Brasil 2006

Questão 1. Estudantes estão trabalhando em um projeto com um robô móvel que cuja localização é feita a partir de sinais recebidos por três estações fixas, A, B e C, de posições conhecidas, dispostas no piso de um ginásio plano e sem obstáculos, cujas posições são dadas conforme o diagrama abaixo. Os estudantes comandam o robô de um sala anexa de forma que não podem vê-lo, logo, devem tomar suas decisões apenas nas informações recebidas das estações. Em um dado instante, o robô está no ponto P e recebe sinais das estações A e B que informam que suas distâncias em relação às mesmas são, respectivamente, $6, 0 m$ e $4, 0 m$ . A estação C está desligada e os estudantes devem planejar uma missão na qual o robô se desloca para ligá-la (simulando uma missão de reparo a um mal funcionamento). Antes de partir devem verificar se há energia para cobrir um trajeto. Qual é a maior distância que o robô terá que percorrer em um deslocamento em linha reta de P para C?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Quesito 1. Gli studenti stanno lavorando su un progetto con un robot mobile che è posizionato a partire da segnali ricevuti da tre stazioni fisse, A, B e C, di posizioni Conosciute, disposte sul pavimento di un palestra piatto e senza ostacoli, le posizioni dei quali sono indicate come mostrato qui sotto. Gli studenti comandano il robot di una stanza allegata in modo La Commissione ha adottato una decisione che non può essere adottata. Stazioni. In un momento determinato, il robot è al punto P e riceve segnali dalle stazioni A e B che le distanze tra loro sono rispettivamente $6, 0 m$ e $4, 0 m$ . A Stazione C è disattivata e gli studenti devono pianificare una missione in cui il robot si muoverà per collegarla (simulando un errore di riparazione). Prima di partire, devono Verificare se c’è energia per coprire un percorso. Qual è la distanza più lunga che il robot dovrà percorrere? percorrere in un spostamento in linea retta da P a C?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Question number one. Students are working on a project with a mobile robot whose location is made from signals received by three fixed stations, A, B and C, of positions known, arranged on the floor of a flat and unobstructed gym, the positions of which are given as shown in the diagram below. Students control the robot of an annexed room in a form The Commission has already decided to take a decision on the basis of the information received from the Member States. The stations. At a given moment, the robot is at the point P and receives signals from stations A and B that indicate that their distances to them are $6, 0 m$ and $4, 0 m$ respectively. A Station C is off and students must plan a mission in which the robot moves to connect it (simultaneously a repair mission to a malfunction). Before you leave, you must Check if there’s power to cover a route. What is the longest distance the robot will have to go travel in a straight line shift from P to C?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Questão 2. Os fenômenos astronômicos das eclipses solar e lunar ocorreriam se as distâncias da Terra-Sol e Terra-Lua fossem diferentes? Qual deveria ser a distância Terra-Lua acima da qual não ocorreria mais a eclipse lunar? Considere órbitas circulares e coplanares para o movimento da Terra em torno do Sol e da Lua em torno da Terra. Para solucionar este problema utilize os dados relevantes da tabela abaixo, onde $R_{S}$ é o raio do Sol, $R_{T}$ raio da Terra, $R_{L}$ raio da Lua, $d_{S T}$ distância média Sol-Terra e $d_{T L}$ distância média Terra-Lua.

$R_{S}$ (m)	$R_{T}$ (m)	$R_{L}$ (m)	$d_{S T}$ (m)	$d_{T L}$ (m)
$7, 0 \times 1 0^{8}$	$6, 4 \times 1 0^{6}$	$1, 8 \times 1 0^{6}$	$1, 5 \times 1 0^{11}$	$3, 8 \times 1 0^{8}$

Topic: Astrophysics, Geometric Optics Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Planet, Star Fonte: Testo (PDF) — p.2

Quesito 2. I fenomeni astronomici degli eclissi solari e lunari si verificherebbero se le distanze tra le due parti del Sole e la Luna fossero Terra-Sol e Terra-Luna sarebbero diverse? Qual è la distanza da cui la Terra-Luna dovrebbe essere sopra Non ci sarebbe più un’eclissi lunare? Considera orbite circolari e coplanari per il movimento della Terra intorno al Sole e della Luna intorno alla Terra. Per risolvere questo problema, utilizzare i dati rilevanti della tabella seguente, dove $R_{S}$ è il raggio del Sole, $R_{T}$ il raggio della Terra, $R_{L}$ il raggio della Luna, $d_{S T}$ distanza media Sole-Terra e $d_{T L}$ distanza media Terra-Luna.

$R_{S}$ (m)	$R_{T}$ (m)	$R_{L}$ (m)	$d_{S T}$ (m)	$d_{T L}$ (m)
$7, 0 \times 1 0^{8}$	$6, 4 \times 1 0^{6}$	$1, 8 \times 1 0^{6}$	$1, 5 \times 1 0^{11}$	$3, 8 \times 1 0^{8}$

Question two. The astronomical phenomena of solar and lunar eclipses would occur if the distances of the Earth-Sun and Earth-Moon would be different? What should be the distance Earth-Moon above which Wouldn’t there be another lunar eclipse? Consider circular and coplanar orbits for movement of the earth around the sun and the moon around the earth. To solve this problem use the relevant data from the table below, where $R_{S}$ is the radius of the Sun, $R_{T}$ radius of the Earth, $R_{L}$ radius of the Moon, $d_{S T}$ distância média Sol-Terra e $d_{T L}$ distância média Terra-Lua.

$R_{S}$ (m)	$R_{T}$ (m)	$R_{L}$ (m)	$d_{S T}$ (m)	$d_{T L}$ (m)
$7, 0 \times 1 0^{8}$	$6, 4 \times 1 0^{6}$	$1, 8 \times 1 0^{6}$	$1, 5 \times 1 0^{11}$	$3, 8 \times 1 0^{8}$

Questão 3. Qual o caminho liso (sem atrito) que conecta dois pontos A e B que é percorrido no menor intervalo de tempo possível quando utilizado por uma partícula deslizante sob a ação da gravidade? Este problema foi formulado por Johann Bernoulli em 1696 e é atualmente conhecido como o problema da braquistócrona (em grego clássico esta palavra significa menor tempo). Há várias soluções possíveis para este problema que, no entanto, envolvem cálculo avançado e por isso vamos considerar uma versão bastante simplificada. Na figura abaixo, a partícula está inicialmente em repouso no ponto A e a trajetória da partícula deve ser necessariamente formada por dois trechos retilíneos AP e PB. O trecho de AP é vertical e a partícula desliza sobre o mesmo em queda livre. Ao atingir P a partícula, imediatamente e sem perda de energia, é direcionada para o trecho PB para que se complete a trajetória. Note que se $y_{P} = 3$ m o ponto P coincide com A e a trajetória é a mais curta possível. Se $y_{P} = 0$ , a trajetória PB é um plano horizontal. Esta é a trajetória em que a partícula atinge a velocidade máxima mais rapidamente possível. (a) Entre as trajetórias definidas por $y_{P} = 0$ ou $y_{P} = 3$ m qual é a percorrida no menor tempo? (b) Existe alguma trajetória com $y_{P}$ no intervalo de 0 a 3 m que é percorrida em um intervalo de tempo menor que as encontradas no item anterior?

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Energy Conservation Method, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 3. Qual è il percorso liscio (senza attrito) che collega due punti A e B che si percorre nel La durata minima possibile quando utilizzata da una particella scivolante sotto l’azione di gravità? Questo problema è stato formulato da Johann Bernoulli nel 1696 ed è oggi noto come come il problema della brachistocrona (in greco classico questo termine significa meno tempo). Ci sono diverse soluzioni possibili a questo problema che, tuttavia, coinvolgono calcolo avanzato e quindi consideriamo una versione piuttosto semplificata. Nella figura seguente, la particella è inizialmente a riposo al punto A e la tragitura della particella deve necessariamente essere costituito da due tratti reticolari AP e PB. L’intersezione di AP è verticale e la particella scivola sulla stessa in caduta libera. Quando raggiunge P la particella, immediatamente e senza perdita di energia, si dirige verso il tratto PB per completare la trajectoria. Nota che se $y_{P} = 3$ m Il punto P coincide con A e la trajectoria è la più breve possibile. Se $y_{P} = 0$ , la trajectory PB è un piano orizzontale. Questa è la trajectoria in cui la particella raggiunge la velocità massima più il più rapidamente possibile. (a) Tra le traiettorie definite da $y_{P} = 0$ o $y_{P} = 3$ m quale è la

In breve tempo? (b) C’è una trajectoria con $y_{P}$ nell’intervallo da 0 a 3 m che è percorso in un intervallo di tempo inferiore a quello di cui al precedente punto?

Question three. What is the smooth (non-friction) path connecting two points A and B that is taken at the The shortest possible time interval when used by a sliding particle under the action of the What about gravity? This problem was formulated by Johann Bernoulli in 1696 and is now known as As the brachistochronic problem (in classical Greek this word means less time). There are several possible solutions to this problem which, however, involve advanced calculation And so we’re going to consider a fairly simplified version. In the figure below, the particle is initially resting at point A and the particle trajectory must necessarily be consisting of two straight AP and PB sections. The AP stretch is vertical and the particle slides about the same in free fall. When the particle reaches P, immediately and without loss of energy, is directed to the PB section to complete the trajectory. Note that if $y_{P} = 3$ m point P coincides with A and the trajectory is as short as possible. If $y_{P} = 0$ , the PB trajectory is a horizontal plane. This is the trajectory where the particle reaches its maximum velocity plus as quickly as possible. (a) Between the trajectories defined by $y_{P} = 0$ or $y_{P} = 3$ m which is the The shortest time? (b) There is some trajectory with $y_{P}$ in the range of 0 to 3 m which is is it travelled in a shorter time interval than those found in the previous item?

Questão 4. Em um laboratório usa-se um recipiente cilíndrico para aquecer água. O recipiente tem uma base de $100 cm^{2}$ e uma altura total de $20, 0$ cm. Na lateral do recipiente há duas marcas de nível separadas por uma distância de $10, 0$ cm. No fundo, quando ligado, o recipiente tem uma resistência que fornece uma potência constante de $500, 0$ W. Nesse recipiente é colocado água pura à temperatura ambiente de $20^{\circ} C$ até o nível superior. Faça um gráfico com a estimativa da altura h do nível da água em função do tempo t, em minutos, entre os instantes no qual a resistência é ligada e aquele em que h atinge o nível inferior.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: Container, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.2

Quattro. In un laboratorio si usa un recipiente cilindrico per riscaldare l’acqua. Il contenitore ha una base di $100 cm^{2}$ e una altezza totale di $20, 0$ cm. Sul lato del recipiente ci sono due segni di livello separato da una distanza di $10, 0$ cm. In fondo, quando è acceso, il recipiente ha un resistenza che fornisce una potenza costante di $500, 0$ W. In questo recipiente viene posta l’acqua pure a temperatura ambiente $20^{\circ} C$ fino al livello superiore. Fai un grafico con la stima di h del livello dell’acqua in funzione del tempo t, in minuti, tra i momenti in cui a la resistenza è collegata e quella in cui h raggiunge il livello inferiore.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: Container, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.2

Question four. In a laboratory, a cylindrical container is used to heat water. The container has a base of $100 cm^{2}$ and a total height of $20, 0$ cm. On the side of the container are two marks of a level separated by a distance of $10, 0$ cm. At the bottom, when connected, the container has a resistance providing a constant power of $500, 0$ W. Water is put in this container pure at room temperature $20^{\circ} C$ to the upper level. Make a chart with the estimate of water level height h in time t, in minutes, between the moments when a The resistance is connected and the one where h reaches the lower level.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Graph Linearization Objects: Container, Resistor Fonte: Testo (PDF) — p.2

Questão 5. A figura abaixo representa a vista superior de um jogo no qual todos os movimentos ocorrem em um superfície retangular horizontal de lados $a = 1, 80$ m e $b = 0, 90$ m. O objetivo do jogo é embocar os projéteis que são disparados pelo canhão fixo no ponto A e se que movem com velocidades de módulos constante $V = 3, 00$ m/s em direção ao lado b (a linha tracejada indica a trajetória dos projéteis). O recipiente que deve ser usado para capturar os projéteis se move paralelamente à aresta b com velocidade de módulo constante v e que pode ser ajustada pelo jogador. A orientação do recipiente, dada pelo ângulo $θ$ também deve ser escolhida pelo jogador, pois a contagem de ponto ocorre apenas se o projétil atinge o fundo do recipiente sem tocar as suas paredes laterais. No instante em que o projétil é disparado e o recipiente está no ponto B, quais devem ser os ajustes de v e $θ$ para que o jogador marque um ponto?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Projectile, Container Fonte: Testo (PDF) — p.3

Quinta domanda. La figura qui sotto rappresenta la vista superiore di un gioco in cui tutti i movimenti si verificano su una superficie retangolare orizzontale di lato $a = 1, 80$ m e $b = 0, 90$ m. L’obiettivo Il gioco è di colpire i proiettili che vengono sparati dal cannone fisso al punto A e se si muovono con velocità di moduli costanti $V = 3, 00$ m/s verso il lato b (linea tracciata) indica il percorso dei proiettili). Il contenitore da usare per catturare i proiettili se si muove in parallelo con l’orlo b con velocità modulo costante v e che può essere regolato per il giocatore. L’orientamento del recipiente, dato dall’angolo $θ$ , deve essere scelto anche dal giocatore, poiché il punto di contato si verifica solo se il proiettile raggiunge il fondo del contenitore senza toccare i suoi muri laterali. Il momento in cui il proiettile viene sparato e il contenitore è in punto B, quali sono i cambiamenti di v e $θ$ per il giocatore a segnare un punto?

Question five. The figure below represents the upper view of a game in which all moves occur on a horizontal rectangular surface of the sides $a = 1, 80$ m and $b = 0, 90$ m. The objective The game is to hit the projectiles that are fired by the fixed cannon at point A and if they move with constant module speeds $V = 3, 00$ m/s towards side b (traced line) The trajectory of the projectiles shall be indicated. The container to be used to capture the projectiles if: moves parallel to edge b with constant module speed v and which can be adjusted by the player. The orientation of the container given by the angle $θ$ shall also be chosen by the player, as the point count only occurs if the projectile hits the bottom of the container without touch your side walls. The moment the projectile is fired and the container is in the point B, what are the v and $θ$ adjustments to make a player score a point?

Questão 6. Uma experiência bastante interessante e que pode ser feita em casa consiste em levar a água líquida a um estado de temperatura abaixo de seu ponto de congelamento. Quando isso acontece dizemos que a água está em um estado super-resfriado. Este é um estado de equilíbrio metaestável pois se perturbado a água passa do estado líquido para o sólido quase que instantaneamente. Talvez você já tenha presenciado este fenômeno surpreendente ao pegar uma bebida gelada que esqueceu no congelador. Para reproduzir este fenômeno mais facilmente é preciso trabalhar com água destilada, pois são as impurezas dissolvidas na água que facilitam o processo de formação do gelo. Suponha um recipiente A com um litro de água mineral e um recipiente B com um litro de água destilada, ambos à temperatura ambiente $T_{a} = 20^{\circ} C$ . Estes recipientes são então colocados em um congelador que está a $T_{c} = - 6^{\circ} C$ e espera-se um tempo suficiente para que A contenha gelo a $- 6^{\circ} C$ mas com a água de B ainda no estado líquido. Quais as quantidades de calor trocada entre o congelador e (a) a água de A e (b) a água de B? Se B é retirado do congelador e agitado levemente observa-se que o líquido se solidifica imediatamete. (c) Este processo emite ou absorve calor? (d) Estime a quantidade de calor trocada nesse último processo.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3

Quesito 6. Un’esperienza molto interessante e che può essere fatta a casa consiste portando l’acqua liquida a un stato di temperatura inferiore al punto di congelamento. Quando questo accade, diciamo che l’acqua è in uno stato super raffreddato. Questo è uno stato di equilibrio metastabile, poiché se disturbata l’acqua passa dallo stato liquido al solido quasi che istantaneamente. Forse avete già visto questo sorprendente fenomeno quando avete preso Una bevanda gelata che ha dimenticato nel congelatore. Per riprodurre questo fenomeno più facilmente È necessario lavorare con acqua distillata, perché sono le impurità dissolte nell’acqua che facilitano la produzione di il processo di formazione del ghiaccio. Supponiamo un recipiente A con un litro di acqua minerale e un litro di acqua minerale. contenitore B con un litro di acqua distillata, entrambi a temperatura ambiente $T_{a} = 20^{\circ} C$ . Questi i recipienti sono poi messi in un congelatore che è $T_{c} = - 6^{\circ} C$ e si aspetta un tempo sufficiente per contenere A a $- 6^{\circ} C$ di ghiaccio ma con l’acqua di B ancora liquida. Quali sono le quantità di calore scambiate tra il congelatore e (a) l’acqua di A e (b) l’acqua di B? Se B viene estratto dal congelatore e agitato leggermente si osserva che il liquido si solidifica

Non posso. (c) Questo processo emette o assorbe calore? (d) Calcolare la quantità di calore che è stata scambiata in quest’ultimo processo.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question number six. A very interesting experience that can be done at home consists of in bringing liquid water to a temperature state below its freezing point. When that happens, we say the water is in a super-cool state. This is a state The water is disrupted and the water is moved from liquid to solid. That instantly. Perhaps you have witnessed this surprising phenomenon when you pick up A cold drink you forgot in the freezer. To reproduce this phenomenon more easily You have to work with distilled water, because it is the impurities dissolved in the water that facilitate the the process of ice formation. Suppose a container A with a liter of mineral water and a B-container with one liter of distilled water, both at room temperature $T_{a} = 20^{\circ} C$ . These containers are then placed in a freezer that is $T_{c} = - 6^{\circ} C$ and a time is waited enough to keep A ice at $- 6^{\circ} C$ but with B’s water still in liquid state. What is the amount of heat exchanged between the freezer and (a) water from A and (b) water from B? If B is removed from the freezer and shaken slightly, the liquid is observed to solidify. I’ll be right there. (c) Does this process emit or absorb heat? (d) Estimate the amount of heat The Commission has already taken a number of measures to ensure that the Community’s financial resources are not used to finance the implementation of the programme.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.3

Questão 7. Uma pessoa observa que demora, em média, 20 horas para encher uma piscina ao usar uma torneira ligada à rede pública de abastecimento de água e 12 horas se utilizar a água captada de um poço através de uma bomba elétrica. Qual o tempo médio de enchimento da piscina se forem usados, simultaneamente, a água da torneira e do poço?

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Quesito 7. Una persona osserva che ci vogliono in media 20 ore per riempire una piscina al utilizzare un rubinetto collegato alla rete pubblica di approvvigionamento idrico e 12 ore se si utilizza l’acqua catturato da un pozzo con una bomba elettrica. Qual è il tempo medio di riempimento della se si utilizza contemporaneamente l’acqua del rubinetto e del pozzo?

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question seven. A person observes that it takes an average of 20 hours to fill a pool at use a tap connected to the public water supply network and 12 hours if water is used It was taken from a well by an electrical pump. What is the average filling time of the swimming pool if tap and well water are used simultaneously?

Topic: Fluid Mechanics Metodi: Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Questão 8. Considere um pequeno carro de brinquedo cujo movimento pode ser controlado remotamente. A potência do motor elétrico que move o carro limita a inclinação máxima que sua trajetória pode ter em relação à horizontal em $3 0^{\circ}$ . O operador do carro deseja fazer com que este veículo suba um talude de inclinação $θ = 4 5^{\circ}$ com a horizontal e que separa duas áreas horizontais de um parque cujo desnível vale $h = 4, 00$ m. É possível fazer o brinquedo subir o talude através de um movimento de zigue-zague usando uma rampa pavimentada sobre o talude que tem largura $ℓ = 2, 00$ m. O operador do carrinho inicia o movimento da extremidade inferior direita (ponto A) e executa manobras de forma a subir a rampa com a trajetória de menor comprimento possível. Determine (a) a distância percorrida pelo carro sobre a rampa (b) a distância que o carro se encontra da extremidade superior direita (ponto B) no instante que atinge o plano superior. (A figura abaixo ilustra a rampa.)

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Vector Decomposition, Kinematic Equations Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.4

Domanda 8. Considera un piccolo giocattolo che si può controllare

In remoto. La potenza del motore elettrico che spinge la macchina limita la massima inclinazione che il suo percorso può essere orizzontale in $3 0^{\circ}$ . L’operatore della macchina desidera fare con che questo veicolo sali un’inclinazione $θ = 4 5^{\circ}$ con la linea orizzontale e che separa due aree i piani orizzontali di un parco il cui livello è $h = 4, 00$ m. È possibile far salire il giocattolo il tallone attraverso un movimento di zigzag usando una rampa pavimentata sopra il di altezza di $ℓ = 2, 00$ m di larghezza. L’operatore del carrello inizia il movimento dell’estremità Sotto destra (punto A) e eseguire manovre per salire la rampa con il tragitto di il più breve possibile. Determina la distanza percorsa dalla vettura sul rampa (b) la distanza che la vettura si trova dall’estremità superiore destra (punto B) all’istante che raggiunge il piano superiore. (La figura qui sotto illustra la rampa.)

Question eight. Consider a small toy car whose movement can be controlled remotely. The power of the electric motor driving the car limits the maximum inclination that its trajectory may be horizontal in $3 0^{\circ}$ . The car operator wishes to that this vehicle is mounted on a slope $θ = 4 5^{\circ}$ with the horizontal and separates two areas horizontal of a park whose level deviation is $h = 4, 00$ m. You can make the toy go up The slope through a zig-zag movement using a paved ramp over the a height of $ℓ = 2, 00$ m. The operator of the cart starts the movement of the end lower right (point A) and perform manoeuvres to climb the ramp with the trajectory of as short as possible. Determine the distance travelled by the car over the ramp (b) the distance the car is from the upper right end (point B) at the moment It’s the one that reaches the top plane. (The figure below illustrates the ramp.)

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