OBF 2014 'III'

Considerando que as únicas forças que atuam no cristal são de natureza eletrostática e que todos os átomos do cristal possuem carga $+ q$ , determine:

a) o módulo da força elétrica no átomo 6 devido ao átomo 2;

b) o módulo da força elétrica no átomo 6 devido ao átomo 4;

c) a razão entre os módulos das forças elétricas no átomo 6 devido ao átomo 2 e ao átomo 3.

Use os parâmetros do enunciado ( $d$ , $q$ ) e $K$ como constante de Coulomb.

Referência geométrica: os átomos 1–8 estão nos vértices do cubo de aresta $d$ . Distâncias relevantes: átomo 6 ao átomo 2 (aresta) $= d$ ; átomo 6 ao átomo 4 (diagonal de face) $= d 2$ ; átomo 6 ao átomo 3 (diagonal espacial) $= d 3$ .

Topic: Electrostatics Metodi: Coulomb’s Law, Vector Decomposition Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Atom, Point Charge Fonte: Testo (PDF) — p.2

Considerando che le uniche forze che agiscono nel cristallo sono di natura elettrostatica e che tutti gli atomi del cristallo hanno una carica $+ q$ , determina:

a) il modulo di forza elettrica dell’atomo 6 dovuto all’atomo 2;

b) il modulo di forza elettrica dell’atomo 6 dovuto all’atomo 4;

c) il rapporto tra i moduli di forze elettriche dell’atomo 6 a causa dell’atomo 2 e dell’atomo 3.

Utilizzare i parametri della frase ( $d$ , $q$ ) e $K$ come costante di Coulomb.

*Referenza geometrica: * gli atomi 18 sono presenti nelle verte del cubo di bordo $d$ . Distanze rilevanti: atomo 6 all’atomo 2 (aresta) $= d$ ; atomo 6 all’atomo 4 (diagonale facciale) $= d 2$ ; atomo 6 all’atomo 3 (diagonale spaziale) $= d 3$ .

Whereas the only forces acting on the crystal are of an electrostatic nature and all atoms in the crystal have a charge $+ q$ , determine:

(a) the electrical force module in atom 6 due to atom 2;

(b) the module of electrical force in atom 6 due to atom 4;

Use the parameters of the statement ( $d$ , $q$ ) and $K$ as Coulomb constant.

*Geometric reference: * the atoms 18 are at the vertices of the $d$ edge cube. The following distances are relevant: atom 6 to atom 2 (arest) $= d$ ; atom 6 to atom 4 (face diagonal) $= d 2$ ; atom 6 to atom 3 (spatial diagonal) $= d 3$ .

a) Determine o ângulo (em graus) entre o eixo $x$ e a força que atua na carga 2 devido à carga 7.

b) Determine o ângulo (em graus) entre o eixo $y$ e a força que atua na carga 1 devido à carga 7.

(Usar a mesma geometria do cristal cúbico das Questões 1–3.)

a) Determina l’angolo (in gradi) tra l’asse $x$ e la forza che agisce sulla carica 2 a causa della carica 7.

b) Determina l’angolo (in gradi) tra l’asse $y$ e la forza che agisce sulla carica 1 a causa della carica 7.

(Utilizzare la stessa geometria del cristallo cubo delle domande 13.)

(a) Determine the angle (in degrees) between the $x$ axis and the force acting on load 2 due to load 7.

(b) Determine the angle (in degrees) between the $y$ axis and the force acting on load 1 due to load 7.

(Using the same cubic crystal geometry as Question 13.)

Deseja-se empacotar esferas rígidas de mesmo tamanho. Para simplificar o problema de Kepler, considere discos idênticos (por exemplo, moedas de raio $R$ ) e determine a máxima densidade de empacotamento para dois arranjos:

(a) Empacotamento hexagonal — os discos se arranjam em fileiras hexagonais;
(b) Empacotamento quadrado — os discos se arranjam em fileiras quadradas.

Para cada arranjo, calcule a densidade de empacotamento $η$ , definida como a fração da área total ocupada pelos discos.

Dica: No caso hexagonal, a célula primitiva é um losango com lado $2 R$ e ângulo interno $60°$ ; contém o equivalente a 1 disco. No caso quadrado, a célula primitiva é um quadrado de lado $2 R$ ; contém também o equivalente a 1 disco.

$η_{hex} = \frac{π}{2 3} \approx 0, 91 η_{sq} = \frac{π}{4} \approx 0, 79$

Contexto — Difração de Bragg

Em 1912, Max von Laue mostrou que um sólido cristalino pode ser usado como rede de difração para radiação eletromagnética com comprimentos de onda comparáveis à separação entre os íons. W. H. Bragg e W. L. Bragg mostraram que os raios-x se espalham a partir de planos de Bragg paralelos no cristal; o padrão de difração permite determinar a estrutura cristalina.

Topic: Wave Optics, Electrostatics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Sphere, Disk Fonte: Testo (PDF) — p.2

Si desidera imballare sfere rigide della stessa dimensione. Per semplificare il problema di Kepler, considera dischi identici (ad esempio, monete di raggio $R$ ) e determina la densità massima di imballaggio per due arrangiamenti:

(a) **Settimanti ** i dischi sono disposti in file esistenti;
(b) Packing quadrato i dischi sono disposti in file quadrate.

Per ogni sistema calcola densità di imballaggio $η$ , definita come frazione dell’area totale occupata dai dischi.

Dice: Nel caso esagonale, la cellula primaria è una longhezza con lato $2 R$ e angolo interno $60°$ ; contiene l’equivalente di 1 disco. Nel caso quadrato, la cellula primitiva è un quadrato laterale $2 R$ ; contiene anche l’equivalente di 1 disco.

$η_{hex} = \frac{π}{2 3} \approx 0, 91 η_{sq} = \frac{π}{4} \approx 0, 79$

Context Diffrazione di Bragg

Nel 1912 Max von Laue mostrò che un solido cristallino può essere utilizzato come rete di difrazione per radiazioni elettromagnetiche con lunghezze d’onda paragonabili alla separazione tra gli ioni. W. H. Bragg e W. L. Bragg ha mostrato che i raggi x si diffondono da piani di Bragg paralleli nel cristallo; il modello di difrazione permette di determinare la struttura cristallina.

You want to pack rigid spheres of the same size. To simplify the Kepler problem, consider identical disks (e.g. radius coins $R$ ) and determine the maximum packing density for two arrangements:

(a) Hexagonal packaging the discs are arranged in hexagonal rows;
(b) Square packaging the discs are arranged in square rows.

For each arrangement, calculate the packaging density $η$ , defined as the fraction of the total area occupied by the disks.

Tell: In the hexagonal case, the primary cell is a loop with side $2 R$ and inner angle $60°$ ; it contains the equivalent of 1 disk. In the square case, the prime cell is a side square $2 R$ ; it also contains the equivalent of 1 disk.

$η_{hex} = \frac{π}{2 3} \approx 0, 91 η_{sq} = \frac{π}{4} \approx 0, 79$

Context Bragg difference

In 1912, Max von Laue showed that a crystalline solid can be used as a diffraction network for electromagnetic radiation with wavelengths comparable to the separation between ions. W. H. Bragg and W. L. Bragg showed that x-rays spread from parallel Bragg planes in the crystal; the diffraction pattern allows the crystalline structure to be determined.

A figura mostra um arranjo de íons num cristal cúbico de NaCl. As linhas pontilhadas representam as interseções dos planos de Bragg com o plano da folha. Dados:

$r$ = separação entre íons vizinhos (parâmetro de rede);
$d$ = distância entre planos de Bragg consecutivos da família mostrada.

Note que essa família de planos não é a única possível.

Calcule $d$ em função de $r$ .

Topic: Wave Optics Metodi: Physical Modeling, Interference & Diffraction Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Atom Fonte: Testo (PDF) — p.2

La figura mostra un’organizzazione di ioni in un cristallo cubo di NaCl. Le linee puntate rappresentano le intersezioni dei piani Bragg con il piano della foglia. Dati:

$r$ = separazione tra ioni vicini (parametro di rete);
$d$ = distanza tra piani di Bragg consecutivi della famiglia mostrata.

Si noti che questa famiglia di piani non è l’unica possibile.

Calcola $d$ in funzione di $r$ .

The figure shows an arrangement of ions in a cubic crystal of NaCl. The dotted lines represent the intersections of the ** Bragg ** planes with the sheet plane. The data:

$r$ = separation between neighbouring ions (network parameter);
$d$ = distance between consecutive Bragg planes of the family shown.

Note that this family of plans is not the only possible one.

Calculate $d$ as a function of $r$ .

A figura mostra raios-x incidentes e refletidos pelos elétrons nos átomos contidos nos planos de Bragg (separação $d$ entre planos consecutivos). O ângulo de incidência medido em relação ao plano é $θ$ .

a) Calcule a diferença de caminho $\overline{A B C}$ entre os raios refletidos nos dois planos.

b) Para que valores de $θ$ os raios refletidos produzirão interferência construtiva?

Condição de Bragg: interferência construtiva ocorre quando $2 d sin θ = nλ, n = 1, 2, 3, \dots$ onde $λ$ é o comprimento de onda dos raios-x.

Contexto — Futebol (Questões 6–8)

As questões seguintes ligam-se à Copa do Mundo de 2014, realizada no Brasil.

Topic: Wave Optics Metodi: Interference & Diffraction Analysis, Superposition Principle Competenze: Physical Reasoning, Mathematical Modeling Objects: Photon, Electron, Atom Fonte: Testo (PDF) — p.2

La figura mostra i raggi x incidenti e riflessi dagli elettroni negli atomi contenuti nei piani di Bragg (separazione $d$ tra piani consecutivi). L’angolo di incidenza misurato rispetto al piano è $θ$ .

a) Calcolare la differenza di percorso $\overline{A B C}$ tra i raggi riflessi nei due piani.

b) Per quali valori $θ$ i raggi riflessi producono ** interferenza costruttiva **?

Condizione di Bragg: interferenza costruttiva si verifica quando $2 d sin θ = nλ, n = 1, 2, 3, \dots$ dove $λ$ è la lunghezza d’onda dei raggi x.

**Context Calcio (Questioni 68) **

Le seguenti domande riguardano la Coppa del Mondo 2014 tenutasi in Brasile.

The figure shows incident x-rays and reflected by the electrons in the atoms contained in the Bragg planes (separation $d$ between consecutive planes). The angle of incidence measured against the plane is $θ$ .

(a) Calculate the path difference $\overline{A B C}$ between the rays reflected in the two planes.

(b) For what values of $θ$ will the reflected rays produce ** constructive interference **?

Bragg condition:* constructive interference occurs when $2 d sin θ = nλ, n = 1, 2, 3, \dots$ where $λ$ is the wavelength of the x-rays.

**Content Soccer (questions 68) **

The following questions relate to the 2014 World Cup held in Brazil.

Para aperfeiçoar o desempenho dos goleiros, realiza-se o seguinte treinamento: a bola B é colocada em repouso a $5, 00 m$ do goleiro. O treinador chuta a bola A com velocidade $v_{A} = 20 m/s$ , que colide com a bola B. A trajetória do centro da bola A coincide com a tangente à bola B no instante da colisão (ver figura — as bolas têm o mesmo raio).

O treinamento é feito com gramado molhado. Considere:

as bolas não saem do plano do gramado;
atrito desprezível;
colisão elástica entre bolas de mesma massa.

A largura da baliza é $7, 32 m$ (postes a $3, 66 m$ de cada lado do centro).

Calcule em que ponto cada bola cruza a linha do gol e qual a velocidade de cada uma.

Topic: Newtonian Mechanics, Conservation of Momentum, Conservation of Energy Metodi: Conservation of Momentum, Conservation of Energy, Kinematic Equations Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball Fonte: Testo (PDF) — p.3

Para aperfeiçoar o desempenho dos goleiros, realiza-se o seguinte treinamento: a bola B é colocada em repouso a $5, 00 m$ do goleiro. O treinador chuta a bola A com velocidade $v_{A} = 20 m/s$ , que colide com a bola B. Il percorso del centro della palla A coincide con il tangente della palla B all’istante di colpimento (vedere figura le palle hanno lo stesso raggio).

L’allenamento è fatto con erba bagnata. Considerate:

le palle non si allontanano dal piano del prato;
scarica scarsa;
collisione **elastica ** tra palline della stessa massa.

La larghezza della puntata è $7, 32 m$ (postate $3, 66 m$ su ogni lato del centro).

Calcule em que ponto cada bola cruza a linha do gol e qual a velocidade de cada uma.

To improve the performance of the goalkeepers, the following training is carried out: the ball B is put to rest at $5, 00 m$ from the goalkeeper. O treinador chuta a bola A com velocidade $v_{A} = 20 m/s$ , que colide com a bola B. The trajectory of the centre of the ball A coincides with the tangent to the ball B at the instant of collision (see figure the balls have the same radius).

Training is done with wet grass. Consider:

the balls do not move out of the lawn plane;
slight friction;
**elastic ** collision between balls of the same mass.

The width of the bearing shall be $7, 32 m$ (post at $3, 66 m$ on either side of the centre).

Calculate at what point each ball crosses the goal line and what the speed of each one is.

Na Copa do Mundo de 1970 ficou famoso “o gol que Pelé não fez”: no jogo Brasil–Tchecoslováquia em Guadalajara, Pelé chutou de alguns metros atrás da linha central do campo, com o goleiro fora da baliza. A bola passou perto da trave e caiu alguns metros atrás da linha de fundo.

Da análise do vídeo (http://www.youtube.com/watch?v=nNc-YiUzi2g) estima-se que a bola viajou por $t \approx 3 s$ . Do Google Maps estima-se um alcance de $x \approx 60 m$ .

Com esses dados, determine a velocidade inicial $v_{0}$ e o ângulo de lançamento $α$ . Despreze a resistência do ar e considere a trajetória como uma curva plana.

Lembrete: no lançamento oblíquo sem resistência do ar, $x = v_{0} cos α \cdot t, t_{voo} = \frac{2 v _{0} s i n α}{g} .$

Topic: Newtonian Mechanics Metodi: Kinematic Equations, Physical Modeling Competenze: Estimation & Approximation, Mathematical Modeling Objects: Ball, Projectile Fonte: Testo (PDF) — p.3

Na Copa do Mundo de 1970 ficou famoso “o gol que Pelé não fez”: no jogo Brasil–Tchecoslováquia em Guadalajara, Pelé chutou de alguns metros atrás da linha central do campo, com o goleiro fora da baliza. La palla è passata vicino al barello e è caduta a pochi metri dal fondo.

Da análise do vídeo (http://www.youtube.com/watch?v=nNc-YiUzi2g) estima-se que a bola viajou por $t \approx 3 s$ . Google Maps stima una portata di $x \approx 60 m$ .

Con questi dati, determinare la velocità iniziale $v_{0}$ e l’angolo di lancio $α$ . Sprezzare la resistenza dell’aria e considerare la trajectoria come una curva piana.

Ricorda: nel lancio oblique senza resistenza all’aria, $x = v_{0} cos α \cdot t, t_{voo} = \frac{2 v _{0} s i n α}{g} .$

In the 1970 World Cup, “the goal that Pelé did not score” became famous: in the match Brazil Czechoslovakia in Guadalajara, Pelé kicked a few metres behind the centre line of the field, with the goalkeeper out of the goal. The ball passed near the beam and fell a few feet behind the bottom line.

From the video analysis (http://www.youtube.com/watch?v=nNc-YiUzi2g>) it is estimated that the ball traveled by $t \approx 3 s$ . The Google Maps estimate is a range of $x \approx 60 m$ .

With these data, determine the initial speed $v_{0}$ and the launch angle $α$ . Disregard air resistance and consider trajectory as a flat curve.

*Remember: * in the oblique launch without air resistance, $x = v_{0} cos α \cdot t, t_{voo} = \frac{2 v _{0} s i n α}{g} .$

Para que uma bola de futebol seja aprovada pela federação, a perda de pressão deve ser no máximo $20%$ em $72 h$ , partindo de uma pressão manométrica de $p_{0} = 0, 8 bar$ ao nível do mar.

Suponha que o interior da bola contenha um gás ideal a temperatura constante, mas com o volume que varia $3%$ (aumento) devido à perda de ar.

Que fração máxima $Δ n / n_{0}$ de gás (em moles) pode ser liberada da bola para que ela ainda seja aprovada pela federação?

Dica: pela lei dos gases ideais a temperatura constante (lei de Boyle), $p V = n R T$ . Após a perda de gás: $p_{f} V_{f} = n_{f} R T$ , com $p_{f} \geq 0, 8 p_{0}$ e $V_{f} = 1, 03 V_{0}$ .

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

Per ottenere l’approvazione della federazione di una palla da calcio, la perdita di pressione **** deve essere massima di $20%$ in $72 h$ partendo da una pressione manometrica di $p_{0} = 0, 8 bar$ a livello del mare.

Supponiamo che l’interno della palla contenga un gas ideale alla temperatura costante, ma con un volume variabile $3%$ (aumento) a causa della perdita di aria.

Que fração máxima $Δ n / n_{0}$ de gás (em moles) pode ser liberada da bola para que ela ainda seja aprovada pela federação?

*Dice: * dalla legge dei gas ideali a temperatura costante (legge di Boyle), $p V = n R T$ . Dopo la perdita di gas: $p_{f} V_{f} = n_{f} R T$ , con $p_{f} \geq 0, 8 p_{0}$ e $V_{f} = 1, 03 V_{0}$ .

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

For a football to be approved by the Federation, the **pressure loss ** shall be at most $20%$ in $72 h$ , starting from a pressure of $p_{0} = 0, 8 bar$ at sea level.

Suponha que o interior da bola contenha um gás ideal a temperatura constante, mas com o volume que varia $3%$ (aumento) devido à perda de ar.

Que fração máxima $Δ n / n_{0}$ de gás (em moles) pode ser liberada da bola para que ela ainda seja aprovada pela federação?

*Tell: * by the law of the ideal gases at constant temperature (Boyle’s law), $p V = n R T$ . After gas loss: $p_{f} V_{f} = n_{f} R T$ , with $p_{f} \geq 0, 8 p_{0}$ and $V_{f} = 1, 03 V_{0}$ .

Topic: Thermodynamics Metodi: Ideal Gas Law, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Ball, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

Raccolta Gare di Fisica

Esplora

OBF 2014 'III'

Vista grafico