Brasil 2012

Questão 1 (20 pontos) – Uma vagão de trem pode movimentar‐se por um trilho sem atrito. Este vagão tem massa M e encontra‐se inicialmente em repouso. Sob este vagão estão N pessoas (cada uma com massa m), inicialmente em repouso. a) (5 pontos) Considere o caso em que todas as N pessoas correm ao mesmo tempo até o final do vagão até atingirem a velocidade V1. No mesmo ponto todos pulam de uma vez para fora do trem. Calcule a velocidade que o vagão adquire após o pulo coletivo com relação a um referencial situado no chão. b) (10 pontos) Considere agora o caso em que uma pessoa pula para fora do vagão do trem de cada vez. Nesta situação uma pessoa corre até o final do vagão, adquirindo velocidade V2 para então pular, enquanto todas as outras permanecem em repouso. Uma após a outra repetem o procedimento anterior até que todas pulam para foram do vagão. Determine a velocidade final do vagão nesta situação. c) (5 pontos) Mostre em que situação anterior (itens (a) e (b)) a velocidade final do vagão (V2 e V1) é maior.

Topic: Conservation of Momentum, Newtonian Mechanics Metodi: Conservation of Momentum, Conservation Laws, Physical Modeling Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Cart Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 1 (20 punti) Un vagone ferroviario può muoversi su un binario senza attrito. Questo vagone ha una massa M e si trova inizialmente a riposo. Sotto questo vagone ci sono N Persone (ogni una massa m), inizialmente a riposo. (a) (5 punti) Considerare il caso in cui tutte le N persone corrono contemporaneamente fino a il termine del vagone fino a raggiungere la velocità V1. All’interno di un’unica stanza, tutti saltiamo da una

E’ il mio primo giorno. Calcola la velocità che il vagone acquista dopo il salto collettivo rispetto a un punto di riferimento situato sul pavimento. b) (10 punti) Considerate ora il caso in cui una persona salta fuori dal vagone del treno ogni volta. In questa situazione una persona corre fino alla fine del vagone, acquisendo V2 velocità per poi saltare, mentre tutte le altre restano a riposo. Ripetono il procedimento precedente uno dopo l’altro fino a quando non si salteranno tutti.
Il vagone. Determina la velocità finale del vagone in questa situazione. (c) (5 punti) Indicare in che situazione precedente (punti (a) e (b)) la velocità finale del Vagnone (V2 e V1) è più grande.

Question 1 (20 points) A train car can move on a track without friction. This carriage has a mass of M and is initially at rest. Under this car there are N People (each with mass m), initially at rest. (a) (5 points) Consider the case where all N people run at the same time until the the end of the carriage until they reach V1 speed. At the same point, everyone jumps from a Get out of the train. Calculate the speed the wagon gains after the collective jump relative to a reference point on the ground. (b) (10 points) Consider now the case where a person jumps out of the carriage of the train at a time. In this situation, a person runs to the end of the car, acquiring V2 speed to then jump, while all the others remain at rest. One by one they repeat the previous procedure until they all jump to their feet.

The car. Determine the final speed of the car in this situation. (c) (5 points) Show in what previous situation (item (a) and (b)) the final speed of the The wagon (V2 and V1) is larger.

Questão 2 – (30 pontos) ‐ Uma nuvem esférica contendo N (N>>1) átomos de Hidrogênio (H) encontra‐se no espaço livre. Nenhuma força atua nesta nuvem a não ser a força gravitacional entre os átomos de H. Cada átomo de H tem massa m, estes estão em equilíbrio térmico a certa temperatura T. Neste sistema existe um raio crítico médio em que a força de gravidade compensa a força exercida pela pressão térmica, fazendo com que a nuvem colapse. Use k como constante de Boltzmann e G como a constante Universal da Gravitação. a) (10 pontos) Determine a força exercida pela pressão térmica do gás para uma nuvem esférica de médio r. b) (10 pontos) Qual é a força gravitacional exercida num átomo de H a uma distancia r do centro da nuvem esférica. c) (10 pontos) Determine o raio mínimo para que a nuvem de gás não colapse. Considere neste caso uma nuvem esférica de raio r, divida esta em duas partes iguais separadas (centro de massa) por uma distancia igual a r.

Topic: Gravitation, Thermodynamics, Kinetic Theory Metodi: Ideal Gas Law, Kinetic Theory of Gases, Newton’s Law of Gravitation Competenze: Mathematical Modeling, Physical Reasoning Objects: Atom, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 2 (30 punti) ‐ Nuvola sferica contenente N (N>>1) atomi di idrogeno (H) si trova in un spazio libero. Nessuna forza agisce in questo nuvo se non la forza gravitazionale tra gli atomi di H. Ogni atomo di H ha massa m, questi sono in equilibrio termico a una certa temperatura T. In questo sistema esiste un raggio critico medio in cui la forza di gravità compensa la forza esercitata dalla pressione termica, causando il collasso della nuvola. Utilizzare k come costante di Boltzmann e G come costante universale di Gravità. a) (10 punti) Determina la forza esercitata dalla pressione termico del gas verso una nuvola di media r. b) (10 punti) Qual è la forza gravitazionale esercitata su un atomo di H a r distanza da centro della nuvola sferica. c) (10 punti) Determina il minimo raggio per evitare il collasso del nubo di gas. Considerate In questo caso una nuvola sferica di raggio r, divisa in due parti uguali separate (centro di massa) per una distanza uguale a r.

Question 2 (30 points) ‐ A spherical cloud containing N (N>>1) hydrogen atoms (H) It is in the open space. No force acts in this cloud except gravitational force. between the H atoms. Each H atom has a mass m, these are in thermal equilibrium at a certain temperature T. In this system there is a critical average radius where the force of gravity It compensates for the force exerted by the heat pressure, causing the cloud to collapse. Use k as Boltzmann’s constant and G as the Universal Gravitational constant. (a) (10 points) Determine the force exerted by the thermal pressure of the gas to a cloud medium sphere r. (b) (10 points) What is the gravitational force exerted on an H atom at a distance r from the the center of the spherical cloud. (c) (10 points) Determine the minimum radius so that the gas cloud does not collapse. Consider In this case, a spherical cloud of radius r, divided into two equal parts separated (mass centre) by a distance equal to r.

Questão 3 (20 pontos) ‐ De acordo com a Teoria Geral da Relatividade, um Buraco Negro (indicado a partir de agora pela sigla BN) é uma região do espaço da qual nada, nem mesmo a luz, pode escapar. Este é o resultado da deformação do espaço‐tempo causado por uma fonte altamente massiva e compacta. Um BN é limitado pela superfície denominada horizonte de eventos, que marca a região a partir da qual nem a luz pode escapar. Consideremos um BN de massa M. a) (10 pontos) Determine o raio clássico da região de eventos conhecido como raio de Schwarzschild. Use G = constante universal da Gravitação; c = velocidade da Luz e suponha que um fóton de luz (uma partícula quantizada do campo eletromagnético) tem uma massa m. b) (10 pontos) Considere um conjunto de N (N>>1) buracos negros idênticos de massa M uniformemente distribuídos numa região cúbica de uma galáxia num volume 3L V = sendo que estes possuem velocidades relativas que podem ser desconsideradas. Mostre que este conjunto de buracos negros não pode ser tão denso que a distancia média típica entre dois BN 3

próximos é da ordem do raio de Schwarzschild e faça uma estimativa da densidade máxima de BN para que estes ainda sejam BN independentes.

Topic: Gravitation, Astrophysics Metodi: Energy Conservation Method, Newton’s Law of Gravitation, Order-of-Magnitude Estimation Competenze: Mathematical Modeling, Estimation & Approximation Objects: Black Hole, Photon Fonte: Testo (PDF) — p.2

Domanda 3 (20 punti) ‐ Secondo la teoria generale della relatività, un buco nero (indicato da questo punto di vista dalla sigla BN) è una regione dello spazio di cui nulla, né

La luce, può scappare. Questo è il risultato della distorsione dello spazio-tempo causata da una fonte molto massiccia e compatta. Una BN è limitata dalla superficie denominata orizzonte di eventi che segnano la regione da cui non può sfuggire nemmeno la luce. Considerate un BN di massa M. a) (10 punti) Determina il raggio classico della regione di eventi conosciuta come raggio di Schwarzschild. Utilizzare G = costante universale di Gravità; c = velocità di luce e supponiamo che un fotone di luce (una particella quantizzata del campo elettromagnetico) ha una massa m. b) (10 punti) Considera un insieme di N (N>>1) identici buchi neri di massa M distribuiti uniformemente in una regione cubica di una galassia in volume 3L V = essendo che questi possano velocità relative che possono essere trascurate. Mostra che questo un insieme di buchi neri non può essere così denso che la distanza media tipica tra due BN 3

prossimo è dell’ordine di raggio di Schwarzschild e fa una stima della densità massima di BN, in modo che questi siano ancora BN indipendenti.

Question 3 (20 points) ‐ According to the General Theory of Relativity, a black hole (hereinafter referred to as BN) is a region of space from which nothing, not even the Light, you can escape. This is the result of the distortion of space-time caused by a source Highly massive and compact. A BN is bounded by the surface called the horizon of events, which mark the region from which not even light can escape. Consider a BN of mass M. (a) (10 points) Determine the classical radius of the event region known as the radius of Schwarzschild. What is it? Use G = universal gravitational constant; c = speed of light and suppose that a photon of light (a quantized particle of the electromagnetic field) has a mass m. (b) (10 points) Consider a set of N (N>>1) identical black holes of mass M uniformly distributed over a cubic region of a galaxy in volume 3L V = being The speed of the vehicle is not sufficient to ensure that the vehicle is capable of operating at a speed of less than 10 km/h. Show that this set of black holes cannot be so dense that the typical average distance between two BN 3

next to the Schwarzschild radius and estimate the maximum density of BN so that these are still independent BN.

Questão 4 (30 pontos) ‐ O ciclo térmico reversível A D C B A $\to$ $\to$ $\to$ $\to$ abaixo representado no diagrama Entropia‐Pressão (S‐P) é denominado de máquina térmica de Brayton. Entre A D $\to$ o gás ideal é aquecido a pressão constante absorvendo uma quantidade de calor QDA. Entre C B $\to$ o gás ideal é resfriado a pressão constante liberando uma quantidade de calor QBC. O trabalho realizado no ciclo completo é denominado por WABCD. A eficiência da máquina térmica é definida pela razão DA ABCD Q W / . Assuma que CP e CV são as capacidades térmicas (independentes) do gás ideal a temperatura e volume constante. A B C D Pressão(P) Entropia(S) PC PD

A. (10 pontos) – Faça o diagrama do ciclo no diagrama PV (pressão volume);
B. (20 pontos) ‐ Calcule a eficiência da máquina térmica em função de CP e CV e da razão D C P P / ;

Topic: Thermodynamics Metodi: Thermodynamic Cycle Analysis, First Law of Thermodynamics, Ideal Gas Law Competenze: Mathematical Modeling, Diagrammatic Reasoning Objects: Heat Engine, Gas Fonte: Testo (PDF) — p.3

Domanda 4 (30 punti) ‐ Il ciclo termico reversibile A D C B A $\to$ $\to$ $\to$ $\to$ Sotto Il diagramma Entropia-Pressione (S-P) è denominato macchina termico di Brayton. Entrate A D $\to$ il gas ideale è riscaldato a pressione costante assorbendo una quantità di calore QDA. Entrate C B $\to$ il gas ideale è raffreddato alla pressione costante rilasciando una quantità di calore QBC. Il lavoro svolto nel ciclo completo è denominato WABCD. L’efficienza della macchina termico è definita dalla ragione DA Codice di cui al paragrafo 1 W / . Assume che il CP e il CV siano le capacità termiche (indipendenti) del gas a temperatura e volume costanti. A B C D Presione Entropia (S) PC PD

A. (10 punti) Sviluppa il diagramma del ciclo sul diagramma PV (volume di pressione);
B. (20 punti) ‐ Calcola l’efficienza della macchina termico a funzione di CP e CV e del rapporto D C P P / ;

Question 4 (30 points) - The reversal heat cycle A D C B A $\to$ $\to$ $\to$ $\to$ Down The entropy-pressure (S-P) diagram is called a thermal machine of I’m not going to tell you. Get in . A D $\to$ The ideal gas is heated at constant pressure by absorbing a QDA heat quantity. Get in . C B $\to$ The ideal gas is cooled to constant pressure releasing a quantity of QBC heat. The work carried out during the full cycle is called WABCD. The efficiency of the heat engine is defined by the ratio DA The following table shows the following: W / . Assume that CP and CV are the the (independent) thermal capacities of the gas at the optimal temperature and constant volume. A B C D Pressure (P) The following is the list of the countries of the European Union: PC PD

A. (10 points) Draw the cycle diagram on the PV diagram (volume pressure);
B. (20 points) ‐ Calculate the efficiency of the heat engine by CP and CV and the ratio D C P P / ;

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