OBF 2011

Questão 1 (exclusiva para alunos do 1º ano) – Neste problema você será apresentado a um método desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Leibnitz independentemente. Nele você irá aprender a derivar a velocidade de um corpo em movimento tendo conhecimento apenas da sua função horária da posição. Considere um móvel cuja equação horária é $x (t) = 3 t^{2} - 2 t + 1$ , onde $x (t)$ é dado em metros e $t$ em segundos. (a) Qual a posição do móvel nos instantes $t_{0} = 0 s$ , $t_{1} = 1 s$ e $t_{2} = 2 s$ . Sabendo que a velocidade média de um móvel entre os instantes $t$ e $t + Δ t$ é dada por $v_{m} = \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t} .$ (b) Determine a velocidade média do móvel nos intervalos $(t_{0}, t_{1})$ , $(t_{1}, t_{2})$ e $(t_{0}, t_{2})$ . Agora, vamos aprender a determinar a velocidade instantânea de um móvel num instante dado. Para calcular a velocidade do móvel no instante $t_{1} = 1 s$ , proceda da seguinte maneira: (c) Determine o valor da velocidade média do móvel entre $t_{1}$ e $t_{1} + Δ t$ , em função de $Δ t$ . (d) A velocidade do móvel é obtida fazendo-se $Δ t = 0$ na expressão obtida no item anterior. Determine essa velocidade.

E. Repita o mesmo procedimento dos itens
C. e
D. para determinar o valor da velocidade em qualquer instante de tempo $t$ .

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Domanda 1 (esclusiva per studenti di primo anno) In questa domanda verrai presentato a un metodo sviluppato da Isaac Newton e Gottfried Leibnitz indipendentemente. In esso imparerai a derivare velocità di un corpo in movimento con conoscenza solo della sua funzione oraria della posizione. Considerate un mobile la cui equazione oraria è $x (t) = 3 t^{2} - 2 t + 1$ , dove $x (t)$ è data in metri e $t$ in metri

Segondi. (a) Qual è la posizione del mobile nei casi $t_{0} = 0 s$ , $t_{1} = 1 s$ e $t_{2} = 2 s$ . Sapendo che la velocità media di un mobile tra gli istanti $t$ e $t + Δ t$ è data da $v_{m} = \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t} .$ b) Determina la velocità media del mobile negli intervalli $(t_{0}, t_{1})$ , $(t_{1}, t_{2})$ e $(t_{0}, t_{2})$ . Ora impareremo a determinare la velocità istantanea di un mobile in un dato istante. Per calcolare la velocità del veicolo in istante $t_{1} = 1 s$ , si procede come segue: (c) Determina il valore della velocità media del mobile tra $t_{1}$ e $t_{1} + Δ t$ , per $Δ t$ . (d) La velocità del mobile è ottenuta facendo $Δ t = 0$ nell’espressione ottenuta nella precedente voce. Determina
questa velocità.
E. Ripeta la stessa procedura dei punti
C. e
D. per determinare il valore della velocità in qualsiasi il tempo di utilizzo $t$ .

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Question 1 (exclusive to first year students) In this problem you will be introduced to a method It was developed independently by Isaac Newton and Gottfried Leibnitz. In it you will learn to derive the speed of a moving body with knowledge only of its position-time function. Consider a mobile whose time equation is $x (t) = 3 t^{2} - 2 t + 1$ , where $x (t)$ is given in meters and $t$ in

Seconds. (a) What is the position of the mobile in the instances $t_{0} = 0 s$ , $t_{1} = 1 s$ and $t_{2} = 2 s$ . Knowing that the average speed of a mobile between the $t$ and $t + Δ t$ moments is given by $v_{m} = \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t} .$ (b) Determine the average moving speed in the $(t_{0}, t_{1})$ , $(t_{1}, t_{2})$ and $(t_{0}, t_{2})$ ranges. Now, let’s learn how to determine the instantaneous speed of a mobile at a given instant. For calculating the speed of the mobile in the instant $t_{1} = 1 s$ shall be as follows: (c) Determine the mean moving speed value between $t_{1}$ and $t_{1} + Δ t$ , as a function of $Δ t$ . (d) The speed of the mobile is obtained by making $Δ t = 0$ in the expression obtained in the previous item. Determine That speed.
E. Repeat the same procedure as the items
C. e
D. to determine the value of the speed at any instante de tempo $t$ .

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Differential Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.1

Questão 2 (exclusiva para alunos do 1º ano) – Segundo a teoria da Relatividade de Einstein um elétron relativístico tem uma massa de repouso $m_{0}$ e uma massa inercial $m$ definida pela seguinte equação:

$m = \frac{m _{0}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

onde $v$ é a velocidade do elétron relativa a um referencial inercial e $c$ a velocidade da luz no vácuo. Esta equação implica que o elétron em movimento tem uma massa que depende da sua velocidade!

a) Escreva a energia cinética Newtoniana para o elétron usando a massa inercial da teoria de Einstein em função de $m_{0}$ , $v$ e $c$ . b) Segundo a teoria da Relatividade de Einstein a energia total do elétron é dada por:

$E^{2} = m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2},$

onde $p$ é o momento da partícula. Qual a diferença entre a energia do elétron na teoria de Newton e a relativística?

Topic: Special Relativity, Newtonian Mechanics Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Mass-Energy Equivalence, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.1

Domanda 2 (esclusiva per studenti di primo anno) Secondo la teoria della relatività di Einstein un elettrone Relativistico ha una massa di riposo $m_{0}$ e una massa inerziale $m$ definita dalla seguente equazione:

$m = \frac{m _{0}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

dove $v$ è la velocità dell’elettrone rispetto a un riferimento inerziale e $c$ la velocità della luce nel vuoto. Questa L’equazione implica che l’elettrone in movimento ha una massa che dipende dalla sua velocità!

a) Scrivi l’energia cinetica newtonica per l’elettrone usando la massa inerziale della teoria di Einstein in La funzione $m_{0}$ , $v$ e $c$ . b) Secondo la teoria della relatività di Einstein l’energia totale dell’elettrone è data da:

$E^{2} = m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2},$

dove $p$ è il momento della particella. Qual è la differenza tra l’energia dell’elettrone nella teoria di Newton e la Relativista?

Question 2 (exclusive to first year students) According to Einstein’s theory of relativity an electron Relativistic has a rest mass $m_{0}$ and an inertial mass $m$ defined by the following equation:

$m = \frac{m _{0}}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

where $v$ is the electron speed relative to an inertial reference and $c$ the vacuum speed of light. This one The equation implies that the moving electron has a mass that depends on its velocity!

Write the Newtonian kinetic energy for the electron using the Einstein theory of mass in The function of $m_{0}$ , $v$ and $c$ . (b) According to Einstein’s theory of relativity the total electron energy is given by:

$E^{2} = m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2},$

where $p$ is the moment of the particle. What is the difference between the electron energy in Newton’s theory and the Relativist?

Questão 3 – Uma partícula é lançada com velocidade $v_{0}$ perpendicularmente a um plano inclinado, de inclinação $α$ com a horizontal, como mostra a figura. Determine:

A. A distância máxima $\overline{A B}$ que a partícula fica do plano inclinado.
B. O alcance da partícula ao longo do plano inclinado.
C. A razão entre $d_{1}$ e $d_{2}$ mostrada na figura. Obs.: Sendo A o ponto cuja partícula está à distância máxima do plano e B sua projeção sobre o mesmo, as distâncias $d_{1}$ e $d_{2}$ são definidas como a distância do ponto de lançamento a B, e a distância de B ao ponto de retorno da partícula ao plano, respectivamente.

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Vector Decomposition, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Inclined Plane Fonte: Testo (PDF) — p.2

Question 3 Una particella viene lanciata a velocità $v_{0}$ perpendicolare a un piano inclinato, di inclinamento $α$ con la linea orizzontale, come mostrato nella figura. Determina:

A. La distanza massima $\overline{A B}$ che la particella si trova dal piano inclinato.
B. La portata della particella lungo il piano inclinato.
C. Il rapporto tra $d_{1}$ e $d_{2}$ mostrato nella figura. Nota: Essendo al punto a cui la particella è distante il massimo del piano e B la sua proiezione su di esso, le distanze $d_{1}$ e $d_{2}$ sono definite come Distanza dal punto di lancio a B e distanza da B al punto di ritorno della particella sul piano, rispettivamente.

Question 3 A particle is launched at $v_{0}$ speed perpendicular to an inclined plane, of slope $α$ with the horizontal as shown in Figure 1. Determine:

A. The maximum distance $\overline{A B}$ from the sloping plane of the particle.
B. The range of the particle along the inclined plane.
C. The ratio between $d_{1}$ and $d_{2}$ shown in Figure 1. Note: Being to the point whose particle is at a distance The maximum of the plane and B its projection over it, the distances $d_{1}$ and $d_{2}$ are defined as the distance from the launch point to B, and distance from B to the point of return of the particle to the plane, the Commission.

Questão 4 - Um pára-quedista de $80 kg$ em queda livre leva 3 minutos, após a abertura (início da contagem do tempo $t = 0$ ) do pára-quedas, para atingir o solo de uma altura de $1700 m$ . O gráfico a seguir representa a velocidade do pára-quedista nos primeiros dois minutos após a abertura do pára-quedas. A dependência da aceleração do pára-quedista esta indicada no gráfico anexo ao da velocidade.

a) Faça um esboço do gráfico da distância percorrida pelo do pára-quedista $s (t)$ como função do tempo de queda a partir da abertura do pára-quedas ( $s (0) = 0$ ). b) Estime a distância percorrida pelo pára-quedista em $t = 20 s$ .

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Experimental Data Analysis Competenze: Experimental Data Analysis, Estimation & Approximation, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Question 4 - Un paracadista $80 kg$ in caduta libera richiede 3 minuti dopo l’apertura (inizio del conteggio) do tempo $t = 0$ ) do pára-quedas, para atingir o solo de uma altura de $1700 m$ . Il grafico seguente rappresenta velocità del paracadutista nei primi due minuti dopo l’apertura del paracadutista. La dipendenza da l’accelerazione del paracadute è indicata nel grafico di velocità allegato.

a) Sottolineare il grafico della distanza percorsa dal paracadute $s (t)$ in funzione del tempo di caduta dall’apertura del paracadute ( $s (0) = 0$ ). b) Calcola la distanza percorsa dal paracadute in $t = 20 s$ .

Questão 4 - Um pára-quedista de $80 kg$ em queda livre leva 3 minutos, após a abertura (início da contagem do tempo $t = 0$ ) do pára-quedas, para atingir o solo de uma altura de $1700 m$ . The following graph represents the speed of the parachute in the first two minutes after the parachute is opened. The dependence on the parachute acceleration is shown in the speed chart annexed to that.

a) Faça um esboço do gráfico da distância percorrida pelo do pára-quedista $s (t)$ como função do tempo fall from the parachute opening ( $s (0) = 0$ ). (b) Estimate the distance travelled by the parachute in $t = 20 s$ .

Questão 5 – Na figura a seguir, um caixote escorrega para baixo em uma vala inclinada cujos lados fazem um ângulo reto entre si. O coeficiente de atrito cinético entre o caixote e a vala é $μ_{C}$ . Qual é a aceleração do caixote em termos de $μ_{C}$ , $θ$ e $g$ ?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Free-Body Diagram, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Inclined Plane, Block Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 5 Nella figura seguente, una scatola scorre verso il basso in una tana inclinata i cui lati fanno un angolo retto tra di voi. Il coefficiente di attrito cinetico tra la cassa e la fossa è $μ_{C}$ . Qual è l’accelerazione del la scatola in termini di $μ_{C}$ , $θ$ e $g$ ?

Question 5 In the following figure, a box slides down into an inclined ditch whose sides make a right angle between you. The kinetic friction coefficient between the casing and the trench is $μ_{C}$ . What is the acceleration of the Box in terms of $μ_{C}$ , $θ$ and $g$ ?

Questão 6 – O diamante é um material que possui um índice de refração de $2, 4$ , maior, por exemplo, que o do vidro que tem um índice de refração de $1, 5$ . Esta é uma das razões para que o diamante seja utilizado na fabricação de jóias devido às multiplas reflexões internas. No modelo representado abaixo um raio de luz penetra numa barra de diamante de faces planas e paralelas de espessura D e com um ângulo $θ$ como indicado. Determine os valores para $θ$ para que a luz fique confinada na barra (não saia mais para o ar). Diamante ( $n = 2, 4$ ) Ar ( $n = 1$ ) Ar ( $n = 1$ ) $θ$ D

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 6 Il diamante è un materiale che ha un indice di refrazione $2, 4$ superiore, ad esempio, a quello di di vetro che ha un indice di refrazione $1, 5$ . Questo è uno dei motivi per cui il diamante è usato nel settore la fabbricazione di gioielli a causa dei molteplici riflessioni interne. Nel modello illustrato sotto un raggio di luce penetra in una barra di diamante di facce piane e parallele di spessore D e con un angolo $θ$ come indicato. Determina i valori per $θ$ in modo che la luce rimanga confinata nella barra (non esce più nell’aria). Diamante ( $n = 2, 4$ ) Ar ( $n = 1$ ) Ar ( $n = 1$ ) $θ$ D

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Question 6 Diamond is a material with a refractive index of $2, 4$ , higher, for example, than of glass having a refractive index of $1, 5$ . This is one of the reasons why diamond is used in the The Commission has also adopted a proposal for a regulation on the approximation of the laws of the Member States relating to the protection of the environment. In the model shown below a beam of light penetrates a diamond bar of flat and parallel faces of D thickness and at an angle $θ$ as specified. Set the values to $θ$ so that the light is confined to the bar (no more out of the air). Diamante ( $n = 2, 4$ ) Ar ( $n = 1$ ) Ar ( $n = 1$ ) $θ$ D

Topic: Geometric Optics Metodi: Snell’s Law, Ray Tracing Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.3

Questão 7 – Vamos determinar a posição da imagem formada por um espelho esférico (gaussiano) quando o objeto não se encontra sobre seu eixo principal, isto é, a linha normal ao espelho em seu centro.

Sendo $p$ a distancia do objeto ao centro do espelho e $θ$ o ângulo com relação ao eixo principal, e este suficientemente pequeno, para que as aproximações do espelho gaussiano continuem validas. Considerando os raios ilustrados na figura acima vemos que se uma imagem bem definida se formar, ela deve estar no plano da figura e seu ângulo com relação ao eixo principal deve ser o mesmo $θ$ . a) Sendo $f$ a distancia focal do espelho, prove usando os dois raios ilustrados (um que passa pelo centro e outro paralelo ao eixo principal) que $p^{'}$ , a distancia da imagem até o centro do espelho, deve obedecer a relação $\frac{1}{p} + \frac{1}{p ^{'}} = \frac{c o s θ}{f}$ b) Vamos considerar agora outros raios que saem do corpo, para verificar se a imagem será bem definida, isto é, se todos os raios convergem para ela. No entanto, limitemo-nos ao plano da figura acima, pois fica mais complicado mostrar isso para raios fora do plano. Há um raio que sai do corpo e atinge o espelho, a uma distancia $l$ acima de seu centro, e se encontra com o raio que passava pelo centro a uma distancia $p^{*}$ do centro do espelho, conforme a figura abaixo

Mostre que $p^{*} = p^{'}$ , isto é, todos os raios, independentemente de $l$ , convergem para o mesmo ponto.

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 7 Determineremo la posizione dell’immagine formata da uno specchio sferico (gaussiano) quando il L’oggetto non si trova sul suo asse principale, cioè la linea normale allo specchio al suo centro.

Se $p$ è la distanza dell’oggetto dal centro dello specchio e $θ$ l’angolo rispetto all’asse principale, e questo sufficientemente piccolo per mantenere validi i modelli di specchio gaussiano. Considerando che I raggi illustrati nella figura sopra mostrano che se un’immagine ben definita si forma, deve essere in il piano della figura e il suo angolo rispetto all’asse principale devono essere uguali $θ$ . a) Essendo $f$ la distanza focale dello specchio, prova utilizzando i due raggi illustrati (uno che passa attraverso il centro e un altro parallelo all’asse principale) che $p^{'}$ , la distanza dall’immagine al centro dello specchio, deve essere obbedire alla relazione $\frac{1}{p} + \frac{1}{p ^{'}} = \frac{c o s θ}{f}$ b) Ora consideriamo altri raggi che usciranno dal corpo, per verificare se l’immagine sarà buona. definita, cioè se tutti i raggi convergono verso di essa. Tuttavia, restando sul piano della figura E’ molto più difficile mostrarlo fuori piano. C’è un raggio che esce dal corpo e raggiunge lo specchio, a una distanza $l$ dal suo centro, e si trova con il raggio che passava attraverso centro a una distanza $p^{*}$ dal centro dello specchio, come indicato in figura seguente

Mostra che $p^{*} = p^{'}$ , cioè tutti i raggi, indipendentemente da $l$ , convergono nello stesso punto.

Question 7 Let’s determine the position of the image formed by a spherical (Gaussian) mirror when the The object is not on its main axis, that is, the normal line to the mirror at its center.

Where $p$ is the distance of the object from the centre of the mirror and $θ$ the angle with respect to the main axis, and this small enough that the Gaussian mirror approximations remain valid. Whereas The beams illustrated in the figure above show that if a well-defined image is formed, it must be in the the plane of the figure and its angle to the main axis shall be the same $θ$ . (a) If the focal length of the mirror is $f$ , test using the two beams illustrated (one passing through the centre) and another parallel to the main axis) that $p^{'}$ , the distance from the image to the centre of the mirror, shall be Obedience to the relationship $\frac{1}{p} + \frac{1}{p ^{'}} = \frac{c o s θ}{f}$ (b) Let’s now consider other rays that come out of the body to check if the image will be fine. defined, that is, if all the rays converge to it. However, let us limit ourselves to the plane of the figure It’s harder to show that off the grid. There’s a ray coming out of the body and It hits the mirror, a distance $l$ above its center, and it meets the beam that was passing through the centre at a distance $p^{*}$ from the centre of the mirror as shown below

Show that $p^{*} = p^{'}$ , that is, all rays, regardless of $l$ , converge to the same point.

Questão 8 – O efeito estilingue gravitacional já foi bastante usado para impulsionar naves e sondas espaciais sem gasto de combustível, apenas aproveitando-se do movimento de planetas. A sonda Cassine, lançada em 15 de outubro de 1997, aproveitou muito deste efeito, sendo acelerada duas vezes por Venus, depois pela Terra e Júpiter, seguindo para Saturno, seu destino final, chegando lá em 1º de Julho de 2004. Consideremos um modelo simples para entender o mecanismo. Suponha uma nave se aproximando com velocidade $v$ de um planeta (muito mais pesado que nave) que se move em sua direção, com uma velocidade $u$ . Estas velocidades estão sendo medidas em relação a um referencial inercial. Para simplificar, assuma que a nave apenas inverta o sentido de sua velocidade ao contornar o astro e que seus motores permaneçam desligados, isto é, ela contorna o planeta somente devido a atração gravitacional dele. A nave é então lançada com velocidade $v^{'}$ , contraria a sua velocidade inicial.

$v$ $v^{'}$ $u$

Calcule então $v^{'}$ , em função de $v$ e $u$ , assumindo que todas essas velocidades são paralelas.

Topic: Gravitation, Conservation of Momentum Metodi: Conservation of Momentum, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Satellite, Planet Fonte: Testo (PDF) — p.4

Domanda 8 L’effetto gravitatorio di scintillamento è stato già utilizzato abbastanza per spingere navi e sonde spaziali senza consumare combustibile, solo sfruttando il movimento dei pianeti. La sonda Cassine, lanciata nel 15 ottobre 1997, ha approfittato molto di questo effetto, venendo accelerato due volte da Venere, poi da Terra e Giove, seguendo per Saturno, il loro destino finale, arrivando lì il 1° luglio 2004. Considerate un modello semplice per capire il meccanismo. Supponiamo una nave che si avvicina a $v$ di un pianeta (molto più pesante della nave) che si muove in sua direzione, con una velocità $u$ . Queste sono le velocità sono state misurate in relazione a un riferimento inerziale. Per semplificare, supponiamo che la nave Invertire il senso della sua velocità in giro per l’astronave e lasciare che i motori rimangano E’ distinto, cioè circonda il pianeta solo a causa della sua attrazione gravitazionale. La nave è allora lanciato a $v^{'}$ , contraria alla sua velocità iniziale.

$v$ $v^{'}$ $u$

Calcola quindi $v^{'}$ , a funzione di $v$ e $u$ , supponendo che tutte queste velocità siano parallele.

Question 8 The gravitational sling effect has been used extensively to propel spacecraft and probes without fuel consumption, just taking advantage of planetary motion. The Cassine probe, launched in The first is the acceleration of the winds of the winds of the Earth and Jupiter, following to Saturn, their final destination, arriving there on July 1, 2004. Consider A simple model to understand the mechanism. Suppose a ship approaching at $v$ of a planet (much heavier than a ship) moving in its direction at $u$ . These are The speed is being measured against an inertial reference. For simplicity, assume that the ship Just reverse the direction of its velocity as it circumvents the star and let its engines remain It’s off, that is, it orbits the planet only because of its gravitational pull. The ship is then The speed of the launch is $v^{'}$ , contrary to its initial speed.

$v$ $v^{'}$ $u$

Then calculate $v^{'}$ , as a function of $v$ and $u$ , assuming that all these speeds are parallel.

Questão 9 (exclusiva para alunos do 1º ano) – Uma massa $m_{1}$ , com velocidade inicial $V_{0}$ , atinge um sistema massa-mola, cuja massa é $m_{2}$ , inicialmente em repouso, mas livre para se movimentar. A mola é ideal e possui constante elástica $k$ , conforme a figura. Não há atrito com o solo.

A. Qual é a compressão máxima da mola?
B. Se, após um longo tempo, ambos os objetos, se deslocam na mesma direção, qual serão as velocidades finais $V_{1}$ e $V_{2}$ das massas $m_{1}$ e $m_{2}$ , respectivamente?

Topic: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Oscillations & Waves Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 9 (esclusiva per studenti di primo anno) Una massa $m_{1}$ , con velocità iniziale $V_{0}$ , raggiunge un sistema di massa-molla, la cui massa è $m_{2}$ , inizialmente a riposo, ma libero di movimento. La mola è ideale e ha una costante elastica $k$ , come riportato nella figura. Non c’è attrito con il suolo.

A Qual è la compressione massima della mola?
B. Se, dopo un lungo periodo, entrambi gli oggetti si spostano nella stessa direzione, quali saranno le loro le velocità finali $V_{1}$ e $V_{2}$ delle masse $m_{1}$ e $m_{2}$ , rispettivamente?

Question 9 (exclusive for first year students) A mass $m_{1}$ , with initial speed $V_{0}$ , reaches a mass-moll system, with a mass of $m_{2}$ , initially at rest but free to move. The spring is ideal and has an elastic constant $k$ as shown in Figure 1. There’s no friction with the soil.

A What is the maximum compression of the spring?
B. If, after a long time, both objects move in the same direction, which will be the The final speeds $V_{1}$ and $V_{2}$ of the masses $m_{1}$ and $m_{2}$ respectively?

Questão 10 (exclusiva para alunos do 1º ano) – Em uma região de inverno rigoroso, um tanque com água é deixado aberto ao ar livre até que se forme sobre a superfície da água uma camada de gelo com espessura igual a $5 cm$ . O ar acima da água está a $- 10^{\circ} C$ . Calcule a taxa de formação de gelo (em cm/h) sobre a superfície inferior da camada de gelo. Considere a condutividade térmica, a densidade e o calor de fusão do gelo como sendo $0, 0040 cal/s \cdot cm \cdot^{\circ} C$ , $0, 92 g/cm^{3}$ e $80 cal/g$ , respectivamente. Assuma que nenhuma quantidade de calor deixa ou passa para a água através das paredes do tanque.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4

Domanda 10 (esclusiva per studenti di primo anno) In una regione di inverno rigoroso, un serbatoio con acqua è lasciato aperto all’aria aperta fino a che si forma sulla superficie di acqua una spessa strata di ghiaccio pari a $5 cm$ . L’aria sopra l’acqua è $- 10^{\circ} C$ . Calcolare il tasso di formazione del ghiaccio (in cm/h) su superficie inferiore dello strato di ghiaccio. Considerare la conducibilità termico, la densità e il calore di fusione del gelo como sendo $0, 0040 cal/s \cdot cm \cdot^{\circ} C$ , $0, 92 g/cm^{3}$ e $80 cal/g$ , respectivamente. Assumi che nessuna quantità di calore che lascia o passa nell’acqua attraverso le pareti del serbatoio.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 10 (exclusive to first year students) In a harsh winter region, a water tank is left open to the open air until a thick layer of ice forms on the water’s surface equal to $5 cm$ . Air above water is $- 10^{\circ} C$ . Calculate the rate of ice formation (in cm/h) over the the lower surface of the ice sheet. Consider the thermal conductivity, density and heat of fusion of the gelo como sendo $0, 0040 cal/s \cdot cm \cdot^{\circ} C$ , $0, 92 g/cm^{3}$ e $80 cal/g$ , respectivamente. Assume that none of the amount of heat that leaves or passes through the walls of the tank.

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Container Fonte: Testo (PDF) — p.4

Questão 11 - Considere um plano inclinado (uma cunha) de massa $M$ e ângulo de inclinação $θ$ que pode deslizar sem atrito sobre o chão. Um pequeno bloco de massa $m$ também pode deslizar sem atrito sobre a superfície do plano inclinado. h $θ$

O bloco é então solto a partir do repouso, de uma altura h em relação ao solo.

A. Calcule a aceleração da cunha, em função de $m$ , $M$ , $θ$ e $g$ (a gravidade local)
B. Calcule a velocidade da cunha quando o bloco chegar ao chão. Expresse o resultado em termos de $m$ , $M$ , $θ$ , $h$ e $g$ .

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum Metodi: Free-Body Diagram, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Wedge, Block Fonte: Testo (PDF) — p.5

Quesito 11 - Considerare un piano inclinato (una cucina) di massa $M$ e angolo di inclinamento $θ$ che può scivolare senza attrito sul pavimento. Un piccolo blocco di massa $m$ può anche scivolare senza attrito sulla superficie del piano inclinato. h $θ$

Il blocco viene quindi rilasciato dal riposo, a una altezza h rispetto al suolo.

A. Calcola l’accelerazione della cunha in funzione di $m$ , $M$ , $θ$ e $g$ (la gravità locale)
B. Calcola la velocità della cunha quando il blocco raggiunge il pavimento. Esprimere il risultato in termini di $m$ , $M$ , $θ$ , $h$ e $g$ .

Question 11 - Consider an inclined plane (a wedge) of mass $M$ and angle of inclination $θ$ which can be slip without friction on the floor. A small mass block $m$ can also slide without friction over the the surface of the slope plane. h $θ$

The block is then loosened from rest, at a height h relative to the ground.

A. Calculate the velocity of the wedge, in terms of $m$ , $M$ , $θ$ and $g$ (local gravity)
B. Calculate the wedge speed when the block reaches the ground. Express the result in terms of $m$ , $M$ , $θ$ , $h$ e $g$ .

Questão 12 – Um corpo de massa $m$ é conectado por uma mola num ponto O sobre uma superfície horizontal, sobre a qual o corpo pode se mover sem atritos.

O r

O comprimento relaxado da mola é $l_{0}$ e sua constante elástica é $k$ . Num dado instante, a distancia do corpo até o ponto O é $r$ . Suponha que se faça o corpo girar com frequência angular $ω$ e no instante inicial ele não possui nenhuma componente radial de velocidade. a) Calcule o raio de equilíbrio $r = r_{0}$ para o qual o corpo realiza movimento circular em torno de O. Expresse $r_{0}$ em termos de $m$ , $k$ , $l_{0}$ e $ω$ . b) Calcule o período de pequenas oscilações radiais do corpo em relação ao raio de equilíbrio $r_{0}$ . Imagine que inicialmente o corpo se encontrava em movimento circular em $r_{0}$ e com velocidade angular $ω_{0}$ quando uma pequena perturbação radial fez com que ela começasse a oscilar. Dê o resultado em função de $k$ , $m$ e $ω_{0}$ . Você pode precisar usar que $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ , se $x ≪ 1$

Topic: Oscillations & Waves, Rotational Dynamics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Spring, Block Fonte: Testo (PDF) — p.5

Domanda 12 Un corpo di massa $m$ è collegato da una mola in un punto O su una superficie orizzontale, su cui il corpo può muoversi senza attrito.

O r

La lunghezza rilassata della mola è $l_{0}$ e la sua costante elastica è $k$ . In un istante, la distanza dal corpo fino al punto O è $r$ . Supponiamo che il corpo si faccia girare a frequenza angolare $ω$ e all’istante iniziale non si fa non ha alcun componente radial di velocità. a) Calcolare il raggio di equilibrio $r = r_{0}$ per il quale il corpo fa un movimento circolare intorno a O. Esprimere $r_{0}$ in termini di $m$ , $k$ , $l_{0}$ e $ω$ . b) Calcolare il periodo di piccole oscillazioni radicali del corpo rispetto al raggio di equilibrio $r_{0}$ . Immaginate che all’inizio il corpo si trovava in movimento circolare a $r_{0}$ e a velocità angolare $ω_{0}$ Quando un piccolo disturbo radicale ha fatto iniziare a oscillare. Date il risultato in La funzione $k$ , $m$ e $ω_{0}$ . Potresti aver bisogno di usare $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ se $x ≪ 1$

Question 12 A mass body $m$ is connected by a spring at a point O over a surface horizontal, over which the body can move without friction.

O r

The relaxed length of the spring is $l_{0}$ and its elastic constant is $k$ . In a given moment, the distance from the body to the point O is $r$ . Suppose you rotate the body at angular frequency $ω$ and at the initial moment it doesn’t It has no radial component of speed. (a) Calculate the radius of equilibrium $r = r_{0}$ for which the body makes circular movement around O. Expresse $r_{0}$ em termos de $m$ , $k$ , $l_{0}$ e $ω$ . (b) Calculate the period of small radial oscillations of the body with respect to the radius of equilibrium $r_{0}$ . Imagine that initially the body was in circular motion at $r_{0}$ and angular velocity $ω_{0}$ When a small radial disturbance caused her to start oscillating. Give the result in The function of $k$ , $m$ and $ω_{0}$ . You may need to use that $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ if $x ≪ 1$

Questão 13 – Dois discos estão ligados por uma mola de constante elástica $k$ . Cada disco tem massa $m$ e a gravidade local vale $g$ . Eles estão sobre o chão, conforme o desenho a seguir.

Quando o sistema está em equilíbrio (em repouso) sob a ação do peso, a distância entre os discos é $l$ . a) Calcule o comprimento $l_{0}$ relaxado desta mola, isto é, quando a mola não está nem distendida nem comprimida. Dê o resultado em termos dos parâmetros básicos deste problema, que são $m$ , $l$ , $k$ e $g$ . Pressiona-se o disco superior para baixo, deslocando-o de uma quantidade x, e o mantem assim em repouso. Solta-se então o sistema. b) Supondo que o disco inferior não perca contato com o solo, mostre que o disco superior realizará um movimento harmônico simples e calcule seu período, em termos dos parâmetros básicos do problema. c) Há um valor máximo de x para o qual a suposição do item anterior seja valida, isto é, que o disco inferior não perca o contato com o solo. Chame este x limite de $x_{0}$ e calcule-o em termos dos parâmetros básicos. d) Pressionando-se o disco superior de um $x > x_{0}$ , o disco inferior será levantado da mesa. Calcule a altura máxima atingida pelo centro de massa do sistema, em termos de x e dos parâmetros básicos. e) Enquanto o sistema estiver todo no ar, os discos vão oscilar em relação ao centro de massa. Calcule o período dessas oscilações em função dos parâmetros básicos.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Conservation of Energy, Free-Body Diagram Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Disk, Spring Fonte: Testo (PDF) — p.5

Domanda 13 Due dischi sono collegati da una molla di costante elastica $k$ . Ogni disco ha massa $m$ e la massa $m$ è di gravità locale $g$ . Sono sul pavimento, come disegnato qui.

Quando il sistema è in equilibrio (a riposo) sotto l’azione del peso, la distanza tra i dischi è $l$ . a) Calcolare la lunghezza rilassata $l_{0}$ di questa mola, cioè quando la mola non è né distesa né compressa. Date il risultato in termini di parametri di base di questo problema, che sono $m$ , $l$ , $k$ e $g$ . Si premono il disco superiore verso il basso, spostandolo di una quantità x, e così lo si tiene a riposo. Si libera quindi del sistema. b) Supponendo che il disco inferiore non perda contatto con il suolo, indica che il disco superiore realizzerà un il movimento armonico semplice e calcola il suo periodo in termini di parametri di base del problema. c) C’è un valore massimo di x per il quale l’ipotesi di cui sopra è valida, cioè che il disco il sottosuolo non perde il contatto con il suolo. Chiami questo limite x di $x_{0}$ e calcola in termini di parametri di base. d) Presione del disco superiore di un $x > x_{0}$ , il disco inferiore sarà sollevato dal tavolo. Calcola la l’altezza massima raggiunta dal centro di massa del sistema in termini di x e parametri di base. e) Finché il sistema è tutto in aria, i dischi oscilleranno rispetto al centro di massa. Calcola il il periodo di variazione di tali variazioni in funzione dei parametri di base.

Question 13 Two discs are connected by a constant elastic spring $k$ . Each disc has mass $m$ and a The local gravity is $g$ . They are on the floor, as shown in the following drawing.

When the system is in equilibrium (at rest) under the action of the weight, the distance between the discs is $l$ . a) Calcule o comprimento $l_{0}$ relaxado desta mola, isto é, quando a mola não está nem distendida nem the tablet. Give the result in terms of the basic parameters of this problem, which are $m$ , $l$ , $k$ and $g$ . Press the top disc down, moving it by a quantity x, and keep it at rest. The system is then released. (b) Assuming that the bottom disc does not lose contact with the ground, it shows that the top disc will perform a The first step is to calculate the time period in terms of the basic parameters of the problem. (c) There is a maximum value of x for which the assumption of the preceding item is valid, i.e. that the disc The lower part of the soil does not lose contact with the soil. Call this x limit $x_{0}$ and calculate it in terms of the basic parameters. (d) Press the upper disc of a $x > x_{0}$ and the bottom disc shall be lifted from the table. Calculate the maximum height reached by the system mass centre in terms of x and basic parameters. (e) As long as the system is fully in the air, the discs will oscillate relative to the center of mass. Calculate the the period of these fluctuations according to the basic parameters.

Questão 14 – Um cilindro de paredes condutoras térmicas possui um embolo de massa $m$ bem ajustado (mas sem atritos), cuja secção de área transversal é $S$ . O cilindro contem água e vapor à temperatura $T = 100^{\circ} C$ , ou seja, estão na temperatura de condensação. m

Observa-se que o embolo cai vagarosamente à velocidade constante $v$ , porque alguma quantidade de calor flui através das paredes do cilindro e fazendo que um pouco de vapor se condense continuamente. A densidade de vapor no interior do recipiente é $ρ$ . a) Calcule a taxa de condensação do vapor, variação de massa de vapor por unidade de tempo, em termos dos parâmetros dados no problema. b) A que taxa o calor flui para fora do cilindro? Dê o resultado em função do calor de condensação $L$ da água e dos outros dados do problema. c) Qual a taxa de variação da energia interna do vapor? O calor específico molar a volume constante da água é $C_{v}$ e sua massa molar é $M$ . d) E qual a taxa de variação da energia interna da água líquida?

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Physical Modeling, Conservation Laws Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.6

Domanda 14 Un cilindro di pareti termico-conduttori ha un embollo di massa $m$ ben regolato (ma senza attriti), la cui sezione di superficie trasversale è $S$ . Il cilindro contiene acqua e vapore a temperatura $T = 100^{\circ} C$ , cioè a temperatura di condensazione. m

Si osserva che l’embolo cade lentamente a velocità costante $v$ , perché una certa quantità di calore Flui attraverso i muri del cilindro e fa condensare continuamente un po’ di vapore. A la densità di vapore all’interno del recipiente è $ρ$ . a) Calcolare il tasso di condensazione del vapore, variazione di massa di vapore per unità di tempo, in la definizione dei parametri del problema. b) A che velocità il calore scorre fuori dal cilindro? Date il risultato in funzione del calore di condensazione $L$ di l’acqua e gli altri dati del problema. c) Qual è il tasso di variazione dell’energia interna del vapore? Il calore specifico mollare il volume costante di l’acqua è $C_{v}$ e la sua massa molare è $M$ . d) Qual è il tasso di variazione dell’energia interna dell’acqua liquida?

Question 14 A thermal conductive wall cylinder has a well-adjusted mass embol $m$ (but not friction), the cross section of which is $S$ . The cylinder contains water and steam at $T = 100^{\circ} C$ , i.e. they are at condensation temperature. m

It is noted that the embolus drops slowly at constant speed $v$ because some amount of heat It flows through the cylinder walls and causes a little steam to condense continuously. A the density of steam inside the container is $ρ$ . (a) Calculate the steam condensation rate, variation in steam mass per unit time, in We have to find the parameters given in the problem. (b) At what rate does heat flow out of the cylinder? Give the result according to the condensation heat $L$ of the water and other data on the problem. (c) What is the rate of change in the internal energy of the steam? The specific heat molar constant volume of the water is $C_{v}$ and its molar mass is $M$ . (d) What is the rate of change in the internal energy of liquid water?

Questão 15 – Há um copo de água em contato com o ambiente, e ambos se encontram a uma temperatura $T_{0}$ . a) Mostre, usando o conceito de entropia (e a segunda lei da termodinâmica), que não é natural ver a água do copo variar sua temperatura e resolver se manter em equilíbrio a uma temperatura diferente de $T_{0}$ . Dicas: A variação de entropia associada à variação de temperatura de uma massa $m$ de um corpo com calor específico $c$ , que vai de uma temperatura $T_{0}$ até $T$ é: $Δ S = m c ln (\frac{T}{T _{0}})$

Onde ln é o logaritmo natural.

Você pode usar também a desigualdade $ln (1 + x) < x$ , para todo $x > 1$ e diferente de 0. b) Dois corpos em contato térmico se encontram isolados do resto do universo. Eles possuem massas e calores específicos $m_{1}$ , $c_{1}$ e $m_{2}$ , $c_{2}$ , com os índices (1, 2) se referindo a cada corpo. Se ambos estão na mesma temperatura $T_{0}$ , mostre que não é esperado que eles troquem calor e se equilibrem (termicamente) em temperaturas diferentes. Dica: use que $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ , se $x ≪ 1$

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Domanda 15 C’è un bicchiere d’acqua in contatto con l’ambiente, e entrambi si trovano a una temperatura $T_{0}$ . a) Mostra, usando il concetto di entropia (e la seconda legge della termodinamica), che non è naturale vedere la acqua del calice variare la sua temperatura e risolvere se si mantiene in equilibrio a una temperatura diversa de $T_{0}$ . Suggerimenti: variazione di entropia associata alla variazione di temperatura di una massa $m$ di un corpo a calore specifica $c$ , che va da una temperatura $T_{0}$ a $T$ è: $Δ S = m c ln (\frac{T}{T _{0}})$

Dove ln è il logaritmo naturale.

Puoi anche usare l’ineguaglianza $ln (1 + x) < x$ per tutti $x > 1$ e diversi da 0. b) Due corpi in contatto termico si trovano isolati dal resto dell’universo. Hanno masse e calori specifici $m_{1}$ , $c_{1}$ e $m_{2}$ , $c_{2}$ , con gli indici (1, 2) per ciascun corpo. Se entrambi sono in la stessa temperatura $T_{0}$ , mostra che non si prevede che si scambiino calore e si bilanciino (termicamente) a diverse temperature. Indica: usa $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ se $x ≪ 1$

Question 15 There is a glass of water in contact with the environment, and both are at a temperature $T_{0}$ . (a) Show, using the concept of entropy (and the second law of thermodynamics), that it is not natural to see the glass water vary its temperature and resolve if it stays in balance at a different temperature de $T_{0}$ . Indications: The change in entropy associated with the change in temperature of a body with heat mass $m$ specific $c$ , which ranges from a temperature $T_{0}$ to $T$ is: $Δ S = m c ln (\frac{T}{T _{0}})$

Where ln is the natural logarithm.

You can also use the inequality $ln (1 + x) < x$ , for all $x > 1$ and different from 0. (b) Two bodies in thermal contact are isolated from the rest of the universe. They have masses and specific calories $m_{1}$ , $c_{1}$ and $m_{2}$ , $c_{2}$ , with indices (1, 2) referring to each body. If you’re both in the same temperature $T_{0}$ , shows that they are not expected to exchange heat and balance (thermically) at different temperatures. Please use $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ if $x ≪ 1$

Questão 16 – Ana Beatriz está sentada próxima à janela aberta de um trem movendo-se à velocidade $v$ para o norte. Seu tio está parado perto dos trilhos vendo o trem se afastar. O apito da locomotiva vibra com freqüência $f_{0}$ e a velocidade do som no ar vale $s$ .

A. Se o ar estiver parado, quais são as freqüências ouvidas pelo tio e por Ana, em função de $v$ , $f_{0}$ e $s$ ?
B. Se um vento constante e uniforme soprar à velocidade $u$ para norte, quais serão as freqüências ouvidas pelo tio e por Ana, em função de $v$ , $f_{0}$ , $s$ e $u$ ?

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Domanda 16 Ana Beatriz sta seduta vicino alla finestra aperta di un treno in movimento a $v$ per

Il nord. Suo zio è fermo vicino ai binari, vedendo il treno che si allontana. Il grido della locomotiva vibra con la frequenza $f_{0}$ e la velocità del suono in aria $s$ .
A. Se l’aria è fermata, quali sono le frequenze che il tuo zio e Anna sentono, a seconda di $v$ , $f_{0}$ e $s$ ?
B. Se un vento costante e uniforme soffia alla velocità $u$ verso nord, quali saranno le frequenze che sono state ascoltate da mio zio e da mia madre, in funzione di $v$ , $f_{0}$ , $s$ e $u$ ?

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

Question 16 Ana Beatriz is sitting next to the open window of a train moving at $v$ to the north. Your uncle is standing by the tracks watching the train go away. The locomotive whistle vibrates with The frequency $f_{0}$ and the speed of sound in the air is $s$ .

A. If the air is still, what are the frequencies heard by Uncle and Ana, according to $v$ , $f_{0}$ and $s$ ?
B. If a steady, uniform wind blows at $u$ north, what will be the frequencies ouvidas pelo tio e por Ana, em função de $v$ , $f_{0}$ , $s$ e $u$ ?

Topic: Oscillations & Waves Metodi: Wave Equation, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.6

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