OBF 2014

ANÁLISE ESTÁTICA — PARTE I

Um oscilador massa-mola em equilíbrio sob a ação da gravidade é utilizado nesta prova. Na mola atua uma força restauradora contrária e diretamente proporcional à sua distensão $x$ . Esta propriedade da mola é conhecida como lei de Hooke. O módulo da força é representado por:

$F = k \cdot x$

sendo $k$ a constante de mola.

Numa mola real pré-tensionada surge uma força $F_{0}$ necessária para que a distensão seja maior que o comprimento físico inicial $x_{0}$ . Nestas condições a lei de Hooke é:

$F = k (x - x_{0})$

válida apenas para $x > x_{0}$ . Em equilíbrio vertical com massa $m$ na extremidade: $F = m g$ , com $g = 10 m/s^{2}$ .

a) Meça o comprimento inicial $x_{0}$ para cada uma das molas e indique o resultado em cm. Identifique as molas como MOLA 1 e MOLA 2 (use esta nomenclatura para todos os procedimentos seguintes).

b) Monte o seu kit experimental de acordo com o esquema. Para cada mola (uma de cada vez) montada na extremidade da haste meça o valor da distensão $x$ (em cm) colocando uma arruela de cada vez até completar as quatro. Anote os valores numa tabela similar à indicada abaixo no caderno de resoluções:

Massa (gramas)	$x_{1}$ (cm) — Mola 1	$x_{2}$ (cm) — Mola 2

Mass-spring oscillator in vertical equilibrium

Force vs. extension graph for pre-tensioned spring

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Free-Body Diagram, Experimental Data Analysis Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

**ANALISSO STATICO PARTE I **

Un oscillatore di massa-mola in equilibrio sotto l’azione della gravità è utilizzato in questa prova. La molla ha una forza di ripristino contraria e direttamente proporzionale alla sua densità $x$ . Questa proprietà della mola è conosciuta come legge di Hooke. Il modulo di forza è rappresentato da:

$F = k \cdot x$

il $k$ è la costante di molla.

In una mola reale prematuramente tensa si produce una forza $F_{0}$ necessaria per far superare la densità la lunghezza fisica iniziale $x_{0}$ . In queste condizioni la legge di Hooke è:

$F = k (x - x_{0})$

validità solo per $x > x_{0}$ . In verticale equilibrio con massa $m$ all’estremità: $F = m g$ , con $g = 10 m/s^{2}$ .

a) Misura la lunghezza iniziale $x_{0}$ per ciascuna molla e indica il risultato in cm. Identificare le molle come MOLA 1 e MOLA 2 (utilizza questa nomenclatura per tutte le procedure successive).

b) montare il suo kit di prova in base al schema. Per ogni mola (una a volta) montata all’estremità della canna misurate il valore della densità $x$ (in cm) inserendo una ruola a volta fino a completare le quattro. Nota i valori in una tabella simile a quella riportata sotto nel libretto di risoluzioni:

Massa (gramas)	$x_{1}$ (cm) — Mola 1	$x_{2}$ (cm) — Mola 2

Oscillatore a mass-spring in vertical equilibrium

Force vs. per la prima volta di un’operazione di pre-tensioned spring

ANÁLISE ESTÁTICA — PARTE I

A mass-moll oscillator in equilibrium under the action of gravity is used in this test. The spring has a restorative force directly proportional to its density $x$ . This property of the spring is known as Hooke’s law. The force module is represented by:

$F = k \cdot x$

where $k$ is the spring constant.

In a pre-tensioned real spring a force $F_{0}$ is applied to make the density greater than the initial physical length $x_{0}$ . Under these conditions Hooke’s law is:

$F = k (x - x_{0})$

only valid for $x > x_{0}$ . In vertical equilibrium with mass $m$ at the end: $F = m g$ , with $g = 10 m/s^{2}$ .

(a) Measure the initial length $x_{0}$ for each spring and indicate the result in cm. Identify the springs as MOLA 1 and MOLA 2 (use this nomenclature for all subsequent procedures).

(b) Mount your experimental kit according to the scheme. For each spring (one at a time) mounted on the end of the rod measure the density $x$ (in cm) by placing a row at a time until the four are completed. Write down the values in a table similar to the one shown below in the Resolution Book:

Massa (gramas)	$x_{1}$ (cm) — Mola 1	$x_{2}$ (cm) — Mola 2

Mass-spring oscillator in vertical equilibrium

Force vs. extension graph for pre-tensioned spring

ANÁLISE ESTÁTICA — PARTE II

Com os resultados obtidos na tabela da Parte I monte dois gráficos, um para cada mola, da massa total $m$ na extremidade como função da distensão $x$ . Trace a reta que melhor representa os pontos em cada gráfico.

Para cada mola obtenha a partir da análise gráfica os valores de $k$ e $x_{0}$ . Apresente:

o valor da constante de mola $k$ em $N/m$ ;
os valores do comprimento livre $x_{0}$ em centímetros.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Hooke’s Law, Graph Linearization, Experimental Data Analysis Competenze: Graph Linearization, Experimental Data Analysis, Mathematical Modeling Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

ANALISSO STATICO PARTE II

Con i risultati ottenuti nella tabella di parte I, montare due grafici, uno per ogni mola, del totale $m$ nella punta in funzione della densità $x$ . Traccia la linea che meglio rappresenta i punti in ogni grafico.

Per ogni mola si ottengono dagli analisi grafiche i valori $k$ e $x_{0}$ . Presente:

il valore della costante di molla $k$ in $N/m$ ;
i valori della lunghezza libera $x_{0}$ in centimetri.

The following information is provided by the Commission on the basis of the information provided by the Member States:

With the results obtained in the table in Part I, set up two graphs, one for each spring, of the total mass $m$ at the end as a function of the density $x$ . Draw the straight line that best represents the points on each graph.

For each spring, obtain from the graph analysis the values of $k$ and $x_{0}$ . The present:

the value of the spring constant $k$ at $N/m$ ;
the values of the free length $x_{0}$ in centimetres.

ANÁLISE DINÂMICA — PARTE III (a e b)

Caso o sistema massa-mola seja retirado do equilíbrio, ele começará a oscilar periodicamente em torno do ponto de equilíbrio. O comportamento pode ser representado por uma função harmônica dependente do tempo $t$ :

$x (t) - x_{e q} = A \cdot cos (ω t)$

onde $x_{e q}$ é a posição de equilíbrio, $A$ é a amplitude máxima de oscilação, $ω = 2 π f$ é a frequência angular, com $f = 1/ T$ a frequência e $T$ o período de uma oscilação.

Coloque as quatro arruelas na extremidade de uma das molas. A partir do ponto de equilíbrio, desloque-o de no máximo 2 cm e observe a oscilação do sistema.

a) Meça o tempo total que o sistema demora em realizar 50 oscilações. Repita o procedimento 5 vezes e indique os valores numa tabela. Para cada valor da tabela obtenha o valor de um período de oscilação e o indique em segundos com dois algarismos significativos após a vírgula. Repita o mesmo procedimento para a outra mola.

b) Para cada mola calcule o período médio de oscilação $\overset{ˉ}{T}$ . Apresente o resultado em segundos com dois algarismos significativos depois da vírgula. Com o valor do período médio calcule o valor da frequência $f$ em Hz para ambas as molas (com um algarismo significativo depois da vírgula).

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Experimental Data Analysis, Statistical Averaging Competenze: Measurement & Instrumentation, Experimental Data Analysis, Significant Figures Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

**ANALISSO DINAMICO PARTE III (a) e (b) **

Se il sistema massa-mola viene tolto dall’equilibrio, inizierà a oscillare periodicamente intorno al punto di equilibrio. Il comportamento può essere rappresentato da una funzione armonica a seconda del tempo $t$ :

$x (t) - x_{e q} = A \cdot cos (ω t)$

in cui $x_{e q}$ è la posizione di equilibrio, $A$ è la massima amplitude di oscillazione, $ω = 2 π f$ è la frequenza angolare, con $f = 1/ T$ la frequenza e $T$ il periodo di una oscillazione.

Metti le quattro ruole alla fine di una delle sorgenti. Dal punto di equilibrio, spostalo di non più di 2 cm e osserva l’oscillazione del sistema.

a) Misura il tempo totale necessario per realizzare 50 oscillazioni. Ripetete la procedura 5 volte e indicate i valori in una tabella. Per ogni valore della tabella, ottieni il valore di un periodo di oscillazione e indica in secondi con due algarismi significativi dopo la comma. Ripeta la stessa procedura per l’altra mola.

b) Calcolare per ogni mola il periodo di oscillazione medio $\overset{ˉ}{T}$ . Presenta il risultato in secondi con due significativi algarismi dopo la comma. Con il valore del periodo medio calcola il valore della frequenza $f$ in Hz per entrambe le molle (con un’algoritmo significativo dopo la comma).

The following information is provided by the Commission to the Member States:

If the mass-mole system is removed from equilibrium, it will begin to periodically oscillate around the equilibrium point. The behaviour may be represented by a time-dependent harmonic function $t$ :

$x (t) - x_{e q} = A \cdot cos (ω t)$

where $x_{e q}$ is the equilibrium position, $A$ is the maximum oscillation amplitude, $ω = 2 π f$ is the angular frequency, with $f = 1/ T$ the frequency and $T$ the period of an oscillation.

Put the four rows at the end of one of the springs. From the equilibrium point, move it by no more than 2 cm and observe the oscillation of the system.

(a) Measure the total time it takes the system to perform 50 oscillations. Repeat the procedure 5 times and indicate the values in a table. For each value in the table, get the value of a period of oscillation and indicate it in seconds with two significant algebraic numbers after the comma. Repeat the same procedure for the other spring.

(b) For each spring calculate the average oscillation period $\overset{ˉ}{T}$ . Present the result in seconds with two significant algebraic terms after the comma. With the mean period value calculate the frequency $f$ in Hz for both springs (with a significant algebra after the comma).

ANÁLISE DINÂMICA — PARTE III (c)

No oscilador massa-mola o valor da frequência $f$ é dado pela expressão:

$f = \frac{1}{2 π} \frac{k}{m}$

Use $π^{2} \approx 10$ e, com os resultados obtidos na Parte III, calcule o valor de $k$ para cada mola em $N/m$ . Compare os valores com os obtidos na Parte II.

Topic: Oscillations & Waves, Newtonian Mechanics Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Hooke’s Law, Experimental Data Analysis Competenze: Mathematical Modeling, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

**ANALISSO DINAMICO PARTE III (c) **

L’oscillatore di massa mola dà il valore della frequenza $f$ con l’espressione:

$f = \frac{1}{2 π} \frac{k}{m}$

Utilizza $π^{2} \approx 10$ e, con i risultati ottenuti in Parte III, calcola il valore di $k$ per ogni mola in $N/m$ . Confronta i valori con quelli ottenuti nella parte II.

The Commission shall, by means of implementing acts, adopt delegated acts in accordance with Article 21 of Regulation (EC) No 1272/2001.

In the mass-mole oscillator the frequency value $f$ is given by the expression:

$f = \frac{1}{2 π} \frac{k}{m}$

Use $π^{2} \approx 10$ and, with the results obtained in Part III, calculate the value of $k$ for each spring in $N/m$ . Compare the figures with those obtained in Part II.

ANÁLISE DA PERDA DE ENERGIA — PARTE IV

A energia elástica total acumulada na mola é representada como:

$E = \frac{1}{2} k A^{2}$

Use a mola com o menor valor de $k$ com quatro arruelas e inicie o movimento oscilatório (use a máxima amplitude que puder, chegando a tocar as arruelas na base no início). Supondo que a perda de energia elástica é constante por período, faça uma estimativa da perda de energia do oscilador por período. Represente o seu resultado em $mJ$ .

Topic: Oscillations & Waves, Conservation of Energy Metodi: Simple Harmonic Motion Analysis, Energy Conservation Method, Experimental Data Analysis Competenze: Estimation & Approximation, Experimental Data Analysis, Physical Reasoning Objects: Spring Fonte: Testo (PDF) — p.3

ANALISSO DELLA PERDITA’ ENERGIA PARTE IV

La capacità di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del volume di calcolo del calcolo di calcolo del volume di calcolo del calcolo di calcolo del calcolo di calcolo del calcolo di calcolo di calcolo del calcolo di calcolo di calcolo del calcolo di calcolo di calcolo del calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo del calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcolo di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di calcio di cal

$E = \frac{1}{2} k A^{2}$

Utilizzare la mola con il minimo valore di $k$ con quattro ruole e avviare il movimento oscillatorio (utilizzare l’ampiezza massima possibile, arrivando a toccare le ruole alla base all’inizio). Supponendo che la perdita di energia elastica sia costante per periodo, si calcola la perdita di energia dell’oscillato per periodo. Indicare il risultato in $mJ$ .

The energy loss analysis is based on the energy loss analysis of the energy loss analysis.

The total elastic energy accumulated in the spring is represented as:

$E = \frac{1}{2} k A^{2}$

Use the spring with the lowest value of $k$ with four rows and start the oscillatory motion (use the maximum amplitude you can, reaching the rows at the base at the beginning). Assuming that the elastic energy loss is constant per period, estimate the oscillator energy loss per period. The result shall be expressed in $mJ$ .

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