oscillazioni con onde in piedi nella canna dove il Il modulo di Young è il rapporto tra la tensione di un materiale (forza per area) alla sua tensione (deformazione relativa). ii) (2 punti) Calcolare il tempo di impatto $τ$ quando una palla di acciaio rimbalza da una parete di acciaio. iii) (2 punti) Il manubrio si muove verso un di acciaio con velocità $v = - v \overset{x}{^}$ , con il suo asse perpendicolare alla parete, e rimbalza indietro. Qui, $\overset{x}{^}$ indica un vettore unitario lungo l’asse perpendicolare alla parete. Sfoglio di come il $x$ ‐ composizione $v_{x}$ della velocità della palla anteriore (la la palla che colpisce la parete) dipende da

Il tempo. iv) (2 punti) Ora, il manubrio si muove verso una parete in acciaio con velocità $v = - v \overset{x}{^}$ come prima, ma il suo asse forma un angolo $α$ con la $x$ -asse. L’interazione della palla anteriore con il muro dipende qualitativamente dall’angolo $α$ , con una transizione da un tipo di interazione per un altro che si verifica a $α = α_{0}$ . Determinazione il valore di $α_{0}$ . Suggerimento: $min (\frac{sin x}{x}) \approx - 0.217$ . V) (2 punti) Sulla base delle ipotesi del attività precedenti, lasciamo $α > α_{0}$ . Inoltre, supponiamo che, mentre l’acciaio è altamente elastico, è non infinitamente così: qualsiasi oscillazione eccitata in la canna decadrà quando la palla posteriore colpisce il muro. Determina la velocità con cui il centro di massa del manubrio si allontana dal muro.

EVAPORATION (7 points) — Jaan Kalda. For the subsequent tasks, the graph shows how the density of saturated water vapour in $g m^{- 3}$ depends on the temperature in $^{\circ} C$ .

(Asse verticale $ρ$ in $g/m^{3}$ : 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800. Asse orizzontale $T$ in $^{\circ} C$ : 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105.)

You may also use the following characteristics of water. Specific heat capacity $c = 4200 J kg^{- 1} K^{- 1}$ ; latent heat of vaporization $L = 2260 kJ kg^{- 1}$ ; density $ρ = 1000 kg m^{- 3}$ ; molar mass of water $μ = 18 g mol^{- 1}$ . You may also assume water vapour to behave as an ideal gas. The universal gas constant is $R = 8.31 J mol^{- 1} K^{- 1}$ . i) (2 points) A cylinder contains a certain amount of water at temperature $T_{0} = 90^{\circ} C$ , see the figure. The cross‐sectional area of the piston is $S = 1 dm^{2}$ . What is the minimum pulling force required to move the piston? The pressure of the surrounding air is $p_{0} = 100$ kPa.

(Figura: cilindro con H₂O e 1 atm.)

ii) (2 points) If the piston is pulled so that it shifts by $a = 3$ dm, the water cools to a temperature of $T_{1} = 89^{\circ} C$ ; what is the mass of the water under the piston? Water evaporation has a cooling effect the intensity of which depends on the relative humidity and air convection intensity. It appears, however, that once a dynamical thermal equilibrium is reached, the equilibrium temperature of a wet surface depends only on the relative humidity and the temperature of air and does not depend on the convection speed (as long as the convection is not too weak). This is so because the two competing processes determining the equilibrium state both depend on the thickness of the laminar (non‐turbulent) surface layer exactly in the same way. In what follows we shall use the following assumptions. (a) Atop a wet surface (such as a sweating bare skin), there is a layer with a laminar flow of a certain thickness $d$ . (b) Atop the laminar layer, the surrounding turbulent flow keeps a constant temperature $T$ and relative humidity $r$ , both equal to the respective values in the bulk of the surrounding air. (c) Heat flux from beneath the wet surface (e.g. through the skin) can be neglected. (d) The heat conductivity of air $κ = 30 mW m^{- 1} K^{- 1}$ at $T = 70^{\circ} C$ (neglect the temperature dependence), and the diffusivity of water molecules in air $D = 26 mm^{2} s^{- 1}$ . Neglect the dependence of $D$ on the temperature. Note that the particle flux (net number of molecules passing a cross‐section in $y$ – $z$ ‐plane per second and per cross‐sectional area) can be found as $J = D \frac{d n}{d x}$ , where $n$ denotes the number density (number of molecules per volume). iii) (3 points) Determine the temperature of sweating human skin in a sauna if the air temperature $T = 110^{\circ} C$ and $r = 3%$ .

Topic: Thermodynamics, Fluid Mechanics Metodi: Ideal Gas Law, First Law of Thermodynamics, Hydrostatic Equilibrium, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Graph Linearization, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

Evaporazione (7 punti) Jaan Kalda. Per le attività successive, il grafico mostra come la densità del vapore idrico saturo in $g m^{- 3}$ dipende dalla temperatura in $^{\circ} C$ .

(Asse verticali $ρ$ in $g/m^{3}$ : 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800. Asse orizzontale $T$ in $^{\circ} C$ : 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105.)

Potete anche utilizzare le seguenti caratteristiche dell’acqua. Capacità termico specifica $c = 4200 J kg^{- 1} K^{- 1}$ ; calore latente di vaporizzazione $L = 2260 kJ kg^{- 1}$ ; densità $ρ = 1000 kg m^{- 3}$ ; massa molare di acqua $μ = 18 g mol^{- 1}$ . Tu… può anche assumere che il vapore d’acqua si comporti come un gas ideale. La costante universale del gas è $R = 8.31 J mol^{- 1} K^{- 1}$ . (i) (2 punti) Un cilindro contiene una certa quantità di acqua a temperatura $T_{0} = 90^{\circ} C$ ,

Vedi la figura. L’area trasversale di il pistone è $S = 1 dm^{2}$ . Qual è la forza di trazione minima necessaria per spostare il pistone? La pressione dell’aria circostante è $p_{0} = 100$ kPa.

(Figura: cilindro con H2O e 1 atm.)

ii) (2 punti) Se il pistone viene tirato in modo tale che si spostano di $a = 3$ dm, l’acqua si raffredda a temperatura di $T_{1} = 89^{\circ} C$ ; qual è la massa dell’acqua sotto il pistone? L’evaporazione dell’acqua ha un effetto di raffreddamento la cui intensità dipende dall’umidità relativa e dall’intensità di convezione dell’aria. Tuttavia, sembra che una volta una dinamica l’equilibrio termico è raggiunto, la temperatura di equilibrio di una superficie bagnata dipende La temperatura dell’aria è limitata a un livello di umidità relativa e non dipende dalla velocità di convezione (fino a quando la convezione non è troppo debole). Questo è così perché i due i processi concorrenti che determinano lo stato di equilibrio dipendono entrambi dallo spessore di strato superficiale laminare (non turbolento) Proprio allo stesso modo. In quanto segue utilizzeremo le seguenti ipotesi. (a) Sopra una superficie bagnata (come un nudo sudore) La pelle), è uno strato con un flusso laminare di un certo spessore $d$ . b) Sopra il laminato strato, il flusso turbolento circostante mantiene una temperatura costante $T$ e un’umidità relativa $r$ , entrambi uguali ai rispettivi valori nell’aria circostante. (c) Fluo di calore da sotto la superficie umida (es. La presenza di un’acide di acido di nitrogeno (in particolare, per via della pelle) può essere trascurata. d) il la conducibilità termico dell’aria $κ = 30 mW m^{- 1} K^{- 1}$ a $T = 70^{\circ} C$ (non si considera la dipendenza dalla temperatura) e la diffusività delle molecole di acqua nell’aria $D = 26 mm^{2} s^{- 1}$ . - Non si tratta di dipendenza di $D$ dalla temperatura. Nota che il flusso di particelle (numero netto di molecole che attraversano un’intersezione in $y$$z$ -piano per secondo e per superficie trasversale) può essere si trova come $J = D \frac{d n}{d x}$ , dove $n$ indica il densità di numero (numero di molecole per volume). iii) (3 punti) Determinare la temperatura di sudorazione della pelle umana in una sauna se l’aria temperatura $T = 110^{\circ} C$ e $r = 3%$ .

NUCLEAR REACTORS (6 points) — Topi Lind. In order to maintain a chain reaction in a modern thermal‐neutron nuclear reactor one needs three things: 1. nuclear fuel (e. g. U235), 2. moderator (e. g. water) and 3. coolant. In most cases the moderator acts as the coolant as well. Neutrons released from a thermal fission of U235 have a mean kinetic energy of approximately $E_{0} = 2$ MeV. However, neutrons which are that fast are inefficient in triggering fission of U235: neutrons need to be slowed down to an average kinetic energy of $E_{f} = 0.025$ eV. In what follows, justify why non‐relativistic approximations can be used unless explicitly instructed otherwise. i) (1 point) The rest energy of neutrons $m_{n} c^{2} = 940$ MeV, the Boltzmann constant $k_{B} = 1.38 \times 1 0^{- 23} J K^{- 1}$ , and the elementary charge $e = 1.602 \times 1 0^{- 19}$ C. What is the required speed of neutrons, i. e. the speed of neutrons with kinetic energy $E_{f}$ ? What is the temperature $T_{f}$ of a neutron gas where the average kinetic energy of neutrons is $E_{f}$ ? ii) (1 point) What is the initial speed of neutrons, i. e. the speed of neutrons with energy $E_{0}$ ? iii) (2.5 points) From a completely non‐ relativistic point of view, what should be the mass of the moderator’s atoms to slow down the fast neutrons as efficiently as possible? If the mass of the moderator’s atoms were to be $M = 135 m_{n}$ , how many collisions with such atoms at a temperature much lower than $T_{f}$ would a fast neutron need to experience to slow down from $E_{0}$ to $E_{f}$ ? Assume that all collisions are elastic and central. iv) (1.5 points) Nuclear fuel, i.e. U235, is placed inside metal rods and pressurized with helium gas to $p_{0} = 2.5$ MPa. During operation, as U235 keeps on fissioning inside the fuel rods, there is a build up of gas inside the rods. With a non‐invasive ultrasound measurement we can measure that the gas pressure inside the rod after it is finally picked out from the core is $p = 6.5$ MPa. Assuming that the gas released inside the rods is completely made of xenon isotope $_{54}^{135} Xe$ and that the initial gas volume drops from $V_{0} = 18 cm^{3}$ to $V = 9 cm^{3}$ due to the swelling of the fuel pellets, how many moles of xenon are released from fission? What is the ratio of helium to xenon inside the rod? The measurements are done at $T_{0} = 20^{\circ} C$ ; the universal gas constant $R = 8.31 J mol^{- 1} K^{- 1}$ .

Topic: Nuclear & Particle Physics, Conservation of Momentum, Thermodynamics Metodi: Conservation of Momentum, Kinetic Theory of Gases, Ideal Gas Law, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Nucleus, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.1

REACTORI NUCLERI (6 punti) Topi Lind, non è così. Per mantenere una reazione a catena in un nucleare a neutroni termici moderno Il reattore uno ha bisogno di tre cose: 1. nucleare combustibile (es. g. U235), 2. Moderatore (es. g. acqua) e 3. liquido di raffreddamento. Nella maggior parte dei casi il moderatore agisce anche come liquido di raffreddamento. Neutroni rilasciati di una fissione termica di U235 hanno una media energia cinetica di circa $E_{0} = 2$ MeV. Tuttavia, i neutroni che sono così veloci sono inefficienti nel scatenare la fissione di U235: i neutroni devono essere rallentati a una media energia cinetica di $E_{f} = 0.025$ eV. In quanto segue, giustificare perché si possono utilizzare approssimazioni non relativistiche, a meno che non sia esplicitamente indicato

altrimenti. i) (1 punto) L’energia residuale dei neutroni $m_{n} c^{2} = 940$ MeV, costante di Boltzmann $k_{B} = 1.38 \times 1 0^{- 23} J K^{- 1}$ , e il principio elementare carico $e = 1.602 \times 1 0^{- 19}$ C. Qual è la velocità richiesta dei neutroni, i. e. la velocità di i neutroni con energia cinetica $E_{f}$ ? Che cos’è temperatura $T_{f}$ di un gas neutrone in cui il l’energia cinetica media dei neutroni è $E_{f}$ ? (ii) (1 punto) Qual è la velocità iniziale dei neutroni, i. e. la velocità dei neutroni con energia $E_{0}$ ? (iii) (2,5 punti) Da un’impresa completamente non La relazione del Consiglio, che ha presentato il suo parere, ha massa degli atomi del moderatore per rallentare i neutroni veloci il più efficientemente possibile? If la massa degli atomi del moderatore sarebbe stata $M = 135 m_{n}$ , quante collisioni con tali atomi a una temperatura molto inferiore a $T_{f}$ un neutrone veloce ha bisogno di sperimentare rallentare da $E_{0}$ a $E_{f}$ ? Supponiamo che tutto le collisioni sono elastiche e centrali. I) 1,5 punti) combustibile nucleare, ovvero U235, is di cui al punto 1.6.3 con gas di elio fino a $p_{0} = 2.5$ MPa. Durante l’operazione, mentre U235 continua a fissionare all’interno delle barre di combustibile, si accumula gas all’interno delle barre. Con un prodotto non invasivo misurazione ad ultrasuoni possiamo misurare che la pressione del gas all’interno della canna dopo di essa è finalmente selezionato dal nucleo è $p = 6.5$ MPa. Supponendo che il gas rilasciato all’interno delle barre sia completamente di xenone l’isotopo $_{54}^{135} Xe$ e che il volume iniziale del gas scende da $V_{0} = 18 cm^{3}$ a $V = 9 cm^{3}$ a causa del gonfiore dei granelli di combustibile, come Molti mole di xenone vengono rilasciati dalla fissione? Qual è il rapporto dell’elio con il xenone? all’interno della canna? Le misure sono state fatte a $T_{0} = 20^{\circ} C$ ; costante universale del gas $R = 8.31 J mol^{- 1} K^{- 1}$ .

BLACK BOX (12 points) — Eero Uustalu. Tools: a black box with a yellow and a blue lead, two multimeters, a voltage source (that is connected in series with a resistor to limit the maximal current), wires, sheets of graph paper. In the black box, there are three diodes and a resistor. You are allowed to connect your circuit to the power source only through the yellow lead with a built‐in resistor (that is already connected to the power source)! For each series of measurements, also draw the circuit used! i) (4 points) Determine the electrical circuit inside the black box. ii) (2 points) Determine the resistance of the resistor. iii) (6 points) Determine the opening voltages of all the diodes (at which the current reaches 1 mA).

Topic: Circuits Metodi: Kirchhoff’s Laws, Experimental Data Analysis, Equivalent Circuit Reduction Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Measurement & Instrumentation Objects: Resistor, Battery, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.1

BOSSA NERA (12 punti) Eero Uustalu. Strumenti: una scatola nera con giallo e blu di piombo, due multimetri, una fonte di tensione (che è collegato in serie con una resistenza per il limite la corrente massima), fili, schede di grafico

La carta. Nella scatola nera ci sono tre diodi e una resistenza. Ti è permesso collegare il circuito alla fonte di alimentazione solo attraverso il piombo giallo con resistore integrato (cioè già connesso alla fonte di alimentazione)! Per ciascuna serie di misure, anche disegna il circuito usato! i) (4 punti) Determina il circuito elettrico dentro la scatola nera. (ii) (2 punti) Determinare la resistenza della resistore. iii) (6 punti) Determinare le tensioni di apertura di tutti i diodi (in cui il corrente raggiunge 1 mA).

THROWING (6 points) — Eppu Leinonen. i) (2 points) A drone starts from the origin at rest and accelerates horizontally with an acceleration $g$ to the $+ x$ direction. Simultaneously, a ball is thrown from the point with coordinates $(x, y) = (- h, - h)$ . What is the minimum initial speed the ball needs to hit the drone? The free fall acceleration $g$ is anti‐ parallel to the $y$ ‐axis. ii) (4 points) A stone is thrown from point $S$ (shown in the figure below) with an initial speed $v$ . A boy at point $B$ wishes to hit the stone in midair by throwing a ball simultaneously with the stone’s release. He wants to use the minimum possible speed $u$ that will still allow the ball to hit the stone in midair. After calculating the stone’s trajectory, he determines the optimal trajectory for the ball and throws it according to his calculations. The collision point $C$ is shown in the figure. Using the scale provided and necessary measurements from the figure, find the initial speeds $v$ of the stone and $u$ of the ball. The free fall acceleration is $g = 9.8 m s^{- 2}$ .

(Figura: punti $S$ , $C$ , $B$ ; scala $10$ m.)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Projectile, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2

L’EPPU LEINONEN. i) (2 punti) Un drone parte dall’origine al riposare e accelerare orizzontalmente con un’accelerazione $g$ nella direzione $+ x$ . Simultaneamente, una palla viene lanciata dal punto con le coordinate $(x, y) = (- h, - h)$ . Che cos’è velocità iniziale minima che la palla deve colpire Il drone? L’accelerazione di caduta libera $g$ è anti- parallelo all’asse $y$ ‐. ii) (4 punti) Si lancia una pietra dal punto $S$ (visto nella figura seguente) con un’iniziativa velocità $v$ . Un ragazzo al punto $B$ vuole colpire il la pietra in mezzo all’aria lanciando una palla contemporaneamente con il rilascio della pietra. Vuole utilizzare la velocità minima possibile $u$ che permetterà Permettere alla palla di colpire la pietra in mezzo all’aria. Dopo aver calcolato la traiettoria della pietra, determina la traiettoria ottimale per la palla e lo getta secondo il suo calcolo. Il punto di collisione $C$ è indicato nella figura. Utilizzando la scala fornita e necessaria le misure della figura, trovare le velocità iniziali $v$ della pietra e $u$ della palla. L’accelerazione della caduta libera è $g = 9.8 m s^{- 2}$ .

(Figura: punti $S$ , $C$ , $B$ ; scala $10$ m.)

BIRDS (4 points) — Jaan Kalda. A long and thin homogenous beam with uniform thickness and square cross‐section floats horizontally in water with its top surface parallel to the water surface. A bird lands on one end of the beam, and as a result, the beam sinks so that the edge of the upper face on the bird’s side is exactly at the same height as the water surface, while at the other end of the beam the lower face does not rise above the water. What is the maximum number of such birds that this beam can hold above water?

Topic: Fluid Mechanics, Rigid Body Statics Metodi: Hydrostatic Equilibrium, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Beam Fonte: Testo (PDF) — p.2

PIRDS (4 punti) Jaan Kalda. Un raggio omogeneo lungo e sottile con spessore uniforme e sezione quadrata galleggia orizzontalmente in acqua con la sua superficie superiore parallela alla superficie dell’acqua. Un uccello Il fascio di terra si atterrà su un’estremità del fascio e, di conseguenza, il fascio affonda in modo che il bordo del fascio di terra sia La faccia superiore sul lato dell’uccello è esattamente al Altizza pari alla superficie dell’acqua, mentre al l’altra estremità del fascio la faccia inferiore non alza sopra l’acqua. Qual è il massimo numero di tali uccelli che questo raggio può contenere sopra l’acqua?

CHARGED ROD (6 points) — Jaan Kalda. A rod of mass $m$ carries a charge $q$ ; both the charge and the mass are homogeneously distributed over its entire length $l$ . The system is in homogeneous magnetic field of strength $B$ , parallel to the $z$ ‐axis whereas the rod is in the $x$ – $y$ ‐plane. Neglect any forces except for the Lorentz force. One end of the rod is painted red, and the other — blue. i) (2 points) Consider the case when the rod rotates around its centre of mass. What should be the angular speed $ω$ for the mechanical tension force at the centre of the rod to be zero? ii) (4 points) Consider now a case when initially the blue end of the rod is at the origin ( $x = y = 0$ ), and the red end at $x = l$ . The blue end’s initial speed is zero while the red end’s speed is $v$ , parallel to the $y$ ‐axis. It turns out that after a certain time $t$ , the red end passes through the origin. Find the smallest possible value for $t$ and express the corresponding value of $v$ in terms of $m$ , $q$ and $l$ .

Topic: Magnetism, Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics Metodi: Lorentz Force Analysis, Torque & Angular Momentum Analysis, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Rod Fonte: Testo (PDF) — p.2

RED CARGED (6 punti) Jaan Kalda. Una barra di massa $m$ porta una carica $q$ ; entrambe le la carica e la massa sono distribuite in modo omogeneo su tutta la sua lunghezza $l$ . Il sistema è in un campo magnetico di forza omogeneo $B$ , parallelo all’asse $z$ - mentre la canna è nel piano $x$$y$ -. Non si possono fare niente, tranne che… per la forza Lorentz. Una fine della canna è Verniciato in rosso, e l’altro blu. (i) (2 punti) Considerare il caso in cui la canna ruota attorno al suo centro di massa. Che cosa ? deve essere la velocità angolare $ω$ per la forza di tensione meccanica al centro della canna

Per essere zero? (ii) (4 punti) Considerate ora un caso in cui l’estremità blu della canna è inizialmente all’origine ( $x = y = 0$ ), e la parte rossa alla $x = l$ . Il la velocità iniziale di fine blu è zero mentre il rosso la velocità della fine è $v$ , parallela all’asse $y$ . Si gira che dopo un certo tempo $t$ , la fine rossa passa attraverso l’origine. Trova il più piccolo valore possibile per $t$ ed esprimere il valore corrispondente di $v$ in termini di $m$ , $q$ e $l$ .

PHASE SPIRAL (9 points) — Taavet Kalda. Here we shall study the motion of Milky Way stars in the Solar neighbourhood in the direction of the $z$ ‐axis, i. e. perpendicular to the galactic plane. For our purposes, we can model the galactic gravity field as being created by a continuous mass density $ρ$ (that accounts for the masses of stars, dark matter, gas, interstellar dust, etc), and assume that this mass forms an infinite mirror‐ symmetric plate, i. e. $ρ \equiv ρ (z)$ and $ρ (z) = ρ (- z)$ is independent of $x$ and $y$ . Throughout the problem, you may assume that each star’s total energy is conserved over the entire considered time period. Gravitational constant $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} m^{3} kg^{- 1} s^{- 2} = 4.30 \times 1 0^{- 3} pc M_{⊙}^{- 1} (km/s)^{2}$ . i) (1 point) Assuming that the mass density is constant over the plate’s thickness. i.e. $ρ (z) = ρ_{0}$ , what is the acceleration $a_{z}$ of a star at a distance $z$ from the mid‐plane? ii) (0.5 points) Consider a star that starts with zero velocity at a distance of $z = a$ from the mid‐plane. With what period does it start oscillating around the mid‐plane? In reality, density decreases with growing $∣ z ∣$ . Measuring density has been a great challenge because of contributions from dark and other difficult‐to‐see matter. Here, we consider a breakthrough method of doing it. Consider the distributions of the stars in our neighbourhood on the $z$ – $v_{z}$ phase plane, where each star is a dot with coordinates $(v_{z}, z)$ ; $v_{z}$ denotes the $z$ ‐component the star’s velocity, and $z$ – the vertical coordinate. Initially, these dots were distributed nearly homogeneously, but some time ago, the Milky Way was perturbed externally, probably by a passing‐by dwarf galaxy; this shuffled the positions and velocities of stars, creating a bar‐shaped overdensity region. When moving within that bar‐shaped region from the centre to the periphery, the total energy per mass of stars increased monotonously. Over time, this overdensity region started “winding up”, due to the oscillation periods of stars in the vertical plane depending on their oscillation amplitude $z_{m}$ , and evolved into a spiral pictured below (Antoja et al. 2018, Nature 561, 360). An observation that you need to exploit below is that the ordering of stars by energies along the spiral today remains the same as it was at the time of perturbation. The oscillation period of stars depends on the amplitude $z_{m}$ because the gravitational potential (the potential energy per mass) $Φ (z)$ is not parabolic. In such a case, the period can be approximately found by substituting the real $Φ (z)$ with a $k z^{2}$ matching $Φ (z)$ at $z = z_{m}$ , i. e. with $k = Φ (z_{m}) / z_{m}^{2}$ .

(Grafico: asse orizzontale $z$ in kpc da $- 1.5$ a $1.5$ ; asse verticale $v_{z}$ in km/s da $- 60$ a $60$ .)

iii) (2.5 points) At the intersection points of the spiral with $v_{z} = 0$ , calculate $Φ (z)$ by interpolating data linearly where appropriate; plot your results (this follows the analysis of Guo et al. 2024, ApJ, 960, 133). iv) (1 point) Assuming that the mass density is almost constant for $∣ z ∣ \leq 0.3$ kpc, what is the mass density near $z = 0$ ? v) (2 points) Dark matter is an “invisible” form of matter that only interacts by gravity. In general, it is found that dark matter forms halos that extend significantly farther than visible matter structures. By assuming that the dark matter density doesn’t vary significantly within the volume of interest and that it starts dominating far away from the galactic plane, from around $z = 0.7$ kpc, estimate the local dark matter density $ρ_{DM}$ . vi) (2 points) How long ago did the perturbation occur?

Topic: Astrophysics, Gravitation, Oscillations & Waves Metodi: Gauss’s Law, Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Graph Linearization, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Star Fonte: Testo (PDF) — p.2

FASE SPIRAL (9 punti) Taavet Kalda. Qui studieremo il movimento della Via Lattea . stelle nel quartiere solare in direzione dell’asse $z$ , i. e. perpendicolare a il piano galattico. Per i nostri scopi, noi può modellare il campo gravitazionale galattico come creato da una densità di massa continua $ρ$ (che rappresenta le masse delle stelle, oscure) La materia, il gas, la polvere interstellare, ecc.) e supponiamo che questa massa costituisca uno specchio infinito. piastra simmetrica, i. e. $ρ \equiv ρ (z)$ e $ρ (z) = ρ (- z)$ è indipendente da $x$ e $y$ . Durante il problema, potreste presumere che ciascuna delle due l’energia totale della stella viene conservata per tutto il periodo di tempo considerato. Gravitazione costante $G = 6.67 \times 1 0^{- 11} m^{3} kg^{- 1} s^{- 2} = 4.30 \times 1 0^{- 3} pc M_{⊙}^{- 1} (km/s)^{2}$ . (i) (1 punto) Supponendo che la densità di massa è costante sullo spessore della piastra. i.e. $ρ (z) = ρ_{0}$ , qual è l’accelerazione $a_{z}$ di un stella a una distanza $z$ dal piano medio? ii) (0,5 punti) Considerate una stella che inizia con velocità di zero a una distanza di $z = a$ dal

piano medio. Con quale periodo inizia ad oscillarsi intorno al piano medio? In realtà, la densità diminuisce con la crescita $∣ z ∣$ . La misurazione della densità è stata una grande sfida a causa dei contributi dell’oscurità. e altre materie difficili da vedere. Ecco, noi. Considerare un metodo innovativo di fare it. Considerate le distribuzioni delle stelle in il nostro quartiere sul piano di fase $z$$v_z$ , dove ogni stella è un punto con coordinate $(v_{z}, z)$ ; $v_{z}$ indica il componente $z$ della stella velocità e $z$ la coordinata verticale. Inizialmente, questi punti erano distribuiti quasi omogenei, ma qualche tempo fa, la Galassia Lattea Way è stato disturbato esternamente, probabilmente da una galassia nana passante; questo ha mescolato il Le posizioni e le velocità delle stelle, creando un regione di sovra-densità a forma di barra. Quando si muove all’interno di tale regione a forma di barra da Il valore di energia totale per La massa delle stelle è aumentata in modo monotono. - Sono finita . Con il tempo, questa regione di sovra-densità ha iniziato a “svolgere”, a causa dei periodi di oscillazione delle stelle. in piano verticale a seconda della loro amplitudine di oscillazione $z_{m}$ , e si è evoluta in una spirale La foto che segue (Antoja et al. 2018, Natura 561, 360). Un’osservazione che devi fare L’esplorazione di seguito è che l’ordine delle stelle Le energie lungo la spirale oggi rimangono lo stesso che era al momento della perturbazione. Il periodo di oscillazione delle stelle dipende da l’ampiezza $z_{m}$ perché la gravità potenziale (energia potenziale per massa) $Φ (z)$ non è parabolico. In tal caso, il Il periodo può essere approssimativamente riscontrato sostituendo il reale $Φ (z)$ con un $k z^{2}$ corrispondente $Φ (z)$ at $z = z_{m}$ , i. e. con $k = Φ (z_{m}) / z_{m}^{2}$ .

(Grafico: a livello orizzontale $z$ in kpc da $- 1.5$ a $1.5$ ; a livello verticale $v_{z}$ in km/s da $- 60$ a $60$ .)

iii) (2,5 punti) Ai punti di intersezione di la spirale con $v_{z} = 0$ , calcolare $Φ (z)$ interpolatando i dati in modo lineare, se del caso; Il progetto di ricerca è stato sviluppato in modo da fornire un’esperienza di Guo et al. 2024, ApJ, 960, 133). iv) (1 punto) Supponendo che la densità di massa è quasi costante per $∣ z ∣ \leq 0.3$ kpc, che è la densità di massa vicino a $z = 0$ ? v) (2 punti) La materia oscura è una forma “invisibile” di materia che interagisce solo con la gravità. In generale, si scopre che la materia oscura si forma aloni che si estendono significativamente più lontano di strutture di materia visibile. Supponendo che la densità della materia oscura non varia significativamente nel volume di interesse e che Comincia a dominare lontano dalla galassia piano, da circa $z = 0.7$ kpc, stimare la densità locale di materia oscura $ρ_{DM}$ . vi) (2 punti) Da quanto tempo si è verificato il disturbo?

HOT PLATE (12 points) — Jaan Kalda. Tools: a resistor with resistance $R = 220$ $Ω$ mounted in one corner of a foam plastic plate (resistor’s upper surface is painted black), a power supply (on the power supply, readings other than voltage are not reliable!), two identical $40 mm \times 40 mm$ aluminium plates that differ only in their coating: one is polished, the other is anodized black and can be assumed to be a black body, 4 silicone rubber pads of thickness $t = 0.8$ mm, a foam cup with hot water, tweezers, a stopwatch, an infrared thermometer (press the knob twice and take a reading), sheets of graph paper and paper tissues for cleaning. Note that for thermal radiation, water can be also assumed to be a black body. Do not apply voltages higher than $U = 15$ V to the resistor as this will lead to a melting of the foam plastic! Please handle foam cups with care and do not break them (you will not get a spare one)! i) (3 points) Determine the emissivity (thermal radiation power relative to a black body) of the polished aluminium plate. Hint: infrared thermometers measure temperature via thermal radiation power (assume it is calibrated for objects of 100% emissivity); within relevant temperature ranges, this relationship can be approximated as linear, ii) (3 points) Determine the heat transfer coefficient between the top surface of the black aluminium plate and air (i. e. the coefficient of proportionality between heat dissipation power and the temperature difference) that includes both conductive and radiative heat transfer. iii) (2 points) Determine the heat capacity of a metal plate. iv) (4 points) Determine the heat conductance of silicon rubber pads (neglect their heat capacitance).

Topic: Thermodynamics, Circuits Metodi: Experimental Data Analysis, First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Experimental Data Analysis, Graph Linearization, Measurement & Instrumentation Objects: Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.2

HOT PLATE (12 punti) Jaan Kalda. Strumenti: resistenza $R = 220$ $Ω$ montati in un angolo di una piastra di plastica in schiuma (la superficie superiore del resistore è dipinta in nero), un alimentazione (sulla alimentazione, letture diverse dalla tensione non sono affidabili!), due piastrelle di alluminio $40 mm \times 40 mm$ identiche che differiscono solo per il loro rivestimento: uno è lucidato, l’altro è nero anodizzato e può essere presunto corpo nero, 4 tappe di gomma di silicone di spessore $t = 0.8$ mm, una tazza di schiuma con acqua calda, pinzette, orologio fermo, termometro infrarosso (premere due volte il pulsante) e prendere una lettura), fogli di carta grafica e tessuti di carta per la pulizia. Si noti che per la radiazione termica, si può presumere che l’acqua sia anche un corpo nero. Non applicare tensioni superiori a $U = 15$ V alla resistenza, poiché ciò porterà a un Fusione della plastica schiuma! Ti prego, prendila. Coppe di schiuma con cura e non romperle (non ne avrai uno di riserva)! i) (3 punti) Determinare l’emissività (potenza di radiazione termica relativa a una corpo) della piastra di alluminio lucidata. - Insignia: I termometri infrarossi misurano la temperatura tramite potenza di radiazione termica (assumendo che è calibrato per oggetti con emissività del 100%); entro le pertinenti fasce di temperatura, questa la relazione può essere approssimata come lineare, ii) (3 punti) Determinare il coefficiente di trasferimento di calore tra la superficie superiore del nero piastra e aria di alluminio (i.e. e. il coefficiente di proporzionalità tra la dissipazione del calore potenza e la differenza di temperatura) che comprende sia il calore conduttivo che quello radiativo

Trasferimento. iii) (2 punti) Determinare la capacità termico di una piastra di metallo. iv) (4 punti) Determinare la conduttività termico di cuscinetti di gomma di silicio (non si deve considerare la loro capacità termico).

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