OBF 2011

Questão 1 - Considere um plano inclinado (uma cunha) de massa $M$ e ângulo de inclinação $θ$ que pode deslizar sem atrito sobre o chão. Um pequeno bloco de massa $m$ também pode deslizar sem atrito sobre a superfície do plano inclinado. Além disso, o bloco está preso por uma corda, que passa por uma polia no vértice superior da cunha, e que está amarrada a uma parede, conforme ilustra a seguinte figura.

O trecho de corda entre a polia e a parede é horizontal. O bloco é então solto, a partir do repouso, de uma altura $h$ em relação ao solo. Calcule a velocidade da cunha quando o bloco chegar ao chão em função de $m$ , $M$ , $h$ , $θ$ e $g$ (a gravidade local).

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Free-Body Diagram, Conservation of Energy, Conservation of Momentum, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Wedge, Block, String, Pulley Fonte: Testo (PDF) — p.1

Quesito 1 - Considerare un piano inclinato (una cucina) di massa $M$ e angolo di inclinamento $θ$ che può scivolare senza attrito sul pavimento. Un piccolo blocco di massa $m$ può anche scivolare senza attrito sulla superficie del piano inclinato. Inoltre, il blocco è bloccato da una corda che passa attraverso un pollice nel la verticale superiore della conia, e che è legata a un muro, come illustrato nella figura seguente.

Il tratto di corda tra la polizza e il muro è orizzontale. Il blocco è quindi rilasciato, dal riposo, a una altezza $h$ rispetto al suolo. Calcola la velocità della cucina quando il blocco raggiunge il terreno a causa di $m$ , $M$ , $h$ , $θ$ e $g$ (la gravità locale).

Question 1 - Consider an inclined plane (a wedge) of mass $M$ and angle of inclination $θ$ which can be slip without friction on the floor. A small mass block $m$ can also slide without friction over the surface of the slope plane. In addition, the block is attached by a rope, which passes through a polish in the the top of the wedge, and which is attached to a wall, as illustrated in the following figure.

The rope between the pole and the wall is horizontal. The block is then loosened from resting at a height $h$ with respect to the ground. Calculate the speed of the wedge when the block reaches the ground by $m$ , $M$ , $h$ , $θ$ and $g$ (local gravity).

Questão 2 - Um pêndulo é formado por uma haste rígida (de massa desprezível e comprimento $l$ ) e uma massa $m$ presa em sua extremidade inferior. Ele pode oscilar livremente em torno do seu ponto de suspensão e a gravidade local é $g$ . Prende-se uma mola de constante elástica $k$ a uma distancia $h$ abaixo do ponto de suspensão.

LEIA ATENTAMENTE AS INSTRUÇÕES ABAIXO: 01) Esta prova destina-se exclusivamente a alunos do 3º ano do ensino médio. Ela contém oito questões. Cada questão tem valor de 10 pontos e a prova total 80 pontos. 02) O Caderno de Resoluções possui instruções que devem ser lidas cuidadosamente antes do início da prova. 03) Todos os resultados numéricos devem ser expressos em unidades no Sistema Internacional caso não seja indicado na questão. 04) A duração desta prova é de quatro horas, devendo o aluno permanecer na sala por no mínimo noventa(90) minutos. Use quando necessário $g = 10 m/s^{2}$ como aceleração gravitacional. 3a fase – Prova Teórica Prova para alunos do 3º ano

Suponha que a mola mantenha-se sempre horizontal (isto é, podemos imaginar que a mola seja muito longa) e que ela se encontre relaxada quando o pendulo estiver vertical. a) Calcule o período de pequenas oscilações do pendulo, em torno de sua posição de equilíbrio. Assuma que o movimento esteja restrito ao plano da mola-haste. b) E se a haste também tivesse uma massa $m^{'}$ homogeneamente distribuída, como isso entraria na expressão para o período?

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Hooke’s Law, Small-Angle Approximation, Simple Harmonic Motion Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Pendulum, Spring, Rod Fonte: Testo (PDF) — p.1

Domanda 2 - Un pendolo è costituito da una canna rigida (di massa scarsa e di lunghezza $l$ ) e da una massa $m$ presa nella sua estremità inferiore. Può oscillare liberamente attorno al suo punto di sospensione e la gravità locale è $g$ . Un molino di costante elastica $k$ si attacca a una distanza $h$ dal punto di

Sospendimento.

Leggi attentamente le istruzioni qui sotto: 01) Questo test è rivolto esclusivamente agli studenti del terzo anno di scuola superiore. Contiene otto domande. Ogni domanda ha un valore di 10 punti e la prova totale 80 punti. 02) Il Libro delle Risoluzioni contiene istruzioni che devono essere lette con attenzione prima dell’inizio della Prova. 03) Tutti i risultati numerici devono essere espressi in unità nel sistema internazionale se non che sia indicato nella questione. 04) La durata di questo esame è di quattro ore e il studente deve rimanere in sala per un minimo di tempo. 90 minuti. Utilizzare quando necessario $g = 10 m/s^{2}$ come accelerazione gravitazionale. Fase 3 Prova teorica Prova per i 3° anno

Supponiamo che la mola sia sempre orizzontale (cioè possiamo immaginare che la mola sia troppo lunga) e che si senta rilassata quando il pendolo è verticale. a) Calcolare il periodo di piccole oscillazioni del pendolo attorno alla sua posizione di equilibrio. Assumere il movimento è limitato al piano della molla veloce. b) E se la canna avesse anche una massa $m^{'}$ uniformemente distribuita, come questo entra nel espressione per il periodo?

Question 2 - A pendulum is made up of a rigid rod (of negligible mass and length $l$ ) and a mass $m$ trapped at its lower end. It can freely oscillate around its point of suspension and the local gravity is $g$ . A constant elastic spring $k$ shall be attached at a distance $h$ below the point of Suspension of the operation.

Please read the instructions below carefully: 01) This test is intended exclusively for third-year students in secondary school. It contains eight questions. Each question is worth 10 points and the total proof is 80 points. The Resolution Book contains instructions which must be read carefully before the start of the I’ll try that. 03) All numerical results must be expressed in units in the International System if they are not be indicated in the question. 04) The duration of this test is four hours and the student must remain in the classroom for at least 90 minutes. Use when necessary $g = 10 m/s^{2}$ as gravitational acceleration. Phase 3 Theoretical proof Test for third year students

Suppose the spring is always horizontal (that is, we can imagine the spring is too long) And that she’s relaxed when the pendulum is vertical. (a) Calculate the period of slight oscillations of the pendulum around its equilibrium position. Take it the motion is restricted to the plane of the spring. (b) And if the rod also had a homogeneously distributed mass $m^{'}$ , how would this enter the the term for the period?

Questão 3 - Um cilindro de paredes condutoras térmicas possui um embolo de massa $m$ bem ajustado (mas sem atritos), cuja secção de área transversal é $S$ . O cilindro contem água e vapor à temperatura $T = 100^{\circ} C$ , ou seja, estão na temperatura de condensação.

Observa-se que o embolo cai vagarosamente à velocidade constante $v$ porque alguma quantidade de calor flui através das paredes do cilindro, fazendo com que um pouco de vapor se condense continuamente. A densidade de vapor no interior do recipiente é $ρ$ . a) Calcule a taxa de condensação do vapor e a variação de massa de vapor por unidade de tempo, em termos dos parâmetros dados no problema. b) A que taxa o calor flui para fora do cilindro? Dê o resultado em função do calor de condensação $L$ da água e dos outros dados do problema. c) Qual a taxa de variação da energia interna do vapor? O calor específico molar a volume constante da água é $C_{v}$ e sua massa molar é $M$ . d) Qual a taxa de variação da energia interna da água líquida?

Topic: Thermodynamics Metodi: First Law of Thermodynamics, Conservation Laws, Continuity Equation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cylinder, Piston, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

Quesito 3 - Un cilindro di pareti termico-conduttori ha un embollo di massa $m$ ben regolato (ma senza attriti), la cui sezione di superficie trasversale è $S$ . Il cilindro contiene acqua e vapore a temperatura $T = 100^{\circ} C$ , che sono alla temperatura di condensazione.

Si osserva che l’embolo cade lentamente a velocità costante $v$ perché qualche quantità di calore Flui attraverso i muri del cilindro, facendo condensare continuamente un po’ di vapore. A la densità di vapore all’interno del recipiente è $ρ$ . a) Calcola il tasso di condensazione del vapore e la variazione di massa del vapore per unità di tempo, in la definizione dei parametri del problema. b) A che velocità il calore scorre fuori dal cilindro? Date il risultato in funzione del calore di condensazione $L$ di l’acqua e gli altri dati del problema. c) Qual è il tasso di variazione dell’energia interna del vapore? Il calore specifico mollare il volume costante di l’acqua è $C_{v}$ e la sua massa molare è $M$ . d) Qual è il tasso di variazione dell’energia interna dell’acqua liquida?

Question 3 - A thermal conductive wall cylinder has a well-adjusted mass embol $m$ (but without strips), the cross-sectional area of which is $S$ . The cylinder contains water and steam at $T = 100^{\circ} C$ , That means they’re at condensation temperature.

Observa-se que o embolo cai vagarosamente à velocidade constante $v$ porque alguma quantidade de calor It flows through the cylinder walls, causing a little steam to condense continuously. A the density of steam inside the container is $ρ$ . (a) Calculate the steam condensation rate and the variation in steam mass per unit of time, in We have to find the parameters given in the problem. (b) At what rate does heat flow out of the cylinder? Give the result according to the condensation heat $L$ of the water and other data on the problem. (c) What is the rate of change of the internal energy of the steam? The specific heat molar constant volume of the water is $C_{v}$ and its molar mass is $M$ . (d) What is the rate of change in the internal energy of liquid water?

Questão 4 – Há um copo de água em contato com o ambiente, e ambos se encontram a uma temperatura $T_{0}$ . a) Mostre, usando o conceito de entropia (e a segunda lei da termodinâmica), que não é natural ver a água do copo variar sua temperatura e resolver se manter em equilíbrio a uma temperatura diferente de $T_{0}$ . Dicas: A variação de entropia associada à variação de temperatura de uma massa $m$ de um corpo com calor específico $c$ , que vai de uma temperatura $T_{0}$ até $T$ é $Δ S = m c ln (\frac{T}{T _{0}})$

Onde ln é o logaritmo natural.

Voce pode usar também a desigualdade $ln (1 + x) < x$ , para todo $x > 1$ e diferente de 0. b) Dois corpos em contato térmico se encontram isolados do resto do universo. Eles possuem massas e calores específicos $m_{1}$ , $c_{1}$ e $m_{2}$ , $c_{2}$ , com os índices (1, 2) se referindo a cada corpo. Se ambos estão na mesma temperatura $T_{0}$ , mostre que não é esperado que eles troquem calor e se equilibrem (termicamente) em temperaturas diferentes. Dica: use que $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ , se $x ≪ 1$

Topic: Thermodynamics Metodi: Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 4 C’è un bicchiere d’acqua in contatto con l’ambiente, e entrambi si trovano a una temperatura $T_{0}$ . a) Mostra, usando il concetto di entropia (e la seconda legge della termodinamica), che non è naturale vedere la acqua del calice variare la sua temperatura e risolvere se si mantiene in equilibrio a una temperatura diversa de $T_{0}$ . Suggerimenti: variazione di entropia associata alla variazione di temperatura di una massa $m$ di un corpo a calore specifica $c$ , che va da una temperatura $T_{0}$ a $T$ è $Δ S = m c ln (\frac{T}{T _{0}})$

Dove ln è il logaritmo naturale.

Puoi anche usare l’inequità $ln (1 + x) < x$ per tutti $x > 1$ e diversi da 0. b) Due corpi in contatto termico si trovano isolati dal resto dell’universo. Hanno masse e calori specifici $m_{1}$ , $c_{1}$ e $m_{2}$ , $c_{2}$ , con gli indici (1, 2) per ciascun corpo. Se entrambi sono in la stessa temperatura $T_{0}$ , mostra che non si prevede che si scambiino calore e si bilanciino (termicamente) a diverse temperature. Indica: usa $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ se $x ≪ 1$

Topic: Thermodynamics Metodi: Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Question 4 There is a glass of water in contact with the environment, and both are at a temperature $T_{0}$ . (a) Show, using the concept of entropy (and the second law of thermodynamics), that it is not natural to see the glass water vary its temperature and resolve if it stays in balance at a different temperature de $T_{0}$ . Indications: The change in entropy associated with the change in temperature of a body with heat mass $m$ specific $c$ , which ranges from a temperature $T_{0}$ to $T$ is $Δ S = m c ln (\frac{T}{T _{0}})$

Where ln is the natural logarithm.

You can also use the inequality $ln (1 + x) < x$ , for all $x > 1$ and different from 0. (b) Two bodies in thermal contact are isolated from the rest of the universe. They have masses and specific calories $m_{1}$ , $c_{1}$ and $m_{2}$ , $c_{2}$ , with indices (1, 2) referring to each body. If you’re both in the same temperature $T_{0}$ , shows that they are not expected to exchange heat and balance (thermically) at different temperatures. Please use $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ if $x ≪ 1$

Topic: Thermodynamics Metodi: Approximation & Series Expansion, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: — Fonte: Testo (PDF) — p.2

Questão 5 – Uma mesa, com sua superfície a uma altura $H$ do chão, tem um orifício em seu centro. Uma partícula de massa $m$ é presa a um corpo suspenso de massa $M$ por uma corda de comprimento $l > H$ que passa pelo orifício.

A partícula pode se mover sem atrito pela superfície da mesa (e também não há atritos entre a corda e o orifício). É dada à partícula uma velocidade angular $ω$ em torno do orifício (sem nenhuma componente radial de velocidade). a) Sendo $r$ a distancia da partícula até o orifício, calcule o raio de equilíbrio $r = r_{0}$ para o qual o corpo de massa $M$ fica parado. Expresse o $r_{0}$ em termos $M$ , $m$ , $ω$ e $g$ , a gravidade local. b) Calcule a freqüência de pequenas oscilações radiais da partícula em torno de $r_{0}$ . Imagine que inicialmente a partícula se encontrava em movimento circular em $r_{0}$ e com velocidade angular $ω_{0}$ quando uma pequena perturbação radial fez com que ela começasse a oscilar. Você pode precisar usar que $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ se $x ≪ 1$ . c) Considere que a partícula esteja inicialmente a uma distancia $r$ do orifício, com uma velocidade angular $ω$ . O sistema é então solto de modo que o corpo $M$ desça naturalmente até o chão, isto é, suponha que $l - H > r_{0}$ . Qual será a nova velocidade angular $ω^{'}$ da partícula nessa nova situação? Expresse o resultado em função dos parâmetros básicos do problema.

Topic: Rotational Dynamics, Newtonian Mechanics, Conservation of Energy Metodi: Torque & Angular Momentum Analysis, Conservation of Momentum, Free-Body Diagram, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: String, Block Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 5 Un tavolo, con la sua superficie a un’altezza $H$ dal pavimento, ha un orificio al suo centro. Una la particella di massa $m$ è attaccata a un corpo sospeso di massa $M$ da una corda di lunghezza $l > H$ che passa attraverso il buco.

La particella può muoversi senza attrito sulla superficie della tavola (e non ci sono tratti tra la corda e il Origine). Se la particella è data una velocità angolare $ω$ attorno al foro (senza componenti radiali) di velocità). a) Se $r$ è la distanza dalla particella al foro, calcola il raggio di equilibrio $r = r_{0}$ per il quale il corpo di la massa $M$ si ferma. Indicare $r_{0}$ in $M$ , $m$ , $ω$ e $g$ , la gravità locale. b) Calcolare la frequenza di piccole oscillazioni radicali della particella intorno a $r_{0}$ . Immaginate che all’inizio la particella era in movimento circolare a $r_{0}$ e a velocità angolare $ω_{0}$ Quando un piccolo disturbo radicale ha fatto iniziare a oscillare. Potresti aver bisogno di usare $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ se $x ≪ 1$ . c) Considera che la particella sia inizialmente a una distanza $r$ dal foro, con una velocità angular $ω$ . O sistema é então solto de modo que o corpo $M$ desça naturalmente até o chão, isto é, Supponiamo che $l - H > r_{0}$ . Qual será a nova velocidade angular $ω^{'}$ da partícula nessa nova situação? Esprimere il risultato in base ai parametri di base del problema.

Question 5 A table with its surface at a height $H$ from the ground has a hole in its centre. One of them. The mass particle $m$ is attached to a suspended body $M$ by a length string $l > H$ which It’s going through the hole.

The particle can move without friction on the surface of the table (and there are also no friction between the rope and the the hole). The particle is given an angular velocity $ω$ around the hole (without any radial component) (speed). (a) If $r$ is the distance from the particle to the hole, calculate the radius of equilibrium $r = r_{0}$ for which the body of the The mass $M$ is stopped. Expresse o $r_{0}$ em termos $M$ , $m$ , $ω$ e $g$ , a gravidade local. (b) Calculate the frequency of small radial oscillations of the particle around $r_{0}$ . Imagine that Initially the particle was in circular motion at $r_{0}$ and angular velocity $ω_{0}$ When a small radial disturbance caused her to start oscillating. You might need to use that $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ if $x ≪ 1$ . (c) Consider that the particle is initially at a distance $r$ from the hole, at a speed angular $ω$ . O sistema é então solto de modo que o corpo $M$ desça naturalmente até o chão, isto é, Let’s say that $l - H > r_{0}$ . Qual será a nova velocidade angular $ω^{'}$ da partícula nessa nova situação? Express the result according to the basic parameters of the problem.

Questão 6 – Vamos determinar a posição da imagem formada por um espelho esférico (gaussiano) quando o objeto não se encontra sobre seu eixo principal, isto é, a linha normal ao espelho em seu centro.

Sendo $p$ a distancia do objeto ao centro do espelho e $θ$ o ângulo com relação ao eixo principal, e este suficientemente pequeno, para que as aproximações do espelho gaussiano continuem validas. Considerando os raios ilustrados na figura acima vemos que se uma imagem bem definida se formar, ela deve estar no plano da figura e seu ângulo com relação ao eixo principal deve ser o mesmo $θ$ . a) Sendo $f$ a distancia focal do espelho, prove usando os dois raios ilustrados (um que passa pelo centro e outro paralelo ao eixo principal) que $p^{'}$ , a distancia da imagem até o centro do espelho, deve obedecer a relação: $\frac{1}{p} + \frac{1}{p ^{'}} = \frac{c o s θ}{f}$ b) Vamos considerar agora outros raios que saem do corpo, para verificar se a imagem será bem definida, isto é, se todos os raios convergem para ela. No entanto, limitemo-nos ao plano da figura acima, pois fica mais complicado mostrar isso para raios fora do plano. Há um raio que sai do corpo e atinge o espelho, a uma distancia $l$ acima de seu centro, e se encontra com o raio que passava pelo centro a uma distancia $p^{*}$ do centro do espelho, conforme a seguinte figura

Mostre que $p^{*} = p^{'}$ , isto é, todos os raios, independentemente de $l$ , convergem para o mesmo ponto. c) Quando há um corpo extenso sobre o eixo principal, tal como uma vela, costuma-se considerar que a imagem de um ponto superior forma-se justamente acima da imagem de um ponto na base, isto é, uma vela posta verticalmente com a base sobre o eixo principal forma uma imagem também vertical. Prove, a partir da relação obtida no item a, que esta consideração é verdadeira, isto é, a posição horizontal (paralela ao eixo principal) da imagem pode ser tratada como se o objeto estivesse sobre o eixo. Conseqüentemente ter-se-ia que a imagem de uma vela vertical seria, de fato, vertical. d) Se um feixe de raios paralelos incide no espelho paralelamente ao eixo principal, então o feixe converge para um ponto sobre o eixo, chamado foco. Caso o feixe forme um ângulo $θ$ , suficientemente pequeno, com o eixo, mostre que os raios convergem para um ponto contido no plano perpendicular ao eixo e que passa pelo foco e calcule a distancia entre este ponto $F^{'}$ e o foco $F$ . Este plano é chamado de plano focal. Dê o resultado em termos de $θ$ e $f$ .

Topic: Geometric Optics Metodi: Ray Tracing, Thin Lens & Mirror Equation, Small-Angle Approximation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning, Diagrammatic Reasoning Objects: Mirror Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 6 Determineremo la posizione dell’immagine formata da uno specchio sferico (gaussiano) quando il L’oggetto non si trova sul suo asse principale, cioè la linea normale allo specchio al suo centro.

Se $p$ è la distanza dell’oggetto dal centro dello specchio e $θ$ l’angolo rispetto all’asse principale, e questo sufficientemente piccolo per mantenere validi i modelli di specchio gaussiano. Considerando che I raggi illustrati nella figura sopra mostrano che se si forma un’immagine ben definita, deve essere in il piano della figura e il suo angolo rispetto all’asse principale devono essere uguali $θ$ . a) Essendo $f$ la distanza focale dello specchio, prova utilizzando i due raggi illustrati (uno che passa attraverso il centro e un altro parallelo all’asse principale) che $p^{'}$ , la distanza dall’immagine al centro dello specchio, deve essere obbedire alla relazione: $\frac{1}{p} + \frac{1}{p ^{'}} = \frac{c o s θ}{f}$ b) Ora consideriamo altri raggi che usciranno dal corpo, per verificare se l’immagine sarà buona. definita, cioè se tutti i raggi convergono verso di essa. Tuttavia, restando sul piano della figura E’ molto più difficile mostrarlo fuori piano. C’è un raggio che esce dal corpo e raggiunge lo specchio, a una distanza $l$ dal suo centro, e si trova con il raggio che passava attraverso centro a una distanza $p^{*}$ dal centro dello specchio, come indicato nella figura seguente:

Mostra che $p^{*} = p^{'}$ , cioè tutti i raggi, indipendentemente da $l$ , convergono nello stesso punto. c) Quando c’è un corpo esteso sull’asse principale, come una vela, si ritiene che la Un’immagine di un punto superiore si forma proprio sopra l’immagine di un punto alla base, cioè, una candela posta verticalmente con la base sull’asse principale forma un’immagine anche verticale. Dimostrare, a partire dal rapporto ottenuto in a, che tale considerazione è vera, cioè la posizione orizzontale (parallelamente all’asse principale) dell’immagine può essere trattata come se l’oggetto fosse sull’asse. Di conseguenza si potrebbe dire che l’immagine di una candela verticale sarebbe, infatti, verticale. d) Se un fascio di raggi paralleli incide sul specchio in parallelo con l’asse principale, il fascio deve essere converge in un punto sull’asse, chiamato foco. Se il fascio forma un angolo $θ$ , sufficientemente Il modello di un’aereo di dimensioni inferiori a quella di un’aereo di dimensioni inferiori a quella di una linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di linea di eixo e que passa pelo foco e calcule a distancia entre este ponto $F^{'}$ e o foco $F$ . Questo piano è chiamato di piano focale. Date il risultato in termini di $θ$ e $f$ .

Question 6 Let’s determine the position of the image formed by a spherical (Gaussian) mirror when the The object is not on its main axis, that is, the normal line to the mirror at its center.

Where $p$ is the distance of the object from the centre of the mirror and $θ$ the angle with respect to the main axis, and this small enough that the Gaussian mirror approximations remain valid. Whereas The beams illustrated in the figure above show that if a well-defined image is formed, it must be in the the plane of the figure and its angle to the main axis shall be the same $θ$ . (a) If the focal length of the mirror is $f$ , test using the two beams illustrated (one passing through the centre) and another parallel to the main axis) that $p^{'}$ , the distance from the image to the centre of the mirror, shall be to comply with the relationship: $\frac{1}{p} + \frac{1}{p ^{'}} = \frac{c o s θ}{f}$ (b) Let’s now consider other rays coming out of the body to see if the image will be fine. defined, that is, if all the rays converge to it. However, let us limit ourselves to the plane of the figure It’s harder to show that off the grid. There’s a ray coming out of the body and It hits the mirror, a distance $l$ above its center, and it meets the beam that was passing through the centre at a distance $p^{*}$ from the centre of the mirror, as shown below

Show that $p^{*} = p^{'}$ , that is, all rays, regardless of $l$ , converge to the same point. (c) Where there is an extended body on the main axis, such as a candle, it is usually considered that the The image of a top point is formed just above the image of a point at the base, that is, A candle placed vertically with its base on the main axis forms a vertical image as well. It is proved from the relationship obtained in point (a) that this consideration is true, that is to say, the horizontal position (parallel to the main axis) of the image can be treated as if the object were on the axis. Consequently, the image of a vertical candle would in fact be vertical. (d) If a beam of parallel rays hits the mirror parallel to the main axis, then the beam shall be converges to a point on the axis called the focus. If the beam forms an angle $θ$ , sufficiently The small axis shows that the rays converge to a point contained in the plane perpendicular to the The axis and passing through the focus and calculating the distance between this point $F^{'}$ and the focus $F$ . This plan is called of the focal plane. Give the result in terms of $θ$ and $f$ .

Questão 7 – Considere uma carga puntiforme $q$ separada de uma distancia $d$ do centro de uma esfera metálica de raio $R$ , conforme a figura abaixo.

Para, por exemplo, encontrar os campos elétricos em cada ponto, gerados pela configuração acima, poderse-ia determinar a distribuição de cargas na superfície do condutor (devido à presença de $q$ ) e considerar que o campo em cada ponto é a soma do campo de $q$ com as contribuições de cada elemento de carga sobre a superfície da esfera. Mas isso parece ser um tanto complicado! Um método muito poderoso, chamado método das imagens, pode ser muito eficiente para resolver problemas como esse. De acordo com este método, dado um objeto condutor carregado com uma carga $Q$ , podemos remover essa carga de sua superfície e deixar de considerar a existência do condutor, redistribuindo tal carga dentro do espaço contido por sua superfície, desde que essa superfície continue equipotencial. Neste caso, o campo elétrico em qualquer ponto externo ao condutor, gerado pela distribuição de cargas na sua superfície é idêntico ao gerado por essa nova distribuição de cargas imagens. O caminho inverso também é válido, ou seja, tendo uma distribuição de cargas dentro de uma superfície (imaginária) equipotencial, podemos dizer que, se no lugar dessa superfície fosse colocado uma casca condutora (ou mesmo um condutor maciço) e essa carga interna fosse “injetada” na casca, então os campos externos (à superfície) permaneceriam inalterados. Assuma que o meio seja o vácuo ( $ε = ε_{0}$ ). a) Suponha que a esfera condutora esteja aterrada, isto é, seu potencial seja nulo. Neste caso apenas uma carga imagem $q^{'}$ será necessária e, pela simetria, pode-se ver que ela deve estar contida na reta que liga a carga $q$ com o centro da esfera.

Calcule então $q^{'}$ (o seu valor) e sua posição (distancia $a$ até o centro da esfera). Expresse os resultados em termos dos parâmetros básicos deste problema, isto é, $q$ , $R$ e $d$ . b) Considere agora que a esfera esteja neutra e isolada. Com que força a carga $q$ atrai a esfera? Expresse-a em termos dos mesmos parâmetros.

Topic: Electrostatics Metodi: Electric Potential Method, Coulomb’s Law, Symmetry Argument Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Point Charge, Conducting Sphere Fonte: Testo (PDF) — p.4

Question 7 Considerare un carico puntoso $q$ separato da una distanza $d$ dal centro di una sfera metallo di raggio $R$ , come indicato nella figura seguente.

Per esempio, per trovare i campi elettrici in ogni punto generati dalla configurazione sopra, si potrebbe determinare la distribuzione di cariche sulla superficie del conduttore (a causa della presenza di $q$ ) e considerare che il campo a ogni punto è la somma del campo di $q$ con i contributi di ogni elemento di carico su la la superficie della sfera. Ma sembra un po’ complicato! Un metodo molto potente, chiamato Il metodo di immagine può essere molto efficiente per risolvere problemi come questo. Secondo questo metodo, dato un oggetto conduttore carico di una carica $Q$ , possiamo rimuovere tale carica da superfici e non considerare l’esistenza del conducente, ridistribuendo tale carico all’interno dello spazio contenuto per la sua superficie, purché essa sia equipotenziale. In questo caso, il campo elettrico in Qualsiasi punto esterno al conducente generato dalla distribuzione di cariche sulla sua superficie è identico al generato per questa nuova distribuzione di cariche immagini. La via inversa è valida anche, cioè se si ha un distribuzione di cariche all’interno di una superficie equipotenziale, possiamo dire che se invece di questa superficie è stata posta una pelle conduttiva (o anche una conduttrice massiccia) e tale carico interno se fosse injectato nella casca, i campi esterni (soprattutto quelli superficiali) rimarrebbero invariati. Assume che il mezzo è il vuoto ( $ε = ε_{0}$ ). a) Supponiamo che la sfera conduttrice sia atterrata, cioè che il suo potenziale sia nullo. In questo caso solo un carico immagine $q^{'}$ sarà necessario e, dalla simmetria, si può vedere che deve essere contenuto nella reta che collega la carica $q$ al centro della sfera.

Calcola quindi $q^{'}$ (il suo valore) e la sua posizione (distanza $a$ al centro della sfera). Esprimere i risultati in I parametri di base di questo problema sono $q$ , $R$ e $d$ . b) Considerate ora che la sfera sia neutra e isolata. Com que força a carga $q$ atrai a esfera? Esprimetela in termini di parametri simili.

Question 7 Consider a pointy charge $q$ separated from a distance $d$ from the centre of a sphere metal with a radius $R$ as shown below.

For example, to find the electric fields at each point generated by the above configuration, the charge distribution on the surface of the driver (due to the presence of $q$ ) could be determined and the The field at each point is the sum of the field of $q$ with the contributions of each load element over the surface of the sphere. But that seems a little complicated! A very powerful method, called The imaging method, it can be very efficient at solving problems like this. According to this The method, given a conductive object loaded with a load $Q$ , can remove that load from its surface and fail to consider the existence of the driver, redistributing such load within the contained space the surface of the material, provided that the surface remains equipotencial. In this case, the electric field in the any point outside the driver, generated by the distribution of loads on its surface, is identical to the generated point For this new image load distribution. The reverse path is also valid, i.e. having a The distribution of charges within an equivalent (imaginary) surface, we can say that if in place This surface is covered by a conductive shell (or even a solid conductor) and this internal load If the skin is injected into the skin, the outer (surface) fields would remain unchanged. Assume that the The average is the vacuum ( $ε = ε_{0}$ ). (a) Suppose the conductive sphere is landed, i.e. its potential is zero. In this case only a $q^{'}$ image load will be required and, by symmetry, it can be seen that it must be contained in the straight line which connects the $q$ load to the centre of the sphere.

Then calculate $q^{'}$ (its value) and its position (distance $a$ to the centre of the sphere). Express the results in The main parameters of this problem are $q$ , $R$ and $d$ . (b) Consider now that the sphere is neutral and isolated. Com que força a carga $q$ atrai a esfera? Express it in terms of the same parameters.

Questão 8 – Segundo a teoria da Relatividade de Einstein um elétron relativístico tem uma massa de repouso $m_{0}$ e uma massa inercial $m$ definida pela seguinte equação:

$p = \frac{m _{0} v}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

onde $v$ é a velocidade do elétron relativa a um referencial inercial e $c$ a velocidade da luz no vácuo. Esta equação implica que o elétron em movimento tem uma massa que depende da sua velocidade!

a) Escreva a energia cinética Newtoniana para o elétron usando o momento relativístico da teoria de Einstein em função de $m_{0}$ , $v$ e $c$ . b) Segundo a teoria da Relatividade de Einstein a energia total de um elétron é dada por:

$E^{2} = m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2},$

onde $p$ é o momento relativístico da partícula. Qual a diferença entre a energia do elétron na teoria de Newton e a relativística?

ESPAÇO RESERVADO PARA RASCUNHO

Topic: Special Relativity Metodi: Relativistic Energy-Momentum, Mass-Energy Equivalence, Approximation & Series Expansion Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Electron Fonte: Testo (PDF) — p.5

Domanda 8 Secondo la teoria della relatività di Einstein un elettrone relativistico ha una massa di riposo $m_{0}$ e una massa inerziale $m$ definita dalla seguente equazione:

$p = \frac{m _{0} v}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

dove $v$ è la velocità dell’elettrone rispetto a un riferimento inerziale e $c$ la velocità della luce nel vuoto. Questa L’equazione implica che l’elettrone in movimento ha una massa che dipende dalla sua velocità!

a) Scrivi l’energia cinetica newtonica per l’elettrone usando il momento relativistico della teoria di Einstein a funzione di $m_{0}$ , $v$ e $c$ . b) Secondo la teoria della relatività di Einstein l’energia totale di un elettrone è data da:

$E^{2} = m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2},$

dove $p$ è il momento relativistico della particella. Qual è la differenza tra energia dell’elettrone nella teoria di Newton E la relativistica?

Spazio riservato per la rasca

Question 8 According to Einstein’s theory of relativity a relativistic electron has a resting mass $m_{0}$ and an inertial mass $m$ defined by the following equation:

$p = \frac{m _{0} v}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

where $v$ is the electron speed relative to an inertial reference and $c$ the speed of light in the vacuum. This one The equation implies that the moving electron has a mass that depends on its velocity!

a) Write the Newtonian kinetic energy for the electron using the relativistic moment of the theory of Einstein as a function of $m_{0}$ , $v$ and $c$ . (b) According to Einstein’s theory of relativity the total energy of an electron is given by:

$E^{2} = m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2},$

where $p$ is the relativistic moment of the particle. What is the difference between the electron energy in Newton’s theory? What about relativity?

Space reserved for the raft

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