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Olimpíada Brasileira de Física 2014 — Nível I (Ensino Fundamental, 8º e 9º anos) 2ª Fase — 09 de agosto de 2014

Constantes fornecidas: $g=10{\text{m/s}}^2$; velocidade do som no ar $=340\text{m/s}$; velocidade da luz no vácuo $=3,0\times 10^8\text{m/s}$; $\pi \approx 3,14$; ${\rho }_{\text{aˊgua}}=1,0\times 10^3{\text{kg/m}}^3$; $1\text{A˚}=10^{-10}\text{m}$; $N_A=6,0\times 10^{23}{\text{mol}}^{-1}$.

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Texto introdutório (Questões 1–4)

O ano de 2014 foi declarado pela UNESCO e pela União Internacional de Cristalografia (IUCr) o Ano Internacional da Cristalografia. Marca também o 400º aniversário da observação feita por Kepler da simetria hexagonal do floco de neve, considerado o primeiro trabalho que analisa e descreve a estrutura de cristais, dando origem à Conjectura de Kepler.

A figura ao lado representa um arranjo de átomos (considerados esféricos) com simetria cúbica: os átomos estão posicionados com centro nos vértices dos cubos, numerados de 1 a 8. Um material sólido cristalino de simetria cúbica é formado por cubos “empilhados” nas três direções $x$, $y$, $z$. O menor cubo é denominado célula unitária. Parâmetros considerados:

$a=2,5\times 10^{-10}\text{m}(\text{paraˆmetro de rede — lado da ceˊlula unitaˊria})$

$\rho =2,7\times 10^3{\text{kg/m}}^3(\text{densidade do material})$

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Problema 1

[Parte I — Resposta Direta]

Assuma o valor de $a=2,5\times 10^{-10}\text{m}$ para o parâmetro de rede (lado da célula unitária cúbica, com átomos nos 8 vértices numerados de 1 a 8).

a) Qual a distância entre os átomos 1 e 2? (Não esqueça da unidade de comprimento.)

b) Qual a distância entre os átomos 1 e 3? (Não esqueça da unidade de comprimento.)

c) Determine o valor do volume de uma célula unitária do sólido.

(Os átomos 1 e 2 são vértices de uma mesma aresta; os átomos 1 e 3 são vértices opostos de uma mesma face.)

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Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 2

[Parte I — Resposta Direta]

a) Quantas células unitárias um cristal de $1{\text{cm}}^3$ possui, para $a=2,5\times 10^{-10}\text{m}$?

b) Quantos átomos existem num cristal de $1{\text{cm}}^3$? Neste caso, cada célula unitária possui apenas 1 átomo. Portanto, o número de átomos do cristal é o mesmo que o número de células unitárias.

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Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Dimensional Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Unit Conversion, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 3

[Parte I — Resposta Direta]

Considerando somente a célula unitária com átomos numerados de 1 a 8 (nos vértices do cubo): para o átomo 1, os átomos 2, 4 e 5 são chamados primeiros vizinhos por serem os mais próximos. Analogamente definem-se segundos e terceiros vizinhos.

a) Qual(is) o(s) segundo(s) vizinho(s) do átomo 1?

b) Qual(is) o(s) terceiro(s) vizinho(s) do átomo 1?

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Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 4

[Parte I — Resposta Direta]

Deseja-se empacotar esferas rígidas de mesmo tamanho. Para simplificar o problema tratado por Kepler, consideram-se discos idênticos (e.g., moedas) colocados uns ao lado dos outros de modo a obter a máxima densidade possível. A figura mostra dois arranjos:

• (I) empacotamento hexagonal;
• (II) empacotamento quadrado.

Para decidir qual das duas configurações tem maior densidade de empacotamento (fração de área ocupada pelos discos), pode-se desenhar em cada arranjo um quadrado que tenha um disco inscrito.

Qual é o padrão de maior densidade de empacotamento?

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Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Mathematical Modeling, Physical Reasoning Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 5

[Parte II — Resposta Aberta]

Um cristal ideal é uma repetição de blocos idênticos no espaço tridimensional. Cada um desses blocos é chamado base e pode ser um átomo, uma molécula ou um agrupamento de átomos ou moléculas. A base é a quantidade de matéria contida numa célula unitária — um volume no espaço que pode ser transladado por distâncias discretas nas três dimensões para preencher todo o espaço. A simetria mais óbvia de um cristal é a simetria de translação.

Vamos imaginar uma situação no plano. A figura apresenta cinco formas geométricas: (a), (b), (c), (d), (e).

Qual(is) forma(s) geométrica(s) preenche(m) completamente o plano quando agrupadas apenas através de translações em duas direções perpendiculares? Justifique sua resposta com figura(s).

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Topic: Elasticity & Materials Metodi: Physical Modeling, Symmetry Argument Competenze: Diagrammatic Reasoning, Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 6

[Parte II — Resposta Aberta]

Dois torcedores estão num estádio de futebol quando veem o juiz levar o apito à boca para determinar o encerramento da partida. Após $0,250\text{s}$ o torcedor A ouve o apito do juiz; já o torcedor B ouve após $0,155\text{s}$. Sabe-se que as linhas de visão dos torcedores até o juiz formam entre si um ângulo de $90°$.

Calcule:

a) Quais são as distâncias dos torcedores A e B até o juiz?

b) Qual a distância entre os dois torcedores (em linha reta)?

(Use: velocidade do som no ar $=340\text{m/s}$.)

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Topic: Oscillations & Waves Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 7

[Parte II — Resposta Aberta]

Uma bola de futebol é deixada cair de uma altura de $h_0=2,4\text{m}$, colide com o piso rígido e retorna à altura de $h_1=1,8\text{m}$. Desprezando a resistência do ar:

a) Que fração da energia cinética inicial é perdida na colisão?

b) Qual a velocidade da bola imediatamente após a colisão?

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Topic: Conservation of Energy, Newtonian Mechanics Metodi: Energy Conservation Method, Conservation Laws, Kinematic Equations Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Fonte: Testo (PDF) — p.2

Problema 8

[Parte II — Resposta Aberta]

Um veículo, viajando em linha reta do ponto A ao ponto B, está com um problema no motor que causa vazamento de óleo. Uma gota de óleo cai do motor a cada $\Delta t=3\text{s}$, e a figura mostra o padrão das marcas de óleo no asfalto da rodovia (espaçamentos entre gotas sucessivas visíveis no diagrama do PDF).

a) Qual a velocidade média do carro entre $t=0$ e $t=18\text{s}$?

b) Qual a aceleração média entre $t=0$ e $t=6\text{s}$?

c) Qual a aceleração média entre $t=12\text{s}$ e $t=18\text{s}$?

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling, Graph Linearization Fonte: Testo (PDF) — p.3