OBF 2009

a) Um aro circular de raio $R$ e massa $m$ uniformemente distribuída, rola sem deslizar, em movimento uniforme, sobre um plano horizontal, como mostra a figura 1.

Considerando que o movimento do aro pode ser descrito pela composição do movimento retilíneo uniforme do seu centro de massa combinado com um movimento de rotação uniforme em relação a este mesmo ponto, determine, em função de $m$ e $v$ , a energia cinética total do aro. b) Com dois aros idênticos ao do item anterior e uma haste rígida de comprimento $L$ e massa desprezível, construiu-se um carretel cujo esboço é apresentado abaixo na figura 2. Os raios que dão sustentação à haste, ligando-a rigidamente aos aros não foram apresentados e suas massas são desprezíveis, também. Considere que o carretel encontra-se, inicialmente, em movimento uniforme com velocidade $v$ sobre um plano horizontal e após um certo tempo começa a subir um plano inclinado. A figura 3 mostra um corte transversal dos planos e do carretel.

Determine a altura máxima que a haste atinge em relação ao plano horizontal, quando o carretel atinge velocidade nula. Determine também a desaceleração sofrida pelo carretel durante a subida. Expresse seus resultados em função de variáveis escolhidas dentre as grandezas $m$ , $v$ , $R$ , $L$ e $g$ (aceleração da gravidade).

Topic: Rotational Dynamics, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Torque & Angular Momentum Analysis, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Wheel, Rod, Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.2

a) Un anello circolare di radius $R$ e massa $m$ uniformemente distribuita, rulli senza scivolare, in movimento uniforme, su un piano orizzontale, come mostra la figura 1.

Considerando che il movimento dell’angolo può essere descritto dalla composizione di movimento uniforme del suo centro di massa combinato con un movimento uniforme di rotazione rispetto a questo stesso punto, determina, in funzione di $m$ e $v$ , l’energia cinetica totale del cerchio. b) Con due anelli identici a quelli di cui al punto precedente e una striscia rigida di lunghezza $L$ e massa scarsa, si è costruito un rotolo il cui disegno è riportato in figura 2. I raggi che sostengono la canna, legando rigidamente alle aranci non sono state presentate e le loro masse Sono dispregiati, anche. Considera che il carretto si trova, inizialmente in movimento uniforme a velocità $v$ su un piano E dopo un certo tempo inizia a salire un piano inclinato. A La figura 3 mostra un taglio trasversale dei piani e del carretto.

Determina l’altezza massima che la canna raggiunge rispetto al piano orizzontale quando il rotolo raggiunge la velocità zero. Determina anche la rallentamento subito dal carretello durante l’ascesa. Esprimi i tuoi risultati per variabili scelte tra le dimensioni $m$ , $v$ , $R$ , $L$ e $g$ (accelerazione della gravità).

(a) A circular ring of $R$ radius and uniformly distributed mass $m$ , roll without sliding, in uniform motion, on a horizontal plane, as This is shown in Figure 1.

Whereas the movement of the ring can be described by the composition the uniform reticular motion of its centre of mass combined with a uniform rotational motion with respect to this same point, determines, in terms of $m$ and $v$ , the total kinetic energy of the ring. (b) With two rings identical to those of the preceding paragraph and a rigid rod of length $L$ and scant mass, a rolling stock with a draft has been constructed is shown in Figure 2 below. The rays that support the stem, The weight of the rings and the mass of the rings They’re despicable, too. Consider the carriage is located, initially in uniform motion at $v$ speed on a plane horizontal and after a while it starts to rise a sloping plane. A Figure 3 shows a cross-sectional cut of the planes and the reel.

Determine the maximum height the rod reaches with respect to the plane horizontal, when the rolling stock reaches zero speed. Determine also the slowdown experienced by the carriage during the climb. Express your results for variables selected from the values $m$ , $v$ , $R$ , $L$ e $g$ (aceleração da gravidade).

Uma pequena esfera metálica de massa $m$ foi abandonada juntamente com uma bola de borracha de massa $M$ , esférica, de raio $R$ , conforme a figura 4.

A massa $M$ é muito menor que $m$ e o volume da esfera metálica é desprezível quando comparado ao da bola de borracha. Considerando que: os movimentos dos centros de massa da esferinha e da bola estão sempre na mesma vertical; o sistema se choca contra o solo e todos os choques envolvidos são perfeitamente elásticos; a distância na vertical percorrida pela esferinha é muito maior que a deformação da bola de borracha; é desprezível a resistência do ar em questão, determine:

a) A velocidade aproximada com que a esferinha se separa da bola na subida.

b) A distância vertical percorrida pela esferinha na subida em função da distância percorrida pela mesma, na descida.

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Sphere, Ball Fonte: Testo (PDF) — p.2

Una piccola sfera metallica di massa $m$ è stata abbandonata insieme con una palla di gomma di massa $M$ , sferica, di raggio $R$ , in conformità a figura 4.

La massa $M$ è molto inferiore a $m$ e il volume della sfera metallica è disprezioso rispetto a quello della palla di gomma. Considerando che che: i movimenti dei centri di massa della sfera e della palla sono sempre nella stessa verticale; il sistema si scontrerà con il suolo e tutti gli le scosse coinvolte sono perfettamente elastica; la distanza verticale Il percorso della sfera è molto più grande della deformazione della palla di gomma; è disprezzabile la resistenza dell’aria in questione, determina:

a) La velocità approssimativa con cui la sfera si separa dalla palla in Salite.

b) La distanza verticale percorsa dalla sfera nell’ascesa a seconda della la distanza percorsa dalla stessa, in discesa.

A small metal ball of mass $m$ has been abandoned together a ball of rubber of a mass $M$ , spherical, with a radius $R$ , in accordance with: The following table shows the following:

The mass $M$ is much smaller than $m$ and the volume of the metal sphere is It’s a little scary compared to the rubber ball. Whereas The movements of the centres of mass of the sphere and the ball are The system collides with the ground and all the The impact involved is perfectly elastic; the vertical distance The distance travelled by the ball is much greater than the deformation of the ball of rubber; the air resistance in question is negligible, determines:

(a) The approximate speed at which the ball separates from the ball in the Get up there.

(b) The vertical distance travelled by the sphere in the ascending position according to the distance travelled by it, on descent.

A figura 5 mostra uma célula unitária cúbica de um cristal de cloreto de sódio, com aresta $a = 5, 6 \cdot 1 0^{- 10} m$ .

a) Determine a densidade volumétrica de carga elétrica positiva, em $C/cm^{3}$ , devida ao íon Na $^{+}$ , lembrando que a carga elementar é $1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ . b) Considere duas cargas puntiformes de mesmo módulo, uma positiva e outra negativa, separadas por $0, 5 cm$ , inicialmente em repouso. O módulo de cada carga é igual a quantidade de carga contida em um $cm^{3}$ na resposta do item anterior. Determine a energia necessária para separar estas cargas a uma distância infinita.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.3

La figura 5 mostra una cellula cubica unitaria di un cristallo di cloruro di Sodio, con bordo $a = 5, 6 \cdot 1 0^{- 10} m$ .

a) Determina la densità volumetrica di carico elettrico positivo, in $C/cm^{3}$ , dovuta all’ion Na $^{+}$ , ricordando che il carico elementare è $1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ . b) Considerare due carichi puntiformi dello stesso modulo, una positiva e una un altro negativo, separato da $0, 5 cm$ , inizialmente a riposo. Il modulo di ogni carico è pari alla quantità di carico contenuta in un $cm^{3}$ in risposta al punto precedente. Determina l’energia necessaria per separare queste cariche a distanza infinita.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.3

Figure 5 shows a cubic unit cell of a chloride crystal of Sodium, with edge $a = 5, 6 \cdot 1 0^{- 10} m$ .

(a) Determine the volumetric density of positive electrical charge in $C/cm^{3}$ due to the ion Na $^{+}$ , remembering that the elementary charge is $1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ . (b) Consider two point shaped loads of the same module, one positive and one Other negative, separated by $0, 5 cm$ , initially at rest. The module of each load is equal to the amount of load contained in a $cm^{3}$ in the the answer to the previous paragraph. Determine the energy required to separate These charges are at an infinite distance.

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion Objects: Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.3

Duas placas condutoras, planas, paralelas, quadradas de lado $d$ , separadas por uma distancia $a$ muito menor que $d$ , estão dispostas isoladamente formando um capacitor plano. Uma das placas é aterrada e a outra é ligada por fio condutor a uma esfera condutora de raio $R$ . A figura 6 mostra um esboço desse sistema.

Uma carga elétrica $Q$ , positiva, foi colocada na placa superior do capacitor. Na situação de equilíbrio eletrostático, considere o meio entre as placas como sendo o vácuo, que os efeitos de borda são desprezíveis, bem como a intensidade do campo elétrico de um elemento (esfera, capacitor ou terra) sobre qualquer outro. Determine:

A. A fração de $Q$ que permanece na placa superior.
B. A intensidade do campo elétrico a uma distância $2 R$ do centro da esfera. Expresse seus resultados como função das grandezas citadas no enunciado e constantes universais quando for o caso.

Topic: Electrostatics Metodi: Gauss’s Law, Coulomb’s Law, Electric Potential Method Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Capacitor, Conducting Sphere, Wire Fonte: Testo (PDF) — p.3

Due schede di guida, piane, parallele, quadrate laterali $d$ , separati da una distanza $a$ molto inferiore a $d$ , sono disposti isolato formando un condensatore piatto. Una delle placche è stata abbattuta e l’altro è collegato con un filo conduttore ad una sfera conduttrice di raggio $R$ . A La figura 6 mostra un’ottica di questo sistema.

Un carico elettrico $Q$ positivo è stato posto sulla scheda superiore del

Capacitore. In caso di equilibrio elettrostatico, considerate il mezzo tra le placche come essendo il vuoto, che gli effetti di bordo sono scarsa, l’intensità del campo elettrico di un elemento (sfera, La capacità di un’unità di trasporto è superiore a quella di un altro. Determina:
A. La frazione di $Q$ che rimane sulla scheda superiore.
B. L’intensità del campo elettrico a una distanza $2 R$ dal centro della
La sfera. Esprimere i risultati in funzione delle dimensioni citate in Le norme di cui al paragrafo 1 sono state applicate in modo che le norme di cui al paragrafo 2 siano rispettate.

Two flat, parallel, side-squared driving plates $d$ , separated by a distance $a$ much smaller than $d$ , are arranged isolated forming a flat capacitor. One of the plates is landed and The other is connected by a conductive wire to a conductive sphere of $R$ radius. A Figure 6 shows a sketch of that system.

A positive electric charge $Q$ was placed on the upper plate of the The power supply. In the case of electrostatic equilibrium, consider the mean the plates as being the vacuum, the edge effects being negligible, as well as the electric field intensity of an element (sphere, The Commission has not yet taken any further action. Determine:

A. The fraction of $Q$ remaining on the upper plate.
B. The intensity of the electric field at a distance $2 R$ from the centre of the The sphere. Express your results as a function of the quantities quoted in The Commission shall adopt implementing acts in accordance with the opinion of the Committee on Budgets.

Um fóton de freqüência $f$ possui uma massa inercial efetiva $m = energia / c$ , onde $c$ é a velocidade da luz. Um fóton emitido na superfície de uma estrela quando escapa do campo gravitacional perde energia diminuindo sua freqüência, considerando que massa inercial é igual a massa gravitacional. Levando em conta a variação de energia potencial gravitacional do sistema estrela-fóton, determine uma expressão para a variação relativa da freqüência do fóton ao abandonar a estrela, $Δ f / f$ , em função de $M$ , $R$ , $G$ e $c$ , onde $M$ e $R$ são, respectivamente, a massa e o raio da estrela, e $G$ a constante de gravitação universal.

Topic: Gravitation, Conservation of Energy, Astrophysics Metodi: Energy Conservation Method, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Photon, Star Fonte: Testo (PDF) — p.4

Un fotone di frequenza $f$ ha una massa inerziale effettiva $m = energia / c$ , dove $c$ è la velocità della luce. Un fotone emesso sulla superficie di Una stella quando sfugge dal campo gravitazionale perde energia diminuendo la frequenza, considerando che la massa inerziale è pari a massa gravitazionale. Considerando la variazione di energia potenziale gravità del sistema stellare-fotone, determina un’espressione per la variazione relativa della frequenza del fotone all’abbandono della stella, $Δ f / f$ , in Funzioni di $M$ , $R$ , $G$ e $c$ , dove $M$ e $R$ sono rispettivamente massa e raggio da estrela, e $G$ a constante de gravitação universal.

A photon of frequency $f$ has an effective inertial mass $m = energia / c$ , where $c$ is the speed of light. A photon emitted on the surface of A star when it escapes the gravitational field loses energy decreasing its frequency, considering that the inertial mass is equal to gravitational mass. Taking into account the potential energy variation The gravitational pull of the photon-star system determines an expression for the The relative frequency change of the photon as it leaves the star, $Δ f / f$ , at function of $M$ , $R$ , $G$ and $c$ , where $M$ and $R$ are respectively the mass and radius da estrela, e $G$ a constante de gravitação universal.

A figura abaixo mostra duas placas homogêneas de faces paralelas, que servem como meio condutor de calor entre dois reservatórios térmicos de temperaturas $T_{1} = 100^{\circ} C$ e $T_{2} = 200^{\circ} C$ . As superfícies das placas transversais ao fluxo possuem áreas iguais a $A$ . Além disso, as placas têm espessuras $e_{1}$ e $e_{2}$ e são compostas por materiais de condutibilidade térmica $k_{1}$ e $k_{2}$ , respectivamente.

a) Determine o perfil de temperatura $T (x)$ , no interior das placas, considerando o regime de condução estacionário, $e_{2} = 2 e_{1}$ e $k_{2} = 3 k_{1}$ . b) Na engenharia é comum introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a Lei de Fourier. A temperatura é vista como uma função potencial, para o fluxo de calor e a equação de Fourier assume a forma fluxo de calor = (diferença de potencial térmico)/(resistência térmica), que é semelhante a lei de Ohm na teoria dos circuitos elétricos. Defina, convenientemente, o que é resistência térmica neste contexto e determine a resistência térmica equivalente do sistema apresentado no item anterior.

Topic: Thermodynamics Metodi: Physical Modeling, Kirchhoff’s Laws, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.4

La figura qui sotto mostra due placche omogenee di facce parallele, di cui al punto 1.7.1.3.3 di temperatura $T_{1} = 100^{\circ} C$ e $T_{2} = 200^{\circ} C$ . Le superfici delle lastre i trasversali a flusso hanno aree uguali a $A$ . Inoltre, le placche hanno spessori $e_{1}$ e $e_{2}$ e sono composti da materiali di conduttività La temperatura di $k_{1}$ e $k_{2}$ rispettivamente.

a) Determina il profilo di temperatura $T (x)$ all’interno delle lastre; considerando il regime di guida in posizione, $e_{2} = 2 e_{1}$ e $k_{2} = 3 k_{1}$ . b) In ingegneria è comune introdurre un punto di vista concettuale diverso dalla legge di Fourier. La temperatura è vista come una funzione Potenzialmente, per il flusso di calore e l’equazione di Fourier assume la forma il flusso di calore = (differenza di potenziale termico)/resilienza termico), che è simile alla legge di Ohm nella teoria dei circuiti elettrici. Definisci, convenientemente, quale è la resistenza termico in questo contesto e determinare la resistenza termico equivalente del sistema riportata nella precedente voce.

The figure below shows two homogeneous plates of parallel faces, a heat exchanger, de temperaturas $T_{1} = 100^{\circ} C$ e $T_{2} = 200^{\circ} C$ . The surface of the plates flow-through transverse has areas equal to $A$ . In addition, the plates have thicknesses $e_{1}$ and $e_{2}$ and are composed of conductivity materials térmica $k_{1}$ e $k_{2}$ , respectivamente.

(a) Determine the temperature profile $T (x)$ inside the plates, Whereas the steady-state driving regime is $e_{2} = 2 e_{1}$ and $k_{2} = 3 k_{1}$ ; (b) In engineering it is common to introduce a conceptual point of view different to Fourier’s Law. Temperature is seen as a function The potential for heat flow and the Fourier equation takes the form of heat flow = (thermal potential difference)/(thermal resistance), which is similar to Ohm’s law in electrical circuit theory. Define it, The thermal resistance in this context is appropriate and determines the the equivalent thermal resistance of the system described in the previous paragraph.

Um objeto luminoso e uma tela de projeção estão situados a uma distância $L$ um do outro. Uma lente convergente de distância focal $f$ menor que $L /4$ é colocada entre a tela e o objeto de tal forma que a imagem do objeto é projetada na tela. Verifique que existem duas posições possíveis para a lente, separadas por uma distância $a$ .

A. Determine $a$ em função de $L$ e $f$ .
B. Determine a razão entre os aumentos lineares transversais correspondentes às duas posições possíveis para a lente, em função de $L$ e $a$ .

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.4

Un oggetto luminoso e una schermata di proiezione sono situati a una Distanza $L$ tra loro. Lenti convergenti a distanza focale $f$ minore che $L /4$ viene collocato tra la schermata e l’oggetto in modo che l’immagine del l’oggetto è progettato sullo schermo. Verificare che ci siano due posizioni possibili per il lente, separati da una distanza $a$ .

A. Determina $a$ in funzione di $L$ e $f$ .
B. Determina il rapporto tra i progressi lineari trasversali corrispondenti alle due posizioni possibili per il lente, a funzione di $L$ e $a$ .

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.4

A light object and a projection screen are located at a distance $L$ from each other. A convergent lens with a smaller focal length $f$ where $L /4$ is placed between the screen and the object in such a way that the image of the object is projected onto the screen. Check that there are two possible positions for the lens, separated by a distance $a$ .

A. Determine $a$ as a function of $L$ and $f$ .
B. Determine the ratio between the cross-linear increases corresponding to the two possible positions for the lens, according to $L$ e $a$ .

Topic: Geometric Optics Metodi: Thin Lens & Mirror Equation, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Lens, Screen Fonte: Testo (PDF) — p.4

Uma bolha de sabão de índice de refração $n = 1, 33$ é iluminada com luz de comprimento de onda de $600 nm$ . Considerando o caso de incidência normal, determine as três menores espessuras para que os feixes refletidos sofram interferência construtiva.

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Bubble Fonte: Testo (PDF) — p.4

Una bolla di sapone di indice di refrazione $n = 1, 33$ è illuminata con luce di lunghezza d’onda $600 nm$ . Considerato il caso di incidenza normale, determinare i tre spessori più piccoli per far sì che i fasci la loro riflessione subisce interferenza costruttiva.

A soap bubble with a refractive index $n = 1, 33$ is illuminated with light a wavelength of $600 nm$ . Whereas the incidence of The normal, determine the three smallest thicknesses so that the beams The results of the study are not as accurate as the results of the study.

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