OBF 2014

ANÁLISE ESTÁTICA — PARTE I

Um oscilador massa-mola em equilíbrio sob a ação da gravidade é utilizado nesta prova. Na mola atua uma força restauradora contrária e diretamente proporcional à sua distensão (Lei de Hooke). Para uma mola real pré-tensionada, o módulo da força é:

$F=k(x-x_0)$

válida apenas para $x>x_0$, onde $k$ é a constante de mola, $x$ é a distensão e $x_0$ é o comprimento físico inicial. Em equilíbrio vertical com uma massa $m$ na extremidade: $F=mg$, com $g=10{\text{ m/s}}^2$.

a) Meça o comprimento inicial $x_0$ para cada uma das molas e indique o resultado em cm. Identifique as molas como MOLA 1 e MOLA 2.

b) Monte o kit experimental de acordo com o esquema. Para cada mola, meça o valor da distensão $x$ (em cm) colocando uma arruela de cada vez até completar as quatro. Anote os valores numa tabela com as colunas:

Massa (gramas)	$x_1$ (cm) — Mola 1	$x_2$ (cm) — Mola 2

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

ANALISSO STATICO PARTE I

Un oscillatore di massa-mola in equilibrio sotto l’azione della gravità è utilizzato in questa prova. La molla ha una forza di ripristino contraria e direttamente proporzionale alla sua distesa (legge di Hooke). Per una molla reale prematuramente tensa, il modulo di forza è:

$F=k(x-x_0)$

vale solo per $x>x_0$, dove $k$ è la costante di molla, $x$ è la densità e $x_0$ è la lunghezza fisica iniziale. In verticale equilibrio con una massa $m$ all’estremità: $F=mg$, con $g=10{\text{ m/s}}^2$.

a) Misura la lunghezza iniziale $x_0$ per ciascuna molla e indica il risultato in cm. Identifica le molle come MOLA 1 e MOLA 2.

b) montare il kit di prova secondo lo schema. Per ogni mola misurare il valore di distenza $x$ (in cm) inserendo una ruola a volta fino a completare le quattro. Nota i valori in una tabella con le colonne:

Massa (gramas)	$x_1$ (cm) — Mola 1	$x_2$ (cm) — Mola 2

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

ANÁLISE ESTÁTICA — PARTE I

A mass-moll oscillator in equilibrium under the action of gravity is used in this test. The spring has a restorative force that is directly proportional to its density (Hooke’s Law). For a real pre-tensioned spring, the force module is:

$F=k(x-x_0)$

válida apenas para $x>x_0$, onde $k$ é a constante de mola, $x$ é a distensão e $x_0$ é o comprimento físico inicial. In vertical equilibrium with a mass $m$ at the end: $F=mg$, with $g=10{\text{ m/s}}^2$.

(a) Measure the initial length $x_0$ for each spring and indicate the result in cm. Identify the springs as MOLA 1 and MOLA 2.

(b) Mount the experimental kit according to the scheme. For each spring, measure the dimension $x$ (in cm) by placing a routine at a time until the four are completed. Write the values in a table with columns:

Massa (gramas)	$x_1$ (cm) — Mola 1	$x_2$ (cm) — Mola 2

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

ANÁLISE ESTÁTICA — PARTE II

Com os resultados obtidos na tabela da Parte I, monte dois gráficos, um para cada mola, da massa total $m$ na extremidade como função da distensão $x$. Trace a reta que melhor representa os pontos em cada gráfico.

Para cada mola, obtenha a partir da análise gráfica os valores de $k$ e $x_0$. Apresente:

• o valor da constante de mola $k$ em $\text{N/m}$;
• os valores do comprimento livre $x_0$ em centímetros.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

ANALISSO STATICO PARTE II

Con i risultati ottenuti nella tabella di parte I, montare due grafici, uno per ogni mola, della massa totale $m$ all’estremità a funzione della densità $x$. Traccia la linea che meglio rappresenta i punti in ogni grafico.

Per ciascuna mola, si ottengono dai dati grafici i valori $k$ e $x_0$. Presente:

• il valore della costante di molla $k$ in $\text{N/m}$;
• i valori della lunghezza libera $x_0$ in centimetri.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

STATIC ANALYSIS — PART II

Using the results obtained in the table from Part I, plot two graphs, one for each spring, of the total mass $m$ at the end as a function of the extension $x$. Draw the line that best represents the points in each graph.

For each spring, obtain from the graphical analysis the values of $k$ and $x_0$. Present:

• the value of the spring constant $k$ in $\text{N/m}$;
• the values of the free length $x_0$ in centimeters.

ANÁLISE DINÂMICA — PARTE III

Caso o sistema massa-mola seja retirado do equilíbrio, ele começará a oscilar periodicamente em torno do ponto de equilíbrio. O comportamento pode ser representado por uma função harmônica dependente do tempo $t$:

$x(t)-x_{eq}=A\cos (\omega t)$

onde $x_{eq}$ é a posição de equilíbrio, $A$ é a amplitude máxima de oscilação, $\omega =2\pi f$ é a frequência angular, com $f=1/T$ a frequência e $T$ o período de uma oscilação.

Coloque as quatro arruelas na extremidade de uma das molas. A partir do ponto de equilíbrio, desloque-o de no máximo 2 cm e observe a oscilação do sistema.

a) Meça o tempo total que o sistema demora a realizar 50 oscilações. Repita o procedimento 5 vezes e indique os valores numa tabela. Para cada valor da tabela, obtenha o valor de um período de oscilação e indique-o em segundos com dois algarismos significativos após a vírgula. Repita o mesmo procedimento para a outra mola.

b) Para cada mola, calcule o período médio de oscilação $\bar{T}$. Apresente o resultado em segundos com dois algarismos significativos depois da vírgula. Com o valor do período médio calcule o valor da frequência $f$ em Hz para ambas as molas (com um algarismo significativo depois da vírgula).

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Experimental Data Analysis, Statistical Averaging Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Significant Figures Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

ANALISSO DINAMICO PARTE III

Se il sistema massa-mola viene tolto dall’equilibrio, inizierà a oscillare periodicamente intorno al punto di equilibrio. Il comportamento può essere rappresentato da una funzione armonica a seconda del tempo $t$:

$x(t)-x_{eq}=A\cos (\omega t)$

in cui $x_{eq}$ è la posizione di equilibrio, $A$ è la massima amplitude di oscillazione, $\omega =2\pi f$ è la frequenza angolare, con $f=1/T$ la frequenza e $T$ il periodo di una oscillazione.

Metti le quattro ruole alla fine di una delle sorgenti. Dal punto di equilibrio, spostalo di non più di 2 cm e osserva l’oscillazione del sistema.

a) Misura il tempo totale necessario per realizzare 50 oscillazioni. Ripetete la procedura 5 volte e indicate i valori in una tabella. Per ogni valore della tabella, ottenere il valore di un periodo di oscillazione e indicare in secondi con due algarismi significativi dopo la comma. Ripeti la stessa procedura per l’altra mola.

b) Calcolare per ogni molla il periodo di oscillazione medio $\bar{T}$. Presenta il risultato in secondi con due significativi algarismi dopo la comma. Con il valore del periodo medio calcola il valore della frequenza $f$ in Hz per entrambe le molle (con un’algoritmo significativo dopo la comma).

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Experimental Data Analysis, Statistical Averaging Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Significant Figures Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

DYNAMIC ANALYSIS — PART III

If the mass-spring system is displaced from equilibrium, it will begin to oscillate periodically around the equilibrium point. The behavior can be represented by a time-dependent harmonic function $t$:

$x(t)-x_{eq}=A\cos (\omega t)$

where $x_{eq}$ is the equilibrium position, $A$ is the maximum oscillation amplitude, $\omega =2\pi f$ is the angular frequency, with $f=1/T$ the frequency and $T$ the period of one oscillation.

Place the four washers at the end of one of the springs. From the equilibrium point, displace it by at most 2 cm and observe the oscillation of the system.

a) Measure the total time the system takes to perform 50 oscillations. Repeat the procedure 5 times and record the values in a table. For each value in the table, obtain the value of one oscillation period and record it in seconds with two significant digits after the decimal point. Repeat the same procedure for the other spring.

b) For each spring, calculate the average oscillation period $\bar{T}$. Present the result in seconds with two significant digits after the decimal point. Using the average period value, calculate the frequency value $f$ in Hz for both springs (with one significant digit after the decimal point).

ANÁLISE DINÂMICA — PARTE IV

No oscilador massa-mola, o valor da frequência $f$ é dado pela expressão:

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

Use ${\pi }^2\approx 10$ e calcule, com os resultados obtidos na Parte III, o valor de $k$ para cada mola em $\text{N/m}$. Compare os valores com os obtidos na Parte II.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.4

ANALISSO DINAMICO PARTE IV

Per l’oscillatore massa mola, il valore di frequenza $f$ è dato dall’espressione:

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

Utilizza ${\pi }^2\approx 10$ e calcola, con i risultati ottenuti in Parte III, il valore di $k$ per ogni mola in $\text{N/m}$. Confronta i valori con quelli ottenuti nella Parte II.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.4

DYNAMIC ANALYSIS — PART IV

In the mass-spring oscillator, the value of the frequency $f$ is given by the expression:

$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$

Use ${\pi }^2\approx 10$ and calculate, with the results obtained in Part III, the value of $k$ for each spring in $\text{N/m}$. Compare the values with those obtained in Part II.